反例在教学中的作用

反例在教学中的作用

张定宪

论文摘要学生在学习数学时，对于概念、公式、性质、法则的认识，起初往往是带有片面性和表面性的，有时还会产生一些混淆和错误。有经验的教师在教学时不仅能从正面讲清数学知识，而且还能从反面揭示理解上容易产生的混淆和错误，从而使学生在认识上提高一步。事实也是如此，有些重要的数学知识，教师虽然一再强调，但学生就是不能很好掌握，这时如果教师从反面提出一些问题，让学生思考、判断，然后再作适当的点拨，学生反而会容易掌握，并留下深刻的印象。教学时若能恰当地运用此方法，将会收到较好的效果。

反例对于正确理解数学概念，牢固地掌握公式、性质、法则，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，都能起到特有的作用。反例的产生有的是学生在学习中“冒”出来的，有的是是教师在教学中有意诱“引”出来的，还有的是教师在教学中直接提出来的。不管是以何种形式出现的反例，教师都要引导学生进行详尽的讨论、对比、分析，使学生得到启发，并得出正确的结论。

关键词反例教学作用

数学问题千差万别，千变万化，如果拘泥于几种习惯，是不会游刃有余的。在数学解题时，学生思考的习惯大多是正面的、顺向的。可是，有些数学问题如果正面的顺向进行，则是难以解决的。这时就应该转化为反面的逆向思考。这就是举反例，肯定命题有困

难时就转而举反例加以否定。

众所周知，在数学中要判断一个命题是正确的，必须要经过严密的论证，而要说明一个命题是错误的，只要举出一个与结论相矛盾的例子即可。反例因其具有直观、明显、形象、生动等特点。决定了它在数学教学中无可比拟的作用。本文结合教学实践，就反例在教学中的作用略显浅识。

一、运用反例，培养学生科学严谨的数学语言

数学语言要符合科学原理，不能出现知识性的错误。如“定理成立，而逆命题不一定成立”，这显然混淆了“定理”与“命题”这两个概念；又如“开平方开不尽的数是无理数”，明显也是错误的，“3”是开平方开不尽的，但它却是有理数。在教学中要抓住时机，恰当引入反例，帮助学生培养科学的数学语言。

数学语言同时也应具有精确性。数学中的定理、定义是不能随便改变的，否则就会产生错误，如“底角相等的三角形是等腰三角形”和“斜边上的中线等于斜边的一半的三角形是直角三角形”，这两个判定都是不精确的。前者错在没有等腰三角形，也就不存在三角形的“底角”这一概念，而后者同样是直角三角形中，直角的对边才叫斜边。再如二元一次方程就不能这样定义“含有两个未知数，且未知数的次数是一次的方程叫做二元一次方程”。否则，连方程xy=1不也成了二元一次方程。

二、运用反例，帮助学生正确理解数学概念

学习数学，当然离不开数学概念。因为，所有数学内容的展开，都基于数学概念之上。可以说，数学概念就好比数学肌体上的“细

胞”。试想，如果这些“细胞”不健康，肌体又怎会强壮？所以，“引导学生学好概念”是使学生融会贯通地掌握数学基础知识，以及由其反映出来的数学思想和方法的前提和关键，是使学生把知识学好学活，增强能力，提高数学素养的必由之路。

数学概念就是那些数学对象的本质属性及其特征在人的思维中的反映。究其实质，它包含着两层意思，一层意思是，数学概念反映的是一类对象的共同特征，而不是个别事物的属性。另一层意思是，数学概念反映的是一类对象的本质属性，即该类对象内在的、固有的区别于其他对象的属性，而不是那些表面的、非本质的属性。

数学概念教学，不仅要用正面的例子加以深刻阐明，而且要通过合适的反例，从另一个侧面抓住概念的本质，使学生对所学概念进一步反思，从而达到深刻理解和掌握该概念的目的。

把某一事物反映的一类对象的共同本质属性的总合叫这个概念的内涵，把适合于该概念的所有对象的范围称为这个概念的外延。

（一）当概念的内涵比较丰富时，要举反例。所谓内涵比较丰富是指关于概念的本质属性比较多。学生的感知不全面、不精细，理解这类知识时，可能因教师揭示其本质的方式不当致使学生常常丢掉了新知识中部分本质属性，从而产生错误的认识。此时可举反例，帮学生找回被丢掉的部分本质属性，获得正确知识。

例如，学习“等腰直角三角形”知识时，等腰直角三角形的本质属性较多，内涵丰富，由“等腰”“直角”“三角形”三方面组成。一些学生学习后，不是丢了等腰，就是忘了直角，有的甚至丢了三角形三条边“首尾相连”的性质。此时要举反例，如“直角”常为

学生忽视，错把等腰三角形判定为等腰直角三角形，这时老师应出示等腰直角三角形的正确图形，引导学生在比较中再次认识“直角”，否定错误的认识。另外“等腰”“首尾相连”等性质亦可如是强调。因此，当学生对内涵丰富的知识感知不全时可通过数学反倒，突显出所学知识中易为学生忽视的本质属性，促进学生对所学知识的全面认识，深刻理解。

（二）当某一概念易向邻近概念泛化时，要举反例。在数学的知识结构中，相近的或相互联系的知识，学生容易发生混淆，在心理学上称为“痕迹性错误”，主要是因旧知识痕迹的影响而发生的错误。概念泛化即指学习概念过程中痕迹错误的发生过程。此时可通过举反例否定学生的错误认识，澄清相邻概念的区别和联系。

如概念“整除”和“除尽”，内涵相仿，都是表示除得的结果没有余数，但整除的要求更严格；作为判定整除的条件，显然是错误的。为了防止错误的产生，抑制概念的泛化，老师出了一道错误的判断题：2能被0．4整除，由错例得出整除的条件不单是余数为0，除数和商应分别是整数和自然数，分清了概念区别处。

又如关于函数的概念，不少学生片面的地认为，一个变量随着另一个变量的变化而变化，他们之间的关系就是函数关系，为了帮助学生澄清，纠正这一错误认识，可向学生提出这样的两个问题：

①考试成绩与学习时间成函数关系吗？

②若y＝tanxcotx，则y是x的函数吗？

结果不少学生都认为（1）中考试成绩与学习时间有关系，因而考试成绩与学习时间构成函数关系。而（ 2）中由于y=tanxcotx=1，

因变量y不随x的变化而变化，故y不是x的函数。我带领学生一起参与讨论，发现问题（1）里尽管考试成绩与学习时间有关系，但学习时间并不能确定考试成绩，即当自变量（学习时间）发生变化时，应变量（考试成绩）没有完全确定的值和它对应，因而不符合函数的定义。而在问题（2）里，对每一个给定的x值（在x的定义域内），y随x总有唯一确定的值(y=1)和它对应，只不过当x变化时，y的值始终不变罢了。由此使学生认识到y是x的函数，并非一定要求y随x的变化而变化。

通过所举反例的学习，学生便自觉地体会到：对变量x的每一个确定的值，变量y有唯一的确定的值和它对应，这才是构成函数关系的本质。

三、构造反例，使学生理解并掌握数学中的有关命题、定理、性质

数学命题是数学知识的主题，它与概念、推理、证明有着密切的联系：命题由概念组成，概念用命题来揭示；命题是组成推理的要素，而很多数学命题是经过推理获得的；命题是证明的重要依据，而命题的真实性一般都需要经过证明才能确认。因此，数学命题的教学，是数学教学的一个重要组成部分，学生只有系统的掌握数学命题，才能不断提高数学基本能力，顺利解答有关数学问题。

数学命题教学的基本任务是：学生认识命题的条件和结论，掌握命题推理过程或证明的方法，运用所学的命题进行计算、推理或论证，提高数学基本能力，解答实际问题，并在此基础上，使学生熟悉基本的数学思想和数学方法，弄清数学命题间的关系，把学过