常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换)ppt课件
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14
学生活动
3.求 y
x2 (x
0)在M1
1 0
0
1
1
M2
0
0 1
1
M3
0
0
0
1 M4 1
1 0
分别作用下变换得到的曲线.
4.二阶矩阵M对应的变换将 (1, 1) 与 (2,1)
分别变换成 (5, 7) 与 (3,6)
(1)求矩阵M
(2)求直线l : x y 4在此变换下所变成的直线
l 的解析式.
(2, 2)
O
x
两个几何图形有何特点?
4
问题情境
y
O
x
已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片F, 将它做关于x轴、y轴和坐标原点对称的变换,分别得 到图片F1 , F2 , F3 ,这些变换能用矩阵来刻画吗?
5
问题1:若将一个平面图形 F 在矩阵M1 的作用变换下得到关于 y 轴对称的几
何图形,则如何来求出这个矩阵呢?
这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.
11
学生活动
变式:
设
a,b
R
若M
a 1
0 b
定义的线性变换把直线
l : 2x y 7 0变换成另一直线 l : x y 7 0
求a, b 的值.
12
学生活动
1.求平行四边形OBCD在矩阵01
0 1
作用
下变换得到的几何图形,并给出图示,其中
O(0,0), B(2,0),C(3,1), D(1,1)
8
数学应用
例1 求出曲线 y x2
(x 0) 在矩阵
M
1 0
0 1
作用下变换所得的图形. y
y x2 (x 0)
1
O
1
x
-1
y x2 (x 0)
9
数学应用
例2.求出直线 y 4x 在矩阵
作用下变换得到的图形.
M
0 1
1 0
变: y lg x(x 0)
y 10x y
y lg x (x 0)
1
O
1
x
10
数学应用 例3.求直线l : 2x y 7 0 在矩阵 M
作用下变换得到的图形.
3 1
0 1
思考1:若矩阵M
3 1
10改为矩阵
A
3 1
1 1
则变换得到的图形是什么?
思考2:我们从中能猜想什么结论? 或点
一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线.
A(1α 2β) 1Aα 2Aβ
2.求出曲线y 3 x 在矩阵
作用下变换得到的曲线.
M
0 1
1
0
13
学生活动
1.求矩形OBCD在矩阵
0 1
01作用下变换得到的
几何图形,并给出图示,其中
O(0, 0), B(2, 0),C(2,1), D(0,1)
2.求出曲线
y
3
x
经 M1
1 0
0 1
和
0 M2 1
1 0
作用下变换得到的曲线.
直线 y x对称的图形;
(4) M5
0 1
1把一个几何图形变换为与之关于
0 直线 y x对称的图形;
7
构建数学 一般地,称形如 M1, M 2 , M3, M 4 , M5
这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的 平面图形的变换矩阵,称之为反射变换矩阵,对应的 变换叫做反射变换,其中(3)叫做中心反射,其余 叫轴反射.其中定直线叫做反射轴,定点称为反射点.
17
数学应用
例4.已知A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)、D(0,1) 试求矩形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图形,并 求出其顶点坐标,画出示意图。
变式:将条件改为矩形ABCD绕原点顺时针旋转300.
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延伸拓展
已知二阶矩阵M对应的变换将(1,-1)与(-2,1) 分别变换为(5,7)与(-3,6). (1)求矩阵M;
15
构建数学 旋转变换
2.旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转
θ的变换矩阵P(.x其, y中)θ称为旋转角,点O为旋转中心.
r
r P(x, y)
x r cos
y
r
sin
x r cos( ) r cos cos r sin sin xcos y sin
y
r
sin(
)
r sin
矩阵
1 0
0 1
对应的变换,都把自己变为自己.
1 0 x x
x x x
0
1
y
y
T
:
y
y
y
2
温故知新
2.伸压变换矩阵 M
a 0
0 1
N
1 0
0
b
伸压变换 矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩,
或沿y轴方向伸长或压缩的变换矩阵.
1 0
0 1 2
x
y
x y 2
(2)求直线L:x-y=4在此变换下所成的直线L/的解析式.
19
cos
r
cos
sin
y
cos
x sin
cos sin x x cos y sin x
sin
cos
y
x sin
y
cos
y
16
旋转变换
M=
cos sin
sin
cos
0 1 0 1
1
0
,
-1
0
0 1
1 0
x
y
y x
T
:
x y
x y
y x
旋转变换矩阵主对角线上的两个数相等,副对角线上的两
个数互为相反数,且每行、每列的两个数的平方和为1.另外中 心对称与旋转1800是同一变换, 要注意旋转变换中旋转方向 为逆时针.
旋转变换只改变几何图形的相对位置,不会改变几何图形
的形状,旋转中心在旋转过程中保持不变,图形的旋转由旋 转中心和旋转角度决定,显然绕定点旋转1800的变换相当于 关于定点作中心反射变换.
x x x 1 0 x
T1
:
y
y
y
0
1
y
变换矩阵为 M1
1
0
0 1
6
问题2:能否再找出其它类似的变换矩阵吗?
(1)
M2
1 0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1 x轴对称的图形;
(2) M3
1
0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1原点对称的图形;
(3)
M4
0 1
1 0
把一个几何图形变换为与之关于
T
:
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
x y
x y 2
伸压变换——
1 0
0 2
3 0
0 1
1 0
0 0.5
3
问题情境
求圆C:(x 2)2 ( y 2)2 2在矩阵
1
M
0
0 1
作用下变换所得的曲线.
y
(x 2)2 ( y 2)2 2
(x 2)2 ( y 2)2 2
(2, 2)
学习目标: 1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换; 2.掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义; 3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,往往将直线变成直线或点。
1
温故知新
1.恒等变换矩阵(单位矩阵)
E
1 0
0 1
恒等变换是指对平面上任何一点(向量)或图形施以