2椭圆及其标准方程导学案

青 蓝 工 作 室

高中数学 ◆必修3 ◆ 导学案

编写：小组名单

§2.2.1 椭圆及其标准方程（ 1）

例 1： 已知椭圆两个

焦点的 坐标分别是

2,0 ，

◆优效预习

5

3

，求它的标准方程．

（一）学习目标

2,0 ，并且经过点

,

2

2

（ 1）从具体情境中抽象出椭圆的模型 （ 2）掌握椭圆的定义

（ 3）掌握椭圆的标准方程

（二）重点难点 ：

重点：椭圆的定义及标准方程 难点：椭圆标准方程的推导

.

（三） 自主预习：

1、两个同学合作，画出课本第

38 页探索中的图形，并思

考在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是

.

例 2：求适合下列条件的椭圆的标准方程：

2、椭圆的定义 :

（ 1）焦点在 x 轴上，且经过点（ 2，0）和点（ 0，1） .

平面内与两个定点

F 1 、 F 2 的距离的

等于常数 （ 2）焦点在 y 轴上，与 y 轴的一个交点为

P （0，－10），

(

)

的点的轨迹叫做椭圆 . 这两个定点

F 1、 F 2 叫做

P 到离它较近的一个焦点的距离等于

2.

，两定点的距离叫做

；定义中提到的 “常数”

常用 表示，焦距常用

. 椭圆定义的数学表

达式： 。

① 当

时，点 P 的轨迹是线段

； ② 当

时，点 P 的轨迹不存在．

3、椭圆的标准方程

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

标准方程 小结：椭圆标准方程中： a 2

b 2

c 2 ； a b ．

例 3、点 P 是椭圆 y

2

x 2 1上的一点， F 1

，F 2

是椭圆的 焦点

5

4

两焦点，且∠ F 1PF 2=30°，求△ F 1 PF 2 的面积 .

a,b,c

的

关系

其中：由椭圆的标准方程判断焦点位置或由焦点位置选椭圆

标准方程的形式的方法是

；当椭圆是标准

方程 , 但焦点位置不确定时

, 可应用分类讨论法解答

, 也可设

其方程为

或

．

4、焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程

x 2

y 2

1 a b 0

其中 b 2

a 2 c 2

x

2

y

a

2

b

2

例 4、方程

y 轴上的椭圆， 求实数 m

若焦点在 y 轴上，两个焦点坐标

，则椭圆的

9

1表示焦点在

m

标准方程是 ．

的范围．

◆高效课堂

◎典例精析

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么？

◎随堂练习

1．判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明 a 2 、b 2，写出焦点坐

标：

x

2

y

2

1

，

x

2

y 2

1

，

x

2

y 2

1。

144

25 16 m

2

m

2

169

1

2．已知椭圆方程 , 2x 2

3 y 2 6 ，则这个椭圆的焦距为

( )

．

（ A ）2 （B ） 3

（C ） 2( 3

2)

（D ）

2( 32)

3．下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是（ ）．

（

A ） x 2

y 2 与 y 2 x 2 1

4 2 1 4 2

（

B ） x 2

y 2

与 x 2 y

2

1

4 2 1 8 4

（

C ） x 2

y 2 与 x 2 y 2

1

4

2 1 42

2 2

（

D ） x 2

y 2 与 x 2 y 2

1(m

0)

4

2

1 4 m

2 m

4．a=6,c=1 的椭圆的标准方程是 ( ) ．

（ A ） y

2

x 2 1 （ B ） y 2

x 2 1

36

35 35

36

2

2

（ D ）以上答案都不对

（ C ） y

x 1

5

36

5. 已知△ ABC 中， B （-3 ，0），C （3，0）， AB 、BC 、AC 成等差

数

列 ． 则 顶 点 A 的 轨 迹 方 程 为

．

6．和椭圆 9x 2+4y 2 =36 有相同的焦点 , 且经过 Q( 2, 3) 的椭圆

的标准方程是

．

x 2

y 2

7 ．设 P 是椭圆 16 + 12 =1 上一点 ,P 到两焦点 F' 1、 F 2 的距离 之差为 2, 则△ P F 1F 2 形状为 三角形 .

8 、已知经过椭圆

x

2

y

2

1 的右焦点 F

2 作垂直于 x 轴的直

25 16

线 AB ，交椭圆于 A 、 B 两点， F 1 是椭圆的左焦点 .

（ 1）求△ A F 1B 的周长；

（ 2）如果 AB 不垂直于 x 轴，△ A F 1 B 的周长有变化吗 ?为什

§2.2.1 椭圆及其标准方程（ 1）

—增效作业

◆基础巩固

1.

平面内一动点

M

到两定点

F 1 、 F 2 距离之和为常数

2a ，

则点 M 的轨迹为（

）． A ．椭圆 B ．圆

C ．无轨迹

D

．椭圆或线段或无轨迹

2.

如果方程 x 2

ky 2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实 数 k 的取值范围是（

）． A ． (0, ) B ． (0,2)

C ． (1,

)

D

． (0,1)

3. 若椭圆

x 2y 2

1 上一点 P 到焦点 F 1

的距离等于 6，则

100 36

点 P 到另一个焦点 F 2 的距离是（ ）．

（ ）4

（ ）194

（ ）94 （ ）14

A

B C

D

4. 已知 ABC 的顶点 B 、C 在椭圆

x 2

y 2 1 上，顶点 A

3

是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在

BC 边上，则

ABC 的周长是（

）．

A ．23

B ．6

C ．43

D ．12

5. 已知椭圆

x 2 y 2 1，长轴在 y 轴上．若焦距为 4 ，

10 m m 2

则 m 等于（ ）．

（A ）4

（B ）5 （C ） 7 （ D ）8

6. 已知椭圆方程为

x 2 y 2 中， 1 , 2 分别为它的两个焦

49

1

F

F

9

点，有下列说法：

①焦点在 x 轴上，其坐标为 ( ±7, 0) ；② 若椭圆上有一点 P