初中数学倍长中线法课件模板.ppt

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2312
学习导入
在△ABC中，D是BC的重点，延长AD至E，使DE=AD
可得
B
✓ △ ACD≌ △ BDE ✓ △ ABD≌ △ ECD ✓ ABEC是平行四边形,AC=BE AB=EC ，AC∥BE AB∥BC
E
A
D
C
由图观察，辅助线有什么特点？
4
倍长中线法
基本要点
延长底边的中线，使所延长部分与中线相等， 连接相应的顶点，构造出全等三角形、平行四边形
D
B
F
C E
16
实战演练
例五：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=CE
解法一: 过点D作DM∥AC，交BC于M ∴∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB
∠B=∠DMB ∴BD=DM 在△DMF和△ECF中 ∠MDF=∠E DF=EF ∠MFD=∠CFE（对顶角相等） △DMF≌△ECF(ASA） 可得DM=CE ∵BD=DM ∴BD=CE
C
∵ BM=AF ∠EAF=∠ABM
M
AB=EA
得△EAF≌△ABM
12
实战演练
例三: 已知AD是 △ABC 的中线,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90°, 试探究线段AD与EF 的位置关系,并加以证明
∠BAD=∠NAF ∠EAN=∠DAC 延长线构造的对顶角相等
∵∠DAC=∠DMB（两直线平行，内错角相等） ∠AEF +∠EAN= ∠ ANF ∠FAN+∠EFA = ∠ANE ∠ ANF+ ∠ANE=180°
A E
B
F
D
C
14
实战演练
G
A E
F
D
B
C
小结： 倍长中线法只是解题的第一步！注重把握中点与直角三角形相关定理的 结合，以及等边等角、对顶角相等相互转化的应用。
15
实战演练——Baidu Nhomakorabea一题多解
例五：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=CE A
例三: 已知AD是 △ABC 的中线,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90°, 试探究线段AD与EF 的位置关系,并加以证明
E
F A
B
D
C
11
实战演练
例三: 已知AD是 △ABC 的中线,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90°,
试探究线段AD与EF 的位置关系,并加以证明
E
∠BDA +∠EDF=∠ADF 且∠BDA=∠BAD（已知） ，∠ABD=∠EDF（内错角相等） ∴∠ADC=∠ADF
∵ AD=AD ∠ADC=∠ADF DC=DF
∴△ADC≌△ADF（SAS），∠C=∠BAE
解题要点： 延长中线AE，构造平行四边形。利用已知条件，证明全等。
A
B
E
D
F
C
10
实战演练——探究线段位置关系
N
多练习
20
感谢聆听
解题要点： 延长中线ED，构造平行四边形
A F
E
B
D
M
C
8
实战演练——证明角相等
例二：已知CD=AB,∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE A
B
E
D
C
9
实战演练
例二：已知CD=AB,∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
解： 延长中线AE，使EF=AE，连接BF,DF,可知ABFD为平行四边形， 故AB=DF，DF=CD ∵∠BAD+∠ABD=∠ADC（邻角和=外角）
A
想一想
B
①通过添加辅助线，还有哪些方式可以构造全等三角形？
D
C
②除了构造SAS全等三角形，可否构造AAS的全等三角形？
E
5
倍长中线法
A
A
A
F
M
B D
E ①
CB
D E
②
C
B
D
C
N
③
方法总结：
①延长一倍中线
②作直角三角形 ③过中点另作一条直线，与另一边相交，延长相等线段
核心点：利用中点延长相等线段、构造直角、作被中点平分的线段的方法构造全等三角形、平行四边形
A
D
CG
B
F
E
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实战演练
例五：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=CE
解法三: 过点D作DM⊥BC,交BC于M，过点E作EN⊥BC,交BC延长线于N，
A
在△DMF和△ENF中
∠DMF= ∠ENF=90°
∠ MFC=∠ NFE
DF=EF
解：
N
延长AD到M,使DM=AD，AM=2AD， 可得△ BDM≌ △ CDA，∠CAD=∠DMB，AC//BM
F
∵BM=AC, AF=AC ∴ BM=AF
A
∵∠BAE=∠FAC=90°
∴∠EAF +∠BAC=180°
∠ABM+∠BAC=180°（两直线平行，同旁内角互补） 故∠EAF=∠ABM
B
D
∴∠ ANF=∠ANE=90° AD⊥EF
E
N F
A
B
D
C
M
解题要点： 延长中线AD，构造平行四边形。在证明全等三角形的基础上，运用转化思想，将位置关系转化为角的数量关系
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实战演练——探究角的数量关系
例四：在平行四边形 ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD 的中点,CE⊥AB 于E,设∠ABC=0(60°＜0<90°）， 是否存在正整数 k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k 的值:若不存在,请说明理由。
A
D
B MF
C
E
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实战演练
例五：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=CE
解法二: 过点E作EG∥AB，交BC的延长线于点G ∵EG∥AB ∴∠B=∠G ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB 又∵∠ACB=∠ECG ∴∠G=∠ECG，CE=GE 在△BDF和△GEF中 ∠B=∠G ∠BFD=∠EFG DF=EF △BDF≌△GEF(AAS) GE=BD ∵CE=GE ∴BD=CE
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实战演练——证明线段相等
例一: 已知在△ABC 中,AD是BC 边上的中线,E是AD 上一点,且 BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF
A F
E
B
D
C
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实战演练
例一: 已知在△ABC 中,AD是BC 边上的中线,E是AD 上一点,且 BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF
解： 作辅助线，使ED=DM，连接CM，由SAS可得△BED≌△CMD 故∠BED=∠EMC ∵BE=AC CM=BE ∴AC=CM, ∠EMC=∠CAE=∠BED ∵∠BED=∠AEF（对顶角） ∴∠CAE=∠AEF，AF=EF
倍长中线法
——基本要点与应用
试讲人：
1
主要内容
学习导入
方法讲解
授课对象：初二年级学生 基本掌握三角形、全等三 角形知识后学习本课内容
实战演练
2
回顾总结
2
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学习导入
在△ABC中，D是BC的重点，延长AD至E，使DE=AD
A
B D
E
你能得出哪些结论呢？
C
✓ △ ACD≌ △ BDE ✓ △ ABD≌ △ ECD ✓ ABEC是平行四边形,AC=BE AB=EC ，AC∥BE AB∥BC
总结回顾
① 边上“中点”，联想倍长中线法作相关辅助线求解 ② 倍长中线法只是解题的第一步，找准全等三角形、平行四边形，注重内错角、同旁内角、对顶
角、等边等角的转化 ③ 掌握三种基本辅助线模型，根据实际已知条件灵活运用，作垂线、平行线是倍长中线法的补充
A
B D
E
多观察
C
B
A
F
D
C
B
E
多尝试
A M
D
C
可得△DMF≌△ENF，DM=EN ∵AB=AC, ∠ECN=∠ACB
D
∴∠ABC=∠ACB
∠ECN=∠ABC
∠DMF=∠ENF=90° DM=EN
BM F
故△DMB≌△ENC，BD=CE
CN
小结:这道题目不是直接利用倍长中线法,已知DF=EF，应直接构
E
造全等三角形,可利用作平行线、作垂线来构造
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