工程电磁场数值分析5(有限元法) Ansys工程电磁场有限元分析 华科电气共74页

代入方程得余量：
i1
RL(u)f
在有限元法中，基函数一般用 {Ni,i1,2, ,n}表示。
采用Galerkin方案，取权函数与基函数相同。使与余量正交 化：
(N i,R ) N i[L (u)f]d 0 (i1, 2, , n)
加权余量法回顾（续） (N i,R ) N i[L (u)f]d 0
工程电磁场数值分析
（有限元法）
华中科技大学电机与控制工程系
陈德智
2019.12
第4章 电磁场有限元法 （Finite Element Method, FEM）
有限元法可以基于变分原理导出，也可以基于加权 余量法导出，本章以加权余量法作为有限元法的基础， 以静电场问题的求解为例介绍有限元法的基本原理与实 施步骤。并介绍有限元法中的一些特殊问题。
K0116N0L(N1)d
b Nfd 0 1 2 3 4 5 6 0
以下把单元e的贡献记为
K(e) ij
eNi(e)L(N(je))d
b(e) i

e
N(e) i
f(e)d
这样，就有
K 0 0 K 0 ( 1 0 ) K 0 ( 0 2 ) K 0 ( 0 3 ) K 0 ( 0 4 ) K 0 ( 0 5 ) K 0 ( 0 6 )
y y2 y3
111 1 2 2 x1 x x3
y1 y y3
单元节点的编号按 逆时针方向排列！
1 11 1 3 2 x1 x2 x
y1 y2 y
u (x ,y ) u 1 1 ( x ,y ) u 2 2 ( x ,y ) u 3 3 ( x ,y )
记住我们的任务 —寻找基函数
作用后值为0。但是，在相邻单元的边
界上， Ni是连续但是不光滑的，因此对 积分的贡献主要来自边界。为考虑单元
边界的影响，需要借助于格林公式：
格林公式： V ( 2 )d V S d S
K i ( je ) eN i 2 ( N j) d x d y e N i N jd x d y eN i N n jd
在积分 Kij NiL(Nj)d中，对于确定的 i，j的有效取
值为i本身以及与节点i相联的周围节点，积分的有效区域为 以i、j为公共节点的所有三角形单元 ，在这些单元中Ni、Nj 才有交叠。
这些积分可以分单元进行。例如对 右图所示的局部编码，K01、K00以及 b0的计算公式为：
K 00 1 2 3 4 5 6N 0L (N 0)d
得代数方程组： Kαb
场域离散
以二维静电场泊松方程的求解为例。二维问题常使用三角 形单元离散，便于处理复杂的场域形状，容易实现。
单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是 单一、均匀的。
节点：网格的交点，待求变量的设置点。 需要记录信息： 节点编号、节点坐标 节点属性(激励源、是否边界等) 单元编号 单元节点编号 单元介质
第4章 电磁场有限元法（FEM）
1. 有限元的基本原理与实施步骤 2. 有限元方程组的求解 3. 前处理与后处理技术 4. 渐近边界条件 5. 矢量有限元法 6. 求解运动导体涡流问题的迎风有限元法
1. 有限元法的基本原理与实施步骤
加权余量法回顾：
对算子方程
L(u) f
n
用 u 作为该方程的近似解（试探解）：u i i
K01K0(11) K0(16)
b 0 b 0 ( 1 ) b 0 ( 2 ) b 0 ( 3 ) b 0 ( 4 ) b 0 ( 5 ) b 0 ( 6 )
每个 K
(e) ij
或
b (e) i
的计算都在具体的单元内单独考虑（称
为单元分析）。
三角形单元内的基函数 设三角形三个顶点处待求函数值 分别为u1, u2, u3。如果单元足够小， 可以采用线性近似，将单元内任 意p点的u(x,y)表示为
u(x,y)abxcy
代入三个顶点的坐标和函数值， 可以解出a、b、c。得到
u (x ,y ) u 1 1 ( x ,y ) u 2 2 ( x ,y ) u 3 3 ( x ,y )
111
其中，

1 2
x1
x2
x3
y1 y2 y3
11 1 1 1 2 x x2 x3
（1）是插值的；
1 (i j) （2）Ni(xj,yj)0 (i j) （3）在相邻单元的公共边界上，
Ni是连续的，从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的。
单元分析：计算单元内积分对系数阵和右端项元素的贡献。
系数阵元素：
K(e) ij
eNi(e)L(N(je))d
当L为拉普拉斯算子时，由于Ni在单元 内是(x, y)的线性函数，经Laplace算子
u (x ,y )1 N 12 N 23 N 3
对比 u (x ,y ) u 1 u 3 3 ( x ,y )
可得
Ni

i (x,
y)
( i 1, 2, 3)
基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数，具有以下性质：
Ki,j NiL(Nj)d bi Ni fd
目标：建立节点变量之间满足的 代数方程组，即确定系数{Kij} 和 {bi}。依据的原理是加权余量法 使用的基函数为分域基。
基函数
有限元采用分片逼近的思想，跟 使用折线逼近一条任意曲线的做 法相同。使用分域基Ni，基函数 的个数等于节点的个数；每个基 函数Ni的作用区域是与该节点i相 关联的所有单元。
n
设L为线性算子，代入 u i N i ，得 i1
n
n
N i[L ( jN j) f]d N i[ jL (N j) f]d 0
j 1
j 1
n
或
j NiL(Nj)dNi fd (i1, 2, , n)
j1
记 Ki,j NiL(Nj)d bi Ni fd