第13章多元线性回归
多元线性回归模型(总)
目录第一章课程设计的名称、目的、任务及要求 (1)1.1 课程设计的名称 (1)1.2 课程设计的目的 (1)1.3 课程设计的任务 (1)1.4 课程设计的要求 (2)第二章问题分析 (3)2.1 背景资料 (3)2.2 问题重述 (3)2.3 问题分析 (3)第三章假设与符号约定 (5)3.1 模型假设 (5)3.2 模型符号约定 (5)第四章模型的建立与求解 (6)4.1数据分析 (6)4.2模型的建立 (7)4.3模型求解过程 (10)4.3.1问题二的求解过程 (10)4.3.2问题三的求解过程 (10)4.3.3问题四的求解过程 (11)第五章模型结果分析及检验 (14)5.1模型分析及检验 (14)5.2模型评价 (20)结论 (22)参考文献 (23)结束语 (24)第一章 课程设计的名称、目的、任务及要求1.1 课程设计的名称本文研究的课题的名称为：多元线性回归问题。
1.2 课程设计的目的养猪生产的最终目的是为满足消费者对瘦肉的要求，一般瘦肉率越高的猪卖的价格更高一些，而瘦肉率就是指猪含有的瘦肉量，瘦肉在整个中所占的比率。
我们知道猪的瘦肉总产量与许多因素有关，包括猪的眼肌面积、猪的腿瘦肉量及猪的腰瘦肉量。
这三者的多少直接影响猪瘦肉的产量，究竟哪些因素对猪瘦肉的产量影响更大一些，针对上诉问题本文采用多元线性回归方法，分析猪的瘦肉量与哪个因素联系更加密切，且与三个因素之间存在着怎么的线性关系。
1.3 课程设计的任务根据下表1中的某猪场25头育肥猪4个胴体性状的数据资料，试进行瘦肉量y 对眼肌面积（1x ）、腿肉量(2x )、腰肉量(3x )的多元线性回归分析。
1.4 课程设计的要求根据表1的数据完成下面问题的求解：1）画出散点图y 与1x ，y 与2x ，y 与3x 并观察y 与1x ，2x ， 3x 的关系； 2）求y 关于1x ，2x ， 3x 的线性回归方程：0112233ˆˆˆˆˆya a x a x a x =+++ （1） 求出0123,,,a a a a 的值；3）对上述回归模型和回归系数进行检验；4）再分别求y 关于单个变量1x ，2x , 3x 的线性回归方程：10111ˆˆˆy a a x =+ （2） 20222ˆˆˆy a a x =+ （3） 30333ˆˆˆya a x =+ （4） 求出ij a 的值； 分别求y 关于两个变量1x ，2x , 3x 的线性回归方程：10111122ˆˆˆˆy a a x a x =++ (2’) 20222233ˆˆˆˆy a a x a x =++ （3’） 30311333ˆˆˆˆy a a x a x =++ （4’） 求出系数ij a 的值；并说明这六个回归方程对原来问题求解的优劣。
多元线性回归模型的矩阵表示课件
直线计算 Yi的理论值，然后计算回归残差序列，
再结合样本数据进行计算。
25
第四节 统计推断和预测
一、参数估计量的标准化 二、统计推断和检验 三、预测
26
一、参数估计量的标准化
在满足模型假设的情况下，多元线性回归模型 参数的最小二乘估计量是线性无偏估计。
Y1 0 1 X 11 K X K1 1
Yn 0 1 X 1n K X K n
Y1
Y
Yn
X i1
X i
X i n
1
l
1
0
K
1
n
1 X11 X K1
X l, X1,, X K
1 X1n X Kn
Y 0 1 X 1 2 X 2 K X K X
S.E. of regression 0.007246 Akaike info criterion -6.849241
Sum squared resid 0.000683 Schwarz criterion -6.704381
Log likelihood 57.79393 F-statistic
(1)、变量Y和X1,X K 之间存在多元线性随
机函数关系 Y 0 1X1 K X K ；
(2)、Ei 0 对任意 i 都成立；
(3)、Vari 2 ,与 i 无关；
(4)、误差项不相关，当 i j 时，E i j 0
(5)、解释变量都是确定性的而非随机变量， 且解释变量之间不存在线性关系；
bk k
seˆ(bk )
= bk
seˆ(bk )
t / 2(n-K-1)
如果t 统计量数值不满足上述不等式，意味着 可以拒绝原假设，不能认为第k个解释变量是 不重要的，称模型的第k个解释变量通过了显
多元线性回归的计算模型
多元线性回归的计算模型多元线性回归模型的数学表示可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示第i个自变量的回归系数（即自变量对因变量的影响），ε表示误差项。
1.每个自变量与因变量之间是线性关系。
2.自变量之间相互独立，即不存在多重共线性。
3.误差项ε服从正态分布。
4.误差项ε具有同方差性，即方差相等。
5.误差项ε之间相互独立。
为了估计多元线性回归模型的回归系数，常常使用最小二乘法。
最小二乘法的目标是使得由回归方程预测的值与实际值之间的残差平方和最小化。
具体步骤如下：1.收集数据。
需要收集因变量和多个自变量的数据，并确保数据之间的正确对应关系。
2.建立模型。
根据实际问题和理论知识，确定多元线性回归模型的形式。
3.估计回归系数。
利用最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。
4.假设检验。
对模型的回归系数进行假设检验，判断自变量对因变量是否显著。
5. 模型评价。
使用统计指标如决定系数（R2）、调整决定系数（adjusted R2）、标准误差（standard error）等对模型进行评价。
6.模型应用与预测。
通过多元线性回归模型，可以对新的自变量值进行预测，并进行决策和提出建议。
多元线性回归模型的计算可以利用统计软件进行，例如R、Python中的statsmodels库、scikit-learn库等。
这些软件包提供了多元线性回归模型的函数和方法，可以方便地进行模型的估计和评价。
在计算过程中，需要注意检验模型的假设前提是否满足，如果不满足可能会影响到模型的可靠性和解释性。
总而言之，多元线性回归模型是一种常用的预测模型，可以分析多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法估计回归系数，并进行假设检验和模型评价，可以得到一个可靠的模型，并进行预测和决策。
应用统计学多重线性回归模型
2020年8月3日星期一
重庆交通大学管理学院
08:19:10
残差分析
❖ 残差种类 非标准化残差（原始残差） 标准化残差（Pearson残差） 学生化残差 剔除残差 学生化剔除残差
2020年8月3日星期一
重庆交通大学管理学院
08:19:10
残差分析
❖ 模型适用条件的检验－因变量与自变量之间存在线性 关系的检验（以例1为例：年龄）
初步分析： 与简单线性回归相类似，先绘制散点图，以便在进行回 归分析之前了解各变量之间是否存在线性关系。本例有 两个自变量与一个反应变量，绘制散点图矩阵，如下。
2020年8月3日星期一
重庆交通大学管理学院
08:19:08
简单分析实例－初步分析
❖ 绘制散点图矩阵
2020年8月3日星期一
重庆交通大学管理学院
模型的进一步诊断与修正
❖ 多重共线性的识别
多重共线性：是指自变量间存在相关关系，即一个自变量可以用其他 一个或几个自变量的线性表达式进行表示。有以下表现形式：
整个模型的方差分析结果为P<，但各自变量的偏回归系数的统计学 结果却为P> ;
专业上认为应该有统计学意义的自变量检验结果却无统计学意义； 自变量的偏回归系数取值大小甚至符号明显与实际情况违背，难以 解释； 增加或删除一条记录或一个自变量，偏回归系数发生很大变化。
2020年8月3日星期一
重庆交通大学管理学院
08:19:11
残差分析
❖ 模型适用条件的检验－方差齐性的检验
2020年8月3日星期一
重庆交通大学管理学院
08:19:11
残差分析
❖ 模型适用条件的检验－正态性的检验
2020年8月3日星期一
多元线性回归、logistic回归
.366
.351
.204
-.271
.121
.638
.243
Standardized Coef ficients
Beta
.078 .309 -.339 .398
t 2.101 .390 1.721 -2.229 2.623
Sig. .047 .701 .099 .036 .016
将总胆固醇(X1) 剔除。 注意：通常每次只剔除关系最弱的一个因素。 对于同一资料，不同自变量的t值可以相互比较，t的绝对
B
Std. Error
6.500
2.396
.402
.154
-.287
.112
.663
.230
Standardized Coef ficients
Beta
.354 -.360 .413
t 2.713 2.612 -2.570 2.880
Sig. .012 .016 .017 .008
Yˆ 6.500 0.402X2 0.287X3 0.663X4
2.0095
2
.773b
.598
.546
1.9721
a. Predictors: (Const ant), 糖 化 血 红 蛋 白 x4, 甘 油 三 脂 x2, 胰 岛 素 x3, 总 胆 固 醇 x1 b. Predictors: (Const ant), 糖 化 血 红 蛋 白 x4, 甘 油 三 脂 x2, 胰 岛 素 x3
3
第十五章 多元线性回归
(multiple linear regressoin) P.261
Y，X——直线回归 Y，X1，X2，…Xm——多元回归（多重回归）
自考运筹学基础历年试题和答案
第1章导论【真题演练】一、（12年4月）借助于某些正规的计量方式而做出的决策，称为( A )A．定量决策B．定性决策C．混合性决策D．满意决策二、（12年4月）利用直观材料，依托个人经验的主观判断和分析能力，对未来的发展进行预测属于( c )A．经济预测B．科技预测C．定性预测D．定量预测3、（11年7月）按照决策人员的主观经验或知识而制定的决策，称之为( B )A.定量决策B.定性决策C.混合性决策D.满意决策4、（12年4月）对于管理领域，运筹学也是对管理决策工作进行决策的___计量___方式。
五、（11年7月）运筹学应用多种分析方式，对各类可供选择的方案进行比较评价，为制定最优的管理决策提供___数量___上的依据。
六、（11年4月）作为运筹学应用者，接受管理部门的要求，搜集和阐明数据，成立和实验_数学模型_，预言未来作业，然后制定方案，并推荐给领导部门。
7、（10年7月）运筹学把复杂的功能关系表示成_数学模型_，以便通过定量分析为决策提供数量依据。
八、（10年4月）在现今信息时期，运筹学和信息技术方式的分界限将会____消失____，并将离开各自原来的领域，组合成更通用更普遍的管理科学的形式。
九、（09年7月）决策方式一般分为定性决策、定量决策、___混合型决策___三类。
10、（09年4月）运筹学是一门研究如何有效地组织和管理____人机系统____的科学。
1一、（09年4月）名词解释：定性预测1二、（11年7月）名词解释：定量预测【同步练习】一、运筹学研究和运用的模型，不只限于数学模型，还有效___符号___表示的模型和___抽象___的模型。
二、在某公司的预算模型中，__收益表__是显示公司效能的模型，___平衡表__是显示公司财务情况的模型。
3、运筹学工作者观察待决策问题所处的环境应包括___内部___环境和___外部___环境。
4、企业领导的主要职责是___作出决策___，首先肯定问题，然后__制定目标___，确认约束条件和估价方案，最后选择___最优解___。
张厚粲《现代心理与教育统计学》（第4版）配套题库【考研真题精选＋章节题库】
目 录第一部分 考研真题精选一、单项选择题二、多项选择题三、简答题四、综合题第二部分 章节题库第1章 绪 论第2章 统计图表第3章 集中量数第4章 差异量数第5章 相关关系第6章 概率分布第7章 参数估计第8章 假设检验第9章 方差分析第10章 χ2检验第11章 非参数检验第12章 线性回归第13章 多变量统计分析简介第14章 抽样原理及方法第一部分 考研真题精选一、单项选择题1已知某小学一年级学生的体重平均数21kg，标准差3.2kg，身高平均数120cm，标准差6.0cm，则下列关于体重和身高离散程度的说法正确的是（ ）。
[统考2019研]A．体重离散程度更大B．身高离散程度更大C．两者离散程度一样D．两者无法比较【答案】A【解析】计算体重和身高的变异系数，CV体重＝（3.2/21）×100%＝15.2%，CV身高＝（6/120）×100%＝5%。
由此可知体重离散程度更大。
2已知某正态总体的标准差为16，现从中随机抽取一个n＝100的样本，样本标准差为16，则样本平均数分布的标准误为（ ）。
[统考2019研]A．0.16B．1.6C．4D．25【答案】B【解析】总体正态，且方差已知，则样本平均数的分布为正态分布，标准误SE＝σ/sqr（n）＝16/10＝1.6。
3如果学生参加压力量表测试的分数服从正态分布，平均数为5，标准差为2，那么分数处在5和9之间的学生百分比约为（ ）。
[统考2019研]A．34%B．48%C．50%D．68%【答案】B【解析】计算原始分数为5的标准分数Z1＝0，原始分数为9的标准分数Z2＝2，已知±1.96包含95%的个体，则可估计p（0＜Z＜2）＝0.48。
4对样本平均数进行双尾假设检验，在α＝0.10水平上拒绝了虚无假设。
如果用相同数据计算总体均值的置信区间，下列描述正确的是（ ）。
[统考2019研]A．置信区间不能覆盖总体均值B．置信区间覆盖总体均值为10%C．置信区间覆盖总体均值为90%D．置信区间覆盖总体均值为0.9%【答案】C【解析】置信度即置信区间覆盖总体均值的概率，题干说明置信度为1－α＝0.90。
第13章 简单线性回归与相关
b ( X X )(Y Y ) lXY
(X X)2
l XX
a Y bX
§ （1）方差分析
§ 其原理与前面的单因素方差分析相同，统计量F
的计算公式为，
F
SS回归 / 回归 SS 残差 / 残差
MS回归 MS 残差
§ （2）t检验 § 检验统计量t的计算公式为，
t b0 Sb
§ 其中Sb为回归系数的标准误，
Sb
SYX l XX
§ 3.回归分析的统计预测 § 所谓预测就是将预报因子（自变量）代入回归
方程对预报量进行估计。
§ （1）总体均数的置信区间
§ 2.线性相关系数（ Pearson积矩相关系数） 线性相关，又称简单相关，用来定量描述两个变 量间线性关系密切程度和相关方向的统计指标 ，适用于二元正态分布资料。
相关系数的计算公式为：
r (X X )(Y Y ) ( X X )2 (Y Y )2
§ 相关系数的统计检验是计算t统计量，计算公式 为：
§ （6）分层资料盲目合并时易出现假象。
分析实例
§ 对某省9个地区水质的碘含量及其甲状腺肿的患 病率作调查后得到一组数据，如图所示，试分 析不同地区的甲状腺肿的患病率高低与本地区 水质的碘含量有无关联？数据文件见例13-1.sav 。
§利用散点图观察两变量之间有无相关趋势。
1.操作步骤与界面说明
§ 距离分析可以计算距离测量指标或者相似性测 量指标 。
§ 1.距离测量指标
§ （1）区间变量（连续变量）：默认为Euclidean 距离（欧氏距离） ；有Euclidean距离 、平方 Euclidean距离 、块等。
第二十章回归分析
第二十章 Logistic 回归分析第13章介绍的多重线性回归研究一个正态随机因变量Y 与一组自变量X =（1X ，2X ，．．．，p X ）的数量关系。
其应用的前提条件是：Y 与X 呈线性关系；各个体观测资料彼此独立；各X 处的Y 呈正态分布；不同X 处Y 的方差相等。
医学中还常研究二分类因变量（如患病与未患病、阳性与阴性等）或多分类因变量Y 与一组自变量（1X ，2X ，．．．，p X ）的关系，线性回归分析方法就无能为力。
logistic 回归分析则是处理该类资料的有效方法。
本章将主要介绍二分类因变量的logistic 回归分析，对于多分类因变量的logistic 回归分析方法，请参考有关专著。
第一节 logistic 回归模型一、logistic 回归模型例20-1 为探讨超重和肥胖对高血压病的影响，2004年，某研究者采用整群抽样的方法，对某地6个镇35周岁以上的常住人口进行高血压普查，同时收集了身高、体重等相关信息。
体质指数25≥BMI 判为“超重或肥胖”，25<BMI 为“正常”；收缩压≥140 mmHg 和(或)舒张压≥90 mmHg 判为“高血压”。
整理后资料见表20-1。
记样本患病率为P ，是相应总体概率π的估计值；自变量X 为体质指数，赋值为1与0，1=X 表示“超重或肥胖”，0=X 表示“正常” ；因变量Y 为是否患病，1=Y 表示“患病”，0=Y 表示“未患病”。
表20-1 不同体质指数组高血压患病率体质指数（X ） 调查人数 患病（Y =1）未患病（Y =0）患病率（%）正常 （X =0） 6792 1331 5461 19.60 超重或肥胖（X =1） 4148 1656 2492 39.92 合计109402987795327.30该研究旨在建立高血压患病率与体质指数间的数量关系模型，估计超重与肥胖对高血压患病的风险。
由于因变量Y 为二分类变量，不满足线性回归分析条件，首先对π进行数据变换：)ln()1ln()(log Odds it =-=πππ这个变换将取值在0-1间的π值转换为值域在（-∞+∞ ，）的)(log πit 值。
卫生统计学第八版李晓松第十三章 多重回归分析简介
第一节 多重线性回归
（四）多重线性回归用途及注意事项
1.多重线性回归的用途
（1）影响因素分析。 （2）估计与预测。
...
p xp
y=1发生的概率记为 ，y=0的概率为1- ；0 为常数项，
1, 2 ,..., p 为logistic回归系数。
第二节 logistic回归
2. logistic回归系数的流行病学意义 logistic回归模型的回归系数具有特殊含义，其解释可与流行病 学中的优势比(odds ratio，OR )联系起来：
年龄
x2 2 4 4 4 4 … 4 3 4 3 1
文化程度
x3 2 4 1 2 1 … 2 1 2 1 1
社会医 疗保障
x4 1 1 1 1 1 … 1 1 1 1 1
自感疾病 最近医疗点 年人均
严重程度 距离
收入
x5
x6
x7
2
0
1
3
0
4
2
0
1
2
0
4
1
1
3
…
…
…
2
0
4
2
0
4
2
0
3
1
0
3
2
0
3
城乡 类型
第一节 多重线性回归
变量筛选结果
变量
截距 体重x1 胸围x2
自由度 偏回归系数 标准误
1
-4.908
《统计学(第7版)》
第１４章 指数 ………………………………………… ３１８
１４．１ 基本问题 …………………………………… ３１９ １４．２ 总指数编制方法 …………………………… ３２１ １４．３ 指数体系 …………………………………… ３２８ １４．４ 几种典型的指数 …………………………… ３３２ １４．５ 综合评价指数 ……………………………… ３３８
思考与练习 ……………………………………… ３４０
附录一 术语表 ……………………………………… ３４４ 附录二 用 Ｅｘｃｅｌ生成概率分布表 ………………… ３５１ 参考文献………………………………………………… ３６１
理解统计对每个人都是必要的
统计在许多领域都有应用。在日常生活中，我们也会经常接触到各种统计数据， 比如，媒体报道中使用的一些统计数据、图表等。下面就是统计研究得到的一些结论： 吸烟对健康是有害的；不结婚的男性会早逝１０年；身材高的父亲，其子女的身材也较 高；第二个出生的子女没有第一个聪明，第三个出生的子女没有第二个聪明，依此类 推；两天服一片阿司匹林会减少心脏病第二次发作的概率；如果每天摄取５００毫升维 生素 Ｃ，生命可延长６年；怕老婆的丈夫得心脏病的概率较大；学生在听了莫扎特钢 琴曲１０分钟后的推理测试会比他们听１０分钟娱乐节目或其他曲目做得更好。这些结 论是正确的吗？你相信这些结论吗？要正确阅读并理解这些数据，就需要具备一些统 计学知识。
２．１ 数据的来源 …………………………………… １２ ２．２ 调查方法 ……………………………………… １４ ２．３ 实验方法 ……………………………………… ２３ ２．４ 数据的误差 …………………………………… ２７
思考与练习 ………………………………………… ３３
第13章 回归分析
第六章 回归分析第一节 一元线性回归一、模型建立 1、问题提出：(1)设x y 为小麦的亩产量,它与肥料x 有关,这种关系可以表示为 x x x y εμ+=)(.(2) 由于观察(或试验)中总存在随机因素的影响,即使x 固定，小麦的亩产量x y 也不完全相同,因而x y 是一个随机变量，从而x ε也是一个随机变量. 可以认为),0(~2σεN x .(3) )(x μ常常可以近似表示为b ax +,因此可以认为 x x b ax y ε++=.2、回归的概念(1) 回归：设x 为一般的实变量, R ∈∀x ,都对应着一个随机变量x y ,若x Ey 总存在,称x Ey 为y 关于x 的回归,记作)(x μ.即 x Ey x =)(μ.(2)一元线性回归：若b ax x +=)(μ,称)(x μ为y 关于x 的一元线性回归.(3) 一元线性回归方程：通过样本得到b ax x +=)(μ中未知参数b a ,的估计值b aˆ,ˆ, 称方程b x a yˆˆˆ+=为y 关于x 的一元线性回归方程.二、一元线性回归方程 1、xx S 、yy S 与xy S2112212121)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=∑∑∑∑====n i i ni i n i i n i i xx x n x x n x x x S .证明：21221121222)2(x n x x n x x x x xS ni i n i i n i ini i ixx -=+-=+-=∑∑∑∑====.(2) 2112212121)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=∑∑∑∑====n i i ni i n i i n i i yy y n y y n y y y S .(3) ∑∑∑∑∑=====-=⋅-=--=ni i ni i ni i i ni i i ni i i xy y x n y x y x n y x y y x x S 111111))((.证明： ∑∑∑∑∑=====+--=--=ni n i n i iin i ii n i iixy y x y x x y y x y y x x S 11111))((y x n y x y x n y n x x n y y x ni ii ni ii ⋅-=⋅+⋅-⋅-=∑∑==11)(.2、b a ,的估计设x x b ax y ε++=,),0(~2σεN x .样本为:),(,),,(),,(2211n n y x y x y x ,n x x x ,,,21 不全为零.则有xxxy S S a=ˆ, x a y bˆˆ-=. 证明：(1)已知),(~2σb ax N y x +.(2)作∏=---∑⎪⎭⎫ ⎝⎛===ni b ax y ni ni i i eb a y L 1)(2112221),;(σσπϕ,欲使L 达到最大,只需∑=--=ni iib ax y R 12)(取得最小.(3)令 0)(21=---=∂∂∑=ni i i i b ax y x a M ，∑==---=∂∂ni i i b ax y b M10)(2. 即0121=--∑∑==x bn xa y x ni in i ii ， 或 ∑∑===+ni i i n i i y x x bn x a 112，0=--nb x an y n . y x n x bn x an ⋅=+2.于是：xxxy ni ini ii S S x n xyx n yx a =-⋅-=∑∑==2121ˆ， x a y bˆˆ-=.3、一元线性回归方程:b x a yˆˆˆ+=, 其中：xxxy S S a =ˆ, x a y b ˆˆ-=.例1 以家庭为单位,某种商品年需求量y 与该商品价格x 之间的一组调查数据如表如下价格i x5222.32.5 2.6 2.8 33.3 3.5 需求量i y 13.5 3 2.72.42.521.51.21.2求y 关于x 的一元线性回归方程.解：(1)已知10=n ,列表计算12345678910Σ522 2.3 2.5 2.62.833.33.5291 3.53 2.7 2.4 2.52 1.5 1.2 1.2212544 5.29 6.25 6.767.84910.912.391.28112.397.29 5.76 6.254 2.25 1.44 1.4450.685766.2166.55.64.5 3.96 4.254.97ix iy ii y x 2ixixx S xy S y 2i y yyS(2) 9.229101=⨯=x , 1.221101=⨯=y ,18.72910128.91122112=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==n i i ni i xx x n x S ,93.5212910197.541111-=⨯⨯-=-=∑∑∑===ni i n i i n i i i xy y x n y x S .(3) 8259.018.793.5ˆ-=-==xx xy S S a ,4951.49.2)8259.0(1.2ˆˆ=⨯--=-=x a y b .于是y 关于x 的一元线性回归方程为 4951.48259.0ˆ+-=x y .4、2σ的估计 (1) 残差平方和：∑∑==--=-=ni ii i ni i ib x a y y yQ 1212)ˆˆ()ˆ((2) Q 的分解式：xy yy S aS Q ˆ-=. 证明: 因 xxxy S S a=ˆ,x a y bˆˆ-=.所以 ∑∑==+--=--=ni i i ni i i x a y x a y b x a y Q 1212)ˆˆ()ˆˆ( xx xy yy ni i i S a S a S x x ay y 212ˆˆ2)](ˆ)[(+-=---=∑= xy yy xx xxxy xy yy S aS S S S a S aS ˆˆˆ2-=+-=. (3) )2(~22-n Qχσ. (证明略)(4) 2σ的无偏估计：)ˆ(212ˆ2xy yy S aS n n Q --=-=σ. 证明：因 )2(~22-n Q χσ,所以22-=⎪⎭⎫⎝⎛n Q E σ，22222)2(222)ˆ(σσσσσ=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n Q E n n Q E E .例2 同例1,求2σ的无偏估计2ˆσ. 解：(1)由例1列表知58.62110168.50122112=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==n i i ni i yy y n y S .(2)6824.1)93.5()8259.0(58.6ˆ=-⨯--=-=xy yy S a S Q . (3)于是 2103.06824.1812ˆ2=⨯=-=n Q σ.第二节 线性回归假设检验与系数估计一、线性假设检验1、一元线性回归显著性检验的思路若b ax x +=)(μ,那么0≠a .否则,若0=a ,有x x b y ε+=,可见y 基本上不依赖与x .2、检验统计量：)2(~ˆˆ--=n t S a aU xx σ(证明略)3、线性假设检验的步骤(1)假设 0H ：0=a , 1H ：0≠a . (2)检验统计量：)2(~ˆˆ-=n t S a U xx σ(3)检验值：xx s au σˆˆ0=(4)临界值：)2(2-=n t b α(5)拒绝域B ：b U >|| (6)检验：检查是否有b u >||0判断：拒绝0H 、接受0H 或其他(8)结论：据检验结果认为一元线性回归是否显著.例1 检验第一节例1中的一元线性回归是否显著？)05.0(=α解：已知10=n ,8259.0ˆ-=a,2103.0ˆ2=σ,18.7=xx S . (1)假设 0H ：0=a , 1H ：0≠a . (2)检验统计量：)2(~ˆˆ-=n t S aU xx σ(3)检验值：8258.418.72103.08259.0ˆˆ0=⨯-==xx S a u σ (4)临界值：306.2)8()2(025.02==-=t n t b α(5)拒绝域B ：b U >||(6)检验：由于 b u =>=306.28258.4||0 (7)判断：拒绝0H(8)结论：可以认为一元线性回归效果显著.二、系数a 的α-1置信区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±)2(ˆˆ2n t S a xx ασ证明：取)2(~ˆˆ/ˆˆ--=-=-=n t S a aS a a V a T Z xx xx σσ即证.例2 求第一节例1中a 的95.0置信区间.解：已知8259.0ˆ-=a,2103.0ˆ2=σ,18.7=xx S ,306.2)2(2=-=n t b α. 于是,a 的95.0置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±)2(ˆˆ2n t S a xx ασ )4312.0 ,2206.1(306.218.72103.08259.0--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯±-=.预祝同学们取得优异成绩！联系电话：7912E_mail: q58@。
多元线性回归与多元逐步回归
P 0.000
由表11-4可知，F＝21.54，P<0.05。从而，拒绝H0，可以认为β１和 β２不全为0，即所求回归方程有统计学意义。
15
２．偏回归系数的检验
（1）F 检验
H 0 : j 0；H1 : j 0 j=1,2,…,k
Fj＝
U /1 SS残差 （ / n
k
1)
Fj服从F(1 ,n - k - 1)分布
Y2
3
X13
X23
……
Xk3
Y3
……
……
n
X1n
X2n
……
Xkn
Yn
5
Yˆ
一 、多元线性回归方程 (multiple linear regression equation)
Yˆ b0 b1X1 b2 X2 bk Xk
bj为偏回归系数（partial regression coefficient)
第十一章 多元线性回归与多元逐步回归 (Multiple Linear Regression
and Multiple Stepwise Regression)
华中科技大学同济医学院 尹 平
1
例子
儿童身高与年龄、性别的关系
肺活量与年龄、性别、身高、体重 以及胸围的呼吸差等因素的关系
多元线性回归
一个应变量与多个自变量间的关系
一般可将 F 值定在 为0.05、0.10或0.20水平上。对于
回归方程的选入和剔除水平往往选择
选入≤剔除。
选择不同的F 值(或水平)，其回归方程的结果可能不 一致，一般可选不同的F 值(或值) 作调试。至于何种 结果是正确的，必须结合医学的实际意义来确定。
26
计量第13章 模型检验的常用统计量
13.1 检验模型总显著性的 F 统计量 以多元线性回归模型，
yt = 0 +1xt1 + 2xt2 +…+ k-1 xt k-1 + ut 为例，原假设与备择假设分别是
(13-1)
H0：1= 2 = … = k-1 = 0； H1：j，(j = 1, 2, …, k-1)不全为零。 在原假设成立条件下，统计量
图 13-3 2 = 3 = 0 的 F 检验的 EViews 结果
EViews 可以有三种途径完成上述检验。 （2）在式（13-9）输出结果窗口中点击 View，选 Coefficient Tests, Redundant Variables -Likelihood Ratio 功能（模型中是否存在多余的不重要解释变量），在随 后弹出的对话框中填入 DEF，REPAY。可得图 13-4。计算结果同样是 F = 537.5。
2
2ˆ 2
值。其中 ˆ 和 ˆ 2 分别是对 （参数集合）， （误差项方差）的极大似然估计。
用 log L( ~ , ~ 2 ) = - T log 2~ 2 2
u~t 2 表示由估计约束模型得到的对数似然函数极大值。 2~ 2
其中 ~ 和 ~ 2 分别是对 （参数集合）和2 的极大似然估计。似然比（LR）统计量定义为
(13-6)
服从第 1 自由度为 m，第 2 自由度为 T-k 的 F 分布。其中 RSSr 表示由估计约束模
型（13-5）得到的残差平方和；RSSu 表示由估计无约束模型（13-4）得到的残差平
方和；m 表示约束条件个数；T 表示样本容量；k 表示无约束模型（13-4）中被估
回归参数的个数。
判别规则是，
图 13-5 2 = 3 = 0 的 F 检验的 EViews 结果
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内容简介
第1章 导论
1.2 课后习题详 解
1.1 复习笔记
1.3 典型习题详 解
第2章 数据的搜集
2.2 课后习题详 解
2.1 复习笔记
2.3 典型习题详 解
第3章 数据的图表展示
3.2 课后习题详 解
3.1 复习笔记
3.3 典型习题详 解
第4章 数据的概括性度量
4.2 课后习题详 解
4.1 复习笔记
4.3 典型习题详 解
第5章 概率与概率分布
5.2 课后习题详 解
5.1 复习笔记
5.3 典型习题详 解
第6章 统计量及其抽样分布
6.2 课后习题详 解
6.1 复习笔记
6.3 典型习题详 解
第7章 参数估计
7.2 课后习题详 解
7.1 复习笔记
7.3 典型习题详 解
第8章 假设检验
8.2 课后习题详 解
8.1 复习笔记
8.3 典型习题详 解
第9章 分类数据分析
9.2 课后习题详 解
9.1 复习笔记
9.3 典型习题详 解
第10章 方差分析
10.2 课后习题 详解
10.1 复习笔记
10.3 典型习题 详解
第11章 一元线性回归
11.2 课后习题 详解
11.1 复习笔记
11.3 典型习题 详解
第12章 多元线性回归
12.2 课后习题 详解
12.1 复习笔记
12.3 典型习题 详解
第13章 时间序列分析和预测
13.2 课后习题 详解
13.1 复习笔记
13.3 典型习题 详解
第14章 指数
14.2 课后习题 详解
14.1 复习笔记
高级心理统计13-多层线性模型简介
3. 多层线性分析中的模型及假设
一、两水平线性分析的数学模型
3. 多层线性分析中的模型及假设
一、两水平线性分析的数学模型
3. 多层线性分析中的模型及假设
二、扩展的两水平线性分析的数学模型
3. 多层线性分析中的模型及假设
二、扩展的两水平线性分析的数学模型
3. 多层线性分析中的模型及假设
三、多水平分析常用的简化模型类型 1、随机效应一元方差分析模型
3. 多层线性分析中的模型及假设
三、多水平分析常用的简化模型类型 2、随机效应单因素协方差分析模型
3. 多层线性分析中的模型及假设
三、多水平分析常用的简化模型类型 3、一般线性回归模型
3. 多层线性分析中的模型及假设
三、多水平分析常用的简化模型类型 4、随机系数回归模型
3. 多层线性分析中的模型及假设
四、多层线性模型中的参数估计
一般常用的层次模型的参数估计方法有：
1.迭代广义最小二乘法、 2.限制性的广义最小二乘估计 3.马尔科夫链蒙特卡洛法
4. 多元线性分析中一些值得注意的问题
一、预测变量Xij和Wj的中心化 1.对Xij的中心化 2.对Wj的中心化
二、多层线性模型预测变量解释率的计算
三、样本量、多重共线性、缺失值的问题
内容小结
1. 随机效应一元方差分析模型又称零模型，模型中没有考虑任何预 测变量对因变量的影响，可以计算跨级相关，即组间方差占总方 差的比例，或者说在总的变异中由水平2解释的方差的比例。
2. 随机效应单因素协方差分析模型与传统协方差模型的区别在于将 组间效应定义为随机效应而不是固定效应。
3. 在随机系数回归模型中，模型的截距是随机的，自变量对因变量 影响的斜率也是随机的。多层线性分析模型，可以通过对参数进 行不同的限定的都不同的模型形式，逐渐加一些参数，考虑较复 杂的模型，最终得到与数据拟合较优的模型。
第十三章经济地理学的研究方法
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（2） 五个等级表示出相对性评价：
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(三)城市发展条件与发展潜力的综合评价方法 综合评价是在多指标分析的基础上，进行综合，得 出综合评价指数或综合分类等级。 1. 加权综合指数法
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202182523山西师范大学城市与环境学院202182524山西师范大学城市与环境学院202182525山西师范大学城市与环境学院202182526山西师范大学城市与环境学院202182527山西师范大学城市与环境学院202182528山西师范大学城市与环境学院202182529山西师范大学城市与环境学院202182530山西师范大学城市与环境学院202182531山西师范大学城市与环境学院202182532山西师范大学城市与环境学院第三节经济地理信息系统一地理信息系统地理信息系统是以计算机系统的硬件和软件为支撑进行地理信息的采集存贮检索和分析科学管理空间和非空间地理数据的技术系统
各城市该指标的离差值：
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计算离差值
？
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？
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3. 理想值分析法 在分析单一城市要素的发展水平时， 我们可以通 过国际和国内先进城市该项要素的数值分析， 确定一 个理想值， 把我们所研究的地区各城市该项指标数值 与之作比较， 得出各城市指标数值与理想值之间的差 距， 从而确定城市该项发展条件已经达到的水平。
第十三章 模型检验的常用统计量
似然比检验、wald检验、拉格朗日乘数检验
wald检验的思想是：如果约束是有效的，那么在没有 约束情况下估计出来的估计量应该渐进地满足约束条件 ，因为MLE是一致的。
以无约束估计量为基础可以构造一个Wald统计量，这 个统计量也服从卡方分布；
拉格朗日乘数检验的思想是：在约束条件下，可以用拉 格朗日方法构造目标函数。如果约束有效，则最大化拉 格朗日函数所得估计量应位于最大化无约束所得参数估 计值附近。
这里也是构造一个LM统计量，该统计量服从卡方分布 。
似然比检验、wald检验、拉格朗日乘数检验
对于似然比检验，既需要估计有约束的模型， 也需要估计无约束的模型；
对于Wald检验，只需要估计无约束模型；
对于LM检验，只需要估计有约束的模型。
一般情况下，由于估计有约束模型相对更复杂 ，所有Wald检验最为常用。对于小样本而言， 似然比检验的渐进性最好，LM检验也较好， Wald检验有时会拒绝原假设，其小样本性质不 尽如人意。
第13章 模型检验的常用统计量
在建立模型过程中，要对模型参数以及模型的各种假定条件作检 验。这些检验要通过运用统计量来完成。
已经介绍过检验单个回归参数显著性的t统计量和检验模型参数 总显著性的F统计量。介绍了模型误差项是否存在异方差的 Durbin-Watson检验、White检验；介绍了模型误差项是否存在 自相关的DW检验和BG检验。
F (SSEr SSEu ) / m (2942679 48460.78) / 2 537.5
SSEu /(T k 1)
48460.78 /(22 4)
因为F=537.5 >>F( 2, 18) =3.55，所以拒绝原假设。不能从模型中删除解释变量 DEFt和REPAYt。
第十三章-数据分析：SPSS的使用ppt课件
（一）条形图的类型
（二）设置图表中的数据 ⒈ 个案组摘要 ⒉ 各个变量的摘要 ⒊ 个案值
（三）定义条形图的特性
三、线形图
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（一）线形图的类型
（二）设置图表中的数据 ⒈ 个案组摘要 ⒉ 各个变量的摘要 ⒊ 个案值
（三）定义条形图的特性
五、散点图
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❖ 散点图是有两个变量所确定的点在坐标系中的分布来反映变 量之间关系的统计图。使用散点图可以对变量分布特征作初 步的判断，如变量的分布是否具有等方差性等等。
进行描述分析的一般步骤如下： 选择菜单：【分析】→【描述统计】→【描述】
⒈ 【将标准化得分另存为变量】： 将计算的标准化值保存为新变量。
⒉ 【选项】： 选择可选统计量和显示顺序
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（三）探索分析
探索过程（Explore）可以进一步检测数据，进而直观 地观测各组数据的分布，并可对数据进行正态性与同方差 的检验。
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⒉ 选择排序变量
从左侧的源变量窗口中选择一个或多个变量，通过单 击中间的箭头按钮，使之进入到排序依据窗口中。如果选 择的是多个变量，系统先按选择的第一个变量排序，第一 个变量值相等时，按第二个变量排序，以此类推。
⒊ 选择排序规则
排序规则中包括两个选项： ① 升序：按升序顺序排序。 ② 降序：按降序顺序排序。
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（六）个案选择
⒈ 打开选择个案对话框
【数据】→【选择个案】
⒉ 确定选择个案的方法
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⒊ 确定未被选中的个案的处理方法
该栏中包括两个选项： ① 【过滤】：生成过滤变量的选项。 ② 【删除】：删除未选个案的选项。
⒋ 输出选择结果
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（七）其他功能
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质量型自变量（虚拟变量）
例:某公司向客户提供水过滤的维修保养服 务。为了估计服务时间和成本，该公司希 望对客户的每一次维修请求都做维修时间 预测。维修时间y依赖于两个因素：1.前次 维修至今已使用的月数x1；2.需维修的故障 类型x2(机械型或电子型),其中x2是质量型 自变量，取值为：0代表机械类；1代表电 子类。
b0, b1， bp分别为0，1 ， p的估计。 其中真实值与估计值之间的差距用e来表示：
ei yi pyˆi yi b0 b1x1i bp xpi
yˆ是y的一个估计值。
其中，
y1 y
yn
x1i
1
yˆ1 yˆn
1 1
x11 x12 x1n
xp1 xxppn2
b0
bp
我们用矩阵的形式来表述以上模型
E()
ˆ ˆ
1
E(Y1)
E( yn )
8 4.879967 0.609996
9
10.476
Intercept X Variable 1
Coefficients 2.147273 0.304132
Stdev 0.604977 0.100412
t Stat 3.549344 3.028842
P-value 0.00752 0.01634
虚拟变量估计参数的解释 在上例中，引入虚拟变量后，实际上的E(y)有两个
Ra2
1
9
(1 0.904) 10 2 1
88％
模型的显著性检验
1. 整体显著性检验(test for overall significance) 原理：MSE给出了随机误差项方差的一个无偏估计
量。如果H0：1 2 p 0 成立，则有： MSR=SSR/(p+1-1)也为误差项方差的一个无偏估计， 且MSR和MSE的值将很接近。否则，MSR将高估 误差项方差，从而使MSR和MSE的比值较大。
1 1
x11 x12 x1n
xp1 xxppn2
0
p
1
yˆ1 yˆn
1 1
x11 x12 x1n
xp1 xxppn2
X1i Xi
X1n
1
i
n
关于多元线性回归模型的标准假设：
1. E( ) 0，可推知， E(Y ) 0 1X1 2 X 2 p X p
该方程称为回归方程。
2. 对于所有的X，误差项 的方差 2一样：即同方差
服从正态分布
N
(
i
,
2 bi
)
构造统计量：bi i ~ N (0,1)
bi 由于总体方差未知，我们同样用MSE来近似替代
总体方差 2
此时的统计量用t替代：t
bi
i
~ t(n k)
T分布的构造特点：X1,X2独立，X1服从标准
sbi
正态分布，X2服从自由度为n的卡方分布，
当一个质量型变量有两个水平时，一般我们用一个虚拟变 量即可；若有三个水平时则需要两个虚拟变量。一般的， 若质量型变量的水平为k个，则必须有k-1个哑变量。
SUMMARY OUTPUT 回归统计
Multiple R R Square Adjusted R Square Standard error Obs
0.730874 0.534177 0.475949 0.781022
10
SSR SSE SST
ANOVA
df
SS
MS
F
P
1 5.596033 5.596033 9.17389 0.016338159
2
若时维间修2。时若间0与，2故则障前0类者，型的则无期情关望况。维相修反时。间若大于2 后0者不的显期著望，维说修明
可用于预测维修时间的方程有两个：
yˆ 0.93 0.388 x1 yˆ 2.19 0.388 x1
电子类维修时间比机械类平均高出1.26小时。
xi
x1n
e1
ei
en
多元回归模型的估计
最小二乘法：残差最小化，即令 ee 最小
数据 ( x1 j,x2 j , , xpj , y), j 1,2 n 估计的方程：
yˆ1 b0 b1x11 bp xp1 yˆ2 b0 b1x12 bp xp2 yˆn b0 b1x1n bp xpn
发现模型的拟合度较低，希望追加另一个 变量以解释变差中的剩余部分。追加的第 二个变量是运货次数x2。
通过excel统计分析，我们来看看，增加的 变量是否有助于提高模型的解释度。
回归系数的解释
在多元回归情形下，回归系数的解释：当 所有其它自变量均保持不变时，bi是因变量 对应于自变量xi改变一个单位时，所作的改 变的估计值。
电子类 机械类
x1
需要不止一个虚拟变量的情形： 有时候我们要用到两个或两个以上的虚拟变量 例：某复印机制造商组织策划的销售区域为A,B,C
三地，管理者希望用回归方法来预测每周复印机 的销售量。假定令周销售量Y为因变量，销售人 数x1和广告费用x2为自变量，另外认为地区也是 一个重要因素。由于有三个地区，需要取两个虚 拟变量，令虚拟变量x3的取值为：0表示其它，1 表示B地区；虚拟变量x4的取值为：0表示其它， 1表示C地区。
b0
bp
求估计值B 令 Q e' e (Y XBˆ )(Y XBˆ ) 最小
Q Bˆ
Bˆ
(Y
XBˆ )(Y
XB)
Bˆ
(Y
BˆX )(Y
XBˆ )
Bˆ
(Y Y
BˆX Y
Y XBˆ
BˆX XBˆ )
多元判定系数
SST=SSR+SSE 当增加自变量个数后，SSE会减 小，SSR会增大。需要调整。
R2
SSR SST
，Ra2
1
(n
1)(1 R2 ) n p 1
SSR ( yˆi y)2, SSE ( yi yˆi )2,
SST ( yi y)2
区间
区间
50
2
3.146 4.924 2.414 5.656
50
3
4.127 5.789 3.368 6.548
50
4
4.815 6.948 4.157 7.607
100
2
6.258 7.926 5.500 8.683
100
3
7.385 8.645 6.520 9.510
100
4
8.135 9.742 7.362 10.515
t
bi
服从自由度为(n-k)的t分布。
sbi
拒绝法则：
若|t|>t(a/2,n-k)，则拒绝H0
由软件统计结果得到，
Intercept X Variable 1 X Variable 2
Coefficients stdev
t Stat
-0.8687 0.951548 -0.91294
第13章 多元线性回 归
多元线性回归模型（对总体而言）
Y 0 1X1 2 X 2 p X p
1，2 ，p 为未知参数， 为随机误差项，反映其它
未列入回归模型的变量对因变量的影响。
Y，X均为为列向量
Y
2BˆX Y
BˆX XBˆ )
2 X Y
2 X XBˆ
0
X 'Y X ' XBˆ, Bˆ ( X ' X )1 X 'Y
为了指定最佳工作计划表，Butler运输公司 的管理人员希望估计其司机每天行驶的时 间。起初，管理人员认为行驶时间y与行驶 的英里数x1关系密切。因此收集10项运输 任务的样本数据，利用excel统计分析，输 出结果为：
方程：
E( y | x2 0) 0 1x1 E( y | x2 1) 0 1x1 2 0 2 1x1
不论是机械类故障，还是电子类故障，期望维修时 间都是x1的线性函数。
两个方程的斜率相同，但截距不同。
是电子类故障和机械类故障的期望维修时间之差。
MSE=SS E/(n-k)
Butler运输公司的ANOVA表
方差来源 平方和 自由度
回归方程 21.601 2
均方 (mean square)
10.800
F统计量 32.88
误差
2.299 7
0.328
合计
23.900 9
2. 单个参数显著性的t检验：
与一元回归模型一样，模型估计的参数 bi
同理对 2 做显著性检验，得到相同的结果。
3. 多重共线性 多重共线性指：自变量之间存在相关关系。
多重共线性带来的问题：
(1)系数估计可能有符号错误或估计不出来 (2)尽管回归关系的总显著性很强，但参数估计可
能有较大的标准差，单个参数检验的显著性水平 较低。不能通过检验。