《系统动力学导论》

图 带有不变的外生输入速率的负反馈系统
系统的方程式如下： L LEV.K=LEV.J+DT*(RT2.JK-RT1.JK) R RT1.KL=CONST*DISC.K A DISC.K=GL-LEV.K C GL=100 R RT2=CRT C CRT=8
NTRT——纯速率（单位/时间）
（2）时间常数T P93 （3）减半时间常数（或半衰期）Th Th=0.69T
3.3 正反馈系统
工资 +
工资要求 +
+ 物价所受压力
物价 +
工资-物价增长系统的应关系图
A 感到来 + 自B国的
威胁
B国的武器 +
+ A国的武器
B国感到来自 + A国的威胁
军备增长系统因果关系图
综上所述，负反馈系统的补偿功能，当 系统在附加输入或输出速率的情况下，可 自动建立起新的平衡，新的平衡值与原期 望的目标值不同。其差值与与系统的时间 常数及外生速率有关。
例如：库存控制系统的负反馈补偿特性。 P108
OR 订货率
INV 库存
SR 销售率
CONST 每周订货比率
STEP
DISC
阶跃函数
偏差
DINV 期望库存
图 简单的库存控制系统流图
方程式： L INV.K=INV.J+DT*(OR.KL－SR.KL) N INV=DINV R OR.KL=CONST*DISC.K C CONST=0.5 A DISC.K=DINV-INV.K C DINV=200 R SR.K=STEP(20，4) 如P108 如5.29所示。
RT 速率
LEV 状态
CONST 比例常数
GL 目标值
DISC 偏差
方程式： L LEV.K=LEV.J+DT*RT.JK N LEV=0 R RT.KL=CONST*DISC.K C CONST=0.1 A DISC.K=GL-LEV.K C GL=100 式中： LEV——状态（单位） RT——速率（单位/时间） CONST——常数（1/时间） DISC——偏差（单位） GL——目标值（单位）
3.4.2 负反馈系统的特性
LEV 状 态
过渡区
稳定区
时间
状态随时间变化曲线包括两个区段：瞬 态（过渡区）和稳态（稳定区）两个部分。
在过渡区段，LEV值与目标值GL不相 等。此时LEV具有寻的与瞬变的特点；在 稳定区，LEV值接近或近似地达到目标值， 稳定不变。RT也最终近似地达到“0”。
期望库存 生产
负反馈系统是负反馈回路起主导作用的系统。它 具有跟随目标（寻的）的特性。
3.4.1 负反馈结构的因果与相互关系图、流 图与方程式
系统状 态和水平 +
期望状态或目标
行动或 速率 +
-+ 差别
负反馈结构的因果关系图包含四个基本单
元——期望状态（目标）、偏差、校正量 （速率）、系统状态（水平）。
负反馈系统中LEV作为时间的函数的解 析表达式：
LEV(t)=GL+[LEV(0)-GL]e-constT*t
3.4.3 寻的负反馈系统的行为的三种 模式
（1）GL> 0，LEV≥0，(LEV(0)-GL)< 0； （2）GL> 0，LEV≥0，(LEV(0)-GL)> 0； （3）GL＝0，LEV> 0。 模式3如教材P105 图5.25所示 模式3称为零目标结构。目标值GL为“0”，
正反馈可以形成良性和恶性两种循环。
指数增长和指数崩溃的特点是，一开始增 长和崩溃的很慢，然后在短时间内猛增和 猛减。
3.2.1 正反馈的一般结构
RT 速率
LEV 状态
CONST 常数 图3。1 正反馈一阶系统流图
L LEV.K-LEV.J+DT*RT.JK N LEV=1 R RT.KL=CONST*LEV.K C CONST=0.2 C DT=1 计算步骤如P95
=-CONST*GL+LEV*CONST LEV=CRT/CONST+GL LEV=NGL=CRT/CONST+GL
NGL=T*CRT+GL=1/0.1*8+100=180 由此可见，系统新的平衡值较期望的目标
值GL增加了T*CRT，即为时间常数T与不 变的输入速率CRT（或RT2）的乘积。
RT 速率 CONST 常数
LEV 状态 DISC 偏差
GL 目标值
图3. 1 一阶负反馈系统的典型流图
方程式： L LEV.K=LEV.J+DT*RT.JK R RT.KL=CONST*DISC.K A DISC.K=GL-LEV.K LEV(t)=GL-[GL-LEV(0)]e-CONST*t
3．2。2 正反馈过程的特征 （1）指数增长的特点 P97 t≥15Td之后，状态变量的值猛然暴涨。 （2）超指数增长 P98 （3）指数增长与崩溃特性
变量
变量
变量
0
时间 指数增长和指数崩溃曲线
3.4 负反馈系统
冷却器 加热器
室温 期望室温
温度继电器
库存
发货ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
订货 货物到达
（3）倍增时间Td
倍增时间定义为变量由初始值增至二倍的 初始值所需要的时间。
Td=0.6*T
倍增时间约等于70％的时间常数T。即每经 过一段时间Td，LEV的值将较前增加一倍。
P92的图5.2表示了倍增时间常数与时间常 数的关系。
一阶负反馈系统的重要参数
(1)方程式的基本形式
R NTRT.KL=RT1.JK+RT2.JK
X
= CONST*DISC.K+ CRT
X
= CONST*(GL-LEV.K) + CRT
根据RT1.KL 、RT2.KL和NTRT.KL，可绘 制系统的速率—状态曲线图：P107
下面求新的目标值： 假定NTRT=0，则可得： CRT=-CONST(GL-LEV)
状态值由LEV（0）指数衰减至“0”。
LEV 模式2
GL 模式1
时间
3.5 负反馈系统的补偿特性
负反馈系统具有当其状态变量受外生 输入（或输出）速率作用时仍力图使状态 变量趋于目标值的特性，称为补偿特性。
RT2 速率2
LEV 状态
RT1 速率1
CRT 常数
DISC 偏差
CONST 比例系数
GL 目标