圆的垂径定理及推论知识点与练习

圆的垂径定理及其推论知识点与练习

（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。若直径AB ⊥弦CD 于点E ，则CE=DE ，⌒

AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD （2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

若CE=DE ，AB

是直径，则⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

若AB ⊥CD ，CE=DE ，则CD 是直径，⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD

③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

若⌒ AC =⌒

AD ，AB 是直径，则AB ⊥CD ，CE=DE ，⌒ BC =⌒ BD

④圆的两条平行弦所夹的弧相等。

若CD ∥FG ，CD 、FG 为弦，则⌒ FC =⌒ GD

特别提示：①垂径定理及其推论可概括为：

过圆心

垂直于弦

直径 平分弦 知二推三

平分弦所对的优弧

平分弦所对的劣弧

②垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”．

（3）垂径定理及推论的应用：

它是证明圆内线段相等、角相等、垂直关系及利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。

①垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，其本质是“过圆心”；

②在圆的有关计算中常用圆心到弦垂线段、弦的一半、半径构造出垂径定理的条件和直角三角形，从而应用勾股定理解决问题；

例：如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31，

圆的半径为2cm ，求AB 的长。 解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点C ，由

题意得，∵⌒ AB = 3

1×360º=120º ∴∠AOB=120º，∴∠AOC=60º,在Rt △AOC 中，∵∠AOC=60º，OA=2，∴OC =

2

1OA=1，∴AB=2AC=222OC AO =23 故AB 的长为23 练习

一、选择题

1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ）

A 、CM=DM

B 、∠ACB=∠ADB

C 、AD=2B

D D 、∠BCD=∠BDC

G

A A

（1题图） （2题图） （3题）

2、圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB=8m ，∠CAD=30°，则大棚高度CD 约为（ ）

A 、2.0m

B 、2.3m

C 、4.6m

D 、6.9m

3、如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为（

） A 、4cm B 、5cm C 、6cm D 、8cm

4、半径为2cm 的圆中，有一条长为2cm 的弦，则圆心到这条弦的距离为（ ）

A 、1cm

B 、 cm

C 、 cm

D 、2cm

5、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）

A 、∠COE=∠DOE

B 、CE=DE

C 、OE=BE

D 、⌒ BC =⌒

BD

（题5） （题6）

6、如图所示，在⊙O 中，OD ⊥AB 于P ，AP=4cm ，PD=2cm ，则OP 的长等于（ ）

A 、9cm

B 、6cm

C 、3cm

D 、1cm 二、填空题

有 条相等的弧。

（题2） （题

3） 1、如图1中有 对全等的直角三角形；有 个等腰三角形；2、如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD=10cm ，AP ：PB=1：5，则⊙O 的半径为 cm ．

3、如图所示，⊙O 中，弦CD 交直径AB 于点P ，AB=12cm ，PA ：PB=1：5，且∠BPD=30°，则CD= cm ．

4、在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝____ _。

5、已知圆的半径5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。

6、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为 ____。 题1 C D

A

O

B E

7、在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_____ _。

8、在弓形ABC中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。

9、⊙O的直径为20，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是。

10、在弓形ABC中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。

三、解答题

1、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。

2、如图所示，P为弦AB上一点，CP⊥OP交⊙O于点C，AB＝8，AP:PB＝1:3，求PC的长。

3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。

题3

题1

题2