狭义相对论动力学基础
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5狭义相对论
一个惯性系中表现为同时的，在另一个惯性系中观察，则 总是在前一惯性系运动的后方的那一事件先发生。
同时性的相对性 当速度 u 远远小于C时，两个惯性系结果相同 牛顿力学
2. 由洛仑兹变换看同时性的相对性
y和z方向就不用管了
S系
事件1 事件2
两事件的时间间隔 两事件的空间间隔
x1 , t1
求t或t' 的一、二阶导数
速度变换与加速度变换
du v v u a x x x ax dt 正 v v y y
vz vz
ay ay az az
a x ax a y ay az az
du v x v u ax a x x dt 逆 v v y y a y a y vz vz az az
3. 经典电磁理论不满足伽利略相对性原理（在后面章节讲）
4. 电子的荷质比 e/m 与速度有关 1901年，W. Kaufmann 测电子的e/m, 发现其与速度
有关. 他假设e不随速度变，则m随速度的增加而增大。
二. 时空的相对性
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同” “坐地日行八万里” 在大海中匀速航行的大船上的感觉 萨尔维阿蒂大船 由力学规律无 法知道船的速度
§5.2 狭义相对论的基本概念
洛仑兹变换
爱因斯坦为了解决光在不同参照系的速度问题，进行了 一系列的思维臆想试验。他假定，如果某个人可以以光速运
动，那么他看到的光会是什么样子呢？如果按照伽利略速度
变换式，他应该可以看到静止的光，但这却与麦克斯韦的电 磁学原理相悖；如果按照麦克斯韦的电磁学原理，他应该看
a a
y S
S ′ y′ u
高中物理奥林匹克竞赛专题——狭义相对论(共32张ppt)
I(xA,yA,zA,tA)
s系 A
. C
s系
.
.
A
C
I(IxB ,yB ,zB ,tB )
B
u
.
B
C
s系 A
.
B
u.
.
.
s系
A
C C B
在 S 系中，两闪电的光信号同时到达 C 而不是 C ，为 不同时事件。（击中 A 先发生）。
爱因斯坦认同为时: 性概念是因参考系而异的，在一个惯性 系中认为同时发生的两个事件，在另一惯性系中看来， 不一定同时发生。同时性具有相对性。
（原时）
yM
M
M
站台系：s 系
c t 2 D
ut 2
u
光信号：
N M N
N
N
N
该两事件为异地事件,
o N1
N2
x 需用两只钟测出其时间
I(x1,t1)
II(x2,t2)
(ct)2D2(ut)2
2
2
间隔Δt=t2-t1 , 为观测时 间
t2D 1
c 1uc22
解得： vx
mrelu m mrel
将
vx
mrelu m mrel
;
vx
mrelu m mrel
代入洛仑兹速度变换：v x
vx 1
u
uv x c2
得
mrel
m m
1
u2 c2
结论：在相对论中，质量与时间、长度一样，与惯 性系的选择有关，为相对量。
相对论动量 定义：
v c2
x
一对事件的洛伦兹变换关系
x x vt
【大学物理】第一讲 狭义相对论基本原理 洛伦仑兹变换
T
v
G M1 G
ll t1 c v c v
c(1
2l v2
c2)
M2
M1
s G v T
G M2
c
- v
c2 v2
M2
-
v
c
G
c2 v2
（从 s'系看）
GM 2 GM 1 l
G
M2
G
t2 c
2l 1 v2
c2
t1
2l c(1 v2
c2) ,
2l
t2 c
1 v2
c2
两束光到达望远镜的时间差为
cv
1
vc c2
c
光速不变
光速在任何惯性 系中均为同一常量， 利用它可将时间测量 与距离测量联系起来.
§1.2 洛伦兹变换
寻找新的时空变换式来代替经典力学伽利略变换。
必需满足条件： （1）物理学定律都应该保持数学表达式不变。 （2）真空中光速在一切惯性系中保持不变。 （3）在低速运动条件下可转化为伽利略变换。
设 t t 0 时，o, o
重合 ; 同一事件 P 的
时空坐标如图所示。
s y s' y' v
t
t1
t2
2l
v2
c
1
c2
2l
v2
c
1
c2
1
2
=
2l c
1
v2 c2v2源自1 2c2v << c
t l v2 c c2
两束光汇合时的光程差为 ct l v2
c2
整个仪器旋转90度，那么两束光在前后两次测量
中光程差的该变量为
N 2 2l v2
v
G M1 G
ll t1 c v c v
c(1
2l v2
c2)
M2
M1
s G v T
G M2
c
- v
c2 v2
M2
-
v
c
G
c2 v2
（从 s'系看）
GM 2 GM 1 l
G
M2
G
t2 c
2l 1 v2
c2
t1
2l c(1 v2
c2) ,
2l
t2 c
1 v2
c2
两束光到达望远镜的时间差为
cv
1
vc c2
c
光速不变
光速在任何惯性 系中均为同一常量， 利用它可将时间测量 与距离测量联系起来.
§1.2 洛伦兹变换
寻找新的时空变换式来代替经典力学伽利略变换。
必需满足条件： （1）物理学定律都应该保持数学表达式不变。 （2）真空中光速在一切惯性系中保持不变。 （3）在低速运动条件下可转化为伽利略变换。
设 t t 0 时，o, o
重合 ; 同一事件 P 的
时空坐标如图所示。
s y s' y' v
t
t1
t2
2l
v2
c
1
c2
2l
v2
c
1
c2
1
2
=
2l c
1
v2 c2v2源自1 2c2v << c
t l v2 c c2
两束光汇合时的光程差为 ct l v2
c2
整个仪器旋转90度，那么两束光在前后两次测量
中光程差的该变量为
N 2 2l v2
狭义相对论两个基本原理
狭义相对论两个基本原理第一个基本原理是相对性原理。
相对性原理包含两部分：相对性原理的运动学形式和相对性原理的动力学形式。
相对性原理的运动学形式指出，物理定律在所有等速运动的参考系中都成立，而不论这些参考系之间的相对运动如何。
也就是说，在相对于以一些速度作匀速直线运动的参考系而言，物理现象的规律也同样适用于以其他任意速度作匀速直线运动的参考系中。
这个原理的实质是：物体的运动状态有多种可能，而它们都以相对其他物体的速度来描述。
相对性原理的动力学形式表明，在不受力的惯性系中，物体的运动状态是匀速直线运动或静止。
这意味着，不受力的物体会保持它们的运动状态不变。
从更广义的角度来看，这个原理还暗示了所有非重力的力都必须等效于参考系的运动。
第二个基本原理是光速不变原理。
光速不变原理指出，光在真空中的传播速度对于所有的惯性观察者来说都是相同的，无论观察者的速度如何。
换句话说，不论观察者是静止的还是以任何速度相对于光源运动，他们都会测得光速相同。
这与我们通常对速度相加的直觉不同，但实验证据已经证明了这一点。
这两个基本原理构成了狭义相对论的基础，对于我们理解时空的结构有重要的意义。
首先，相对性原理的运动学形式告诉我们，物体的运动状态是相对性的，即与观察者的运动状态有关。
这进一步推动了我们对时空结构的重新认识，引出了后来对时空几何的研究。
其次，相对性原理的动力学形式告诉我们，仅仅通过观察物体的运动状态，我们无法区分出它们所处的参考系。
这导致了狭义相对论中的质能关系，即质量和能量之间的等效性。
质能关系的著名公式E=mc²描述了质量和能量之间的转换关系，它在核物理和粒子物理研究中具有重要的应用。
综上所述，狭义相对论建立在两个基本原理之上：相对性原理和光速不变原理。
这两个原理引导了我们对物体运动方式和时空结构的新认识，对当代物理学的发展产生了深远的影响。
第5章 狭义相对论基础
第6章 相对论基础
special relativity
爱因斯坦: Einstein 爱因斯坦: 现代时空的创始人 二十世纪的哥白尼
第5章 狭义相对论基础 章
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 力学相对性原理和伽利略变换 狭义相对论基本概念 洛仑兹变换 相对论时空理论 相对论动力学基础
§ 5-1 力学相对性原理和伽利略变换 在两个惯性系中考察同一物理事件 一.伽利略变换 Galilean transformation 设惯性系S和相对S 设惯性系S和相对S运动的惯性系 t时刻，物体到达P点 时刻，物体到达P
0.90c
解： 选飞船参考系为 S′ 系
地面参考系为 S 系
S
S′
u v′
x x′
x
v′ + u 0.90c + 0.80c x vx = = = 0.99c u ′ 1+ 0.80×0.90 1+ 2 vx c
u = 0.80c v′ = 0.90c x
§5.3 相对论时空理论
一、 长度收缩
length contraction
同样得
vz u v′ = 1− 2 z u c 1− 2 vx c
2
洛仑兹速度变换式 正变换 逆变换
vx − u v′ = x u 1− 2 vx c 2 vy u v′ = 1− 2 y u c 1− 2 vx c 2 vz u v′ = 1− 2 z u c 1− 2 vx c
v′ + u x vx = u 1+ 2 v′ x c 2 v′ u y vy = 1− 2 u c 1+ 2 v′ x c 2 v′ u z vz = 1− 2 u c ′ 1+ 2 vx c
special relativity
爱因斯坦: Einstein 爱因斯坦: 现代时空的创始人 二十世纪的哥白尼
第5章 狭义相对论基础 章
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 力学相对性原理和伽利略变换 狭义相对论基本概念 洛仑兹变换 相对论时空理论 相对论动力学基础
§ 5-1 力学相对性原理和伽利略变换 在两个惯性系中考察同一物理事件 一.伽利略变换 Galilean transformation 设惯性系S和相对S 设惯性系S和相对S运动的惯性系 t时刻，物体到达P点 时刻，物体到达P
0.90c
解： 选飞船参考系为 S′ 系
地面参考系为 S 系
S
S′
u v′
x x′
x
v′ + u 0.90c + 0.80c x vx = = = 0.99c u ′ 1+ 0.80×0.90 1+ 2 vx c
u = 0.80c v′ = 0.90c x
§5.3 相对论时空理论
一、 长度收缩
length contraction
同样得
vz u v′ = 1− 2 z u c 1− 2 vx c
2
洛仑兹速度变换式 正变换 逆变换
vx − u v′ = x u 1− 2 vx c 2 vy u v′ = 1− 2 y u c 1− 2 vx c 2 vz u v′ = 1− 2 z u c 1− 2 vx c
v′ + u x vx = u 1+ 2 v′ x c 2 v′ u y vy = 1− 2 u c 1+ 2 v′ x c 2 v′ u z vz = 1− 2 u c ′ 1+ 2 vx c
相对论第3讲——狭义相对论小结与习题课
方向如何？
解：因为相对论效应，任一长度沿运动方向的投影收 缩，垂直于运动方向的投影不变。假设等边三角形的
A两B个、方A向C ：边将A变成等腰三角形的腰，则运A动只V可 能沿
a
D B (1)
V
C
a
D B (2) C
(1) 高 AD 不变，BC 收缩， A
AV
角 A 减小。
(2) BC 边长度不变，AD a
F
P
dP / dt ,
t
dP Fdt
P0 0
P P0 Ft
P P0 Ft
分量形式：Px P0x F x t P0x
m0 u0 ,
1
u
2 0
/
c2
Py P0y F y t F y t Ft ;
能量 - 动量关系：E 2 m02 c4 p2 c2
终受一个沿 Y 轴正向的恒力 F 的作用. 在考虑相对
论效应的情况下, (1) 求 t 时刻粒子的动量、总能量
和速度 ( 只要求写动量和速度的分量形式 ) ;
(2) 讨论 t 的极限情况下速度分量如何。
分析：在力的作用下, 粒子的动量发生变化，因此出
发点是运动方程，然后直接求解。
解：
(1) 运动方程
收缩，可达到 A 为直角。
D
V
a
D
在静止时，高 AD B (1) C B (2) C
长为 3 a / 2 ; 当运动时，观测其长度应为 a / 2 ,
即
a 3 a 1V 2 / c2 ,
22
2/3 c
薄片应以 2 / 3 c 的速率沿任一高的方向运动。
解：因为相对论效应，任一长度沿运动方向的投影收 缩，垂直于运动方向的投影不变。假设等边三角形的
A两B个、方A向C ：边将A变成等腰三角形的腰，则运A动只V可 能沿
a
D B (1)
V
C
a
D B (2) C
(1) 高 AD 不变，BC 收缩， A
AV
角 A 减小。
(2) BC 边长度不变，AD a
F
P
dP / dt ,
t
dP Fdt
P0 0
P P0 Ft
P P0 Ft
分量形式：Px P0x F x t P0x
m0 u0 ,
1
u
2 0
/
c2
Py P0y F y t F y t Ft ;
能量 - 动量关系：E 2 m02 c4 p2 c2
终受一个沿 Y 轴正向的恒力 F 的作用. 在考虑相对
论效应的情况下, (1) 求 t 时刻粒子的动量、总能量
和速度 ( 只要求写动量和速度的分量形式 ) ;
(2) 讨论 t 的极限情况下速度分量如何。
分析：在力的作用下, 粒子的动量发生变化，因此出
发点是运动方程，然后直接求解。
解：
(1) 运动方程
收缩，可达到 A 为直角。
D
V
a
D
在静止时，高 AD B (1) C B (2) C
长为 3 a / 2 ; 当运动时，观测其长度应为 a / 2 ,
即
a 3 a 1V 2 / c2 ,
22
2/3 c
薄片应以 2 / 3 c 的速率沿任一高的方向运动。
狭义相对论基础
如：动量守恒定律
2.经典力学时空观
据伽利略变换，可得到经典时空观 （1）同时的绝对性
在同一参照系中，两个事件同时发生 据伽利略变换，在另一参照系中， 在其他惯性系中，两个事件也一定同时发生。
同时的绝对性。
经典力学时空观
（2）时间间隔的测量是绝对的 在同一参照系中，两个事件先后发生，其间隔为
据伽利略变换，
ax
ax
du dt
ay a y
vz vz
az az
ax a x ay a y az az
逆
vx vx u vy vy
ax
ax
du dt
a y ay
a x ax 惯性系 a y ay
vz vz
az az
a z az
狭义相对论基础
8.1 经典力学的相对原理和时空观
一. 经典力学的相对性原理
力学现象对所有惯性系，都遵循同样的规律
研究力学规律时，所有的惯性系都是等价的
静止
物块 匀速 以车子为参照系
静止
以地球为参照系 匀速运动
两者的运动规律是相同的 合外力F=0
伽利略相对性原理
两个参考系（约定系统）
如图，S，S'相应坐
hv0 c
e0
hv e
c
电子
x
mv
相对论动力学基础
证明：在图中，入射光子的能量和动量分别为
和
,与物质中质量为m0的静止自由电子发生碰撞
。碰撞后，设光子散射开去而和原来入射方向成 角
，这时它的能量和动量分别变为 和
和 代表在光子运动方向的单位矢量。
与此同时电子向着某一角度的方向飞去，它的能 量和动量分别变为 mc2 和
2.经典力学时空观
据伽利略变换，可得到经典时空观 （1）同时的绝对性
在同一参照系中，两个事件同时发生 据伽利略变换，在另一参照系中， 在其他惯性系中，两个事件也一定同时发生。
同时的绝对性。
经典力学时空观
（2）时间间隔的测量是绝对的 在同一参照系中，两个事件先后发生，其间隔为
据伽利略变换，
ax
ax
du dt
ay a y
vz vz
az az
ax a x ay a y az az
逆
vx vx u vy vy
ax
ax
du dt
a y ay
a x ax 惯性系 a y ay
vz vz
az az
a z az
狭义相对论基础
8.1 经典力学的相对原理和时空观
一. 经典力学的相对性原理
力学现象对所有惯性系，都遵循同样的规律
研究力学规律时，所有的惯性系都是等价的
静止
物块 匀速 以车子为参照系
静止
以地球为参照系 匀速运动
两者的运动规律是相同的 合外力F=0
伽利略相对性原理
两个参考系（约定系统）
如图，S，S'相应坐
hv0 c
e0
hv e
c
电子
x
mv
相对论动力学基础
证明：在图中，入射光子的能量和动量分别为
和
,与物质中质量为m0的静止自由电子发生碰撞
。碰撞后，设光子散射开去而和原来入射方向成 角
，这时它的能量和动量分别变为 和
和 代表在光子运动方向的单位矢量。
与此同时电子向着某一角度的方向飞去，它的能 量和动量分别变为 mc2 和
第十七章狭义相对论基础
第52页/共65页
即： m 1/ 1 v2 / c2
或 m k / 1 v2 / c2
令 u=0 时，m=m0，可得：k=m0，由此得： m m0 1 v2 / c2 p mv m0v 1 v2 / c2
第53页/共65页
3.相对论的能量 总能：
E mc2
静能：
E0 m0c2
动能：
Ek mc2 m0c2
第8页/共65页
绝对时空观：
时间：是一种自然的流逝。“绝对的真实的数学时间，就其本质而言，是永远 均匀地流逝着，与外界事物无关。”
空间：是一种物质运动的场所。“绝对的空间就其本质而言与外界事物无关， 它从不运动，并且永远不变。”
第9页/共65页
第10页/共65页
1.光的速度与迈克尔逊－莫雷实验
1 ct d 2 1 u2t2
2
4
t 0
S
1u2 / c2
u M
ct / 2
d
C
ut / 2
第20页/共65页
结论：
1）运动的钟变慢：
t 0
1 u2 / c2
2）运动参照系中所有物理过程的节奏都变漫了。
第21页/共65页
第22页/共65页
第23页/共65页
3.长度量度的相对性
S'(尺静止) :
动能（Ek）：
Ek
1 2
mv2
第48页/共65页
1.2 经典动力学的局限性： 局限性：高速运动时不能适用，不满足相对性原 理，即不满足洛仑兹变换下的不变性。
经典动力学的改造： 1）改造物理定律，物理量的定义不变； 2）重修定义相关物理量，物理定律不变。
第49页/共65页
2．相对论的质量与动量
第4章 狭义相对论基础
S系
m11 m2 2 m110 m2 20
利用伽利略变换
S 系
m11 m2 2 m110 m2 20
动量守恒定律在伽利略变换下形式不变。 在两相互作匀速直线运动的惯性系中，牛顿运 动定律具有相同的形式。
5
4.1 伽利略变换 经典力学的相对性原理
y' y
z' z
y y'
v x' c2 t 2 1 v 2 c t '
z z'
1） x ' , t '与 x, t成线性关系，但比例系数不等于1。 2） 时间不独立，t 和 x 变换相互交叉。 3）
v c
时，洛伦兹变换
伽利略变换。
13
4.2 狭义相对论的基本假设 洛仑兹变换
tt
'
t t 2 t1 t 2 t1 t '
6
4.1 伽利略变换 经典力学的相对性原理
空间间隔度量绝对不变
' x' x2 x1' ( x2 ut2 ) ( x1 ut1 )
x2 x1 x
t 2 t1
( S系中必须同时测量长度两端 ) 牛顿力学的相对性原理
1）满足相对性原理和光速不变原理。 2）当质点速率远小于真空光速 c 时，该变换应能
使伽利略变换重新成立。
o 设 ： t ' 0 时， ,o' 重合 ; 事件 P 的时空坐标如图所示。 t
x' x vt v2 1 c
2
y' y
v x c2 t' 2 1 v 2 c t
《普通物理学简明教程》(第2版) 下 第四章 4-4
hv 。试证光子的散射角满
c c h 1 cos
v v0 m0c
此处 m0 是电子的静止质量，h 为普朗克常量。
hv
e
hv0 c
e0
c
电子
x
mv
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证明：在图中，入射光子的能量和动量分别为 hv0 和 碰撞h。cv0碰e0撞,后与，物设质光中子质散量射为开m0去的而静和止原自来由入电射子方发向生
m0c
c c h 1 cos
v v0 m0c
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选择进入下一节 §4-0 教学基本要求 §4-1 狭义相对论基本原理 洛伦兹变换 §4-2 相对论速度变换 §4-3 狭义相对论的时空观 §4-4 狭义相对论动力学基础 *§4-5 广义相对论简介
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m(v) u
根据洛伦兹速度变换公式可得
u'
u
uv 1 uv / c2
(4)
v 1 1 v2 / c2 (5) u
m(v) m0 1 v2 / c2
相对论质速关系
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m(v) m0 1 v2 c2
m(v)
m0——物体的 静止质量。
m(v)——相对于 观察者以速度v 运动时的质量。 相对论质量
dt dt
(1) 当 (2) 当
v<<c 时, m=m0 ， F= ma v→c 时, m→∞， a d v
F v dm dt
0
dt
m
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二、 相对论质量和能量的关系
1. 相对论动能
推导的基本出发是动能定理
令质点从静止开始,力所作的功就是动能表达式
相对论能量
相对论动能推导的基本出发是动能定理令质点从静止开始力所做的功就是动能表达式牛顿力学中的动能公式的总和物体的静能是物体内能物体内部蕴藏大量的能是物体总能含量的量度是物体内能含量的量度说明
§4-4 狭义相对论动力学基础
经典力学： 经典力学： F a
dP dv F= =m dt dt
v v>c
在相对论中，动量的定义不变，动量 相对论中，动量的定义不变， 守恒定律仍然成立。但按洛伦兹变换， 守恒定律仍然成立。但按洛伦兹变换，物 体的质量将和自己的速率有关。 体的质量将和自己的速率有关。
Pµ = Pv
(1)
（2）能量守恒 ） 衰变前： m π c 2 衰变前：
衰变后： 衰变后： E µ + E v 所以有
Eµ + Ev = mπ c
2
(2)
由相对论能量和动量关系
E =E +P c =m c +P c
2 2 0
2
2
2
2 0
4
2
2
得
c Pµ = E µ − m µ c
2 2 2
4
(3) (4)
五、 相对论动量和能量的关系
相对论力学： 相对论力学：
1 P 2 经典力学： Ek = m0v = 经典力学： 2 2m0
2
v 静止质量为m 0，速度为 v 的物体的总能量和动量 为
E = mc =
2
m0c m0v
2
1− v c
2
2
消v得：
P = mv =
1− v c
2
2
E = m0 c + P c = E + P c 2 E = mc —— 相对论能 量和动量关系 m0c2
§4-4 狭义相对论动力学基础
经典力学： 经典力学： F a
dP dv F= =m dt dt
v v>c
在相对论中，动量的定义不变，动量 相对论中，动量的定义不变， 守恒定律仍然成立。但按洛伦兹变换， 守恒定律仍然成立。但按洛伦兹变换，物 体的质量将和自己的速率有关。 体的质量将和自己的速率有关。
Pµ = Pv
(1)
（2）能量守恒 ） 衰变前： m π c 2 衰变前：
衰变后： 衰变后： E µ + E v 所以有
Eµ + Ev = mπ c
2
(2)
由相对论能量和动量关系
E =E +P c =m c +P c
2 2 0
2
2
2
2 0
4
2
2
得
c Pµ = E µ − m µ c
2 2 2
4
(3) (4)
五、 相对论动量和能量的关系
相对论力学： 相对论力学：
1 P 2 经典力学： Ek = m0v = 经典力学： 2 2m0
2
v 静止质量为m 0，速度为 v 的物体的总能量和动量 为
E = mc =
2
m0c m0v
2
1− v c
2
2
消v得：
P = mv =
1− v c
2
2
E = m0 c + P c = E + P c 2 E = mc —— 相对论能 量和动量关系 m0c2
狭义相对论速度变换式和动力学基础
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圆周运动
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实验验证 与 关系的理论基础
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1908年德国布歇勒做出了质量与速度的关系
有力地支持了相对论
实验装置
产生均匀磁场的线圈
c ---镭源
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还取决于
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若
与牛力形式相同
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但
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惯性的量度
一般情况下
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不是惯性的量度
例 分析垂直进入均匀磁场中的带电粒子运动情况
已知:磁感强度为
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>0
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分析：
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c
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产生均匀电场的平行板电容器
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---感光底片
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实验物理学 家是伟大的
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相对论性能量
一.相对论动能
由上两式得
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同样得
洛仑兹速度变换式
正变换 逆变换
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大学物理相对论复习资料
⼤学物理相对论复习资料狭义相对论基本内容⼀、狭义相对论的基本原理1. 迈克⽿逊实验迈克⽿逊莫雷实验的⽬的是测定地球相对以太的速度，实验结果：地球相对以太的速度为零，当时的物理理论不能解释该实验结果。
2. 爱因斯坦狭义相对论的基本假设相对性原理：物理学定律在所有的惯性系中形势都是相同的，即⼀切惯性系都是等价的。
光速不变原理：在所有的惯性系中，真空中（⾃由空间）光速具有相同的量值c 。
⼆、狭义相对论时空观1. 洛仑兹变换⼀个事件在惯性系S 中的时空坐标为(x, y, z, t)，在沿x 轴以速度v 匀速运动的另⼀惯性系S '中的时空坐标为()x ,y ,z ,t ''''（0t t '==时刻两惯性系原点重合且相应轴重合），则该事件的时空坐标的变换关系称为洛仑兹变换：=-===-2'('''(x x vt y y z z v t t x c或?=+=??==+??2('''('x x vt y y z z v t t x c2. 同时是相对的两个事件在⼀个惯性系中同时同地发⽣，在⼀切惯性系中该两事件必同时同地发⽣；两个事件在⼀个惯性系中不同地点同时发⽣，在其它惯性系中该两事件不⼀定同时发⽣。
3. 时钟变慢（时间变缓）在⼀个惯性系中同⼀地点先后发⽣的两事件，在该惯性系静⽌的时钟测得的时间间隔为固有时间0τ，在另⼀相对该惯性系以速度v 匀速运动的时钟测得的时间间隔为t ?，两者的关系为?γττ==0t 。
4. 尺缩短（长度收缩）观测者与尺相对静⽌时测得尺长称固有长度0L ，观测者沿尺长⽅向以速度v 匀速运动时测得尺长为L ，两者关系为=L L 观察者垂直于尺长⽅向以速度v 匀速运动时测得尺长为L '，0L L '=。
5. 狭义相对论时空观与经典时空观的⽐较当v c 时在x ≯ct 的时空范围内洛仑兹变换转化为伽利略变换，经典时空观是上述条件下狭义相对论时空观的极限。
第十三章 狭义相对论基础
近代物理学基础第十三章 狭义相对论基础 §13－1伽利略变换与经典力学时空观一．伽利略变换1． 时空坐标变换=t 时,'O ,O 重合, utx 'x -=,t 't =2． 速度变换uv 'v x x -=,yy v 'v =,zz v 'v =3.加速度对伽利略变换保持不变a'a =二． 牛顿力学运动学的特点（绝对时空观）1． 时间间隔的测量是绝对的，即两事件的时间间隔在不同的惯性系中是相同的；2． 空间间隔的测量是绝对的，即：两点的空间间隔在一同的惯性系中是相同的。
三． 牛顿力学动力学的特点1．m 与v 无关，'m m=；2．'a a =;3. )'a 'm 'F ,ma F ('F F===4. 伽利略相对性原理：力学规律对一切惯性系都是等价的。
（1632年，船舱内实验）§13－2 迈克尔逊－莫雷实验一． 问题的提出1． Maxwell eqs 对伽利略变换不协变uS'S O'O xz'x 'z y 'y18001099821-⋅⨯==sm .c εμuc 'c ±=2． 以太之迷以太：传播电磁波的弹性媒质；以太参照系：和宇宙框架连接的绝对静止参照系01εμ=c 是相对于以太的二． 迈克尔逊－莫雷实验(1887)1． 实验目的：寻找绝对参照系－以太参照系 2． 指导思想及实验方法： ① 承认以太参照系存在；② 初步近似：太阳参照系－以太参照系； ③ 速度变换满足伽利略变换； 计算结果：40.N≈∆3． 实验精度及结果精度：0.01； 结果：0=N ∆！＊ 推导:＊ 迈克尔逊－莫雷实验的零结果，使同时代的科学家目瞪口呆，震惊不已。
＊ 物理学晴朗的天空中漂来了一朵乌云！（1987年还有人做，精度提高了50倍）三． 实验的意义：1． 否定了以太参照系的存在，暗示－电磁学规律对不同参照系有相同形式； 2． 否定了经典速度变换法则，揭示－光速不变。
4.2相对论动力学基础
m
v
C
v0
o
t
vt v0 at
根据相对论的速度变换公式可知任何物体的运动
速度均不可能超过光的速度, 此矛盾如何解决 ?
§4.5 相对论动力学基础 在经典力学中质量是不变的,和 物体的运动无关,在相对论中质量 是否是不变的呢？ 4.5.1 相对论质量和动量 1.质速关系
M分裂成两块
K：分裂前 M：v 0
当 v按1）照相狭对c义论相时动对量论原pp理和m洛1vm伦0兹v m变2 0换v的m要0求v mv
2）相对论质量 m m0
m
1 2 m0
m(v) 在不同惯性系中大小不同 . o
Cv
静质量 m0 ：物体相对于惯性系静止时的质量 .
静质量 m0 ：物体相对于惯性系静止时的质量 .
m 1 m0 1 ( v )2
远方观察者
的光线所组成,而这些光线并不
看到物体相对于它静止
是同时自物体发出的.
的形状略有转动.
相对论的动量和能量
一、动量与速度的关系 二、狭义相对论力学的基本方程 三、质量与能量的关系
牛顿定律与光速极限的矛盾
物体在恒力作用下的运动
F
dp
d(mv)
dt dt
经典力学中物体的质量
与运动无关
a
F
3 8
v4 c4
相对论总能量：
E mc2
质能关系(mass-energy relation)： 反映质量与能量的不可分割性,
Ek
1 2
m0 v 2
3 8
m0
v4 c4
任何物体系统,可以由质量或 者能量来表征其数量.
v c时
Ek
1 2
m0 v 2
大学物理A1 课件 第4章 狭义相对论
x = ax + bt + e t = ct + dx + f
v
o
P x , y , z , t
x x
S系看 x =0点，
设 t = t =0 时,在o=o点 发出一光信号, 在两个参考 代入以上方程组可得 系中测得的光到达某时空 x = a(x vt)（1）点的事件为p和p '
(2) 长度收缩是“测量”结果，不是“视觉”效 应。
例4-2. 静系中子的平均寿命为2.210-6s。 据报导，在一组高能物理实验中，当它 的速度为u=0.9966c时通过的平均距离为 8km。试说明这一现象：(1) 用经典力学 计算与上述结果是否一致；(2) 用时间膨 胀说明；(3) 用尺缩效应说明。
1 v2 c 2
l l0 1 v c
2
2
原长：在相对于观察者静止 l 的参考系中测得的物体长度。 0
长度收缩：运动物体的长度小于原长， l
当
l0
v c l l0
注意：长度收缩只发生在运动的方向上。
结论：
(1) 相对于观察者运动物体沿运动方向长度缩短了— — 长度收缩 (动尺缩短)
事件 1 A M 发生
B
k
事件 2 发生
K’系：1、2 两事件同时发生
K 系1事件先于2 事件发生
结论：“同时性”具有相对性 ——光速不变原理的直接结果
4.2.2 时间延缓
火车系：
S 系
理想实验：爱因斯坦火车 M y
d
o
A'
, t1 ) I(x1
x1
x
, t2 ) II(x1
0
1 2
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(14- 24)
狭义相对论动力学基础
这就是狭义相对论的质量- 能量关系式.将质量守恒定律式(14- 18)的
两边同乘以c2，可得
mvc2+m0c2=Muc2
(14- 25)
式(14- 25)表示在碰撞前两小球的总能量等于碰撞后物体的总能量，
质量- 速度关系是动量守恒定律满足洛伦兹协变性的条件，对质 量进行修正后，牛顿力学自然推广为狭义相对论力学.
狭义相对论动力学基础
按照定义，速度为v的物体，其相对论动量为
狭义相对论动力学基础
二、 相对论中的质量- 能量关系
将经典力学中的动能定理推广到 狭义相对论力学，便可得到相对论动 能表达式，进而得到相对论中的质量能量关系.
mv′A+mv′B=Mu′
(14- 14)
因此，为保证动量守恒定律的洛伦兹协变性，必须放弃“质量是
每个物体固有的恒量”这一概念.
狭义相对论动力学基础
质量是一个相对量，在不同的参考系中测量质量所得数值是不同的.
或者说，在同一个确定的参考系中测量，物体的质量将因其运动速度不
同而有不同的数值.一个物体相对于一个确定参考系的质量，只能与该运
狭义相对论动力学基础
狭义相对论动力学基础
我们知道，牛顿力学定律的形式在伽利略变换下是保持不变的.在牛 顿力学中，质量是被认为不变的物理量，则根据牛顿第二定律，给一个 质量不大的粒子施加一个较大的作用力时，在不太长的时间内粒子就可 以超过光速.事实上这是不可能的，是与狭义相对论的基本原理相违背的.
狭义相对论的基本原理可以总结为：在所有惯性系中，物理定律都 应该是洛伦兹协变的.也就是说，所有物理定律在洛伦兹变换下都应保持 相同的形式，为保证洛伦兹协变性，必须对牛顿力学定律做一些修正.下 面就通过分析动量守恒定律满足洛伦兹协变性所需要的条件，即质量- 速 度关系，来得到牛顿力学的修正——狭义相对论力学.
狭义相对论动力学基础
一、 动量守恒定律的洛伦兹变换 质量- 速度关系
动量守恒定律是力学中最重要的定律之一，其内容为：当系统所受到
的合外力为零时，系统动量守恒.下面是一种特例.
如图14- 9所示，以地面为参考系S，在光滑平面上有两个完全相同
的小球A和B，小球A以速度v与静止在平面上的小球B发生碰撞后，粘在
图14- 10 小球在S″系中的碰撞
狭义相对论动力学基础
可得在S″系中，A球的速度为
狭义相对论动力学基础
则速率为
狭义相对论动力学基础
则速率为 v″B=v0
碰撞速度为
狭义相对论动力学基础
在S″系中利用y方向的动量守恒可得 M(v″A)v″Ay+m(v″B)v″By=M(u″)u″y
即
狭义相对论动力学基础
狭义相对论动力学基础
2. 质量- 能量关系
将质量- 速度关系式，即式(14- 19)代入相对论动能表达式(14- 22)
中，可得
可改写为
Ek=mc2-m0c2
mc2=Ek+m0c2
(14- 23)
爱因斯坦将m0c2称为物体所具有的静止能量，将mc2称为物体的总
能量.
狭义相对论动力学基础
可以看出，物体的总能量由两部分组成：第一部分是静能m0c2， 它代表物体运动速度为零时的能量，它是物体的总内能，包括物体内分 子运动动能、分子间相互作用势能、原子内使原子核和电子结合的电磁 能，以及原子核内质子、中子间的结合能等.因为c2的值非常大，所以 即使静质量m0很小的物体，在静止时，其内部也蕴藏着很大的能量； 第二部分是物体的运动动能，它是与参考系的选取相关的，同一物体在 不同参考系中将会有不同的动能.若用E表示物体的总能量，则
动物体相对于此参考系的速度的大小有关而与速度的方向无关.也就是说
，某个参考系中物体的质量m是该物体在此参考系中速率v的函数m(v).
因此，在参考系S和参考系S′中的动量守恒关系式应写为
m(v)v=M(u
(14- 15)
mv′Av′A+mv′Bv′B=Mu′u′
(14- 16)
狭义相对论动力学基础
一起并以速度u运动.若按照经典力学“质量是不变的”，设两小球质量为
mA=mB=m，令M=mA+mB，则此过程动量守恒，即
mv=Mu
(14- 13)
狭义相对论动力学基础
图14- 9 小球在S系和S′系中的碰撞
狭义相对论动力学基础
设在相对地面速度为v的参考系S′中，小球A和B的速度分别为v′A 和v′B，碰撞后的速度为u′.显然式(14- 13)在洛伦兹速度变换下不能保 证在参考系S′中的动量守恒关系，即
狭义相对论动力学基础
1. 相对论动能
设有一静止质量为m0的质点在外力F的作用下从a点移动到b点，根 据动能定理有
狭义相对论动力学基础
狭义相对论动力学基础
式(14- 22)即为相对论中质点动能的表达式.在低速近似（v《c） 下，它可以由泰勒公式展开并保留一阶小量，可得
上式就是经典力学中的动能表达式.
由洛伦兹速度变换式（14- 8），可得
如图14- 9所示，考虑到参考系S和参考系S′中碰撞过程的对称性， 则u′=-u，代入上式可得
(14- 17)
狭义相对论动力学基础
另外，还需要得到碰撞前后的质量关系.为此取一个相对地面速度大 小为v0，方向沿y轴的参考系S，如图14- 10所示，则在S″系中，小球A和 B的速度分量为(v″Ax,v″Ay)和(v″Bx,v″By)，碰撞后的速度分量为(u″x,u″y).在 S系中，小球A和B的速度分量为(v,0)和(0,0)，碰撞后的速度分量为(u,0). 利用洛伦兹速度变换公式
当v0=0时，可得关系式 mv+m0=Mu
(14- 18)
此式也可以称为质量守恒定律.将式(14- 18)代入式(14- 15)中，可得
将式（14- 17）代入上式推导，可得
(14- 19)
狭义相对论动力学基础
于是得到了质量- 速度关系，此式即为狭义相对论力学对质量的 修正.其中，m(0)=m0称为物体的静质量，即物体在相对静止的参考 系中测得的质量.m(v)为以速度v运动的物体的质量，记为m，称为动 质量.可以看出，物体速度越大，质量就越大；速度趋于光速时，对 于静质量不为零的物体，质量将趋于无限大，这表明相对论给出了 任何物体的速度都不可能达到光速.在低速近似下，动质量和静质量 将会相等，即为牛顿力学中的质量.
狭义相对论动力学基础
这就是狭义相对论的质量- 能量关系式.将质量守恒定律式(14- 18)的
两边同乘以c2，可得
mvc2+m0c2=Muc2
(14- 25)
式(14- 25)表示在碰撞前两小球的总能量等于碰撞后物体的总能量，
质量- 速度关系是动量守恒定律满足洛伦兹协变性的条件，对质 量进行修正后，牛顿力学自然推广为狭义相对论力学.
狭义相对论动力学基础
按照定义，速度为v的物体，其相对论动量为
狭义相对论动力学基础
二、 相对论中的质量- 能量关系
将经典力学中的动能定理推广到 狭义相对论力学，便可得到相对论动 能表达式，进而得到相对论中的质量能量关系.
mv′A+mv′B=Mu′
(14- 14)
因此，为保证动量守恒定律的洛伦兹协变性，必须放弃“质量是
每个物体固有的恒量”这一概念.
狭义相对论动力学基础
质量是一个相对量，在不同的参考系中测量质量所得数值是不同的.
或者说，在同一个确定的参考系中测量，物体的质量将因其运动速度不
同而有不同的数值.一个物体相对于一个确定参考系的质量，只能与该运
狭义相对论动力学基础
狭义相对论动力学基础
我们知道，牛顿力学定律的形式在伽利略变换下是保持不变的.在牛 顿力学中，质量是被认为不变的物理量，则根据牛顿第二定律，给一个 质量不大的粒子施加一个较大的作用力时，在不太长的时间内粒子就可 以超过光速.事实上这是不可能的，是与狭义相对论的基本原理相违背的.
狭义相对论的基本原理可以总结为：在所有惯性系中，物理定律都 应该是洛伦兹协变的.也就是说，所有物理定律在洛伦兹变换下都应保持 相同的形式，为保证洛伦兹协变性，必须对牛顿力学定律做一些修正.下 面就通过分析动量守恒定律满足洛伦兹协变性所需要的条件，即质量- 速 度关系，来得到牛顿力学的修正——狭义相对论力学.
狭义相对论动力学基础
一、 动量守恒定律的洛伦兹变换 质量- 速度关系
动量守恒定律是力学中最重要的定律之一，其内容为：当系统所受到
的合外力为零时，系统动量守恒.下面是一种特例.
如图14- 9所示，以地面为参考系S，在光滑平面上有两个完全相同
的小球A和B，小球A以速度v与静止在平面上的小球B发生碰撞后，粘在
图14- 10 小球在S″系中的碰撞
狭义相对论动力学基础
可得在S″系中，A球的速度为
狭义相对论动力学基础
则速率为
狭义相对论动力学基础
则速率为 v″B=v0
碰撞速度为
狭义相对论动力学基础
在S″系中利用y方向的动量守恒可得 M(v″A)v″Ay+m(v″B)v″By=M(u″)u″y
即
狭义相对论动力学基础
狭义相对论动力学基础
2. 质量- 能量关系
将质量- 速度关系式，即式(14- 19)代入相对论动能表达式(14- 22)
中，可得
可改写为
Ek=mc2-m0c2
mc2=Ek+m0c2
(14- 23)
爱因斯坦将m0c2称为物体所具有的静止能量，将mc2称为物体的总
能量.
狭义相对论动力学基础
可以看出，物体的总能量由两部分组成：第一部分是静能m0c2， 它代表物体运动速度为零时的能量，它是物体的总内能，包括物体内分 子运动动能、分子间相互作用势能、原子内使原子核和电子结合的电磁 能，以及原子核内质子、中子间的结合能等.因为c2的值非常大，所以 即使静质量m0很小的物体，在静止时，其内部也蕴藏着很大的能量； 第二部分是物体的运动动能，它是与参考系的选取相关的，同一物体在 不同参考系中将会有不同的动能.若用E表示物体的总能量，则
动物体相对于此参考系的速度的大小有关而与速度的方向无关.也就是说
，某个参考系中物体的质量m是该物体在此参考系中速率v的函数m(v).
因此，在参考系S和参考系S′中的动量守恒关系式应写为
m(v)v=M(u
(14- 15)
mv′Av′A+mv′Bv′B=Mu′u′
(14- 16)
狭义相对论动力学基础
一起并以速度u运动.若按照经典力学“质量是不变的”，设两小球质量为
mA=mB=m，令M=mA+mB，则此过程动量守恒，即
mv=Mu
(14- 13)
狭义相对论动力学基础
图14- 9 小球在S系和S′系中的碰撞
狭义相对论动力学基础
设在相对地面速度为v的参考系S′中，小球A和B的速度分别为v′A 和v′B，碰撞后的速度为u′.显然式(14- 13)在洛伦兹速度变换下不能保 证在参考系S′中的动量守恒关系，即
狭义相对论动力学基础
1. 相对论动能
设有一静止质量为m0的质点在外力F的作用下从a点移动到b点，根 据动能定理有
狭义相对论动力学基础
狭义相对论动力学基础
式(14- 22)即为相对论中质点动能的表达式.在低速近似（v《c） 下，它可以由泰勒公式展开并保留一阶小量，可得
上式就是经典力学中的动能表达式.
由洛伦兹速度变换式（14- 8），可得
如图14- 9所示，考虑到参考系S和参考系S′中碰撞过程的对称性， 则u′=-u，代入上式可得
(14- 17)
狭义相对论动力学基础
另外，还需要得到碰撞前后的质量关系.为此取一个相对地面速度大 小为v0，方向沿y轴的参考系S，如图14- 10所示，则在S″系中，小球A和 B的速度分量为(v″Ax,v″Ay)和(v″Bx,v″By)，碰撞后的速度分量为(u″x,u″y).在 S系中，小球A和B的速度分量为(v,0)和(0,0)，碰撞后的速度分量为(u,0). 利用洛伦兹速度变换公式
当v0=0时，可得关系式 mv+m0=Mu
(14- 18)
此式也可以称为质量守恒定律.将式(14- 18)代入式(14- 15)中，可得
将式（14- 17）代入上式推导，可得
(14- 19)
狭义相对论动力学基础
于是得到了质量- 速度关系，此式即为狭义相对论力学对质量的 修正.其中，m(0)=m0称为物体的静质量，即物体在相对静止的参考 系中测得的质量.m(v)为以速度v运动的物体的质量，记为m，称为动 质量.可以看出，物体速度越大，质量就越大；速度趋于光速时，对 于静质量不为零的物体，质量将趋于无限大，这表明相对论给出了 任何物体的速度都不可能达到光速.在低速近似下，动质量和静质量 将会相等，即为牛顿力学中的质量.