狭义相对论动力学基础

由洛伦兹速度变换式（14- 8），可得
如图14- 9所示，考虑到参考系S和参考系S′中碰撞过程的对称性， 则u′=-u，代入上式可得
(百度文库4- 17)
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另外，还需要得到碰撞前后的质量关系.为此取一个相对地面速度大 小为v0，方向沿y轴的参考系S，如图14- 10所示，则在S″系中，小球A和 B的速度分量为(v″Ax,v″Ay)和(v″Bx,v″By)，碰撞后的速度分量为(u″x,u″y).在 S系中，小球A和B的速度分量为(v,0)和(0,0)，碰撞后的速度分量为(u,0). 利用洛伦兹速度变换公式
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我们知道，牛顿力学定律的形式在伽利略变换下是保持不变的.在牛 顿力学中，质量是被认为不变的物理量，则根据牛顿第二定律，给一个 质量不大的粒子施加一个较大的作用力时，在不太长的时间内粒子就可 以超过光速.事实上这是不可能的，是与狭义相对论的基本原理相违背的.
狭义相对论的基本原理可以总结为：在所有惯性系中，物理定律都 应该是洛伦兹协变的.也就是说，所有物理定律在洛伦兹变换下都应保持 相同的形式，为保证洛伦兹协变性，必须对牛顿力学定律做一些修正.下 面就通过分析动量守恒定律满足洛伦兹协变性所需要的条件，即质量- 速 度关系，来得到牛顿力学的修正——狭义相对论力学.
动物体相对于此参考系的速度的大小有关而与速度的方向无关.也就是说
，某个参考系中物体的质量m是该物体在此参考系中速率v的函数m(v).
因此，在参考系S和参考系S′中的动量守恒关系式应写为
m(v)v=M(u)u
(14- 15)
mv′Av′A+mv′Bv′B=Mu′u′
(14- 16)
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一、 动量守恒定律的洛伦兹变换 质量- 速度关系
动量守恒定律是力学中最重要的定律之一，其内容为：当系统所受到
的合外力为零时，系统动量守恒.下面是一种特例.
如图14- 9所示，以地面为参考系S，在光滑平面上有两个完全相同
的小球A和B，小球A以速度v与静止在平面上的小球B发生碰撞后，粘在
一起并以速度u运动.若按照经典力学“质量是不变的”，设两小球质量为
mA=mB=m，令M=mA+mB，则此过程动量守恒，即
mv=Mu
(14- 13)
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图14- 9 小球在S系和S′系中的碰撞
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设在相对地面速度为v的参考系S′中，小球A和B的速度分别为v′A 和v′B，碰撞后的速度为u′.显然式(14- 13)在洛伦兹速度变换下不能保 证在参考系S′中的动量守恒关系，即
(14- 24)
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这就是狭义相对论的质量- 能量关系式.将质量守恒定律式(14- 18)的
两边同乘以c2，可得
mvc2+m0c2=Muc2
(14- 25)
式(14- 25)表示在碰撞前两小球的总能量等于碰撞后物体的总能量，
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1. 相对论动能
设有一静止质量为m0的质点在外力F的作用下从a点移动到b点，根 据动能定理有
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式(14- 22)即为相对论中质点动能的表达式.在低速近似（v《c） 下，它可以由泰勒公式展开并保留一阶小量，可得
上式就是经典力学中的动能表达式.
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2. 质量- 能量关系
将质量- 速度关系式，即式(14- 19)代入相对论动能表达式(14- 22)
中，可得
可改写为
Ek=mc2-m0c2
mc2=Ek+m0c2
(14- 23)
爱因斯坦将m0c2称为物体所具有的静止能量，将mc2称为物体的总
能量.
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可以看出，物体的总能量由两部分组成：第一部分是静能m0c2， 它代表物体运动速度为零时的能量，它是物体的总内能，包括物体内分 子运动动能、分子间相互作用势能、原子内使原子核和电子结合的电磁 能，以及原子核内质子、中子间的结合能等.因为c2的值非常大，所以 即使静质量m0很小的物体，在静止时，其内部也蕴藏着很大的能量； 第二部分是物体的运动动能，它是与参考系的选取相关的，同一物体在 不同参考系中将会有不同的动能.若用E表示物体的总能量，则
质量- 速度关系是动量守恒定律满足洛伦兹协变性的条件，对质 量进行修正后，牛顿力学自然推广为狭义相对论力学.
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按照定义，速度为v的物体，其相对论动量为
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二、 相对论中的质量- 能量关系
将经典力学中的动能定理推广到 狭义相对论力学，便可得到相对论动 能表达式，进而得到相对论中的质量能量关系.
图14- 10 小球在S″系中的碰撞
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可得在S″系中，A球的速度为
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则速率为
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则速率为 v″B=v0
碰撞速度为
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在S″系中利用y方向的动量守恒可得 M(v″A)v″Ay+m(v″B)v″By=M(u″)u″y
即
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mv′A+mv′B=Mu′
(14- 14)
因此，为保证动量守恒定律的洛伦兹协变性，必须放弃“质量是
每个物体固有的恒量”这一概念.
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质量是一个相对量，在不同的参考系中测量质量所得数值是不同的.
或者说，在同一个确定的参考系中测量，物体的质量将因其运动速度不
同而有不同的数值.一个物体相对于一个确定参考系的质量，只能与该运
当v0=0时，可得关系式 mv+m0=Mu
(14- 18)
此式也可以称为质量守恒定律.将式(14- 18)代入式(14- 15)中，可得
将式（14- 17）代入上式推导，可得
(14- 19)
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于是得到了质量- 速度关系，此式即为狭义相对论力学对质量的 修正.其中，m(0)=m0称为物体的静质量，即物体在相对静止的参考 系中测得的质量.m(v)为以速度v运动的物体的质量，记为m，称为动 质量.可以看出，物体速度越大，质量就越大；速度趋于光速时，对 于静质量不为零的物体，质量将趋于无限大，这表明相对论给出了 任何物体的速度都不可能达到光速.在低速近似下，动质量和静质量 将会相等，即为牛顿力学中的质量.