圆周运动实例分析

圆周运动实例分析

【学习目标】

1．会在具体问题中分析向心力的来源，会处理火车转弯、汽车过桥等圆周运动问题。

2．会应用牛顿运动定律分析圆周运动问题

【课堂导学】

一、汽车过桥问题

我们先来分析汽车过拱桥最高点时对桥的压力.设汽车的质量为m，过最高点时的速度为v，桥面半径为r.汽车在拱桥最高点时的受力情况如图6-4所示，重力G和桥对它的支持力F1的合力就是汽车做圆周运

动的向心力，方向竖直向下(指向圆心)所以G-F1=m ，则F1=G-m .

汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力和反作用力

故压力F1′＝F1＝G-m .

小结：

1．汽车在凸形桥的最高点时，谁提供向心力？请写出对应的表达式。

（设桥的半径是r，汽车的质量是m，车速为v，支持力为F N）

①支持力F N________重力G

②v越大，则压力_________，当v=________时，压力=0。

思考：汽车在凹形桥的最低点时，谁提供向心力？请写出对应的表达式。

设桥的半径是r，汽车的质量是m，车速为v，支持力为F N。

①支持力F N________重力G

②v越大，则压力_________。（温馨小提示：画出简图，对汽车进行受力分析，找出向心力来源）

典型例题1——关于汽车通过不同曲面的问题分析

一辆质量t的小轿车，驶过半径m的一段圆弧形桥面，求：

（重力加速度）

（1）若桥面为凹形，汽车以20m／s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？

（2）若桥面为凸形，汽车以10m／s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？

（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？

变式训练：一辆质量m=2.0t的小轿车，驶过半径R=90m的一段圆弧形桥面，求：（重力加速度g=10m/s2）（1）若桥面为凹形，汽车以20m／s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？

（2）若桥面为凸形，汽车以10m／s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？2、当小汽车以10m/s的速度通过一座拱桥的最高点，拱桥半径50m，求此车里的一名质量为60kg的乘客对座椅的压力

二、圆锥摆。

画出圆锥摆球受力分析图.

画出轨迹圆，找圆心，标出半径。并指出向心力的来源

例题1.如图所示，长为L的细线，栓一质量为m的小球，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动，如右图所示，求摆线L与竖直方向的夹角为θ时，

（1）线的拉力F;

（2）小球运动的线速度大小；

（3）小球运动的角速度大小及周期。

θ

θ

θ G

F 合

F 三、漏斗摆θ

F

F N

G

如图所示是双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员做圆锥摆运动的精彩场面，若女运动员做圆锥摆时和竖直方向的夹角约为θ，女运动员的质量为m ，转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为r ，求： （1）男运动员对女运动员的拉力大小. （2）两人转动的角速度.

（3）如果男、女运动员手拉手均做匀速圆周运动，已知两人质量比为2∶1，求他们做匀速圆周运动的半径比.

四、火车转弯问题

首先观察火车轮缘和铁轨的外形

火车转弯时，是什么力作为向心力呢?如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力F 就是使火车转弯的向心力.设转弯半径为r ，火车质量为m ，转弯时速率为v ，则，F=m

.由于火车质量很大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力要很大，

铁轨容易受到损坏.

实际在修筑铁路时，要根据转弯处的半径r 和规定的行驶速度v 0，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G 和支持力F N 的合力来提供，如图6-3所示.必须注意，虽然内外轨有一定的高度差，但火车仍在水平面内做圆周运动，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿“斜面”向

上.F=Gtg α=mgtg α，

故mgtg α=m

,

通常倾角α不太大，可近似取tg α=h/d ，则hr=d

.

我国铁路转拐速率一般规定为v 0=54km/h,即v 0=15m/s,轨距d=1435mm,

所以hr 为定值.铁路弯道的曲率半径r 是根据地形条件决定的. 小结：

1．火车转弯时的运动特点：火车转弯时做的是________运动，因而具有向心加速度，需要__________。 为了消除火车车轮对路轨的侧向压力，铁路弯道处内、外轨不在同一水平面上，即_______高、__________

低。其高度差是根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度而设计的。 2．计算规定速度：

设火车质量m 、轨道平面倾角θ、轨道转弯处半径r 、 规定的车速v ，

则应有 （写出表达式）

在转弯处：(1)若列车行驶的速率等于规定速度，则两侧轨道都不受车轮对它的侧向压力

(2)若列车行驶的速率大于规定速度，则___轨必受到车轮对它向___的压力（填“内”或“外”）. (3)若列车行驶的速率小于规定速度，则___轨必受到车轮对它向___的压力（填“内”或“外”）.

例1、一辆汽车质量为4t ，以15m/s 的速率沿半径为30m 的水平弯路转弯，汽车所需0向心力为多大？若要求此向心力不需要摩擦力提供，路面的倾角应该多大？

练习：火车经过某段半径为1000m 的弯道，该弯道的通过速度为72km/h ，铁轨间距为1.5m ，为保证

列车按规定速度通过时对内外轨没有侧压力，外轨应该比内轨高多少？（g 取10m/s 2

）

五、竖直面内圆周运动

在绳的作用下，物体在竖直平面内做变速圆周运动时，

①最高点的临界状态：绳子对物体没有力的做用：mg ＝mV 02/R ，临界速度V 0＝ 。

②V> V 0时，绳子对物体产生拉力，向心力方程： 。 ③V< V 0时，物体不能达到最高点。

在杆的作用下，物体在竖直平面内做变速圆周运动时，

①最高点的临界状态：杆对物体没有力的做用：mg ＝mV 02/R ，临界速度V 0＝ 。 ②V> V 0时，杆对物体产生拉力，向心力方程： 。 ③V< V 0时，杆对物体产生支持力，向心力方程： 。 ④V ＝0时，F N ＝mg （F N 为支持力）。

图

3-8

图3-9