探究四点共圆的条件教学设计
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图2
问题与情境
师生行为
设计意图
【活动 4】
教师在学生完成一次探究 后，提出新的问题：我们通过四
活动 4 的设计是为了让
问题
边形这种载体研究了四点共圆 学生在掌握活动 3 之后能学
的条件。但这并不是探究四点共
1、过四个点作两个 圆条件唯一的方法，我们还能找 会这种探究问题的方法，并
到另外的载体进行探究。
1.注重了数学教学和德育的思想培养。通过学生的活动，培养了学生学 习数学的方法也使学生体会了团结协作的精神，培养了学生克服困难的精。
2.通过问题探究，突出了过程教学：以学生为自主探索，合作交流搭建 多彩舞台。在探究四点共圆的条件过程中，学生探究的时空少了一点，学生 的困难显得难以接受。特别用反证法证明。
作一个圆？
在证明这个推测时，要让
设计意图
3、作圆的方法有几 种？怎样去判断这四点共 圆？
问题与情境
师生行为
4、按要求画出图形
学生先进行讨论，思考最好 培养学生和情推理能
的证明方法。然后引导学生利用 力。
后，为什么有的四边形的 反证法进行证明。在证明的过程 四个顶点能共圆，有的却 中要让学生考虑到所有的图形
4、仿照活动 3 中的
方法和步骤，对推测出来 的条件应该如何证明？
教学/活动反思
本节课通过对学生感兴趣的热播电视节目《奔跑吧！兄弟》提起学生的 探究兴趣，让学生在小组活动的基础上让学生置身于知识发生，发展，形成 过程中，让学生在观察，猜测，验证，推理，交流等数学活动中感悟和体会。 体现了以问题为中心的自主合作探究的学习方式，真正实现了以学生为主体 的教学理念，具体有以下特点：
附图：
不行，那这些四边形有哪 情况。
些不同呢？它们的边长有
什么共同点？它们的对角
证明过程：
线有什么共同点？和它们
的它们的内角有什么共同 点？
已知：四边形 ABCD 中，
∠B+∠ADC=180º
求证：A、B、C、D 四点共
圆
5、通过活动，同学
证明：利用反证法：
们推测出了四边形的四个 顶点共圆的条件，可我们
学习者分析
通过初中三年数学学习，学生在自主学习运用合理推理与演绎推理认知新 事物，构建新知识，同学交流协作完成有效的数学学习活动中，经历探究， 思考，抽象，预测，验证，反思等过程积累了发现问题，分析问题，解决问 题的基本经验和数学能力。大部分学生能运用合理推理与演绎推理认知新事 物，构建新知识。
活动过程设计
3.本节课利用多媒体教学，辅助教学设备不足，能利用动画和几何画板 效果就会更好。
答案。激发学生的求知欲望，
半径能确定吗？
教师可利用课件进行演示，调动学生的积极性。
让学生能直观的对所作图形进 2、过两个点能作圆 行观察，以验证自己所得到的结
吗？能作几个圆，圆心和 论是否正确。
半径能确定吗？
3、过三个点能作圆
吗？能作几个圆，圆心和 半径能确定吗？过四个点 呢？
【活动 3】 问题
教师提出问题，让学生先进 行思考，然后动手操作，在活动
【活动 2】
教师提出问题，引导学生利 用作图工具作出图形。
活动 2 的设计是为探究
问题
四点共圆的条件作好铺垫工 由学生经过观察，分析，总 作。由简单到复杂，让学生
1、过一个点能作圆
结归纳出简单的点与圆的关系，在亲自动手操作的过程中进 并了解点共圆所必须满足的基 行实验、探究，得到问题的
吗？能作几个圆，圆心和 本条件。
的，余下的点与过三点的 圆是什么位置关系呢？
这与已知条件
∠B+∠ADC=180º 矛盾，故假
设不成立，原结论正确，A、B、
7、圆周角定理有哪 C、D 四点共圆。
些内容？
图1
如图 2，假设 A、B、C、D 8、怎样利用圆中的
四点不共圆，D 点在圆外。 性质定理来解决问题呢？
证明方法与证明图 1 时同 理。
2、先观察具有公共
教给学生一种科学研究的方 学生在进行活动 4 时，教师只做 法。学会发现问题，提出问
斜边的两个直角三角形， 引导，更多的让学生去操作，去 题，解决问题。
这四个点共圆吗？为什 判断，去证明。教师应该重点关
么？
注学生是否会与人合作，并能与
3、再观察一般的图 他人交流思维的过程与结果。
形，探究过这两个三角形 顶点的四点共圆的条件？
能立刻应用到新的问题的探
三角形，要求所做出的图
究中去，解决新的问题。
形中不能出现四边形，你 让学生明确解决问题方法
能作出怎样的图形？它们 的多样性，在解决一个问题的时
有什么特征？
候应该思维活跃，学会借助旧的
知识点去寻找新的知识点。
数学教学是在教师的引
导下，进行的再创造、再发 由于有了活动 3 作为基础，现的教学，通过数学活动，
学校 案例名称 案例类型
探究四点共圆的条件教学设计
探究四点共圆的条件 活动课
教师姓名 学段 九年级
教学/活动目标
1.知识目标：通过教学活动，让学生掌握四点共圆的条件。 2.德育目标：让学生在探究活动中体会团结协作的精神和勇于克服困难的精 神。 3.能力目标：培养学生动手，动脑和表达的能力和学生团结协作的能力。
作圆，那同学们会作吗？ 不同呢？引导学生从四边形的 中，通过交流和沟通，让学
边和角的方面去猜测，探究。 生明确一个问题的解决方
2、这里有一些四边
在学生猜到对角互补的四 案，在推测之后要进验证，
形，同学们尝试着作一下，边形的四个顶点能共圆后，还需 看能否过它们的四个顶点 要引导学生进行证明。
通过证明，让学生感受数学 的严谨性，感受到数学结论 的确定性和证明的必要性，
如图 1：假设 A、B、C、D
只画了几个图形，要想运 用这个推断，还需要证明，四点不共圆，D 点在圆内。
那如何证明呢？
延长 AD 与圆交于点 E，连
接 CE 则：∠B+∠E=180º
6、不在同一条直线 上的三点是能共圆的，如
∵∠ADC >∠E
果四点不能共圆，但其中 的三点是可以保证共圆
∴∠B+∠ADC >180º
问题与情境
师生行为
设计意图
教学/活动过程
【活动 1】 问题
教师演示课件：
从生活中的实际问题入
向学生展示一组《奔跑吧！手，使学生认识到数学总是
兄弟》抢宝图片。
与现实问题密不可分，人们
的需要产生了数学。
演示课件：
将实际问题数学化，让
1、向学生展示一组
提出问题
学生从一些简单的实例中，
《奔跑吧！兄弟》抢宝图 片。
活动 3 的设计是让
中探寻问题的答案。
学生学会利用载体去对问题
进行研究。从单一的点过渡
1、过三点作圆可以
在学生动手画四边形的 到形，让学生由无法下手到
看成是过三角形的顶点作 圆，那过四点作圆同样可
外接圆的过程中，学生会发现有 的四边形的四个顶点能共圆，有
主动探究，一步一步地向探 究的目标靠近。
以看作是过四边形的顶点 的却不行，那这些四边形有什么 在学生动手活动的过程
不断体会从现实世界中寻找 数学模型、建立数学关系的 方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、摄制组安排四个
人从住地去抢宝对每个人 公平吗？你认为怎样安排 才是最公平的？
引导学生对图形的观 察，发现，激发学生的好奇 心和求知欲，并在运用数学
对于问题 2，教师引导学生 知识解答问题的活动中 获取成功的体验，建立学习
将实际问题转化成数学问题，既 的自信心。 到中间物体的距离相等的点应 该满足什么条件？如何去找到 这几位明星的位置？
问题与情境
师生行为
设计意图
【活动 4】
教师在学生完成一次探究 后，提出新的问题：我们通过四
活动 4 的设计是为了让
问题
边形这种载体研究了四点共圆 学生在掌握活动 3 之后能学
的条件。但这并不是探究四点共
1、过四个点作两个 圆条件唯一的方法，我们还能找 会这种探究问题的方法，并
到另外的载体进行探究。
1.注重了数学教学和德育的思想培养。通过学生的活动，培养了学生学 习数学的方法也使学生体会了团结协作的精神，培养了学生克服困难的精。
2.通过问题探究，突出了过程教学：以学生为自主探索，合作交流搭建 多彩舞台。在探究四点共圆的条件过程中，学生探究的时空少了一点，学生 的困难显得难以接受。特别用反证法证明。
作一个圆？
在证明这个推测时，要让
设计意图
3、作圆的方法有几 种？怎样去判断这四点共 圆？
问题与情境
师生行为
4、按要求画出图形
学生先进行讨论，思考最好 培养学生和情推理能
的证明方法。然后引导学生利用 力。
后，为什么有的四边形的 反证法进行证明。在证明的过程 四个顶点能共圆，有的却 中要让学生考虑到所有的图形
4、仿照活动 3 中的
方法和步骤，对推测出来 的条件应该如何证明？
教学/活动反思
本节课通过对学生感兴趣的热播电视节目《奔跑吧！兄弟》提起学生的 探究兴趣，让学生在小组活动的基础上让学生置身于知识发生，发展，形成 过程中，让学生在观察，猜测，验证，推理，交流等数学活动中感悟和体会。 体现了以问题为中心的自主合作探究的学习方式，真正实现了以学生为主体 的教学理念，具体有以下特点：
附图：
不行，那这些四边形有哪 情况。
些不同呢？它们的边长有
什么共同点？它们的对角
证明过程：
线有什么共同点？和它们
的它们的内角有什么共同 点？
已知：四边形 ABCD 中，
∠B+∠ADC=180º
求证：A、B、C、D 四点共
圆
5、通过活动，同学
证明：利用反证法：
们推测出了四边形的四个 顶点共圆的条件，可我们
学习者分析
通过初中三年数学学习，学生在自主学习运用合理推理与演绎推理认知新 事物，构建新知识，同学交流协作完成有效的数学学习活动中，经历探究， 思考，抽象，预测，验证，反思等过程积累了发现问题，分析问题，解决问 题的基本经验和数学能力。大部分学生能运用合理推理与演绎推理认知新事 物，构建新知识。
活动过程设计
3.本节课利用多媒体教学，辅助教学设备不足，能利用动画和几何画板 效果就会更好。
答案。激发学生的求知欲望，
半径能确定吗？
教师可利用课件进行演示，调动学生的积极性。
让学生能直观的对所作图形进 2、过两个点能作圆 行观察，以验证自己所得到的结
吗？能作几个圆，圆心和 论是否正确。
半径能确定吗？
3、过三个点能作圆
吗？能作几个圆，圆心和 半径能确定吗？过四个点 呢？
【活动 3】 问题
教师提出问题，让学生先进 行思考，然后动手操作，在活动
【活动 2】
教师提出问题，引导学生利 用作图工具作出图形。
活动 2 的设计是为探究
问题
四点共圆的条件作好铺垫工 由学生经过观察，分析，总 作。由简单到复杂，让学生
1、过一个点能作圆
结归纳出简单的点与圆的关系，在亲自动手操作的过程中进 并了解点共圆所必须满足的基 行实验、探究，得到问题的
吗？能作几个圆，圆心和 本条件。
的，余下的点与过三点的 圆是什么位置关系呢？
这与已知条件
∠B+∠ADC=180º 矛盾，故假
设不成立，原结论正确，A、B、
7、圆周角定理有哪 C、D 四点共圆。
些内容？
图1
如图 2，假设 A、B、C、D 8、怎样利用圆中的
四点不共圆，D 点在圆外。 性质定理来解决问题呢？
证明方法与证明图 1 时同 理。
2、先观察具有公共
教给学生一种科学研究的方 学生在进行活动 4 时，教师只做 法。学会发现问题，提出问
斜边的两个直角三角形， 引导，更多的让学生去操作，去 题，解决问题。
这四个点共圆吗？为什 判断，去证明。教师应该重点关
么？
注学生是否会与人合作，并能与
3、再观察一般的图 他人交流思维的过程与结果。
形，探究过这两个三角形 顶点的四点共圆的条件？
能立刻应用到新的问题的探
三角形，要求所做出的图
究中去，解决新的问题。
形中不能出现四边形，你 让学生明确解决问题方法
能作出怎样的图形？它们 的多样性，在解决一个问题的时
有什么特征？
候应该思维活跃，学会借助旧的
知识点去寻找新的知识点。
数学教学是在教师的引
导下，进行的再创造、再发 由于有了活动 3 作为基础，现的教学，通过数学活动，
学校 案例名称 案例类型
探究四点共圆的条件教学设计
探究四点共圆的条件 活动课
教师姓名 学段 九年级
教学/活动目标
1.知识目标：通过教学活动，让学生掌握四点共圆的条件。 2.德育目标：让学生在探究活动中体会团结协作的精神和勇于克服困难的精 神。 3.能力目标：培养学生动手，动脑和表达的能力和学生团结协作的能力。
作圆，那同学们会作吗？ 不同呢？引导学生从四边形的 中，通过交流和沟通，让学
边和角的方面去猜测，探究。 生明确一个问题的解决方
2、这里有一些四边
在学生猜到对角互补的四 案，在推测之后要进验证，
形，同学们尝试着作一下，边形的四个顶点能共圆后，还需 看能否过它们的四个顶点 要引导学生进行证明。
通过证明，让学生感受数学 的严谨性，感受到数学结论 的确定性和证明的必要性，
如图 1：假设 A、B、C、D
只画了几个图形，要想运 用这个推断，还需要证明，四点不共圆，D 点在圆内。
那如何证明呢？
延长 AD 与圆交于点 E，连
接 CE 则：∠B+∠E=180º
6、不在同一条直线 上的三点是能共圆的，如
∵∠ADC >∠E
果四点不能共圆，但其中 的三点是可以保证共圆
∴∠B+∠ADC >180º
问题与情境
师生行为
设计意图
教学/活动过程
【活动 1】 问题
教师演示课件：
从生活中的实际问题入
向学生展示一组《奔跑吧！手，使学生认识到数学总是
兄弟》抢宝图片。
与现实问题密不可分，人们
的需要产生了数学。
演示课件：
将实际问题数学化，让
1、向学生展示一组
提出问题
学生从一些简单的实例中，
《奔跑吧！兄弟》抢宝图 片。
活动 3 的设计是让
中探寻问题的答案。
学生学会利用载体去对问题
进行研究。从单一的点过渡
1、过三点作圆可以
在学生动手画四边形的 到形，让学生由无法下手到
看成是过三角形的顶点作 圆，那过四点作圆同样可
外接圆的过程中，学生会发现有 的四边形的四个顶点能共圆，有
主动探究，一步一步地向探 究的目标靠近。
以看作是过四边形的顶点 的却不行，那这些四边形有什么 在学生动手活动的过程
不断体会从现实世界中寻找 数学模型、建立数学关系的 方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、摄制组安排四个
人从住地去抢宝对每个人 公平吗？你认为怎样安排 才是最公平的？
引导学生对图形的观 察，发现，激发学生的好奇 心和求知欲，并在运用数学
对于问题 2，教师引导学生 知识解答问题的活动中 获取成功的体验，建立学习
将实际问题转化成数学问题，既 的自信心。 到中间物体的距离相等的点应 该满足什么条件？如何去找到 这几位明星的位置？