八年级数学 一次函数与几何图形 综合专题训练

一次函数与几何图形综合专题

思想方法小结 ： （1）函数方法．

函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．

（2）数形结合法．

数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．

知识规律小结 ：

（1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点；

当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交．

②当k ，b 异号时，即-k

b

＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b=0时，即-

k

b

=0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即-k

b

﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．

③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；

当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限；

当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．

（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)

当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；

②⎩⎨⎧=≠2

121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）

； ③⎩⎨

⎧≠=2

121,

b b k k ⇔y 1与y 2平行；

④⎩⎨⎧==21

21,b b k k ⇔y 1与y 2重合.

例题精讲：

1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB

(1) 求AC 的解析式；

(2) 在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并

证明你的结论。

(3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不

变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。

2．(本题满分12分)如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。

(1)当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；

(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。

x

y

o B

A C

P

Q

x

y

o B

A C

P

Q

M

第2题图① 第2题图②

(3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。 问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。 考点：一次函数综合题；直角三角形全等的判定． 专题：代数几何综合题．

分析：（1）是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度；

（2）由OA=OB 得到启发，证明∴△AMO ≌△ONB ，用对应线段相等求长度； （3）通过两次全等，寻找相等线段，并进行转化，求PB 的长．

解答：解：（1）∵直线L ：y=mx+5m ，

∴A （-5，0），B （0，5m ）， 由OA=OB 得5m=5，m=1， ∴直线解析式为：y=x+5． （2）在△AMO 和△OBN 中OA=OB ，∠OAM=∠BON ，∠AMO=∠BNO ， ∴△AMO ≌△ONB ． ∴AM=ON=4， ∴BN=OM=3．

（3）如图，作EK ⊥y 轴于K 点． 先证△ABO ≌△BEK ， ∴OA=BK ，EK=OB ． 再证△PBF ≌△PKE ， ∴PK=PB ． ∴PB=

21BK=21OA=2

5． 点评：本题重点考查了直角坐标系里的全等关系，充分运用坐标系里的垂

直关系证明全等，本题也涉及一次函数图象的实际应用问题．

3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x

轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+，

第2题图③

C

B

A

l 2

l 1

x

y

（1）求直线2l 的解析式；（3分）

（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF

（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。（6分）

考点：轴对称的性质；全等三角形的判定与性质． 分析：（1）根据题意先求直线l 1与x 轴、y 轴的交点A 、B

的坐标，再根据轴对称的性质求直线l 2的上点C 的坐标，用待定系数法求直线l 2的解析式；

（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明△BEA ≌△AFC ，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF ； （3）首先过Q 点作QH ⊥y 轴于H ，证明△QCH ≌△PBO ，

然后根据全等三角形的性质和△QHM ≌△POM ，从而得HM=OM ，根据线段的和差进行计算OM 的值．

解答：解：（1）∵直线l 1与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，

∴A （-3，0），B （0，3），

∵直线l 2与直线l 1关于x 轴对称， ∴C （0，-3）

∴直线l 2的解析式为：y=-x-3； （2）如图1． 答：BE+CF=EF ．

∵直线l 2与直线l 1关于x 轴对称， ∴AB=BC ，∠EBA=∠FAC ， ∵BE ⊥l 3，CF ⊥l 3 ∴∠BEA=∠AFC=90° ∴△BEA ≌△AFC ∴BE=AF ，EA=FC ， ∴BE+CF=AF+EA=EF ； （3）①对，OM=3

过Q 点作QH ⊥y 轴于H ，直线l 2与直线l 1关于x 轴对称

C

B

A

x

y

Q

M P

C

B A

x

y