第2章——多自由度系统的振动——强迫振动
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船体振动基础
1
第2章多自由度系统的振动
第章多自由度系统的振
一、引言
二、两自由度系统的振动
2
正则振型
上节课内容的回顾
⎪⎫
⎪⎧)(1i Φ⎪⎫⎪⎧)()(1)(i n i ΦΦ⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎨=Φ
)(2)
(i i ΦM 取1)(=i n Φ⎪⎪⎪⎬⎪)()(2)(i n i ΦΦM
上节课内容的回顾
1
=pi i
M c 2=1
=
书上例题P49：例2.9
¾振动方程组解耦
F1F2
k1k2
m1m k
3
两自由度弹簧-质量
(1) 21211F kx kx x
m =−+&&(2) 22212F kx kx x
m =+−&&(2)－(1)：121212)(3)(F F x x k x x m −=−+−&&&&
(2)＋(1)：&&&&121212)()(F F x x k x x m +=+++121x x y −=F F Q −=1
22x x y +=引入坐标变换：
定义广义力：
1
22121F F Q +=m +&&1113Q ky y =2
22Q ky y m =+&&质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵:[]⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=m m M 00[]⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=k k K 0
03质量矩阵和刚度矩阵的形式与坐标选取有关
上节课内容的回顾
¾通过选取坐标系直接使质量矩阵和刚度矩阵同时
为对角矩阵难以实现。
¾通过坐标变换使振动微分方程组质量矩阵和刚度矩阵同时对角化（解耦）——振动模态分析的基本思路。
•系统的振动表示为所
有n个主振动的叠加
¾对多自由度系统振动求响应
求解的类型：
无阻尼振动系统对初始条件的响应
无阻尼振动系统对任意激励的响应
有阻尼振动系统对各种激励的响应
（简谐激励、周期激励、任意激励）
阻尼的表达与处理：
一、什么情况下需要讨论阻尼的影响？
1、系统的阻尼很小，而
且激励频率又远离共振频率，
阻尼效应影响很小，可以
忽略不计。
2、当激励频率接近固有频率时，
阻尼的影响显著，便不能忽略。
阻尼的表达与处理：
二、阻尼的表达与处理。
1、由于阻尼机理很复杂，通常采用粘性阻尼假设，即假设系统的阻尼力与速度的一次方成正比。
2、在结构动力分析中，经常采用的是以下的瑞利阻尼假设，即阻尼矩阵C为如下形式：
M K
=+
Cαβ
,αβ—比例常数。
阻尼的表达与处理：二、阻尼的表达与处理。
C αβ=+M K
,αβ—比例常数。
0;=上式表示阻尼矩阵正比于质量矩阵，
或正比于刚度矩阵，或者正比于它们的线性组合，称这种阻尼为比例阻尼。
β0α=
阻尼的表达与处理：三、阻尼的对角化。
设为正则化振型，则：
ΦT T T C M K I αβαβΦΦ=ΦΦ+ΦΦ=+Λ
式中，I—单位矩阵；—对角矩阵。
ΛΛ=diag()。
2nr
ω
阻尼的表达与处理：三、阻尼的对角化。
阻尼的表达与处理：三、阻尼的对角化。
阻尼的表达与处理：
三、阻尼的对角化。
(1)由于阻尼的机理很复杂，至今都没有完全清楚，
故难以精确的确定阻尼矩阵，通常采用实验测定
的方法近似地确定阻尼比。
(2)但是由于系统并非总是比例阻尼，因此，可以近似的
取值，尤其阻尼比很小时，可以令非对角元素为零，建立对角阻尼矩阵。
¾对多自由度系统振动求响应P60求解的基本步骤：(1)列出振动微分方程无阻尼自由振动系统+=Mq
Kq 0&&无阻尼任意激振+=Mq
t Kq t F t &&有阻尼各种激励振振动系统
()()()Mq
&&&动系统
()()()()++=t Cq t Kq t F t
¾对多自由度系统振动求响应求解的基本步骤：
¾对多自由度系统振动求响应求解的基本步骤：
(4)用正则振型矩阵进行坐标变换（方程组解耦）令
()()
=q t u ηt T 代入无阻尼自由振动系统，并用u 左乘方程
()()T
T
+=u Mu η
t u ku ηt 0&&()()02
=+t t r r r ηωη&&)
,,2,1(n r L =T
T
T
+==u Mu t u Ku t u F t N(t)&& 代入无阻尼任意激振振动系统，并用u T 左乘方程
()()()ηη()
()()()t N t t r r r r =+ηωη2
&&)
,,2,1(n r L =
求解的基本步骤：
¾对多自由度系统振动求响应
代入有阻尼各种激励振动系统，并用u T 左乘方程（阻尼应为比例阻尼、振型阻尼）
C ()
()()()()T
T
T
T
++==u M u ηt u Cu ηt u Ku ηt u F t N(t)&&&2
&&&1）简谐激励，
()sin t
ω=0F t F ()()()02sin()r r r r r r
r t t t N t η
ζωηωηω++=n r 21L =()
,,,()T
0r r N =0
u
F