沪教版两点间距离习题及答案
19.10两点的距离公式-沪教版(上海)八年级数学第一学期同步练习
19.10两点的距离公式
一.选择题
1.已知点A(2，3).B(-1，-3).C(-3，-7)，则这三点的位置关系是（）.
（A）在同一直线上（B）是直角三角形的顶点
（C）是等边三角形的顶点（D）以上都不对
3.已知A.B两点的坐标分别为A（2，-6）（-4，2），,点P在y轴上，如果PA=PB,，那么点P的坐标为（）.
二.填空题
9.已知点A(-1，0)，点B在函数y＝x的图像上，且|AB|＝5，求B点的坐标.
10.已知△ABC的三个顶点是A(1,4).B（4，a）.C(5,5),且|AC|=|BC|,求B点坐标以及△ABC
的面积
∠为直角,求点M的坐标11.已知点A(2,2)、B（5，-2）在X轴上找一点M使A MB
12.在直角平面坐标内有一点P ，P 到两坐标轴距离相等，且P 到两点A(-1，3)、B(2，4)距离相等，求P 点坐标.
参考答案
19.10 两点的距离公式
公式算出AB=5，设点M 坐标为（x ，0），因为∠AMB=90°，所以222AB =BM +AM ，
由距离公式得2222-0+2+x =
AM ）（）（，2222+0+5-x =BM ）（）（，所以25=]4+)5-x [(+]4+2-x [22）（，化简得0=6+7x -x 2，解出6=x 1=x 21，，所以点M 得坐标是（1，0）或（6，0） 12.提示：分为点P 在一、三象限角平分线上和点P 在二、。
2022-2023学年两点间的距离-沪教版(上海)八年级数学上册同步练习
19.10 两点间的距离 同步练习一、 单项选择题1. 如果点A 的纵坐标是7，点A 与点(5,1)B -的距离是10，那么点A 的横坐标是（ ）．A 、11B 、－1C 、10D 、－1或112. 若x 轴的正半轴上的一点P 到点()1,1A ，则P 的坐标是 （ ）．A 、()1,0B 、()2,0C 、()0,1D 、()0,23. 若x 轴上的一点P 到点()1,1A ，则P 的坐标是工 （ ）．A 、()0,0或()1,0B 、()0,0或()2,0C 、()0,1D 、()0,24. 若ABC △的三个顶点是()0,1A 、()0,0B 、()1,0C ，则ABC △的形状是 （ ）．A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、等边三角形D 、等腰直角三角形5.若ABC △的三个顶点是()0,2A 、()0,0B 、()2,0C ，则AC 边上的中线的长度是（ ）．A 、1B 、2C D6.若点(),P x y 到定点(),a b 的距离是r （>0r ），则x 、y 满足的关系式是（ ）．A2r B r = C2r = D r =二、 填空题1.点(2,1)A -和点(3,4)B -间的距离是．2.点(2,3)A -到原点的距离是．3.若两点()()12,0,0A x B x 、，则AB =．4.已知点(0,4)A 和(0,4)B -，线段AB 的长是____．5.若两点()1,1A 、()2,2B ，则AB =．6.若两点()1,1A --和()B 1,1，则AB =． 7.若三角形的三个顶点是()0,0A 、()3,1B 、()1,2C ，则该三角形的三边AB 、BC 、CA 的长分别是、、．8.若三角形的三个顶点是()0,0A 、(),1B a 、()1,2C ，且BC=a =；以题意中的A B C 、、为顶点的三角形有几个？答：个. 9.若等腰三角形的三个顶点是()0,0A 、()3,1B 、()1,C a ，且BC CA ==a =．10.若三角形的三个顶点是()0,0A 、()3,1B 、()1,2C ，则该三角形的形状是．11.若平行四边形的两个顶点是()0,0A 、()3,1B ，则AB 的对边CD 的长是．三、 解答题1.已知三角形的顶点是11(1,0),(,(22A B C -，求该三角形的三边长，并说明三角形ABC 的形状．2.已知x轴上的点P与两点(3,2)B-的距离相等，求点P的坐标．．A-、(1,2)3. 已知(1,1)(,1)MN=，求m．、，又2M N m-4.在x轴上，求与原点的距离是1的点的坐标．5. 已知三角形的三个顶点的坐标是()0,2C，D是边BC的中点，求三角形ABC的中B-1、()1,0A、(),0线AD的长．参考答案一、单项选择题1.D2.B3.B4.D5.C6.D二、填空题1.2.3.21x x -4.85.6.7.8.3a =或1a =-，29.210.等腰三角形11.三、解答题1.等边三角形2.(1,0)-3.1m =4.()1,0-和()1,05.2。
沪科版八年级上册数学第11章 平面直角坐标系含答案(综合考察)
沪科版八年级上册数学第11章平面直角坐标系含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为…按此规律，则点的纵坐标为（）A. B. C. D.2、在平面直角坐标系中，点P(-2，3)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、在平面直角坐标系中，点A（3，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y=﹣x+1上，则m的值为（）A.-2B.2C.3D.44、和点P（－3，2）关于y轴对称的点是( )A.(3， 2)B.(－3，2)C.(3，－2)D.(－3，－2)5、将点P（m+2，2m+4）向右平移1个单位长度得到点M，且点M在y轴上，那么点M的坐标是（）A.（﹣2，0）B.（0，﹣2）C.（1，0）D.（0，1）6、如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了两个标志点A（2，1），C （0，1）．则“宝藏”点B的坐标是（）A.（1，1）B.（1，2）C.（2，1）D.（l，0）7、在平面直角坐标系中，点A(5，6)与点B关于x轴对称，则点B的坐标为( )A.(5，6)B.(－5，－6)C.(－5，6)D.(5，－6)8、在直角坐标系中，A（1，2）点的横坐标乘－1，纵坐标不变，得到A′点，则A与A′的关系是（）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.将A 点向x轴负方向平移一个单位9、在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第一象限内，则点B（a，b）所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10、已知点A（m，﹣2），点B（3，m﹣1），且直线AB∥x轴，则m的值为（）A.﹣1B.1C.﹣3D.311、如图所示，与①中的三角形相比，②中的三角形发生的变化是（）A.向左平移3个单位B.向左平移1个单位C.向上平移3个单位 D.向下平移1个单位12、点（-2，3）关于y轴对称的点的坐标是（）A.（2，﹣3）B.（2，3）C.（﹣2，﹣3）D.（3,﹣2）13、点M（﹣5，y）向下平移5个单位所得的像是关于x轴对称，则y的值是（）A.﹣5B.5C.D.14、点M（4，2）关于x轴对称的点的坐标是（）A.（4，﹣2）B.（﹣4，2） C.（﹣4，﹣2）D.（2，4）15、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点在直线上一点，则点B与其对应点B′间的距离为（）A. B.3 C.4 D.5二、填空题(共10题，共计30分)＝10，则点C 16、已知点A（－2，0），B（3，0），点C在y轴上，且S三角形ABC的坐标为________．17、以水平数轴的原点为圆心过正半轴上的每一刻度点画同心圆，将逆时针依次旋转、、、、得到条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点、的坐标分别表示为、，则点的坐标表示为________.18、在平面直角坐标系中，将点A(-1，-2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴对称点C的坐标为________。
沪教版(上海)八年级上学期图形几何卷
沪教版（上海）八年级上学期图形几何卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法正确的是（ ） A ．一个命题一定有逆命题 B ．一个定理一定有逆定理 C ．真命题的逆命题一定是真命题D ．假命题的逆命题一定是假命题2．如果三角形三条垂直平分线的交点刚好在三角形的一边上，那么这个三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形3．两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的（ ） A ．两角和一边B ．两边及夹角C ．三个角D ．三条边4．如果Rt △的两直角边长分别为n 2-1，2n(n >1)，那么它的斜边长是( ) A ．2nB ．n+1C ．n 2-1D ．n 2+15．已知三角形的三边长为a 、b 、c ，如果22(5)|12|261690a b c c -+-+-+=，则△ABC是（）A ．以a 为斜边的直角三角形B ．以b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．不是直角三角形6．已知点()A -、(B ，那么ABO ∆是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形二、填空题7．命题“互余的角不相等”的逆命题是_____.8．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A B ∠-∠=︒，那么A ∠=______，B ∠=_____. 9．已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若3a =，4b =，则c =_____. 10．已知()1,4A ，()3,4B -，则线段AB 的长度是______.11．在ABC ∆中，20cm AB AC ==，腰AB 的中垂线交AC 于点D ，BCD ∆周长为30cm ，则BC =_____cm.12．以线段AB 为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是____________________________． 13．如图所示，已知AB AC =，44A ∠=︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则DBC ∠=_____︒.14．在ABC ∆中，AB AC =，15B ∠=︒，10AB =，则ABC ∆的面积是_____. 15．已知点A 的坐标为()3,5，点B 在x 轴上，且13AB =，那么点B 的坐标为_____.16．在ABC ∆中，60A ∠=︒，16AC =，ABC S ∆=AB =_____.17．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13，则A 、B 、C 、D 的面积和是_____.18．已知：在ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，BD 平分CBA ∠，且交AC 于点D ，1BC =，那么AD =____.三、解答题19．如图，已知BD CD =，B C ∠=∠．求证：AB AC =．20．如图所示，一根长度为50cm 的木棒的两端系着一根长度为70cm 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？21．已知，如图所示，四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，11AB =，BC =12CD =，5AD =，求四边形ABCD 的面积.22．已知：如图所示，AD BC ∥，AC BC ⊥，E 、F 分别为AB 、CD 的中点.（1）求证：12AF CD =； （2）若AB CD =，求证：B D ∠=∠.23．已知：如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是BC 的中点，CE AD ⊥，垂足为点E ，BF AC 交CE 的延长线于点F ，求证：AB 垂直平分DF .24．已知点()2,3A 、()4,5B ，在x 轴上是否存在点P 使PA PB +的值最小，若存在，请求出PA PB +的最小值；若不存在，请说明理由.25．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，点D 是斜边AB 的中点，作DE AB ⊥，交直线AC 于点E .（1）若30A ∠=︒，求线段CE 的长；（2）当点E 在线段AC 上时，设BC x =，CE y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）若1CE =，求BC 的长.参考答案1．A【分析】命题由题设和结论两部分组成，所以所有的命题都有逆命题，但是所有的定理不一定有逆定理，真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题不一定是假命题．【详解】解：A、每个命题都有逆命题，故本选项正确．B、每个定理不一定都有逆定理，故本选项错误．C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误．D、假命题的逆命题不一定是假命题，故本选项错误．故选A．【点睛】本题考查命题的概念，以及逆命题，逆定理的概念和真假命题的概念等．2．A【分析】根据三种三角形线段垂直平分线上的交点的位置解答即可．【详解】解：∵锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的内部，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部，直角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的斜边上，∴该三角形是直角三角形．故选：A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记三种三角形线段垂直平分线的交点的位置是解题的关键．3．C【解析】判定两三角形全等，就必须有边的参与，因此C选项是错误的．A选项，运用的是全等三角形判定定理中的AAS或ASA，因此结论正确；B选项，运用的是全等三角形判定定理中的SAS，因此结论正确；D 选项，运用的是全等三角形判定定理中的SSS ，因此结论正确；故选C ． 4．D 【解析】试题分析：根据勾股定理直接解答即可． 两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是：故选D.考点：本题考查的是勾股定理点评：解决本题的关键是正确对（n 2-1）2+（2n ）2进行分解因式． 5．C 【分析】根据绝对值和偶数次幂的非负性，即可求出a ，b ，c 的值，进而判断△ABC 的形状. 【详解】∵22(5)|12|261690a b c c -+-+-+=， ∴22(5)|12|(-13)0a b c -+-+=， 又∵22(5)|12|0,0(-1)0,3a b c --≥≥≥，∴22(5)|12|0,0(-1)0,3a b c --===，即a =5，b =12，c =13， ∵222+=a b c ，∴△ABC 是以c 为斜边的直角三角形， 故选C. 【点睛】本题主要考查绝对值和偶数次幂的非负性以及勾股定理的逆定理，根据条件求出三角形各边长，是解题的关键. 6．D 【分析】根据点的坐标，分别计算OA 、OB 、AB 的长度，可得OB=AB ，利用勾股定理的逆定理可判定三角形为直角三角形，于是可判断ABO ∆是等腰直角三角形. 【详解】解：∵()A -，(B ，∴OA ==，2OB ==，2AB ==，∴222OB AB OA +=， ∴ABO ∆是等腰直角三角形， 故选：D. 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的定义，坐标与图形．判断三角形是否为直角三角形，先求出三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 7．不相等的角互余 【分析】先写出原命题的条件和结论，然后按照原命题的条件即为它的逆命题的结论，原命题的结论即为它的逆命题的条件即可写出原命题的逆命题. 【详解】解：“互余的角不相等”的条件是互余的角，结论是不相等，故逆命题是:不相等的角互余. 故答案为：不相等的角互余. 【点睛】此题考查了命题与定理，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 8．60︒ 30 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得：∠A+∠B=90°，再结合30A B ∠-∠=︒即可求出∠A 和∠B. 【详解】由题意可得∠A+∠B=90°，∠A-∠B=30°，解得∠A=60°，∠B=30°.【点睛】此题主要考查了直角三角形两锐角互余．熟记直角三角形两锐角互余是解决此题关键. 9．5【分析】直接利用勾股定理可求得斜边c的长【详解】解：5c==.【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．10．4【分析】由A、B点的坐标可知它们的纵坐标相同，所以线段AB的长度就是这两点横坐标差的绝对值.【详解】解：∵A(1,4)，B(-3,4)，∴线段AB的长为|1-(-3)|=|1+3|=|4|=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，观察出点A、B的纵坐标相同是解题的关键．11．10【分析】∆周长为30cm可求得根据中垂线（即线段垂直平分线）的性质可得AD=BD，结合BCDAC+BC=30cm，由此可求BC的长度.【详解】解：如图所示：∵腰AB的中垂线交AC于点D，∴AD=BD.周长为30cm，∵BCD∴BD+CD+BC=30,即AD+CD+BC=30,∴AC+BC=30.∵AC=20cm,∴BC=10cm.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等求出AD=BD是解决此题的关键．12．线段AB的垂直平分线，不包括AB的中点．【分析】满足△ABC以线段AB为底边且CA=CB，根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段AB的垂直平分线上，除去与AB的交点（交点不满足三角形的条件）．【详解】∵△ABC以线段AB为底边，CA=CB，∴点C在线段AB的垂直平分线上，除去与AB的交点（交点不满足三角形的条件），∴以线段AB为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线，不包括AB的中点．故答案为：线段AB的垂直平分线，不包括AB的中点．【点睛】本题考查了轨迹：轨迹是动点按一定条件运动所经过的痕迹．也考查了线段的垂直平分线判定与性质、等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记线段AB的垂直平分线的定义．13．24【分析】先根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求出∠ABC，再根据线段垂直平分线的点到线段两端距离相等可得AD=BD ，结合等腰三角形等边对等角可求得∠ABD ，由此可求∠DBC 的度数. 【详解】解：∵AB ＝AC ，∠A ＝44°， ∴∠ABC ＝12（180°﹣∠A ）＝12×（180°﹣44°）＝68°， ∵MN 是AB 的垂直平分线， ∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝44°，∴∠DBC ＝∠ABC ﹣∠ABD ＝68°﹣44°＝24°． 故答案为：24°． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理.熟记垂直平分线上的点到线段两端距离相等和等腰三角形等边对等角是解决此题的关键. 14．25 【分析】先根据题意画出ABC ∆，作出它的高线CD ，根据三角形的外角性质可求得∠CAD=30°，由直角三角形30°角所对边是斜边的一半可求得CD 的长度，由此可求△ABC 的面积. 【详解】解：如图所示，过点C 作CD AB ⊥交BA 的延长线于点D ，∵AB AC =，∴15B ACB ∠=∠=︒，∴1530CAD B ACB ∠=∠+∠=︒+15︒=︒，∴1110522CD AC ==⨯=， ∴ABC ∆的面积111052522AB CD =⋅=⨯⨯=.【点睛】本题考查含30°角直角三角形，三角形外角性质，等腰三角形的性质.熟记这些性质并能灵活运用是解题的关键，作出图形更形象直观．15．()9,0-或()15,0【分析】设点B 的横坐标为t 13=，从而可以求出t 的值.【详解】解：设点B 的横坐标为t ，13=，即2(3)12t -=.所以3-t=12或3-t=-12．∴t=-9或t=15.故答案为()9,0-或()15,0.【点睛】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则这两点间的距离为AB16．55【分析】根据题意，过点B 作BD AC ⊥，根据三角形的面积可求得BD 的长度，根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半和勾股定理即可求出AB 的长度.【详解】解:过点B 作BD AC ⊥.∵ABC S ∆=16AC =，∴12AC BD ⨯⨯=，∴BD =在Rt ABD ∆中，60A ∠=︒，∴30ABD ∠=︒， ∴12AD AB =. ∵222AD BD AB +=，∴22212AB AB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得55AB =.【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质和利用勾股定理解直角三角形.能根据题意构造图形是解决此题的关键.17．169【分析】能够发现正方形A ，B ，C ，D 的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A ，B ，C ，D 的面积和即是最大正方形的面积．【详解】解：如图：根据勾股定理得到：C 与D 的面积的和是P 的面积；A 与B 的面积的和是Q 的面积；而P ，Q 的面积的和是M 的面积．即A 、B 、C 、D 的面积之和为M 的面积．∵M 的面积是132=169，∴A 、B 、C 、D 的面积之和为169m 2．故答案为：169m 2．【点睛】本题考查了勾股定理的应用．理解以直角三角形两直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积是解决此题的关键.18【分析】依据题意画出图形，根据直角三角形两锐角互余和三角形的角平分线可求得30A ABD CBD ∠=∠=∠=︒，根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半和勾股定理求得BD 的长度，然后根据等腰三角形等角对等边即可求出AD.【详解】解：如图所示，∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴903060ABC ∠=︒-︒=︒.∵BD 平分ABC ∠，∴30ABD CBD ∠=∠=︒.又∵30A ABD ∠=∠=︒，∴BD AD =，60BDC ∠=︒，在Rt BCD ∆中，12CD BD =， ∴222CD BC BD +=，即222112BD BD ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得3BD =，∴AD =. 【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的角平分线，直角三角形两锐角互余．能根据题意构造图形且熟练掌握相关定理，能根据定理进行分析是解决此题的关键.19．详见解析【分析】先连接BC ，根据等腰三角形的现在，即可解答．【详解】连接BC ，∵BD CD =，∴△DBC 为等腰三角形，∴DBC DCB ∠=∠．∵ABD ACD ∠=∠，∴ABC ACD ∠=∠．∴AB AC =．【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质，解题关键在于需要熟练掌握判定定理．20．这个点将绳子分成的两段分别是30cm 、40cm 或370cm 7、120cm 7. 【分析】设cm AC x =，则()70cm BC x =-，分以AB 为斜边，AC 为斜边，BC 为斜边三种情况讨论，利用勾股定理建立方程，解方程即可求出x 的值.【详解】如图所示：设cm AC x =，则()70cm BC x =-，若AB 为斜边，则()2225070x x =+-，解得：130x =，240x = 若AC 为斜边，则()2225070x x +-=，解得：3707x = 若BC 为斜边，则()2225070x x +=-，解得：1207x = 综上所述，这个点将绳子分成的两段分别是30cm 、40cm 或370cm 7、120cm 7. 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解决问题的关键．21．30ABCD S =+四边形【分析】连接AC ，然后根据勾股定理求出AC 的长度，再根据勾股定理逆定理计算出∠ADC=90°，然后根据四边形ABCD 的面积=△ABC 的面积+△ACD 的面积，列式进行计算即可得解．【详解】解：连接AC ，∵90ABC ∠=︒，11AB =，BC=∴由勾股定理可得：13AC ==在ADC ∆中，5AD =，12CD =，13AC =根据勾股定理的逆定理可得：90ADC ∠=︒∴111151211302222ABCD S AD DC AB BC =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=+四边形【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理等知识，通过作辅助线将一般的四边形转化为两个直角三角形是解题的关键．22．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据平行线的性质可证90BCA DAC ∠=∠=︒，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；（2）根据HL 定理证明Rt ACD Rt CAB ∆∆≌即可证明B D ∠=∠.【详解】（1）证明：∵AD BC ∥，AC BC ⊥∴90BCA DAC ∠=∠=︒∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点∴AF 为Rt ACD ∆斜边上的中线 ∴12AF CD = （2）证明：∵AD BC ∥，AC BC ⊥∴90BCA DAC ∠=∠=︒在Rt ACD ∆和Rt CAB ∆中CD AB AC CA =⎧⎨=⎩∴()Rt ACD Rt CAB HL ∆∆≌∴B D ∠=∠【点睛】本题考查直接三角形斜边上的中线，平行线的性质定理，全等三角形的判定和性质.（1）中掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键；（2）中掌握证明直角三角形全等的HL 定理是解题关键.23．见解析.【分析】先证明ACD CBF ∆∆≌推出CD=BF ，再结合D 是BC 的中点证明△BDF 为等腰三角形，然后证明∠CBA=∠FBA ，根据等腰三角形三线合一即可得出结论.【详解】证明：∵90ACB ∠=︒，CE AD ⊥，∴90BCE ACE ∠+∠=︒，90ACE CAE ∠+∠=︒，∴BCE CAE ∠=∠，∵BF AC ，∴90ACD CBF ∠=∠=︒，∵AC CB =，∴()ASA ACD CBF ∆∆≌，∴CD BF =，∵D 是BC 的中点， ∴12CD BD BC ==∴BF BD =∴BFD ∆为等腰直角三角形∵90ACB ∠=︒，CA CB =∴45ABC ∠=︒∵90FBD ∠=︒∴45ABF ∠=︒∴ABC ABF ∠=∠，即BA 是FBD ∠的平分线∴BA 是FD 边上的高线，BA 又是边FD 的中线∴AB 垂直平分DF【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质定理，等腰三角形的性质和判定.本题中能证明ACD CBF ∆∆≌，并结合全等三角形的性质证明BFD ∆为等腰直角三角形是解决此题的关键.24．存在，PA PB +=【分析】作出A 点关于x 轴的对称点A′，连接A′B 交x 轴于P 即为所求，利用两点之间距离公式求出A B '即为PA PB +的最小值.【详解】解：存在，如图，作A 关于x 轴对称点()2,3A '-，联结A B '交x 轴于点P ，则有最小值，因为两点之间线段最短∴PA PB A B '+===【点睛】本题考查的是利用轴对称性质求最短路径问题，坐标与图形.熟练掌握轴对称的性质，找出P 点是解题的关键.25．（1）2CE =；（2）()230612x y x =-<≤；（3）满足条件的BC 的长为【分析】（1）连接BE ，点D 是AB 中点且DE ⊥AB ，BE=AE ，利用线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形即可求出线段CE 的长；（2）连接BE ，则AE=BE=6-y ，由勾股定理得BC 2+CE 2=BE 2，即x 2+y 2=（6-y ）2，整理即可得出y 关于x 的函数解析式()230612x y x =-<≤； （3）此题有两种情况：①是当点E 在线段AC 上时，由（2）得21312x =-，解得x 即可；②是当点E 在AC 延长线上时，AE=BE=7，由勾股定理得BC 2+CE 2=BE 2即x 2+12=72．解得x 即可．【详解】（1）如图，连接BE ，∵点D 是AB 中点且DE AB ⊥，∴BE AE =，∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴∠ABC=90°-∠A=60°，30ABE A ∠=∠=︒∴30CBE ABC ABE ∠=∠-∠=︒， ∴1122CE BE AE ==， ∵6AC =，AC=AE+CE,∴2CE =，（2）连接BE ，则6AE BE y ==-，在Rt BCE ∆中，由勾股定理得222BC CE BE +=，即()2226x y y +=-， 解得()230612x y x =-<≤ （3）①当点E 在线段AC 上时，由（2）得21312x =-，解得x =②当点E 在AC 延长线上时，7AE BE ==，在Rt BCE ∆中，由勾股定理得222BC CE BE +=，即22217x +=. 解得43x （负值已舍）综上所述，满足条件的BC 的长为【点睛】此题主要考查勾股定理、线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形,二次函数的应用.（1）中熟练掌握线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形的性质是解题关键；（2）中能利用勾股定理建立x ，y 的等式是解题关键；（3）中能分类讨论是解题关键.。
上海教育版数学八年级上册19.10《平面上两点间的距离公式》练习题
19.10平面上两点间的距离公式一、课本巩固练习1：（1）求A(-1,3)、B （2，5）两点之间的距离；（2）已知A （0，10），B （a ，-5）两点之间的距离为17，求实数a 的值．2：已知三角形ABC 的三个顶点1(1,0),(1,0),(,22A B C -，试判断ABC ∆的形状．3：已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),A -(2,1),(4,7)B C --，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程．4．已知ABC∆是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC=．二、基础过关1.( )()A两点(a,b)与(1,-2)间的距离()B两点(a,b)与(-1,2)间的距离()C两点(a,b)与(1,2)间的距离()D两点(a,b)与(-1,-2)间的距离2.以A(3,-1), B(1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为 ( ) ()A2x+y-5=0 ()B2x+y+6=0()C x-2y=0 ()D x-2y-8=03. 线段AB的中点坐标是(-2,3),又点A的坐标是(2,-1),则点B的坐标是____________________．4．已知点(2,3),A-，若点P在直线70x y--=上，求取最小值．5: 已知直线1:12l y x=-，（1）求点(3,4)P关于l对称的点Q；（2）求l关于点(2,3)对称的直线方程．．6：一条光线经过点(2,3)P,射在直线10x y++=上，反射后，经过点(1,1)A，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．7．点(-1,2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐标为( )()A(1,4) ()B(-1,4) ()C(1,-4) ()D(-1,-4)2．直线3x-y-2=0关于x轴对称的直线方程为____________________．3．已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求D点的坐标,使四边形ABCD为等腰梯形．4．已知定点(2,2)A，(8,4)B，x R∈.。
2020-2021学年沪教版(上海)高二数学下学期同步练习11.4 点到直线的距离(第一课时)
11.4点到直线的距离（第一课时）同步练习一．填空题1.点()0,5到直线2y x =的距离是_____________.2.点()1,0-到直线30x +=的距离为______________.3.点(),1a -到直线3430x y -+=的距离等于1，则实数a 的值为____________.4.若点()2,a 到直线3410x y --=的距离不大于15，则a 的取值范围是__________.5.直线30x y ++=和直线2230x y ++=之间的距离是____________.6.已知直线1:20l x y a -+=与2:4210l x y -++=，且1l 与2l 的距离为7510，则实数a 的值是___________.7.与直线3410x y -+=垂直，且与原点距离是1的直线方程是__________.二．选择题8.原点到下列哪条直线的距离最小（）A ．1x =B ．1y x =+C ．21y x =+D ．31y x =+9.过点()1,2且与原点距离最大的直线方程是（）A ．250x y +-=B ．240x y +-=C ．370x y +-=D ．370x y +-=10.若动点()()1122,,,A x y B x y 分别在直线12:70,:50l x y l x y +-=+-=上移动，则AB 中点到原点的距离的最小值为（）A ．32B ．23C ．33D ．42三．解答题11.已知()()()A B C，求△ABC的面积.1,1,5,3,4,512.原点到过点()3,1P的直线l的距离为3，求直线l的方程.13.直线l平行于直线20x y++=，且这两条直线之间的距离为32，求直线l的方程.14.过点()1,2P 引一直线l ，使之到两点()2,3A ，()4,5B -的距离相等，求直线l 的方程.答案：1.52.23.243--或4.31,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 5.3246.34a a ==-或7.4350x y +±=8.D9.A10.A11.:210AB l x y -+=，点C 到直线AB 的距离为2241011512d -+==+，224222AB =+=，152552S ∴=⨯⨯=12.若l 的斜率不存在，则:3l x =，满足题意；若l 的斜率存在，设():13l y k x -=-，2314331k d k k -+==⇒=-+，:43150l x y +-=.13.设:0l x y c ++=，由232842cd c c -==⇒==-或:8040l x y x y ∴++=+-=或14.显然l 的斜率存在，设():2120l y k x kx y k -=-⇒--+=，2211232452342k k k k k k k k --++-+=⇒=+-=-+或，或.∴+-=+-= l x y x y:4603270。
沪教版(上海)八年级数学上19.10 两点的距离公式
沪教版（上海）八年级上19.10 两点的距离公式姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 若点P(a,b)在第四象限,则点P到x轴的距离是（）A．a B．-a C．b D．-b2 . 在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A（0，3），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（）A．5B．2C．3D．43 . 如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB 的最小值为（）A．4B．4C．2D．24 . 若某四边形各顶点的横坐标分别变为原来的相反数，纵坐标不变，所得图形与原图形位置相同，则这个四边形不可能是（）A．长方形B．直角梯形C．正方形D．等腰梯形5 . 如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，点A在y轴上，BC∥x轴，点B．将△ABC 绕点A顺时针旋转的△AB′C′，当点B′落在x轴的正半轴上时，点C′的坐标为（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1）C．（﹣，+1）D．（﹣，﹣1）6 . 如果点与点间的距离为5，那么的值是（）A．4或B．0C．8D．0或8二、填空题7 . 已知点A（5，4），B（1，1），则线段AB的长____________8 . 已知点P在第二象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点坐标为_________,P点到原点的距离为___________9 . 在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（1，0）、B（3，1），AB的长度为_____．10 . 如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是_____．11 . 在平面直角坐标系中，坐标轴上到点的距离等于10的点共有______个．12 . 在平面直角坐标系中，已知，，，D是平面内的一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则的最小值是___________．13 . 在平面直角坐标系中，到原点的距离为______.14 . 两直线:y=与：y=的交点坐标可以看作是二元一次方程组_________的解．15 . 如图P(3,4)是直角坐标系中一点，则P到原点的距离是________．三、解答题16 . 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，3）和（0，2）．（1）AB的长为；（2）点C在y轴上，△ABC是等腰三角形，写出所有满足条件的点C的坐标.17 . 如图所示，△BCO是△BAO经过折叠得到的.（1）图中A与C的坐标之间的关系是什么？（2）如果△AOB中任意一点M的坐标为（x,y）,那么它的对应点N的坐标是什么？18 . 学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B＝90°，AB＝20 m，BC＝15 m，，AD=24m，CD＝7 m，土地价格为1 000元/m2，请你计算学校征收这块地需要多少钱？19 . 阅读材料：例：说明代数式 x2+1 + (x-3)2+4 的几何意义，并求它的最小值．解： x2+1 + (x-3)2+4 =" (x-0)2+12" + (x-3)2+22，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则 (x-0)2+12 可以看成点P与点A（0，1）的距离， (x-3)2+22可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B="3" 2 ，即原式的最小值为3 2 ．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式 (x-1)2+1 + (x-2)2+9 的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B （2，3）的距离之和．（填写点B的坐标）（2）代数式 x2+49 + x2-12x+37 的最小值为．20 . 阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2）），M，N两点之间的距离可以用公式MN＝计算．解答下列问题：（1）若点P（2，4），Q（﹣3，﹣8），求P，Q两点间的距离；（2）若点A（1，2），B（4，﹣2），点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由．21 . 在平面直角坐标系中，□ABCD的对称中心在原点，点A,B的坐标分别为A(-1,3),B(-2,-1)(1)在如图直角坐标系中，画出这个平行四边形.(2)写出点C、D的坐标，则C ,D .(3)□ABCD的周长为.22 . 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为边在AB的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．（1）如图1，若点D在BC边上，则∠BCE＝°；（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动．①∠BCE的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC＝3，CD＝6，则△ADE的面积为．参考答案一、单选题1、2、3、4、5、6、二、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、9、三、解答题1、2、3、4、5、6、7、。
2024-2025学年沪教版数学小学五年级上学期试卷及答案解析
2024-2025学年沪教版数学小学五年级上学期试卷及答案解析一、选择题（本大题有6小题，每小题2分，共12分）1、小悦、冬冬和阿奇三个人进行跑步比赛，他们分别跑了全程的(5/8)、(4/5)和(7/10)，那么，( )跑得最快。
A. 小悦B. 冬冬C. 阿奇D. 无法确定答案：B解析：本题考查的是分数大小比较的应用。
已知小悦、冬冬和阿奇分别跑了全程的(5/8)、(4/5)和(7/10)。
为了比较这三个分数的大小，可以找一个公共的分母，这里选择40（因为8、5和10的最小公倍数是40）。
小悦跑了全程的(5/8)=5×5/8×5=(25/40)。
冬冬跑了全程的(4/5)=4×8/5×8=(32/40)。
阿奇跑了全程的(7/10)=7×4/10×4=(28/40)。
比较这三个分数：(25/40)、(32/40)和(28/40)，可以看出(32/40)最大。
所以，冬冬跑得最快。
故答案是B.冬冬。
2、把(1/6)和(1/4)通分时，公分母是（）A.12B.6C.24D.3解析：本题考查的是最小公倍数的应用。
已知两个分数(1/6)和(1/4)。
通分的目的是为了将两个分数转换为具有相同分母的形式，以便进行加减运算。
这个共同的分母应该是原来两个分母6和4的最小公倍数。
由于6=2×3，4=2×2，所以它们的最小公倍数是2×2×3=12。
因此，把(1/6)和(1/4)通分时，公分母是12。
故答案是A.12。
3、一个正方形的边长是5厘米，它的周长是多少厘米？A. 10厘米B. 15厘米C. 20厘米D. 25厘米答案：C解析：正方形的周长计算公式是(周长=4×边长)。
所以，这个正方形的周长是(4×5=20)厘米。
4、如果一个数被7除余3，那么下列哪个数可能是这个数？A. 21B. 28C. 30D. 35解析：我们可以通过检查每个选项是否符合给定的条件来找出正确答案。
沪教版(上海)八年级上19.10两点的距离公式
∴AC= ．
故答案是： ．
12． 或
【分析】
根据两点间距离公式得到 ，由于C在x轴上，则b=0，然后根据勾股定理得到 ，在解一元二次方程即可
【详解】
解：
因为∠ACB=90°，C点在x轴上，
所以
即 ，整理得 ，
解得
所以点C坐标为（-4,0）或（1,0）
【点睛】
本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理
三、解答题
16．已知一个三角形各顶点坐标为 、 、 ，请判定此三角形的形状，并说明理由．
17．已知点 是 轴上的一点，它与点 之间的距离是15，求点 的坐标．
18．在平面直角坐标系中， 为原点．
（1）点 的坐标为 ，求线段 的长；
（2）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，求线段 的长．
19．在平面直角坐标平面内，已知点 在 轴上，它到点 和点 的距离相等，求点 的坐标．
A．1B． C． D．2
3．在已知点M（3，﹣4），在x轴上有一点与M的距离为5，则该点的坐标为（）
A．（6，0）B．（0，1）C．（0，﹣8）D．（6，0）或（0，0）
4．在平面直角坐标系中，已 、 、 ，则 的三边长 、 、 的大小关系是（）．
A． B． C． D．
5．点P在第三象限内，P到X轴的距离与到y轴的距离之比为 ，到原点的距离为 ，则点P的坐标为（）
本题考查了勾股定理与两点间距离公式，需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求出点C坐标；②当点C在y轴上时，根据两点间距离公式和勾股定理构成方程式，解答即可
【详解】
解：①当点C位于x轴上时，设点C坐标为（x，0），则 ，解得x=4或x=-4；
②当点C在y轴上时，由勾股定理得 ，解得y=±3
沪教版(上海)八年级第一学期同步训练-勾股定理及两点间距离公式-拓展
勾股定理2及两点间距离公式（拓展）（勾股定理，两点间距离公式）本试卷共有26道试题，满分100分，答题时间90分钟一、 选择题（本大题共8道小题，每题3分，共24分）1、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ）A. 13B. 26C. 34D. 472、在直线l 上有三个正方形m 、q 、n ，若m 、q 的面积分别为5和11，则n 的面积（ ）A. 4B. 6C. 16D. 553、如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点E 是BC 边上一点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，连结CF ，当△CEF 为直角三角形时，BE 的长是（ ）A. 4B. 3C. 4或8D. 3或64、将矩形ABCD 按如图方式折叠,点B ,点C 恰好落在点G 处,且A ,G ,F 在同一条直线上．若AB =4,BC =6,则CF 的长是（ ）A. 94B. 52 C. 114D. 35、如图，矩形ABCD 中，CD=6，E 为BC 边上一点，且EC=2将△DEC 沿DE 折叠，点C 落在点C'.若折叠后点A ，C'，E 恰好在同一直线上，则AD 的长为（ ）A. 8B. 9C. 485 D. 106、如图所示，将矩形ABCD 纸对折，设折痕为MN ，再把B 点叠在折痕线MN 上，（如图点B’），若 AB =√3 ，则折痕AE 的长为（ ）A. 32√3 B. 34√3 C. 2 D. 2√3 7、如图，将一个边长分别为8，16的矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使C 点与A 点重合，则EF 与AF 的比值为（ ）A. 4 √5B.2√55C. 2D. 538、如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 上的一个动点(不与点B ，C 重合)，AE 的垂直平分线分别交AB ，CD 于点G ，F ．若CF=6DF ，则BE ：EC 的值为( )A. √63 B.√6−12 C. √14−22 D. 6−√142二、填空题（本大题共12题，每题2分共24分）9、在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC 与BC 相交于点D ，若BD=2，CD=1，则AC 的长是________。
难点详解沪教版(上海)六年级数学第二学期第五章有理数必考点解析试卷(含答案详解)
沪教版（上海）六年级数学第二学期第五章有理数必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、2021年成都市常住人口约20900000人，这个数据用科学计数法表示为（）A ．62.0910⨯B ．620.910⨯C ．72.0910⨯D ．82.0910⨯2、对于代数式2m -+的值，下列说法正确的是（）A ．比2-大B ．比2-小C ．比m 大D ．比m 小 3、在0、﹣1、12、﹣1.5这四个数中最小的数是（）A ．0B ．-1C ．12D ．﹣1.54、下列四个数中，属于负数的是（）．A ．3-B ．3C ．πD ．05、有理数a 、b 在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A ．a +b =0B ．a +b ＞0C ．a +b ＜0D ．a -b ＞06、湖南省第十一次党代会以来，我省6820000建档立卡贫困人口全部脱贫．数据6820000用科学记数法表示正确的是（）A ．66.8210⨯B ．568.210⨯C ．56.8210⨯D ．70.68210⨯7、桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过n 次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则n 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．58、2020年12月17 日凌晨，探月工程嫦娥五号返回器成功着陆，标志着我国首次月球采样返回任务圆满完成。
月球表面的温度，中午大约是101℃，半夜大约是-153℃，中午比半夜高多少度?（ ）A ．52℃B ．-52℃C ．254℃D ．-254℃9、第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日在北京开幕．此次冬奥会的单板大跳台项目场馆坐落在北京市首钢园区的北京冬季奥林匹克公园，园区总占地面积171.2公顷即1712000平方米．将1712000用科学记数法表示应为（）A ．3171210⨯B ．71.71210⨯C ．61.71210⨯D ．70.171210⨯10、云南的澄江化石地世界自然遗产博物馆升级改造完工，馆内所收藏的约520000000年前的澄江生物群化石，展示了寒武纪时期的生物多样化场景．将520000000用科学记数法表示应为（）A ．90.5210⨯B ．85.210⨯C ．95.210⨯D ．75210⨯第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、绝对值大于3.5而小于9的所有整数的和等于________．2、某公园划船项目收费标准如下：某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为_________元．3、我们知道地球半径为6371000米，将6371000用科学为________．4、M 、N 是数轴上的两个点，线段MN 的长度为4，若点M 表示的数为2-，则点N 表示的数为______．5、在有理数2，0，﹣1，﹣3中，任意取两个数相加，和最小是_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：（1）（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）．（2）13+（﹣56）﹣（﹣12）﹣23；（3）（125296-+）×（﹣36）． （4）﹣14﹣16×[2﹣（﹣3）2]+9÷（﹣3）×13． 2、某巡警骑摩托车在条东西直大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在A 处，规定向东为正，向西为负，当天行驶情况记录如下（单位：千米）：+9，﹣5，+1，﹣10，+8．（1）点A 在岗亭的______边方向，距离岗亭______千米；（2）若他离开岗亭超过10千米对讲机就会与岗亭值班员失联，请问他这一天有没有失联过？有几次？请说明理由；（3）若摩托车行驶每千米耗油0.06升，这天共耗油多少升？3、计算：31114273⨯÷4、计算：()()3413243⎛⎫-⨯+-÷- ⎪⎝⎭．5、计算：（1）5.6﹣（﹣3.2）；（2）（﹣1.24）﹣（+4.76）；（3）11 ()(2)()22⎡⎤+----⎢⎥⎣⎦；（4）1111(1)()()224-+---+；（5）（﹣1.2）﹣[（﹣1）﹣（+0.3）]．-参考答案-一、单选题1、C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【详解】解：20900000=2.09×107．故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．2、D【分析】根据题意比较−2＋m与−2的大小和−2＋m与m的大小，应用差值法，当a−b＞0，则a＞b，当a−b＜0，则a＜b，逐项进行判定即可得出答案．【详解】根据题意可知，-2+m -(-2)=m ，当m >0时，-2十m 的值比-2大，当m <0时，-2十m 的值比-2小，因为m 的不确定，所以A 选项不符合题意；B 选项也不符合题意；-2+m -m =-2，因为-2< 0，所以-2 +m < m ，所以C 选项不符合题意，D 选项符合题意.故选：D .【点睛】本题考查代数式，解题的关键是利用作差法，本题属于基础题型．3、D【分析】根据有理数的大小比较法则解答．【详解】 解：∵-1=11.5=1.5 ，，1<1.5， ∴-1>-1.5，∴-1.5<-1<0<12，故选：D ．【点睛】此题考查了有理数大小比较法则：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，熟记法则是解题的关键．4、A【分析】根据负数的特征是小于0的数，对各选项进行一一分析即可．【详解】解：-3是小于0的数，是负数，故选项A正确；3是大于0的数是正数，故选项B不正确；π是大于0的数是正数，故选项C不正确；0不是负数，故选项D不正确．故选A．【点睛】本题考查负数的特征，掌握负数的特征是解题关键．5、C【分析】根据点在数轴上的位置判断出a、b的正负以及绝对值的大小，再根据有理数的加法法则判断各式的正负即可．【详解】解：由数轴知：a＜0，b＞0，｜a｜＞｜b｜，∴a+b＜0，a－b＜0，故选：C．【点睛】本题考查根据点在数轴上的位置判断式子的正负，会根据有理数加法法则判断式子的符号是解答的关键．6、A【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【详解】6820000=6．6.8210故选：A．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．7、B【分析】用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，找出最少翻转次数能使杯口全部朝下的情况即可得答案．【详解】用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，开始时+ + + + + +第一次- - - - + +第二次- + + + - +第三次- - - - - -∴n的最小值为3．故选：B．【点睛】本题考查正负数的应用，解题的思路是用正负号来表示杯口的朝向，尝试用最少的次数使杯口全部朝下．8、C【分析】根据温差=高温度-低温度，即可求解．【详解】解：∵温差=高温度-低温度，∴101-（-153）=254℃ ．故选：C【点睛】本题主要考查了有理数减法的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．9、C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将1712000用科学记数法表示为6．1.71210故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10、B【分析】520000000用科学记数法表示成10n a ⨯的形式，其中 5.2a =，8n =，代入可得结果．【详解】解：520000000的绝对值大于10表示成10n a ⨯的形式5.2a =，918n∴520000000表示成85.210⨯故选B ．【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定a n 、的值．二、填空题1、0【分析】根据已知得出3.5＜|x |＜9，求出符合条件的数即可．【详解】绝对值大于3.5而小于9的整数包括±4，±5，±6，±7，±8，故绝对值大于3.5而小于9的所有整数的和等于0．故答案为：0．【点睛】本题考查了对绝对值、相反数的意义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．2、410【分析】根据题意直接分五种情况，分别进行分析计算即可得出结论．【详解】解：∵共有18人，当租两人船时，∴18÷2=9（艘），∵每小时100元，∴租船费用为100×9=900元，当租四人船时，∵18÷4=4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时110元，∴租船费用为110×4+100=540元，当租六人船时，∵18÷6=3（艘），∵每小时140元，∴租船费用为140×3=420元，当租八人船时，∵18÷8=2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时160元，∴租船费用160×2+100=420元当租1艘四人船，1艘六人船，1艘八人船，110+140+160=410元∵900＞540＞420＞410，∴当租1艘四人船，1艘六人船，1艘八人船费用最低是410元.故答案为：410.【点睛】本题主要考查有理数的混合运算与有理数的大小比较，注意运用分类讨论的思想解决问题是解答本题的关键．3、6⨯6.37110【分析】a<，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成科学记数法的表示形式为10na⨯的形式，其中1||10a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n是正数；当原数的绝对值1<时，n是负数．【详解】解：将6371000用科学记数法表示为：6⨯．6.37110故答案为：66.37110⨯．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式为10na⨯的形式，其中1||10a<，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4、-6【分析】设N 点表示x ，根据数轴上两点间的距离公式可列出24x --=，再进行分类讨论，即可得出结论．【详解】解：设N 点表示x ，则24x --=，∴24x --=或24x --=-解得6x =-或2x =．故答案为：-6或2．【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．5、-4【分析】根据题意两数相加，求出最小的和．【详解】解：由题意得：和要为最小，只有两个负数相加才会得到最小值，∴和的最小值为（﹣1）+（﹣3）＝﹣4；故答案为：﹣4．【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键．三、解答题1、（1）2（2）23-（4）56【分析】（1）减法转化为加法，再进一步计算即可；（2）减法转化为加法，再进一步计算即可；（3）利用乘法分配律展开，再进一步计算即可；（4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可．（1）解：原式＝4.3＋4−2.3−4＝2；（2） 解：原式＝13−56＋12−23＝−23；（3） 解：原式＝12×（−36）−29×（−36）＋56×（−36）＝−18＋8−30＝−40；（4）解：原式＝−1−16×（2−9）＋（−3）×13＝−1−16×（−7）−1＝−1＋76−1＝−56． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则．2、（1）东；3；（2）没有失联过，理由见解析；（3）共耗油1.98升．（1）把记录的各数相加，结果为正数在岗亭东边，负数在岗亭西边，绝对值为距离岗亭的距离；（2）分别计算每次行驶后距离岗亭的距离，找出绝对值超过10千米的次数即可得答案；（3）所有的路程都需耗油，所以应用绝对值算出所走的路程之和，再乘以0.06即可得答案．（1）+9+(﹣5)+1+(﹣10)+8=+3，3+=3，∴点A在岗亭的东边方向，距离岗亭3千米．故答案为：东；3（2）第一次距岗亭9千米，+-=4（千米），第二次距岗亭9(5)+-+=5（千米），第三次距岗亭9(5)1+-++-=5（千米），第四次距岗亭9(5)1(10)+-++-+=3（千米），第五次距岗亭9(5)1(10)8∴这一天没有失联过．（3）++-+++-++=33（千米）摩托车行驶的总距离为951108∵摩托车行驶每千米耗油0.06升，∴33×0.06=1.98（升）．答：这天共耗油1.98升．【点睛】本题考查正负数意义、绝对值的意义及有理数混合运算，正确理解正负数表示的意义及熟练掌握有理数混合运算法则是解题关键.3、607【详解】 解：原式1071473=⨯÷ 1031477=⨯⨯ 3207=⨯ 607= 【点睛】此题考查有理数的乘除混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解答此题的关键.4、1【分析】根据含有乘方的有理数混合运算性质计算，即可得到答案．【详解】()()3413243⎛⎫-⨯+-÷- ⎪⎝⎭ ()()13843=-⨯+-÷- 12=-+1=．【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握含有乘方的有理数混合运算性质，从而完成求解．5、（1）8.8（2）﹣6（3）2（4）1 4（5）0.1【分析】（1）根据有理数的减法运算法则进行计算；（2）根据有理数的减法运算法则进行计算；（3）先算小括号里面的，然后再算括号外面的；（4）将减法统一成加法，然后使用加法交换律和加法结合律进行简便计算；（5）先算小括号里面的，然后再算括号外面的．（1）5.6﹣（﹣3.2）＝5.6+3.2＝8.8；（2）（﹣1.24）﹣（+4.76）＝（﹣1.24）+（﹣4.76）＝﹣6（3）11()(2)()22⎡⎤+----⎢⎥⎣⎦＝11(2)22--+ ＝13()22-- ＝1322+＝2（4）1111(1)()()224-+---+ ＝1111(1)()224+-++- ＝1111(1)()224⎡⎤+-++-⎢⎥⎣⎦ ＝10()4+- ＝14-（5）（﹣1.2）﹣[（﹣1）﹣（+0.3）]＝﹣1.2﹣[（﹣1）+（﹣0.3）]＝﹣1.2﹣（﹣1.3）＝﹣1.2+1.3＝0.1．【点睛】本题考查有理数的加减运算，掌握有理数加减运算法则（同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加仍得这个数．减去一个数，等于加上这个数的相反数）是解题关键．。
沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第19讲 勾股定理及两点间的距离公式(解析版)
本章节主要讲解两部分内容，一是直角三角形的三条边之间的数量关系即勾股定理，包括勾股定理的证明、应用及逆定理的证明和应用两方面；二是两点间的距离公式．难点是勾股定理的证明及应用，它是解决直角三角形三边之间关系的常用方法，是一个工具公式，在以后的学习中运用非常广泛．1、勾股定理：（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．勾股定理及两点间的距离公式知识结构模块一：勾股定理的证明及应用例题解析知识精讲内容分析【例1】 （1）在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =1，则AB =_________； （2）在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =45°，AB =3，则AC =_________．【答案】（1）2；（2）223．【解析】（1）由直角三角形性质推论即可得结论；（2）设x BC AC ==，则由勾股定理可得：2223=+x x ，解得：223=x ， ∴223=AC ． 【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的综合应用．【例2】 （1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．【答案】（1）349；（2）15．【解析】（1）作出等边三角形的高，则可得高为323，则三角形的面积为349； （2）作底边上的高，由三线合一性质和勾股定理可得底边上的高为15 【总结】考察等腰三角形的三线合一和勾股定理的综合运用．【例3】 （1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________； （3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．【答案】（1）5或7；（2）512；（3）215．【解析】（1）3和4可以是两直角边长，也可以是一个直角边和斜边； （2）由勾股定理可得：斜边长为5，则由等面积法可知：三角形斜边上的高为512543=⨯；（3）∵2、2、4不能构成三角形，所以三角形的三边长为4、4、2， 作等腰三角底边上的高，则由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可得：底边上的高为15，则由等面积法可知：此三角形腰上的高为2154152=⨯． 【总结】考察等腰三角形的性质和勾股定理的应用，注意分类讨论．【例4】 （1）若直角三角形的三边长分别为N +1，N +2，N +3则N 的值是____________；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．【答案】（1）2；（2）24．【解析】（1）由题意有：()()()222321+=+++N N N ，解：2=N （负值舍去）；（2）可设直角三角形的三边长分别为N -2，N ，N +2 ∴()()22222+=+-N N N ，∴8=N∴三角形的周长为243=N【总结】考察勾股定理的应用．【例5】 如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周长． 【答案】324+．【解析】∵∠ACB =90°，D 是斜边AB 的中点，∴AB AD CD BD 21===．∵∠B=60°，∴△BDC 是等边三角形，∴BC CD =．∵∠ACB =90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴4=AB ．∵AB AD CD BD 21===，∴2=CD ．∵∠ACB =90°，BC =2，4=AB ，∴322422=-=AC ，∴3243222+=++=++=AC CD AD C ADC △ 【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的运用．【例6】 如图，已知：R t △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．【答案】17120．【解析】设9AC x AB x ==+，， ∵222CB AC AB +=，∴()222159+=+x x ，解得：8=x∴817AC AB ==，由等面积法可知：1712017158=÷⨯=÷⋅=AB BC AC CD ． 【总结】考察勾股定理和等面积法的应用．【例7】 已知已直角三角形的周长为4+26，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．【答案】52．【解析】∵斜边上的中线为2，所以斜边长为4．A BCDBC D∵直角三角形的周长为4+26，∴两直角边之和为26． ∵斜边长为4，则两直角边的平方和为16，∴设两直角边分别为x y ，，则有⎩⎨⎧=+=+261622y x y x ，解得：()()52222=+-+=y x y x xy ，∴直角三角形的面积为25． 【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意方法的运用．【例8】 如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路， 请你求出这条小路的长（结果保留根号）． 【答案】3100100+．【解析】根据垂线段最短，过C 作垂线的垂线段是最短的． 过C 作CD ⊥MN ，垂足为D ，过B 作BE ⊥AC ，垂足为E ． 由题意可知：︒=∠30CAB ，︒=∠75CBM ，∴︒=∠45BCA ．在Rt △ABE 中，︒=∠30CAB ，400=AB ，∴20021==AB BE ．∴由勾股定理可得：3200=AE在Rt △CBE 中，︒=∠45BCA ，200=BE ，∴200=CE ∴2002200+=+=CE AE AC在Rt △ACD 中，︒=∠30CAB ，3200200+=AC ，∴3100100+=CD ．【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用．【例9】 如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒? 【答案】24秒．【解析】过A 做AB ⊥MN ，垂足为B ．A BCM M ND ME M APQ MNB在Rt △ABP 中，∠QPN =30°，160=AP ，∴8021==AP AB∵80<100，所以学校会受到噪音的影响．假设在C 处开始受到噪音影响，在D 处开始不受影响， ∴100100==AD CA ，由勾股定理可得：60==BD CB∴受影响的路程为120米=0.12千米∴学校受影响的时间为秒2436001812.0=⨯．【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意对题意的分析．【例10】 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，求出重叠部分△AFC 的面积． 【答案】10．【解析】∵AB DC ∥，ACF DCA ∠=∠，∴CAF ACF ∠=∠，∴FC AF = 设x FC AF ==，则x FB -=8∵222CF BF BC =+，∴()22284x x =-+，解得：5=x∴10452121=⨯⨯=⋅⋅=CB AF S AFC △ 【总结】考察翻折图形的性质和勾股定理的应用．【例11】 如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）． 【答案】10万元．【解析】延长AC 至点E ，使得CE =AC ，连接EB 交CD 于一点，，则此时铺设水管费用最低． 过E 作EF ∥CD ，交BD 延长线于F ∵四边形CEFD 是长方形，∴1==DF CEABCDEFABC D AB C D PEF∵34EF BF ==，，∴由勾股定理可得：5=BE 此时5==+=+BE BP EP PB AP ∴总费用为1025=⨯万元．【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．【例12】 如图，在直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，E 、F 是BC 上的两点，且∠EAF =45°，求证：222+=BE CF EF ． 【答案】见解析【解析】过C 作CG ⊥BC ，使CG CE =，连接AG 、FG ．∵∠BAC =90°，AB =AC ， ∴45B BCA ∠=∠=．∵CG ⊥BC ， ∴45ACG BCA ∠=∠=， ∴ACG B ∠=∠． ∵AB =AC ，BE =CG ， ∴AEB AGC △≌△∴AE AG BAE CAG =∠=∠，． ∵︒=∠45EAF ， ∴︒=∠+∠45CAF BAE ，∴45CAF CAG ∠+∠=︒，即45FAG ∠=︒， ∴GAF EAF ∠=∠∵AF AF =，AE AG =， ∴AFG AFE △≌△， ∴EF GF =．在Rt CFG 中，由勾股定理，可得：222GF CG CF =+， 又EF GF =，CG CE =，∴222+=BE CF EF ．【总结】本题综合性较强，本质上是对三角形的旋转，同时结合了勾股定理进行解题．ABC EFG2、 逆定理：（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．【例13】 下列命题中是假命题的是（）A ． 在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ． 在△ABC 中，若2()()a b c b c =+-，则△ABC 是直角三角形 C ． 在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形D ． △ABC 中，若::5:4:3a b c =，则△ABC 是直角三角形 【答案】C【解析】A 答案中：C A B ∠=∠+∠，且C A B ∠-︒=∠+∠180，∴︒=∠90C ，所以是直角三角形；B 答案中：222c b a -=，∴222b c a =+，所以是直角三角形；C 答案中：x A x C x B 5,4,3=∠=∠=∠，∴︒=++180543x x x ，∴︒=15x ，∴︒=∠75C ， ∴不是直角三角形；D 答案中：设543a m b m c m ===，，，∵222c b a +=，所以是直角三角形． 【总结】考察判断直角三角形的方法．模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用例题解析知识精讲【例14】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足222()()0a b a b c -+-=则△ABC 是________三角形． 【答案】（1）直角三角形；（2）等腰三角形或直角三角形．【解析】（1）直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，三边也满足勾股定理，所以得到的三角形是直角三角形；（2）由题意有：b a =或222c b a =+，∴三角形为等腰三角形或直角三角形． 【总结】考察勾股定理的应用．【例15】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．【答案】（1）24米；（2）15米．【解析】（1）由题意可知：折断的旗杆的部分长度为1512922=+，则旗杆长为9+15=24米；（2）由题意可得：可达到建筑物的高度为1581722=-． 【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．【例16】 ABC ∆的三边分别为A 、B 、C ，且满足222506810a b c a b c +++=++， 判断△ABC 的形状．【解析】∵222506810a b c a b c +++=++，∴()()()0543222=-+-+-c b a ，∴345a b c ===，，．∵222c b a =+，∴△ABC 是直角三角形．【总结】考察完全平方公式的应用和勾股定理逆定理的运用．【例17】 如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ． （1） 若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2） 若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?【答案】（1）10=AE ；（2）15AE =．ABCDE E’【解析】（1）设25AE x BE x ==-，则，∴()222222152510ED x EC x =+=-+，，∵EC ED =，∴()2222102515+-=+x x ，∴10=x ，即10=AE ．（2）找出C 点关于AB 的对称点F ，联结DF 交AB 于点E '， 则此时的E '满足C 、D 两村到E 站的距离和最小， 设x BE x AE -==25，，∴()222222152510ED x EF x =+=-+，， ∵225252522=+=DF ，∴()2251025152222=+-++x x ，解得：15x =，∴15AE =【总结】考察勾股定理的应用，注意最小值的求法．【例18】 如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB的度数． 【答案】135°． 【解析】连接AC∵AB =BC =2，∠B =90°，∴222222=+=AC ，︒=∠45BAC ． ∵2213AC AD CD ===，，，∴222CD AC AD =+， ∴︒=∠90DAC ，∴︒=∠+∠=∠135BAC DAC DAB ． 【总结】考察勾股定理及其逆定理的综合运用．【例19】 如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求AE ：BE 的值． 【答案】5：3． 【解析】连接ED ，∵EF 是AD 的垂直平分线，∴ED AE = 设2==BC AB ，x ED AE ==，则x BE -=2∵222ED BD BE =+，∴()22212x x =+-，解得：45=x ． 则434522=-=-=x BE ， ABCD AB CD EF∴3:543:45:==BE AE ． 【总结】考察勾股定理和线段垂直平分线性质的综合运用．【例20】 如图，∆ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，P A =3，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数．【答案】150°．【解析】在BC 的下方作︒=∠60PBD ，在BD 上截取一点D ，使得BD=BP ，连接CD 、PD∵︒=∠+∠60PBC ABP ，︒=∠+∠60PBC DBC ∴CBD ABP ∠=∠∵BC AB =，CBD ABP ∠=∠，BP BD = ∴CBD ABP ≌△△，∴3==AP CD∵︒=∠60PBD ，BP BD =，∴△BPD 为等边三角形，∴4==BP DP ． ∵435DP DC PC ===，，，∴222PC DC DP =+，∴︒=∠90PDC ∴︒=∠+∠=∠150PDC BDP BDC ∵CBD ABP ≌△△， ∴︒=∠=∠150BDC APB【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用．【例21】 如图，P 是凸四边形内一点，过点P 作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，已知AH =3，DH =4，DG =1，GC =5，CF =6，BF =4，且BE -AE =1， 求四边形ABCD 的周长． 【答案】34．【解析】由勾股定理可得：22222PE AE PH AH AP +=+=， 22222PF BF PE BE BP +=+=， 22222PG CG CF PF CP +=+=， 22222PH DH GP DG DP +=+=，等式相加后代入数据可得：2222222454163+++=+++AE BE ，ABCDEFGHPBAP CD整理得：2211BE AE -=，即()()11BE AE BE AE +-=，∵BE -AE =1， 解得：65BE AE ==，． 所以周长为：3415646534+++++++=． 【总结】考察勾股定理的应用，注意解题方法的合理选择．【例22】 已知，如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，设AC =b ，BC =a ，AB =c ，CD =h ． 求证：（1）c h a b +>+；（2）以a b +、c h +、h 为三边可构成一个直角三角形．【解析】（1）由等面积可知：ch ab =，∵222c b a =+，∴()ch c b ab a b a 222222+=++=+，()ch h c h c 2222++=+． ∵ch h c ch c 22222++<+，∴()()22h c b a +<+，∴c h a b +>+．（2）∵()ch h c h c 2222++=+；()ab b a h b a h 222222+++=++，222c b a =+，ch ab = ∴()()222b a h h c ++=+，∴以a b +、c h +、h 为三边可构成一个直角三角形．【总结】考察勾股定理及其逆定理的应用、等面积法的综合应用．3、 距离公式：如果平面内有两点11()A x y ，、22()B x y ，，则A 、B 两点间的距离为：221212()()x x y y -+-．（1） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在x 轴上或平行于x 轴的直线上，则有12y y =，AB =12||x x -；（2） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在y 轴上或平行于y 轴的直线上，则有12x x =，AB =12||y y -．例题解析模块三：两点间的距离公式知识精讲AB CD【例23】 已知点A （2，2）、B （5，1）．（1） 求A 、B 两点间的距离； （2） 在x 轴上找一点C ，使AC =BC ． 【答案】（1）10；（2）()30C ，． 【解析】（1）()()10125222=-+-=AB ；（2）设()0C x ，， ∵AC =BC ，∴()()22221522+-=+-x x ，3=x ，∴()30C ，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例24】 （1）已知A （x ，3）、B （3，x +1）之间的距离为5，则x 的值是_________；（2）已知点P 在第二、四象限的平分线上，且到Q （2，-3）的距离为5，则点P 的坐标为_________．【答案】（1）16-=或x ；（2）()66P -，或()11P -，． 【解析】（1）由题意有：()()513322=--+-x x ，∴16-=或x ；（2）设()a a P -，，∴()()53222=+-+-a a ，∴16-=或a ，∴()66P -，或()11P -，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例25】 （1）以点A （1，2）、B （-2，-1），C （4，-1）为顶点的三角形是________；（2）已知点A （0，3）、B （0，-1），△ABC 是等边三角形，则点C 的坐标是_______．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）()1C 或()1C -．【解析】（1）∵233322=+=AB ，60622=+=BC ，233322=+=AC ，∴222BC AC AB =+，AC AB =， ∴该三角形为等腰直角三角形； （2）()C a b ，，（3）∵4=AB ，∴()4322=-+=b a AC ，()4122=++=b a BC ，解得：a =±，1b =，∴()1C 或()1C -． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例26】 已知直角坐标平面内的点A （4，1）、B （6，3），在坐标轴上求点P ，使P A =PB ． 【答案】()70P ，或()07P ，． 【解析】①当点P 在x 轴上时，设()0P x ，，∵P A =PB ，∴()()22223614+-=+-x x ，7=x ，∴()70P ，②当点P 在y 轴上时， 设()0P y ，，∵P A =PB ，∴()()22226341+-=+-y y ，7=y ，∴()07P ，∴满足条件的P 点的坐标为()70P ，或()07P ，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用，由于点P 在坐标轴上，注意分类讨论．【例27】 已知直角坐标平面内的点P （4，m ），且点P 到点A （-2，3）、B （-1，-2）的距离相等，求点P 的坐标．【答案】845P ⎛⎫⎪⎝⎭，．【解析】由题意可知：()()22225263++=+-m m ，解得：58=m ，∴845P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例28】 已知点A （2，3）B （4，5），在x 轴上是否存在点P ，使得PA PB +的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由． 【答案】存在，最小值为172．【解析】找出A （2，3）关于x 轴对称的点为()23C -，，连接BC ，则PA PB +的值最小值为1728222=+=BC ． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例29】 已知直角坐标平面内的点A （4，32）、B （6，3），在x 轴上求一点C ，使得 △ABC 是等腰三角形．【答案】10704C ⎛⎫⎪⎝⎭，或()60C ，或()20C ，． 【解析】设()0C x ，， 当CA =CB 时，∴()()222236234+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ，16107=x ，∴10704C ⎛⎫⎪⎝⎭，； 当CA =AB 时，∴()2222223234+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x ，62或=x ，∴()60C ，或()20C ，； 当CB =AB 时，∴()222222336+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-x ，方程无解，所以不存在．综上，满足条件的点C 的坐标为：10704C ⎛⎫⎪⎝⎭，或()60C ，或()20C ，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用，注意分类讨论．【例30】 已知点A （4，0）、B （2，-1），点C 的坐标是（x ，2-x ），若△ABC 是等腰三角形，求C 的坐标．【答案】7322C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或662622C ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭，或666222C ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，或()11C -，或()42C -，． 【解析】由两点间距离公式，可得：22(42)15AB =-+=，22(4)(2)AC x x =-+-，22(12)(2)BC x x =---+-．当CA =CB 时，即()()()()222221224x x x x +--+-=-+-，解得：27=x ，∴7322C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，； 当CA =AB 时，即()()22221224+=-+-x x ，解得：266266-+=或x ，∴662622C ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭，或666222C ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，；当CB =AB 时，即()()222221212+=+--+-x x ，解得：14x x ==或，所以()11C -，或()42C -，． 综上，满足条件的C 点的坐标为：7322⎛⎫- ⎪⎝⎭，或662622⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭，或666222⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭， 或()11-，或()42-，． 【总结】本题主要考察两点之间距离公式及勾股定理的应用，由于题目中并没有说明斜边是哪条边，因此要分类讨论．随堂检测【习题1】 六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm ）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）．A ． 2、4、8B ．4、8、10C ．6、8、10D ．8、10、12【答案】C【解析】只有C 答案满足勾股定理逆定理． 【总结】考察勾股定理逆定理的应用．【习题2】 已知点A （2，4）B （-1，-3）C （-3，-2），那么△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不是【答案】D【解析】∵587322=+=AB ，51222=+=BC ，616522=+=AC ，∴222BC AC AB ≠+，∴该三角形不是直角三角形，也不是等腰三角形． 【总结】考察两点之间的距离公式的应用．【习题3】 （1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________． 【答案】（1）2，22或22，；（2）13或119．【解析】两题目中的边长可能为两直角边或一条直角边和一条斜边． 【总结】考察勾股定理的应用．【习题4】 如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 上的点F 处，AB =8，AD =10．求EC 的长． 【答案】3=CE ．【解析】由翻折性质，可知：10==AF AD ，∴622=-=AB AF BF ，∴4610=-=-=BF BC CF ． 设x DE EF x EC -===8，∵222EF CF CE =+，∴()22284x x -=+，解得：3=x ．∴3=CE ．A BCDEF【总结】考察勾股定理的应用．【习题5】 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =9，BC =12，CD =15，DA =152．求四边形ABCD 的面积．【答案】2333．【解析】联结AC ，过C 作CE ⊥AD∵AB ⊥BC ，AB = 9，BC =12，∴15=AC ．∵CD =15，15=AC ，152，∴222CD AC AD +=， ∴ACD 为直角三角形．∴1122ABC ADC ABCD S S S AB BC AD EC =+=⋅⋅+⋅⋅△△四边形111523339121522222=⨯⨯+⨯⨯=． 【总结】考察勾股定理及其逆定理的综合运用．【习题6】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB =5，AC =3，AD =2．求：△ABC的面积． 【答案】6．【解析】延长AD 至E ，使得DF=AD ，联结CE∵CD BD =，CDE ADB ∠=∠，DF=AD ， ∴CDE ABD ≌△△，∴5==CE AB∵345AC AE CE ===，，，∴222CE AE AC =+， ∴︒=∠90DAC ，∴321=⋅⋅=AC AD S ADC △． ∵CD BD =，∴62==ADC ABC S S △△．【总结】考察勾股定理逆定理的应用和等底同高的面积相等的应用．AB CDABDCE【习题7】 若A 、B 、C 是三角形的边长且关于x 的方程222()20x a b x c ab -+++=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【答案】直角三角形．【解析】由题意可知：()[]()024222=+-+-ab c b a ，∴222c b a =+，∴这个三角形为直角三角形． 【总结】考察勾股定理逆定理的应用．【习题8】 如图，在一条公路上有P 、Q 两个车站，相距27km ，A 、B 是两个村庄，AP ⊥PQ ，BQ ⊥PQ ，且AP =15km ，BQ =24km ，现在要在公路上建立一个商场M 使得A 、B 两个村庄到商场M 的距离相等，求PM 的长 ． 【答案】20=PM ．【解析】设x MQ x PM -==27，，∵MB MA =，∴()2222242715+-=+x x ，解得：20=x ， ∴20=PM ．【总结】考察勾股定理的应用及对最小值的应用．【习题9】 已知点()()2814A B -，，,点C 在y 轴上，使ABC ∆为直角直角三角形，求满足条件的点C 的坐标．【答案】()066C +，或()066C -，或1902C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1304C ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【解析】设()0C y ，，则24(8)AC y =+-，21(4)BC y =+-，22345AB =+=．当222AB BC AC =+时，则()()222222431428+=+-++-y y ， 解得：6666y y =+=-或，∴()066C +，或()066C -，； 当222BC AB AC =+时，则()()222222144328+-=+++-y y ，解得：219=y ， ∴1902C ⎛⎫⎪⎝⎭，；当222AC AB BC =+时，则()()222222284314+-=+++-y y ，解得：413=y ， ∴1304C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．∴综上所述，满足条件的C 点的坐标为：()066C +，或()066C -，或1902C ⎛⎫⎪⎝⎭，或 1304C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【总结】考察两点之间的距离公式的运用，注意分类讨论．ABQPM【习题10】 如图，在ABC ∆中，90ACB AC BC M ∠==，，是ABC ∆内一点，且312AM BM CM ===，，,求BMC ∠的度数．【答案】135°．【解析】在过点C 作CD ⊥CM 于点C ，在CD 上截取一点D ，使得CD=CM ，连接BD∵︒=∠+∠90DCA ACM ，︒=∠+∠90BCM ACM ∴BCM DCA ∠=∠∵BC AC =，BCM DCA ∠=∠，CM CD = ∴BCM ACD ≌△△， ∴1==AD BM∵︒=∠90MCD ，CM CD =， ∴22=DM ，︒=∠45CDM ∵1223DA DM AM ===，，， ∴222AM DM DA =+， ∴︒=∠90ADM∴︒=∠+∠=∠135CDM ADM ADC ∵BCM ACD ≌△△， ∴︒=∠=∠135ADC BMC【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用．ABCMD【习题11】 若在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠ACB =90°，则222a b c +=试用两种方法证明．【解析】方法一：如图，△CDE ≌△ADE ，且B 、C 、D 在一条直线上，联结AE∵△CDE ≌△ADE ，∴CED ACB ∠=∠∵︒=∠+∠90CED ECD ，∴︒=∠+∠90CED ACB ，∴︒=∠90ACE∴梯形ABDE 的面积为()()22121221c ab b a b a +⨯=++整理得：222a b c +=，即得证．方法二、如图，由四个△ABC 拼成以下图形， 则四边形BCEG 和四边形ADFH 都为正方形∵四边形BCEG 的面积为2c ，∴四边形ADFH 的面积为()22214b a c ab +=+⨯，整理得：222a b c +=，即得证．【总结】本题主要考查学生对勾股定理的理解及通过几何说理方法说明定理的正确性．【作业1】 下列命题中，正确的有()个（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 （2） 有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 （3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】（1）（2）正确，（3）错误，分锐角三角形和钝角三角形两种情况．故选C ． 【总结】考察三角形全等的判定．【作业2】 如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A =______． 【答案】22．【解析】根据勾股定理得A 的面积等于另外两正方形面积之差． 【总结】考察勾股定理的应用．【作业3】 如图，Rt ABC ∆中，斜边1AB =，则222AB BC AC ++的值是_________． 【答案】2．【解析】222=1+1=2AB BC AC ++． 【总结】考察勾股定理的应用．【作业4】 已知点()35A -，，点B 的横坐标为-3，且A 、B 两点之间的距离为10，那么点B 的坐标是____________． 【答案】()()33313B B ---，或，． 【解析】设()3B m -，，∵BA =10，∴()106522=++m ，解得：133-=或m ，∴()()33313B B ---，或，． 【总结】考察两点之间的距离公式的应用．【作业5】 现将直角三角形ABC 的直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，点C与点E 重合，已知AC =3，BC =4，则CD 等于_____________.课后作业5072A【答案】23=CD ． 【解析】由翻折性质，可得：3==AE AC ，∴2=BE ．设4CD DE x DB x ===-，则，∵222BD BE DE =+，∴()22242x x -=+，解得：23=x ，∴23=CD ． 【总结】考察翻折性质及勾股定理的综合应用．【作业6】 如果ABC ∆的周长为12，而22AB BC AC AB BC +=-=，，那么ABC ∆的形状是____________．【答案】直角三角形．【解析】∵12=++AC BC AB ，22AB BC AC AB BC +=-=，， 联立方程，解得：534AB BC AC ===，，． ∵222CB AC AB +=，∴ABC ∆为直角三角形． 【总结】考察勾股定理逆定理的应用．【作业7】 已知等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，DBC ∆为等边三角形，那么A 、D两点的距离为_______. 【答案】13-=AD 或13+．【解析】∵CD BD AC AB ==，，∴DA 垂直平分BC ．设DA 交BC 于E ，∵等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，∴1=AE∵DBC ∆为等边三角形，∴根据勾股定理和直角三角形的性质可得：3=DE 当A 点在DBC ∆内部时，13-=AD ； 当A 点在DBC ∆外部时，13+=AD ．【总结】考察勾股定理和直角三角形的性质的综合运用，注意分类讨论．【作业8】 已知：如图，已知在Rt ABC ∆中，9030B C ∠=∠=，，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转30后得到APQ ∆，若1AB =，则两个三角形重叠部分的面积为_________. 【答案】63．【解析】设AC 与PQ 相交于D由题意可得：︒=∠30BAO ，︒=∠30PAD ，1==AB AP ∵︒=∠90P ，︒=∠30PAD ，∴设2PD x AD x ==，ABCQPD∴()2221x x =+，解得：33=x ． ∴6321=⋅⋅=PD AP S APD △． 【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的综合运用．【作业9】 已知：如图，四边形ABCD 的三边（AB 、BC 、CD ）和BD 都为5厘米，动点P 从A 出发（A B D →→），速度为2厘米/秒，动点Q 从点D 出发（D C B A →→→）到A ，速度为2.8厘米/秒，5秒后P 、Q 相距3厘米，试确定5秒时APQ ∆的形状. 【答案】直角三角形．【解析】P 点的运动路程为10厘米，则此时P 与D 重合；Q 点的运动路程为14厘米，此时BQ =4厘米． ∵534===BP PQ BQ ，，∴△BPQ 为直角三角形，且︒=∠90BQP ，即︒=∠90AQP ． ∴APQ ∆的形状为直角三角形．【总结】考察动点背景下勾股定理逆定理的运用，注意对动点运动路线的判断．【作业10】 阅读下列题目的解题过程： 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状. 解：222244a c b c a b -=-（A ），()()()2222222c a b a b a b ∴-=+-(B ) 222c a b ∴=+(C )，∴ABC ∆是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错? 请写出该步的代号：____________； （2）错误的原因：_______________；（3）本题正确的结论为：____________.【答案】（1）C ；（2）两边同时除一个不为零的数，等式成立．（3）直角三角形或者等 腰三角形．【解析】C 步骤应该为：222220c a b a b =+-=或， 所以应为直角三角形或者等腰三角形．ABCDQP【总结】考察因式分解和勾股定理的综合应用．【作业11】 如图，一根长度为50CM 的木棒的两端系着一根长度为70CM 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【答案】满足条件的点有2个，一段长为30厘米，一段长为40厘米． 【解析】设其中的一段长为x cm ，则另一段长为()cm x -70∴()2225070=-+x x ，解得：4030或=x ．∴满足条件的点有2个，一段长为30厘米，一段长为40厘米． 【总结】考察勾股定理的应用，注意两个点的考虑．【作业12】 在直角坐标平面内，已知()()1054A B -，，，，在坐标轴上求一点P ，使得PAB ∆为直角三角形，求点P 的坐标. 【答案】()05P ，或()01P -，或302P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或2302P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()50P ，或()10P -，或2303P ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【解析】当点P 在y 轴上时，设()0P y ，， 当222AB BP AP =+，∴()22222246541+=+-++y y ，解得：15-=或y ， ∴()05P ，或()01P -，； 当222BP AB AP =+，∴()22222254461+-=+++y y ，解得：23-=y ，∴302P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，； 当222AP AB BP =+，∴()22222214654+=+++-y y ，解得：223=y ，∴2302P ⎛⎫⎪⎝⎭，；当点P 在x 轴上时，设()0P x ，， 当222AB BP AP =+，∴()()222222464501+=+-+++x x ，解得：15-=或x ， ∴()50P ，或()10P -， 当222BP AB AP =+，∴()()222222454601+-=++++x x ，解得：1-=x ，∴()10P -，当222AP AB BP =+，∴()()222222014645++=+++-x x ，解得：323=x ，∴2303P ⎛⎫⎪⎝⎭，． 综上所述：满足条件的点P 的坐标为：()05P ，或()01P -，或302P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或2302P ⎛⎫⎪⎝⎭，或 ()50P ，或()10P -，或2303P ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【总结】考察勾股定理的运用和两点之间的距离公式的综合应用，本题综合性较强，要进行多角度的分类讨论．。
沪教版(五四学制)数学八上 19.10 两点的距离公式 教案(表格式)
A.1 B. C. D.
直接应用公式求两点距离，体会公式运用的方法,掌握解题格式.
通过数字教材练习，统计数据，分析问题,巩固要点.
探
究
活
动
三、合作学习，培养能力
探究1.已知直角坐标平面内的△ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为(-1,4)、(-4,-2)、(2,-5)，试判断△ABC的形状．
通过师生互动，生生互动，交流分享得到两点距离公式的经验与体会,掌握要点.
同学将完善后的预习单拍照插入课本，以便复习巩固.
运用数字教材圈划功能圈划两点的距离公式,突出重点.
公
式
初
步
应
用
二、公式应用,巩固新知
例题1.知直角坐标平面内的两点A(-1,4)、B(-4,-2)，求A、B两点的距离．
Байду номын сангаас解：∵
∴
即时检测1：数字教材习题一
通过微视频预学习,让学生感悟新知,为后续学习提供资源.
课堂分享
一、预学交流，引入新课
交流预学单问题4、问题5，交流得出直角坐标平面内任意两点 两点间的距离AB的思路，并验证 的两种特殊情况。
两点的距离公式：
如果已知直角坐标平面内任意两点 ,
那么A、B两点的距离 ．
注：1.当 ， 时AB= ；
2.当 ， 时AB= .
教学目标
教学目标：
1．经历探求直角坐标平面内两点的距离的过程，掌握两点间的距离公式；
2．初步学会运用两点的距离公式来解决简单的几何问题，体会数形结合、分类讨论和方程的数学思想；
3. 通过参与课堂活动，体会合作学习乐趣，提高学习数学兴趣。
过程设计
上海教育版数学八上19.10《平面上两点间的距离》同步练习
19.10平面上两点间的距离公式一、课本巩固练习1：（1）求A(-1,3)、B （2，5）两点之间的距离；（2）已知A （0，10），B （a ，-5）两点之间的距离为17，求实数a 的值．2：已知三角形ABC 的三个顶点1(1,0),(1,0),(,)22A B C -，试判断ABC ∆的形状．3：已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),A -(2,1),(4,7)B C --，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程．4．已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系， 证明：12AM BC =．二、基础过关1.( )()A 两点(a,b )与(1,-2)间的距离()B 两点(a,b )与(-1,2)间的距离()C 两点(a,b )与(1,2)间的距离()D 两点(a,b )与(-1,-2)间的距离2.以A (3,-1), B (1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为 ( )()A 2x +y -5=0 ()B 2x +y +6=0()C x -2y =0 ()D x -2y -8=03. 线段AB 的中点坐标是(-2,3),又点A 的坐标是(2,-1),则点B 的坐标是____________________．4．已知点(2,3),A -，若点P 在直线70x y --=上，求取最小值．5: 已知直线1:12l y x =-，（1）求点(3,4)P 关于l 对称的点Q ；（2）求l 关于点(2,3)对称的直线方程．．6：一条光线经过点(2,3)P ,射在直线10x y ++=上，反射后，经过点(1,1)A ，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．7．点(-1,2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐 标为( ) ()A (1,4) ()B (-1,4) ()C (1,-4) ()D (-1,-4)2．直线3x-y-2=0关于x 轴对称的直线方程为____________________．3．已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求D 点的坐标,使四边形ABCD 为等腰梯形．4．已知定点(2,2)A ，(8,4)B ，x R ∈ .。
2020-2021学年沪教版(上海)高二数学下学期同步练习11.4 点到直线的距离(第二课时)
11.4 点到直线的距离（第二课时）同步练习一．填空题1. 点()1,0-到直线30x +=的距离为___________.2. 若10x y ++=_____________.3. 过原点且与()()2,3,4,8A B -两点距离相等的直线l 的方程为_____________.4. 已知点()()3,1,4,0A B -在直线320x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是_________.5. 已知()3,3A 、()1,5B -，直线1y ax =+与线段AB 有公共点，则a 的取值范围是_________6. 两直线121:12,:22l y kx k l y x =++=-+的交点在直线y x =的上方，则实数k 的取值范围是_______.7. 直线()()21y k x k =--∈R 经过定点_____________.二．选择题8. 下列各组点在直线51260x y -+=的异侧的是（ ）A ．()()0,0,10,3B ．()()3,5,6,7C ．()()1,1,15,2D ．()()3,2,5,7-9. 原点关于直线86250x y +-=的对称点的坐标为（ ）A ．32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2525,86⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()3,4D ．()4,310. 在平面内，点()0,2A 和()2,0B 到某条直线的距离为1，这样的直线条数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5三．解答题11.两条平行直线分别过点()0,5B，且距离为5，求两直线方程.1,0A和点()12.直线l过点()m到直线l的距离不大于4，求实数m P且与直线43702,1++=垂直，若点(),6x y的取值范围.13.在直角坐标平面上，点()3,1B到直线l的距离为2，求直线l的方A到直线l的距离为1，点()1,2程.7 2的直线l的方程.14.求过点()0,1且被两条平行直线260,4250x y x y+-=+-=截得弦长为答案：1. 22.3. 1120560x y x y +=+=或4. ()(),712,∞-⋃-+∞5. (]2,4,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭ 6. 11210k k <->或 7. ()2,1-8. C9. D10. C11. 设两直线为()1,5y k x y kx =-=+，55012d k k =⇒==或， 0,551250,512600y y x y x y ∴==--=-+=或12. :3420l x y --=，46423d m ≤⇒≤≤13. 所求直线的斜率显然存在，设方程为y kx b =+，则41033523k k b b ⎧==-⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==⎪⎩或，:304350l y x y ∴-=+-=或. 14. 两条平行直线260,4250x y x y +-=+-=之间的距离为d于是所求直线与这两条平行直线的夹角θ满足cosθ=设所求直线为1y kx=+，3cos4kθ=-，所以:3440l x y+-=；又当斜率不存在时，:0l x=也满足题意.。
沪教版数学八年级上册19.2《—平面上两点间的距离》教学设计
沪教版数学八年级上册19.2《—平面上两点间的距离》教学设计一. 教材分析《—平面上两点间的距离》是沪教版数学八年级上册第19.2节的内容。
本节课主要让学生掌握两点间的距离公式，并能够运用该公式解决实际问题。
教材通过简单的实例引入两点间的距离概念，然后引导学生推导出两点间的距离公式，并加以证明。
教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本概念，对图形的性质和变换有一定的了解。
但他们对两点间的距离公式的推导和证明可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生积极参与，通过观察、操作、思考、讨论等方式，逐步理解两点间的距离公式，并能够运用它解决实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握两点间的距离公式，并能够运用该公式计算两点间的距离。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、讨论等方式，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、合作交流的良好学习习惯。
四. 教学重难点1.重点：两点间的距离公式的推导和证明。
2.难点：理解两点间的距离公式的含义，并能够灵活运用它解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入两点间的距离概念，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生观察、操作、思考、讨论，培养学生的自主学习能力。
3.讲解法：教师讲解两点间的距离公式及其证明，帮助学生理解知识点。
4.练习法：提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片，用于导入和新课呈现。
2.准备PPT，用于展示两点间的距离公式及其证明。
3.准备练习题，用于巩固和拓展所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入两点间的距离概念，如测量两地之间的距离。
让学生观察和思考，引出两点间的距离公式。
2.呈现（10分钟）展示PPT，呈现两点间的距离公式及其证明。
沪教版(上海)六年级第二学期数学5.2数轴(含答案)
5.2数轴一、单选题1．如图，数轴上两点A、B到原点的距离相等，则点B表示的数为（）A．1-B．1C．2-D．22．下列说法正确的是（）A．数轴上的点只表示整数B．两个不同的有理数可以用数轴上的同一个点表示C．数轴上的一个点只能表示一个数D．数轴上的点表示的数都是正数3．如图，数轴上A，B两点所表示的数互为相反数，则下列说法正确的是（）．A．原点O在点B的右侧B．原点O在点A的左侧C．原点O与线段AB的中点重合D．原点O的位置不确定4．下列所画的数轴中正确的是( )A．B．C．D．5．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断正确的是( )A．a，b，0B．ab，0C．b，a，0D．ab，06．一个点在数轴上移动时，它所对应的数，也会有相应的变化．若点A 先从原点开始，先向右移动1个单位长度，再向左移动3个单位长度，这时该点所对应的数是（ ） A ．2 B ．，2 C ．8 D ．，87．实数a，b，c 在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子中正确的是， ，A ．ac > bcB ．|a–b| = a–bC ．–a <–b < cD ．–a–c >–b–c8．下列说法：，规定了原点、正方向的直线是数轴； ，数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数－314在数轴上无法表示出来； ，任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是（ ） A ．①②③④B ．②③④C ．③④D ．④9．数轴上距离原点20个单位长度的点表示的数是（ ） A ．40B ．20C ．﹣20D ．±2010．实数a 、b 、c 、d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．3a >-B ．0bd >C ．||||a b >D ．0b c +>二、填空题11．在数轴上与原点距离等于5的点表示的数是____________。
12．数轴上点A表示的数是2，从点A出发，沿数轴向左移动3个单位长度到达点B，则点B表示的数是______．13．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是_____．，a＜0＜b；，|a|＜|b|；，ab＞0；，b﹣a＞b+a．14．在数轴上，若点P表示2-，则距P点三个单位长度的点表示的数是_______．15．数轴上与原点距离小于227的整数点有___________个．16．如图，半径为1的圆从表示3的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示3的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是_____．三、解答题17．在数轴上表示下列各数：3，0，12，–314，112，–3，－1.5，并用“＞”把这些数连接起来．18．已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数6-，4．（，）数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A，B的距离相等的点的位置表示的有理数为______；（，）若有动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒．用含t的式子分别表示P点到点A和点B的距离．19．如图，根据给出的数轴，解答下列问题：（1）A，B两点之间的距离是；（2）数轴上，线段AB的中点表示的数是．（3）画出与点A距离为2的点．（用不同于A，B的字母在所给的数轴上表示）20．快递小哥骑车从快递公司出发，先向南骑行2km到达A小区，继续向南骑行3km 到达B小区，然后向北骑行9km到C小区，最后回到快递公司．（1）以快递公司为原点，以向北方向为正方向，用1cm表示1km，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个小区的位置；（2）C小区离A小区有多远？快递小哥一共骑了多少千米？参考答案1．C 2．C 3．C 4．D 5．D 6．B 7．D 8．D 9．D 10．C 11．±5． 12．-1 13．，，． 14．5-或1 15．7 16．3－2π 17．如图所示：从大到小依次为：1113101533224.>>>>->->-． 18．（，）10；1-；（，）当10t ≤时，AP t =，10BP t =-；当10t >时，AP t =，10BP t ．19．（1）5；（2）0.5；（3）与点A 距离为2的点为C 、D ，如图所示：20．（1）如图所示：；(2) C 小区离A 小区6km ，快递小哥一共骑了18km。
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《两点间的距离》习题
一、选择题
1、点),(b a 到y 轴的距离是(
)A .a B .||a C .b D .|
|b 2、若x 轴上的点M 到原点及点(5，-3)的距离相等，则M 的坐标是(
)A .(-2，0)B .(1，0)C .)0,23(D .)0,5
17(3、已知两点A )sin ,(cos αα，B )sin ,(cos ββ，则线段AB 的长为()
A .2sin 2β
α-B .2sin 2β
α-C .2cos 2β
α-D .2
cos 2βα-4、已知两点P )sin ,(cos αα，Q )2sin ,2(cos αα，则|PQ |的最大值是(
)A .1B .2C .2D .4
5、设点P (a ，b )，Q (c ，d )是直线y =mx ＋k 上两点，则︱PQ ︱等于(
)A ．︱a －c ︱2
1m +B ．︱a ＋c ︱21m +C ．︱b －d ︱2
1m +D ．︱b ＋d ︱2
1m +二、填空题
6、已知A (6，0)，B (-2，6)，则|AB |=__________________.
7、已知A (1，3)，B (-2，8)，C (7，5)三点，则∆ABC 的形状是_____________.
8、若点Q 与A (0，1)，B (7，2)及x 轴等距离。
则点Q 的坐标为__________________.
9、以E (3，-5)，F (2，2)，G (-5，1)为顶点的三角形的外心的坐标是____________.10、点P )1,1(2m m -+到x 轴的距离小于3且到y 轴的距离不小于1，则m 的取值范围为__________________.
二、答题
11、已知两点A (2，2)，B (5，-2)，试在坐标轴上找点P 使得∠A P B = 90.
12、在矩形ABCD 中，已知相邻两顶点A (-1，3)，B (-2，4)，其对角线的交点在x 轴上，求顶点C 、D 的坐标.
13、在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB 90=，点A 、B 的坐标是A (1，0)，B (3，1)，求顶点C 的坐标.
14、C 为线段AB 上任意一点，以AC 、BC 为边在直线AB 的同侧做正三角形A E C 和C F B ，若它们的重心分别为P ，Q ，用解析法证明：2222||6||||||PQ CA BC AB =++.
参考答案
1、B
2、D
3、B
4、C
5、A
6、10
7、钝角三角形，
8、Q (3，5)或Q (-17，145)
9、(-1，-2)
10、2
0<≤m 11、解：(1)设P ()0,x ，222||||||AB PB PA =+，得6,1=x (2)另设),0('y P ，无解，故P (1，0)，(6，0)
12、解：设对角线的交点P ()0,x ，|P A |=|P B |，解得：P (-5，0)，利用中点坐标公式得：C (-9，-3)，D (-8，-4)
13、解：设),(y x C ，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧-+-=+--=--⋅-2222)1()3()1(1311y x y x x y x y ，解得：C ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,23或⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,25。
14、解：以C 为原点，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系即可得到.。