细说矩形折叠题

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思想方法专题：矩形中的折叠问题人教八年级下册数学

思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一折叠中求角度1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为( )A．15° B．20° C．25° D．30°第1题图第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF 上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM 的度数是( )A．25° B．30° C．36° D．45°◆类型二折叠中求线段长3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为( ) A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm第3题图第4题图4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE 折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是( )A．3 B.245C．5 D.89165．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC 的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为________．◆类型三折叠中求面积6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F 处，FC交AD于E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，图中阴影部分的面积．7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B 解析：由折叠可知∠EFC＝∠EFC′＝125°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF＝∠DEF＝55°，∴∠BED ＝10°.∵四边形ABCD为矩形，∠A＝90°，∴∠ABE＝110°－90°＝20°.故选B.2．B 3.C 4.C5.185解析：如图，连接BF交AE于H，由折叠的性质可知BE＝FE，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，∴AH⊥BF，BH＝FH.∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝1 2 BC＝3.又∵AB＝4，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝错误!未定义书签。

矩形折叠问题ppt课件

（1）若∠ADE=20°，求∠EBD的度数。
（2）若AB=4，BC=8，求AF。
（3）在（2）的条件下，试求 E
重叠部分△DBF的面积。
A F
D
B
C
12
1、如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F。（1）若∠ADE=20°，求∠EBD的度数。
E
A F
C
16
3.如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD =8cm，在BC上找一点F，沿DF折叠矩形AB 使C点落在对角线BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？
A
D
6
4x
6
B
8-x
xC
17
1．把一张长方形的纸片按如图所示的方式
折叠，EM、FM 为折痕，折叠后的C点落在MB′或MB′的延长线上，那么∠EMF的
Ｄ
ＥＣ
ＡＧ
Ｂ
6
二、一条对角线的顶点折叠重合
例２、如图，矩形纸片ＡＢＣＤ的长ＡＤ＝９cm，宽ＡＢ＝3cm,将其折叠，使点Ｄ与点Ｂ重合，那么折叠后ＤＥ的长和折痕ＥＦ的长分别是多少？
Ａ
Ｅ
Ｄ
Ｏ
Ｂ
Ｆ
Ｃ
7
三、将一个顶点折到一边上
例３、四边形ＡＢＣＤ是一块矩形纸片，Ｅ是ＡＢ上一点，
且ＢＥ：ＥＡ＝５：３，ＥＣ＝15 5 ，将△ＢＣＥ沿
4≤A′C≤8
分析：根据点E、F分别在 AB、AD上移动，可画出两个极端位置时的图形。
6
4
(E)
6
F
8
E
10 6
10
(F) 27
3、如图，把一张矩形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD的交于点F。

矩形的折叠问题(专题)

→ Bx
D
，故OE= 。
练习8 如图，在直角三角形ABC中， C ∠C=90º ，沿着B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合。当∠A满足什么条件时，点D恰好是AB的中点？写出一个你 B 认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点。条件：∠A=30º
E D A
证明：由轴对称可得，△BCE≌△BDE，∴ BC=BD ，在△ABC中，∵ ∠C=90º，∠A=30º， ∴ BC= ∴ BD =
答案：矩形的长为10，宽为8。
D F E A
C
B
4、求线段与面积间的变化关系
例5 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为 10，B和C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B 不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x. (1)用x表示△AMN的面积SΔ AMN。 (2)Δ AMN沿MN折叠，设点A关于Δ AMN对称的点为A¹ ， Δ A¹ MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.①试求出 y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围； ②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？
矩形的折叠问题
（复习课）
练习1 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE 重合，求CD
A E C B D
如图，折叠矩形的一边AD，点D 落在BC边上点F处，已知AB=8， BC=10，求EC的长 D A
E B F C
练习2 如图，在梯形ABCD中， DCAB，将梯形对折，使点D、 C分别落在AB上的D¹ 、C¹ 处，折痕为EF。若CD=3，EF=4，则AD¹ +BC¹ = 。

专题-矩形中的折叠问题PPT课件

.
1
图形的变换—— 矩形折叠中的数学问题
.
2
轴对称的性质 1.轴对称的两个图形是全等形 2.对称轴是对应点连线的垂直平分线
.
3
探究1
如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，
把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点
处，若矩形面积为 4 3 且∠AFG=60°，GE=2BG.
（1）猜想重叠的部分是什么三角形？
（2）求折痕EF的长度？
.
.
4
练习
1．如图，在正方形纸片ABCD上，E是AD上一点（不与点A，D重合）．将纸片沿BE折叠，使点A落在点A处，延长EA'交CD于点F，则∠EBF＝（）
A．40° B．45° C．50° D．不是定值
.
5
练习
2.如图,已知四边形ABCD是矩形,把矩形沿直线
1.利用三角行相似 2.利用直角三角形的勾ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定理
.
求角、线段、周长、面积
10
AC折叠,点B落在点E处,连接DE.若DE：AC=3：
5,则AD：AB的值为
.
.
6
探究2
如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得AD的中
点落在点C处，若正方形边长为2，则折痕EF的
长为
．
.
7
方法探究
C'
●
H
.
8
2
.
9
小结折叠问题
本质（轴对称）
角相等边相等
对称性
对称轴是垂直平分线
方程思想

矩形折叠问题知识点总结

矩形折叠问题知识点总结1. 问题概述矩形折叠问题的基本情境是，给定一个长方形纸张，要求将其折叠成一个给定形状，通常是通过将纸张折叠后在两个边缘进行切割。

这个问题最早可以追溯到19世纪，由著名的数学家亨利·杜迪尼（Henri Dudeney）提出。

在这个问题中，关键点在于如何找到最优的折叠方法，使得得到的形状与目标形状最接近。

2. 解决方法矩形折叠问题涉及到了几何学、数学分析、最优化等多个学科知识，因此解决这个问题需要综合运用多种方法。

下面我将介绍一些常见的解决方法。

（1）分割法分割法是解决矩形折叠问题的一种常见方法。

首先将目标形状细分成若干个小矩形，然后将原始的长方形纸张按照这些小矩形进行折叠，最后再将边缘上多余的部分切掉，就可以得到最终的形状。

这种方法的关键在于如何将目标形状进行合理的分割，找到合适的折叠点和切割线。

（2）几何分析法几何分析法是另一种解决矩形折叠问题的常见方法。

通过对目标形状的几何特征进行分析，可以找到最优的折叠方法。

这种方法通常需要借助于数学工具，例如微积分、线性代数等，对目标形状进行数学建模，然后通过求解最优化问题，得到最佳的折叠方案。

（3）仿射变换法仿射变换法是一种比较高级的解决方法，它利用了几何变换的性质，将目标形状通过仿射变换映射成一个简单的形状，然后再将纸张按照这个简单的形状进行折叠，最后再通过逆变换将折叠后的纸张映射回原来的形状。

这种方法需要较强的数学功底和熟练的计算能力，但是可以得到非常优美的折叠结果。

3. 相关知识点解决矩形折叠问题需要涉及到很多相关的数学知识点，下面我将逐一介绍这些知识点。

（1）几何形状矩形折叠问题本质上是一个关于几何形状的问题，因此需要熟悉各种几何形状的性质，包括面积、周长、对称性等方面的知识。

在解决矩形折叠问题时，需要对目标形状进行合理的分割和组合，这就需要对几何形状的特征有深入的了解。

（2）数学分析数学分析是解决矩形折叠问题的重要数学工具，通过对目标形状进行数学建模，并利用微积分、线性代数等数学工具，可以求解最优的折叠方案。

小专题(一) 矩形中的折叠问题

小专题(一) 矩形中的折叠问题【例】(连云港中考)在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．【思路点拨】(1)证△ABE≌△CDF，推出AE＝CF，求出DE＝BF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可；(2)求出∠ABE＝30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，即可求出答案．【方法归纳】解决有关矩形的折叠问题时，通常方法是利用根据矩形的性质、折叠的对称性及勾股定理求解．1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( ) A．12 B．10 C．8 D．62．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＝60°.现沿直线GE 将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则图中与∠BEG相等的角的个数为( ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个3．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF 的度数等于________．4．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm2.5．如图，折叠矩形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10 cm，AB＝8 cm，求：(1)FC的长；(2)EF的长．6．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，DE＝6 cm.(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)求BF的长；(3)求折痕AF长．7．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.(1)当m＝3时，求点B的坐标和点E的坐标；(自己重新画图)(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10.(1)求矩形ABCD的周长；(2)E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．①求DE的长；②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．(3)M是AD上的动点，在DC上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．参考答案【例】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠ABD ＝∠CDB.由折叠的性质可得：∠ABE ＝∠EBD ＝12∠ABD ，∠CDF ＝12∠CDB ，∴∠ABE ＝∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF(ASA)．∴AE ＝CF.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC. ∴DE ＝BF ，DE ∥BF ，∴四边形BFDE 为平行四边形．（2）∵四边形BFDE 为菱形， ∴BE ＝ED ，∠EBD ＝∠FBD ＝∠ABE. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，∠ABC ＝90°. ∴∠ABE ＝30°.∵∠A ＝90°，AB ＝2，设AE ＝x ，BE ＝2x. 根据勾股定理得AB ＝3x. ∴x ＝233，即AE ＝233.BE ＝433.∴BC ＝AD ＝AE ＋ED ＝AE ＋BE ＝233＋433＝2 3.针对训练1.B2.A3.56°4.5.15.(1)由题意可得AF ＝AD ＝10 cm ，在Rt △ABF 中，AB ＝8 cm ， ∴BF ＝6 cm.∴FC ＝BC －BF ＝10－6＝4(cm)．（2）由题意可得EF ＝DE ，可设DE 的长为x ，则在Rt △EFC 中，(8－x)2＋42＝x 2，解得x ＝5，即EF 的长为5 cm.6.(1)证明：∵把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边上，∴AE ＝AB ＝10，AE 2＝102＝100.又∵AD 2＋DE 2＝82＋62＝100，∴AD 2＋DE 2＝AE 2.∴△ADE 是直角三角形，且∠D ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴平行四边形ABCD 是矩形．（2）设BF ＝x ，则EF ＝BF ＝x ，EC ＝CD －DE ＝10－6＝4(cm)，FC ＝BC －BF ＝8－x ，在Rt △EFC 中，EC 2＋FC 2＝EF 2，即42＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝5.故BF ＝5 cm.（3）在Rt △ABF 中，由勾股定理得AB 2＋BF 2＝AF 2. ∵AB ＝10 cm ，BF ＝5 cm ，∴AF ＝102＋52＝55(cm)． 7.（1）如图，点B 的坐标为(3，4)．∵AB ＝BD ＝3，∴△ABD 是等腰直角三角形．∴∠BAD ＝45°.则∠DAE ＝∠BAD ＝45°.则E 在y 轴上．AE ＝AB ＝BD ＝3， ∴四边形ABDE 是正方形，OE ＝1.则点E 的坐标为(0，1)．（2）点E 能恰好落在x 轴上．理由如下：∵四边形OABC 为矩形，∴BC ＝OA ＝4，∠AOC ＝∠DCE ＝90°. 由折叠的性质可得：DE ＝BD ＝OA －CD ＝4－1＝3，AE ＝AB ＝OC ＝m. 假设点E 恰好落在x 轴上，在Rt △CDE 中，由勾股定理可得EC ＝DE 2－CD 2＝32－12＝2 2. 则有OE ＝OC －CE ＝m －2 2.在Rt △AOE 中，OA 2＋OE 2＝AE 2.即42＋(m －22)2＝m 2，解得m ＝3 2. 8.(1)周长为2×(10＋8)＝36.(2)①∵四边形ABCD 是矩形，由折叠对称性得AF ＝AD ＝10，FE ＝DE. 在Rt △ABF 中，由勾股定理得BF ＝6，∴FC ＝4.在Rt △ECF 中，42＋(8－DE)2＝EF 2，解得DE ＝5.②分三种情形讨论：若AP ＝AF ，∵AB ⊥PF ，∴PB ＝BF ＝6；若PF ＝AF ，则PB ＋6＝10，解得PB ＝4；若AP ＝PF ，在Rt △APB 中，AP 2＝PB 2＋AB 2，解得PB ＝73.综合得PB ＝6或4或73.（3）当点N 与C 重合时，CT 取最大值是8，当点M 与A 重合时，CT 取最小值为4，所以线段CT 长度的最大值与最小值之和为12.。

专题1：矩形中的折叠问题

18.2.1专题1：矩形中的折叠问题一．【知识要点】1.矩形中的折叠问题二．【经典例题】1．如图所示，四边形ABCD是矩形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．2.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为多少?3.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，若将矩形折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为多少cm?4.如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合;则折痕EF 的长是多少?三．【题库】【A】1.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折登，点D落在D＇处，则重叠部分△AFC的面积是多少?【B】1.如图，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积（）cm2．A．72 B．90 C．108 D．144【C 】1．如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处．若AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，请写出a ，b ，c 之间的一个等量关系为__________．2．如图，长方形纸片ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 在AB 边上，将纸片沿CE 折叠，点B 落在点F 处，EF ，CF 分别交AD 于点G ，H ，且EG GH =，则AE 的长为( )A ．23B ．1C ．32D ．23．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 为BC 的中点，将ABE ∆沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则ECF S ∆的值为( )A ．5425 B ．7225 C ．9625 D ．10825【D 】。

矩形的折叠问题举例

矩形的折叠问题折叠的规律：1、重叠部分的线段、角相等。

2、对应点的连线段被折痕垂直平分。

例1、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95°分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC 和折痕BD 就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A /BC,∠EBD=∠E /BD 。

例2、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O 。

（1）由折叠可得△BCD ≌△BED ，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来。

（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来。

（3）若AB=6,BC=8,则O 点到BD 的距离是。

分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。

问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD 。

另外，还可以从另一个角度分析。

由折痕BD 可以找到∠OBD=∠CBD ，由于在矩形中，AD ∥BC ，∠ODB=∠CBD ，经过等量代换∠OBD ＝∠ODB ，然后等角对等边OB=OD 。

这是在矩形中折叠比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。

问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发挥作用的一类题目。

因为AD ＝BC ，BC ＝BE ，因此在△ABO 中可以设AO ＝x ，则BO ＝OD ＝8－x ，因为AB ＝6，即可以列勾股定理的等式：AB 2＋AO 2＝BO 2进行计算了。

下面的这个题目就是用这个思路解决的。

例3、已知：如图，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB ，OA 分别在x 轴、y 轴上，点A 坐标为（0,3），∠OAB ＝60°,以AB 为轴对折后，使C 点落在D 点处，求D点的坐标.OA CB E D例4、一个矩形纸片如图折叠，使顶点B 和D 重合，折痕为EF 。

思想方法专题矩形中的折叠问题

思想方法专题矩形中的折叠问题矩形中的折叠问题是数学中的一个经典问题，涉及到几何形状的变换和计算。

这个问题可以帮助我们锻炼思维能力，培养抽象思维和空间想象能力，同时也有助于解决实际生活中的一些问题。

首先，我们来具体描述一下矩形中的折叠问题。

假设有一张长为a，宽为b的矩形纸，我们可以将其沿着一条边折叠，并将两边粘合在一起，形成一个三维的物体。

那么，这个折叠后的物体的体积是多少呢？要解决这个问题，我们首先需要明确物体的形状。

物体是由两个相同的矩形面围成的，形成一个长方体。

其中，折叠出的两个面作为上下两个底面，长度为a，宽度为b；而另外两个面作为侧面，长度为b，宽度为折叠的厚度。

接下来，我们需要确定物体的厚度。

厚度取决于折叠的方式。

如果将矩形纸沿着长边折叠，那么物体的厚度为a；如果将矩形纸沿着短边折叠，那么物体的厚度为b。

有了这些信息，我们就可以计算物体的体积了。

物体的体积可以通过长方体的体积公式来计算，即V=a*b*h，其中V表示体积，a表示底面的长度，b表示底面的宽度，h表示高度或厚度。

由于问题中给出的是矩形纸的长和宽，我们还需要确定折叠的方式。

不同的折叠方式会得到不同的厚度，从而得到不同的体积。

因此，我们需要分别计算两种折叠方式下的体积，并找出较大的那个作为最终的结果。

那么，如何确定哪种折叠方式下的体积较大呢？我们可以通过比较高度来判断。

在折叠过程中，长边折叠得到的物体的高度为a，短边折叠得到的物体的高度为b。

由于长边折叠得到的物体的高度大于短边折叠得到的物体的高度，所以长边折叠得到的体积必然大于短边折叠得到的体积。

经过上述分析，我们得出结论：在矩形中的折叠问题中，长边折叠得到的体积较大，为a*b*a；短边折叠得到的体积较小，为a*b*b。

总结起来，矩形中的折叠问题可以通过分析物体的形状和厚度，利用长方体的体积公式进行计算。

通过比较两种折叠方式下的体积，我们可以得出哪种方式的折叠会得到更大的物体。

细说矩形折叠题

细说矩形折叠题一、折叠后求长度例1、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为（）A ．1 B ．2C ．2D ．3解析：由对称的性质，易得BC=CO ，则四边形AECF 为菱形，则AC=2CO ，所以AC=2BC ，又四边形ABCD 是矩形，所以∠B=90°，则在Rt △ABC中，由勾股定理，得AC 2－BC 2=AB 2，所以3BC 2=9，则BC=3。

所以边BC 的长是3厘米。

二、折叠后求角度例2、将矩形纸片ABCD （图3－1）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图3－2）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图3－3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE 的度数为（）图3－1 图3－2 图3－3（A ）60° （B ）67.5° （C ）72° （D ）75°解析：解决本题的关键是要能想象出折叠的整个过程，或动手操作展示折叠过程，然后利用轴对称的性质进行求解。

如图3－2的虚线就是折叠的过程，在第一次折叠时，可得∠BAE=∠EAF=45°，再由第二次折叠，可得∠EA 1F=∠EAF=45°，∠AFE=∠EFA 1=21∠AFA 1，又因为在矩形ABCD 中，因为AD ∥BC ，∠EA 1F+∠AFA 1=180°，所以∠AFA 1=135°，所以∠AFE=67.5°。

故选B 。

评注：本题对动手操作能力和空间想象能力要求较高，因为是连续折叠，所以想象有点困难，解决问题的最好办法就是动手操作后，再画出折痕，明确折叠前后的图形，找出它们之间的关系（如角之间的关系），然后充分利用这些关系求解。

三、折叠后判形状例3、如图4，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点把平角∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是 A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形解析：最简单的方法就是取一张纸动手操作一下，即拿一张纸片，按照已知的步骤折叠，然后剪出图形，展开后，就会发现图形是正六边形。

矩形折叠问题及动点问题精讲

A
O
F
D
C
E
B
F
C
ห้องสมุดไป่ตู้
新知探究
一、矩形折叠问题
例1、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合. (3)四边形AFCE是什么四边形？说明理由．答：四边形AFCE是菱形． A 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，OD＝OB，OA＝OC， ∴∠EDO＝∠CBO ∵∠BOF＝∠DOE B ∴△BOF≌△DOE ∴OE＝OF ∵OA＝OC ∴四边形AFCE是平行四边形，由对折可得EF⊥AC ∴四边形AFCE是菱形．
设DF=x，由折叠的性质得 10 EF=FC=6－x，DE=AD－AE=2，在Rt△DEF中，由勾股定理得DE2+DF2=EF2，即22＋x2=(6－x)2，
6-x
8 解得DF=x= 3 .
自主练习
一、矩形折叠问题
3、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是（） x 9-x A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 6 9 析解：如图，连结MB，MB′，由折叠的性质可知MB＝MB′， 3 设AM=x，在Rt△ABM中，BM2=AB2+AM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2， ∴AB2+AM2=MD2+DB′2，即92＋x2=(9－x)2＋(9－3)2，解得x=2，即AM=2．
∴DQ=CP 即 16－t＝21－2t 2t 解得 t=5 21-2t ∴当 t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形
自主练习
二、特殊四边形动点问题

矩形中的折叠问题

矩形中的折叠问题山东省枣庄市峄城区第二十八中学潘歌邮编：277300折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。

对于折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。

一、求角度例1 如图把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °．【解析】在矩形折叠问题中，折叠前后的对应角相等来解决。

解：根据矩形的性质AD ∥BC ，有∠EFG =∠FEC =58°，再由折叠可知，∠FEC =∠C ′EF =58°，由此得∠BEG =64°例2 将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD = 度．【解析】折叠前后的对应角相等．解：BC 、BD 是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC ，∠EBD = ∠HBD 则∠CBD = 90°．例4 如图四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于（）（A ）34 （B ）33 （C ）24 （D ）8【解析】在矩形折叠问题中，求折痕等线段长度时，往往利用轴对称性转化相等的线段，再借助勾股定理构造方程来解决．解：由折叠可知，AE =AB =DC =6，在Rt △ADE 中AD =6，DE =3由勾股定理，得AD =33，设EF =x ，则FC =x -33，在Rt △EFC 中由勾股定理求得x =32,则EF =32，在Rt △AEF 中，由勾股定理得AF =A ．A B CDEFA B E C D F G C 'D 'C三、求图形面积例5如图3-1所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图3-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（）A ．234cmB ．236cmC ．238cmD ．240cm解析：折叠后重合部分为直角三角形．解：重合部分其面积为22122=⨯⨯，因此着色部分的面积=长方形纸条面积－两个重合部分三角形的面积，即20×2－2×2＝36（2cm ）．故选B ．∴62 + (8 - x )2 = x2解得x = 254所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754 cm2四、数量及位置关系例7 如图将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E处，BE 交AD 于点F ，连结AE ．证明：（1）BF DF =．（2）AE BD ∥ 【解析】（1）欲证明BF =DF ，只需证∠FBD =∠FDB ；（2）欲证明AE BD ∥，则需证AEB DBE ∠=∠。

矩形的折叠问题(专题)ppt课件

解设EC=x，则DE=8-x，由轴对称可知：EF=DE=8-x，
A
D
AF=AD=10，又因AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4。在
RtFCE中，42+x2=(8-x)2，解之得x=3
E
B
FC
4
练习2 如图，在梯形ABCD中，DCAB，将梯形
对折，使点D、C分别落在AB上的D¹、C¹处，折
A
答案：矩形的长为10，宽为8。
D C
C
B
8
4、求线段与面积间的变化关系
例5 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为10，B和C都为锐角，M为
AB上的一动点(M与A、B不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x.
(1)用x表示△AMN的面积SΔAMN。
(2)ΔAMN沿MN折叠，设点A关
= 。∴S
=½(x-a/2)2+3/8 a2 . ∴当x=a∕2 时，Smin=(3∕8 )a2.
10
二、在“位置”方面的应用
由于图形折叠后，点、线、面等相应的位置发生变化，带来图形间的位置关系重新组合。
1、线段与线段的位置关系
A 例6 将长方形ABCD的纸片，沿EF折成如图所
FH D
示，延长C`E交AD于H，连结GH。求证：EF与
求D点坐标。
O
↑y
A 解由题意知，OA=3，∠OAB=60º，∴OB=3tan60º=3√3 .
∵Rt△ACB≌Rt△ADB, ∴AD=AC=OB=3√3 .
O
过点D作Y轴垂线，垂足为E，
E
在直角三角形AED中，ED= ，AE= ，故OE= 。
故点D的坐标为（3/2√3 ，- 3/2）。

矩形的五种折叠方法

矩形的五种折叠方法折叠问题的实质是轴对称问题，折叠原理实际上是图形的全等问题，对应角相等，对应线段相等。

对应点的连线被折痕垂直平分。

矩形在日常生活中随处可见，矩形的性质又具有平行四边形的所有性质，并且具有对角线互相平分且相等的特有性质，它不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形.所以矩形的折叠问题是中考热点问题，并且折叠的方法不同，问题不同，给参加中考的考生带来各种各样的困境，为了让参加中考的孩子们轻松应考，先把矩形的折叠问题进行总结一下.一.沿对角线折叠例1.在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。

如图，将△OAB沿对角线OB翻折得到△OBN，ON与AB交于点M。

（1）判断△OBM是什么三角形，并说明理由，并求出△OBM的面积（2）求MN的长.【分析】由矩形性质可知，AB=OC=3,BC=OA=4,∠COA=∠OAB=90°OA∥BC 所以∠AOB=∠MBO根据折叠原理得∠AOB=∠MOB，所以∠MBO=∠MOB，∴MB=MO所以△OBM是等腰三角形，二．折一角，使直角顶点到对边例2.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC ＝4.在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处．则点D 的坐标是．【分析】折叠原理知，AE=AO=5，AB=OC=4，OD=ED 由勾股先求得BE=3，∴CE=2，然后设OD=x ，则CD=4-x在Rt △DCE 中由勾股定理即可求得OD 的长，然后就得到点D 的坐标。

练习：如图，折叠矩形的一边AD ，点D 落在BC 边上点F 处，已知AB=8，BC=10，则EC 的长是。

（这道题目先求BF 的长，再求CF 的长，然后再勾股定理）练习2.如图，矩形纸片ABCD ，若把△ABE 沿折痕BE 上折叠，使A 点恰好落在CD 上，此时，AE:ED=5:3，BE=55，求矩形的长和宽。

中考数学解题技巧专题矩形中的折叠问题

解题技巧专题：矩形中的折叠问题——找准方法，快准解题◆类型一折叠中求角度1．如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为( )A．15° B．20° C．25° D．30°第1题图第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是( )A ．25°B ．30°C ．36°D ．45°◆类型二折叠中求线段长【方法9】3．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ＝23，E 为BC 边上一点，BC ＝3BE ，将矩形ABCD 沿AE 所在的直线折叠，使B 点恰好落在对角线AC 上的B ′处，则AB ＝________．第3题图第4题图4．(郴州桂阳县期末)如图，一块矩形纸片的宽CD 为2cm ，点E 在AB 上，如果沿图中的EC 对折，B 点刚好落在AD 上的B ′处，此时∠BCE ＝15°，则BC 的长为________．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，折叠纸片使A 点恰好落在对角线BD 上的点A ′处，折痕为DG ，则AG 的长为( )A ．1 B.43 C.32D ．2第5题图第6题图◆类型三折叠中求面积6．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△BCD 沿对角线BD 翻折，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则△BDE 的面积为( ) A.754 B.214C ．21D ．24 7．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△ADE 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )A.12B.98C ．2D ．4 8．★(福州中考)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，M 是边CD 上的一点，将△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B 2.B 3. 3 4.4cm 5.C 6.A 7.C8．解：(1)由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM.∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM ＝∠MAN＝∠NAB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DAM＝30°，∴AM＝2DM.在Rt△ADM中，∵AD ＝3，∴由勾股定理得AM2－DM2＝AD2，即(2DM)2－DM2＝32，解得DM＝ 3.(2)延长MN交AB的延长线于点Q，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA＝∠MAQ.由(1)知△ANM≌△ADM，∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.在Rt△ANQ中，由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ ＝5，∴S △NAB ＝45S △NAQ ＝45×12×AN ·NQ ＝45×12×3×4＝245.解题技巧专题：圆中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一遇弦过圆心作弦的垂线或连半径1．如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD ＝2，tan∠OAB ＝12，则AB 的长是( )A ．4B .23C ．8D .43第1题图第2题图2．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝16cm，CD＝6cm，⊙O的半径为________．◆类型二遇直径添加直径所对的圆周角3．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠ACE＋∠BDE等于( )A．60°B．75°C．90°D．120°第3题图第4题图4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是________．5．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为⊙O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD＝∠EAC.类型三遇切线连接圆心和切点6．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB 长度的最小值为( )A ．1B . 2C . 3D ．27．如图，从⊙O 外一点A 引圆的切线AB ，切点为B ，连接AO 并延长交圆于点C ，连接BC.若∠A ＝26°，则∠ACB 的度数为________．8．★如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于N.(1)求证：∠ADC ＝∠ABD ；(2)求证：AD 2＝AM ·AB ；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．。

矩形中的折叠问答

在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点
落在对角线BD上的点E处，此时折痕DF的长是
多少？
A
D
6
4x
6
B 8-x
xC
探究三
如图,矩形纸片ABCD中， AB=6cm,
把矩形ABCD折叠，使点C恰好落在AB边的中点F处，折痕为DE，则AD的长为多少？
A
11 D
3
6 23
F
B
E
C
探究四
证明线段相等的方法有证
（3）在折叠问题中，若直接解决较困难时，可将图形还原，可让问题变得简单明了。有时还可采用动手操作，通过折叠观察得出问题的答案。
谢谢大家！
课后作业
1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在
BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么
∠DAE等于
y
AD
B
E
O
C
x
2、如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上的D点，求E点的坐标。
如图,矩形纸片ABCD中全四，等边，形A等，B=角等6c对量m,等线A边段D=，的8c平和m行差，
点E、F是矩形ABCD的边等A。B 、AD上的两个
点，将△AEF沿EF折叠，使A点落在BC边
上的A′点，过A′作A′G∥AB交EF于H点，
交AD于G点。
y
（（2）1）请找你出自图己中提所出有一 B
分析：根据点E、F分别在 AB、AD上移动，可画出两个极端位置时的图形。
6
4
(E)
6
F
8
E

矩形折叠问题解题技巧

矩形折叠问题解题技巧
矩形折叠问题是一个经典的数学问题，在此我们将介绍一些解题技巧。

首先，矩形折叠问题通常涉及到将一个矩形折叠成一个立体图形，如长方体或立方体。

因此，我们需要将矩形折叠问题转化为几何模型，并寻找几何模型的性质。

其次，我们可以利用一些技巧来解决这类问题。

例如，我们可以尝试将矩形沿着某个直线对折，然后对折后的图形进行分析。

另外，我们还可以通过不同角度的折叠来找到一些特殊的性质，从而帮助我们解决问题。

最后，我们需要注意一些常见的错误。

例如，忽略拐角处的弯曲，或者将折叠后的图形看作是一个平面图形而忽略了其立体性质。

因此，在解决矩形折叠问题时，我们需要仔细地分析问题，并注意细节。

总之，矩形折叠问题是一个有趣的数学问题，通过掌握一些解题技巧，我们可以更好地解决这类问题。

有关矩形折叠的数学题目

二、折叠后求长度
例2.(2008年威海市)将矩形纸片ABCD按如图1所示的方式折叠，得到图2所示的菱形AECF.若AB=3,则BC的长为( )
(A)1
(B) 2 (C) (D)
2
3
解析:根据折叠的特征可知: AC=2BC, 设BC=X,则AC=2X.
X2+32=(2x)2 解得BC的长为
在Rt△ABC中由勾股定理得：故选（D）
解析：过点G作GH⊥AD
则四边形ABGH是矩形.
所以GH=AB=8,AH=BG=10.
由图形的折叠可知,
△BFG∠ △EFG
所以,EG=BG=10, ∠ FEG=∠ B=900 所以,EH=6,AE=4, ∠ AEF+∠ HEG=900 因为∠ AEF+∠ AFE=900 所以∠ HEG=∠ AFE 又因为∠ EHG= ∠ A=900
性认析角口中意点。识式函较完，评
AB AO - OB 15 -12 3
水的数宽美将：
由勾股定理，得a2 32 (9 - a)2
平确、，结几本
解得a 4,
，定勾涉合何题
所以点E的坐标为（15，4），点C的坐标为（0，9）
9=b,
b=9,
体现知
等，这
股定理
及折叠
，最大
与函数
(10 13 )cm
（C）22cm （D）18cm
解析：从显示的图形中我们不难看出，所剪掉的三
角形的一条直角边长为3cm，由题意可知道所剪掉的每个三角形的面积为3cm2，则它的另一直角边为2cm，因此得到的等腰梯形其上底AB=8cm。
腰
故该A等C腰三3角2 形2的2 周长1为3cm

人教版八年级下期数学12.矩形中的折叠问题

2 又∵∠BAF=60°，∠BAD=90°， ∴∠DAF=∠BAD-∠BAF=30°， ∴∠DAE=15°，又∠ADE=90°，∴∠AED=90°-∠DAE=75° 。
典例精讲
类型二：求长度
在矩形纸片ABCD中，AB= 3 3 ,BC=6，沿EF折叠矩后，使点C点落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°. （1）BE的长为_______，QF的长为________；（2）四边形PEFH的面积为__________
解题步骤归纳
由折叠得出相等的边、角
设出未知数
求出结论
根据勾股定理列出方程并求出解
典例精讲类型一：求角度
如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D 点落在BC边上的F点处，如果 ∠BAF=60°，求∠AED的度数.
典例精讲
解：矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处， ∴ DAE 1 DAF
典例精讲
解：（1）设BE=x，在Rt△PBE中，∠BPE=30 ， PE=2x，PB= 3x，由题意得EC=EP=2x，
BE+EC=BC， 3x=6，x=2，即BE=2， EC=3，PB=2 3，PA= 3，
在Rt△APH中，∠APH=60 ，
AH=3，PH=2 3，HQ=PQ-ＰＨ= 3，
在Rt△HQF中，∠QHF=30 ，
HF=2QF，4QF2 -QF2 =QH2 ，QF=1;
（2）
S梯形FECD
=
1 2
1+4
3
3= 15 3 ， 2
S△HFQ =
3， 2
S四边形PFEH =S梯形FECD -S△HFQ=1Fra bibliotek 23
-
3 =7 2
3，