第2章——多自由度系统的振动——强迫振动

船体振动基础
1
第2章多自由度系统的振动
第章多自由度系统的振
一、引言
二、两自由度系统的振动
2
正则振型
上节课内容的回顾
⎪⎫
⎪⎧)(1i Φ⎪⎫⎪⎧)()(1)(i n i ΦΦ⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎨=Φ
)(2)
(i i ΦM 取1)(=i n Φ⎪⎪⎪⎬⎪)()(2)(i n i ΦΦM
上节课内容的回顾
1
=pi i
M c 2=1
=
书上例题P49：例2.9
¾振动方程组解耦
F1F2
k1k2
m1m k
3
两自由度弹簧-质量
(1) 21211F kx kx x
m =−+&&(2) 22212F kx kx x
m =+−&&(2)－(1)：121212)(3)(F F x x k x x m −=−+−&&&&
(2)＋(1)：&&&&121212)()(F F x x k x x m +=+++121x x y −=F F Q −=1
22x x y +=引入坐标变换：
定义广义力：
1
22121F F Q +=m +&&1113Q ky y =2
22Q ky y m =+&&质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵:[]⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=m m M 00[]⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=k k K 0
03质量矩阵和刚度矩阵的形式与坐标选取有关
上节课内容的回顾
¾通过选取坐标系直接使质量矩阵和刚度矩阵同时
为对角矩阵难以实现。

¾通过坐标变换使振动微分方程组质量矩阵和刚度矩阵同时对角化（解耦）——振动模态分析的基本思路。

•系统的振动表示为所
有n个主振动的叠加
¾对多自由度系统振动求响应
求解的类型：
无阻尼振动系统对初始条件的响应
无阻尼振动系统对任意激励的响应
有阻尼振动系统对各种激励的响应
（简谐激励、周期激励、任意激励）
阻尼的表达与处理：
一、什么情况下需要讨论阻尼的影响？
1、系统的阻尼很小，而
且激励频率又远离共振频率，
阻尼效应影响很小，可以
忽略不计。

2、当激励频率接近固有频率时，
阻尼的影响显著，便不能忽略。

阻尼的表达与处理：
二、阻尼的表达与处理。

1、由于阻尼机理很复杂，通常采用粘性阻尼假设，即假设系统的阻尼力与速度的一次方成正比。

2、在结构动力分析中，经常采用的是以下的瑞利阻尼假设，即阻尼矩阵C为如下形式：
M K
=+
Cαβ
,αβ—比例常数。

阻尼的表达与处理：二、阻尼的表达与处理。

C αβ=+M K
,αβ—比例常数。

0;=上式表示阻尼矩阵正比于质量矩阵，
或正比于刚度矩阵，或者正比于它们的线性组合，称这种阻尼为比例阻尼。

β0α=
阻尼的表达与处理：三、阻尼的对角化。

设为正则化振型，则：
ΦT T T C M K I αβαβΦΦ=ΦΦ+ΦΦ=+Λ
式中，I—单位矩阵；—对角矩阵。

ΛΛ=diag()。

2nr
ω
阻尼的表达与处理：三、阻尼的对角化。

阻尼的表达与处理：三、阻尼的对角化。

阻尼的表达与处理：
三、阻尼的对角化。

(1)由于阻尼的机理很复杂，至今都没有完全清楚，
故难以精确的确定阻尼矩阵，通常采用实验测定
的方法近似地确定阻尼比。

(2)但是由于系统并非总是比例阻尼，因此，可以近似的
取值，尤其阻尼比很小时，可以令非对角元素为零，建立对角阻尼矩阵。

¾对多自由度系统振动求响应P60求解的基本步骤：(1)列出振动微分方程无阻尼自由振动系统+=Mq
Kq 0&&无阻尼任意激振+=Mq
t Kq t F t &&有阻尼各种激励振振动系统
()()()Mq
&&&动系统
()()()()++=t Cq t Kq t F t
¾对多自由度系统振动求响应求解的基本步骤：
¾对多自由度系统振动求响应求解的基本步骤：
(4)用正则振型矩阵进行坐标变换（方程组解耦）令
()()
=q t u ηt T 代入无阻尼自由振动系统，并用u 左乘方程
()()T
T
+=u Mu η
t u ku ηt 0&&()()02
=+t t r r r ηωη&&)
,,2,1(n r L =T
T
T
+==u Mu t u Ku t u F t N(t)&& 代入无阻尼任意激振振动系统，并用u T 左乘方程
()()()ηη()
()()()t N t t r r r r =+ηωη2
&&)
,,2,1(n r L =
求解的基本步骤：
¾对多自由度系统振动求响应
代入有阻尼各种激励振动系统，并用u T 左乘方程（阻尼应为比例阻尼、振型阻尼）
C ()
()()()()T
T
T
T
++==u M u ηt u Cu ηt u Ku ηt u F t N(t)&&&2
&&&1）简谐激励，
()sin t
ω=0F t F ()()()02sin()r r r r r r
r t t t N t η
ζωηωηω++=n r 21L =()
,,,()T
0r r N =0
u
F
¾对多自由度系统振动求响应求解的基本步骤：
求解的基本步骤：3）任意激励，
()()()2
2()
r r r r r r r t t t N t ηζωηωη++=&&&()
n r ,,2,1L =(5)按单自由度相关方法求各正则坐标下的响应
各正则坐标下单自由度自由振动系统，对初始条件的响应
1）原坐标下的初始条件变换为正则坐标下的初始条件
1
−q 1
−η
&&00
=ηu 00=u q T
T
,
==0000ηu Mq η
u Mq &&
2）初始条件响应求解公式
各正则坐标下单自由度有阻尼振动系统对各种激振
2）周期激励（稳态响应）
3）任意激励
(5)变换为原坐标下的响应
n
()()
()
1
r r r t η===∑q t u η(t)u 11121n u u u ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪2122212()()()
n n u u u t t t ηηη⎪⎪⎪⎪⎪⎪
=++⎨⎬⎨⎬⎨⎬L M M M 12n n nn u u u ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭
¾5 例题求解振动方程
图示三自由度有阻尼受迫振动系统。

已知：
k k k ==
0⎡⎡¾5 例题求解振动方程
&&&122
2233r r r r r r r +−⎤⎢⎥=−+−⎢⎥C 12Q Q ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥Q 12x x ⎤
⎢⎥=⎢⎥X 12x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎦X &&12x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎦X &&&&&&3
340
r r r ⎢⎥−+⎣⎦
3Q ⎢⎥⎣⎦3x ⎢⎥⎣⎦
3x ⎢⎥⎣&3x ⎢⎥⎣++=MX CX KX Q
&&&则系统的微分方程为
系统的特征矩阵为
⎡2
22
2.5 1.50
1.5 3.52k m k k k m
k ωωω⎤−−⎢⎥=−=−−−H K M 2023k k m ω⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦
¾5 例题响应求解
&&某振动系统的运动微分方程为：+=Mq
Kq F(t)⎤⎢⎡m
002520k k −⎡⎤0⎡⎤
其中，⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎣=m m 0005.10M 230
k
k
k k
k ⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−K 2sin 0Q t ω⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
F(t)⎣⎦
0.679−⎡⎤
已知该振动系统的二阶振型为，'(2)
0.6066⎢⎥=−⎢⎥u
1.000⎢⎥⎣⎦
试用模态分析法求对应于二阶振型的强迫振动解。

¾5 例题响应求解
对应第二阶主质量和主刚度分别为
¾5 例题响应求解
用二阶正则化阵型对原方程进行处理
¾5 例题响应求解
书上例题P62：例2.15。