结构力学I-第二章 结构的几何构造分析
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结构力学第二章 结构的几何构造分析
①
②
②
B
D
D
应注意形成虚铰 的两链杆必须连 接相同的两个刚 片
Ⅰ Ⅰ 实铰 1 2 3
Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ O 虚铰
虚铰-瞬铰
O .
.
O’
A
C
B
D
无穷铰
实铰 单铰 虚铰（瞬铰） 无穷铰
§2-2 几何不变体系的组成规律
1）一个点与一个刚片之间的联结方式
点A
刚片1 链杆
由于两链杆 在点A处的运动 方向不一致,因 此是不可变的。
二元体
Ⅰ Ⅱ 1
2
Ⅰ O3 Ⅱ
3 O2
结论： 两刚片由3根不交于一 点的链杆连接，因此该 体系是无多余约束的几 何不变体系。
例6： O1
结论： 由于三个铰不在一条线 上，该体系是无多余约 束的几何不变体系。
Ⅲ
6 试对图示体系作几何组成分析。 II
I
无多余约束的几何不变体系。 III I 无多余约束的几何不变体系。 II
料的应变，而能保持几何形状和位臵不变的，称为几何
不变体系，反之称为几何可变体系。
2）自由度
大家知道，人身高用高度表示，水深用深度表示，体系的自由度 顾名思义是指：体系运动时的自由程度。例如平面内一点的自由 程度、一刚体的自由程度……
判断一个体系是否可变，涉及到体系运动的自由度 问题，因此下面复习一下自由度的概念。
连接n个刚片的复刚结可折算成（n-1）个单刚结，相当 于3(n-1)个约束。
约束：复刚结.swf
四、必要约束和多余约束
1、必要约束 在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目将随 之变化，则此约束称为必要约束。
必要约束.swf
a) 无多余约束
②
②
B
D
D
应注意形成虚铰 的两链杆必须连 接相同的两个刚 片
Ⅰ Ⅰ 实铰 1 2 3
Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ O 虚铰
虚铰-瞬铰
O .
.
O’
A
C
B
D
无穷铰
实铰 单铰 虚铰（瞬铰） 无穷铰
§2-2 几何不变体系的组成规律
1）一个点与一个刚片之间的联结方式
点A
刚片1 链杆
由于两链杆 在点A处的运动 方向不一致,因 此是不可变的。
二元体
Ⅰ Ⅱ 1
2
Ⅰ O3 Ⅱ
3 O2
结论： 两刚片由3根不交于一 点的链杆连接，因此该 体系是无多余约束的几 何不变体系。
例6： O1
结论： 由于三个铰不在一条线 上，该体系是无多余约 束的几何不变体系。
Ⅲ
6 试对图示体系作几何组成分析。 II
I
无多余约束的几何不变体系。 III I 无多余约束的几何不变体系。 II
料的应变，而能保持几何形状和位臵不变的，称为几何
不变体系，反之称为几何可变体系。
2）自由度
大家知道，人身高用高度表示，水深用深度表示，体系的自由度 顾名思义是指：体系运动时的自由程度。例如平面内一点的自由 程度、一刚体的自由程度……
判断一个体系是否可变，涉及到体系运动的自由度 问题，因此下面复习一下自由度的概念。
连接n个刚片的复刚结可折算成（n-1）个单刚结，相当 于3(n-1)个约束。
约束：复刚结.swf
四、必要约束和多余约束
1、必要约束 在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目将随 之变化，则此约束称为必要约束。
必要约束.swf
a) 无多余约束
结构力学(几何组成分析)详解
单铰－２个约束
刚结点－３个约束
四、多余约束 分清必要约束和非必要约束。
五、瞬变体系及常变体系
C
A
B
A C’
B
六、瞬铰 O . . O’
0 0' P
M 0 0
N1
N2
N3 Pr 0
N3
N3
Pr
A
B
C D
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
j=8
b=12+4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。
连接 n个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
j 7 b 3 3 5 3 14
W 2 7 14 0
三、混合体系的自由度
W (3m 2 j) (2h b)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
(2,3) 5
4
6
1
2
3 (1,3)
5 4 (1,2)
6
.
(2,3)
几何瞬变体系
补3 ：
.O1
Ⅰ
.O2
ⅡⅡ
Ⅲ
ADCF和BECG这两部分都是几何不变的，作为刚 片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、 O2、 C不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。 返 回
结构力学第二章
I
1 2
3
II
II
两刚片规则：两刚片之间用一个铰和一根链杆相联结，且铰 不在链杆的直线上；或者用三根既不平行也不交于一点的链 杆相联结，则组成几何不变体系，且无多余约束。
§2-2 无多余约束几何不变体系的组成规律
3）三个刚片之间的联结方式 B I II C III
三刚片规则：三个刚片之间用三个 不共线的铰（实或虚铰）两两相连，
动，体系是可变体系。 (2)当A 点沿公切线发生微小位移后，链 杆1和2不再共线，因此体系不再是可变 体系。
Ⅰ
§2-1 几何构造分析的几个概念
接近瞬变体系结构的受力分析
α
A
C P
α
B
NCA C
NCB P
取C结点：
Y 0
2 NCA Sin P
N CA
P 2 Sin
若α 很小，NCA就很大。
有多余约束的几何不变体系----超静定结构 几何可变体系----存在未能满足的平衡条件--机构
§2-3 几何构造分析方法
例2： 刚片I 2 地基作为刚片II 例3： 3 没有多余约束的几何不变体系 1 A 刚片I 没有多余约束的 几何不变体系 B C 刚片II 2 二元体 二元体 二元体
1
地基作为刚片III
§2-3 几何构造分析方法
（2）从体系内部出发进行组装
先运用各种规则把结构内部组装成一个几何不变体系， 然后运用规则把它与基础相连。 例1： 刚片I 2 A 刚片II 3 没有多余约束 的几何不变体系 2
体系进行几何构造分析的目的:
如何判别体系几何不变,几何可变； 怎样组成几何不变体系；
判断静定结构、超静定结构，
判定静定结构的基本部分、附属部分 ----静定结构解题的钥匙
结构力学《第二章几何组成分析》龙奴球
第二章 结构的几何构造分析
瞬变体系（
×）
体系是由三个刚片用三个共线的铰 ABC相连，故为瞬变体系。（ ）
×
第二章 结构的几何构造分析
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系简单化，然 后再分析。
D A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后， 剩下大地。故该体系为无多余约 束的几何不变体系。
第二章 结构的几何构造分析 2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉 基础，只分析上部。
第二章 结构的几何构造分析
用一链杆将一刚片与地面相联 两刚片用一链杆相联
1、2、3、4是链杆， 折线型链杆、曲线型 链杆可用直线型链杆 代替。
3 6 4
Ⅰ
1 5
5、6不是链杆。
第二章 结构的几何构造分析
单铰：联结两个刚片的铰称为单铰
一个单铰相当于几个约束呢？ 在平面内两个刚片自由 度等于6 加入一个单铰后自由度 等于4，减少了2个自由 度
A
C B
规则4 三刚片以不在一条直线 上的三铰 两两相连，组成无多余 约束的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
第二章 结构的几何构造分析
关于无穷远瞬铰的情况
1 C II
I A
2
B
III
图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、 B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个 铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多 余约束。
(3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。
(4) 各有限远点都不在∞线上。
第二章 结构的几何构造分析
§2-2 几何不变体系的组成规则
基本规律：三角形规律
结构力学第2章 结构的几何构造分析
有一根链杆是多余约束
§2-1 几何构造分析的几个概念
5. 瞬变体系
特点：从微小运动的角度看，这是一个可变体系；
经微小位移后又成为几何不变体系；
在任一瞬变体系中必然存在多余约束。 瞬变体系：可产生微小位移 常变体系：可发生大位移
可变体系
§2-1 几何构造分析的几个概念
6. 瞬铰 O为两根链杆轴线的交点，刚片I
可发生以O为中心的微小转动， O点
称为瞬时转动中心。 两根链杆所起的约束作用相当于在链 杆交点处的一个铰所起的约束作用，这个 铰称为瞬铰。
§2-1 几何构造分析的几个概念
7. 无穷远处的瞬铰 两根平行的链杆把刚片I与基础相
连接， 则两根链杆的交点在无穷远处。
两根链杆所起的约束作用相当于无穷远 处的瞬铰所起的作用。
体系计算自由度：
W=2j-b
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
若W＞0，则S ＞0，体系是几何可变的
若W=0， 则S=n， 如无多余约束则为几何不变，如有多余约束则 为几何可变 若W＜0，则n＞0， 体系有多余约束 例 2-4 试计算图示体系的W。 方法一：
m=7，h=9，b=3， g=0
W=3m-2h-b=3×7-2×9-3=0 方法二： j=7，b=14
W=2j-b=2×7-14=0
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
例 2-5 试计算图示体系的W。
将图(a)中全部支座去掉，在G处切开，如图(b) m=1，h=0，b=4， g=3 W=3m-（3g+2h+b）=3×1-（3×3+2×0+4）=-10 体系几何不变，S=0 n=S-W=0-（-10）=10
第2章
§2-1 §2-2
结构力学第二章结构的几何组成分析
结构系统结构系统 结构系统 平面中的固定铰支座能消去2个自由度（2个线位移），但不能消除转动，因此对应2个约束，c =2空间中的固定铰支座能消去3个自由度, 因此对应3个约束，c =3 平面固支，c =3空间固支，c
=6 结构系统 结构系统结构系统 （c ）铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 x y A O A xA yα β 单铰 6 23=?=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:β α,,,A A y x 4 =n 2 46=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰 x y A O 复铰 m 个刚片 原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：m m n 33=?=m n +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。 )1(2-m m 个铰的总自由度数： 系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1
2 3 f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理，则
布置不合理
f
=0 f =1 布置合理，1
次超静定 f =0 布置合理，静定
2 由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。 1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A' x y A yA xA z A zA' O 空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3 x y A yAxA z AzA' O B B'
=6 结构系统 结构系统结构系统 （c ）铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 x y A O A xA yα β 单铰 6 23=?=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:β α,,,A A y x 4 =n 2 46=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰 x y A O 复铰 m 个刚片 原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：m m n 33=?=m n +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。 )1(2-m m 个铰的总自由度数： 系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1
2 3 f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理，则
布置不合理
f
=0 f =1 布置合理，1
次超静定 f =0 布置合理，静定
2 由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。 1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A' x y A yA xA z A zA' O 空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3 x y A yAxA z AzA' O B B'
结构力学第二章结构的几何组成分析
链杆法
链杆选取
选择适当的链杆，作为分析的基本单元。
约束条件分析
分析链杆的约束条件，确定结构的几何特性。
几何组成判定
根据链杆的几何特性和约束条件，判断结构 的几何组成。
混合法
1 2
方法选择
根据结构特点，选择刚片法或链杆法进行分析。
综合分析
综合运用刚片法和链杆法，对结构进行几何组成 分析。
3
结果判定
常变体系
在荷载作用下，体系的几何形状会发生变化，且这种变化是持续的。例如，一个由三个链杆连接的刚片，在荷载 作用下会持续发生变形。
03
几何组成分析方法
刚片法
刚片选取
选择适当的刚片，作为分析的基本单 元。
自由度计算
几何不变体系判定
根据约束条件，判断结构是否为几何 不变体系。
计算各刚片的自由度，确定约束条件。
结构力学第二章结构的几何组成分析
目录 Contents
• 几何组成分析基本概念 • 几何组成分析基本规则 • 几何组成分析方法 • 几何组成与结构性能关系 • 复杂结构几何组成分析示例 • 几何组成分析在工程应用中的意义
01
几何组成分析基本概念
几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状和位置都不会改变。
几何可变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状或位置可以发生改变。
自由度与约束
自由度
描述体系运动状态的独立参数，即体系可以独立改变的坐标 数目。
约束
对体系运动状态的限制条件，即减少体系自由度的因素。
刚片与链杆
刚片
在力的作用下，形状和大小保持不变 的平面或空间图形。
结构力学--第2章几何构造分析
第2节
分析规则——无多余约束的几何不变体系
几何不变体系且无多余约束 3、二元体规则 将一杆件换成刚片
A B Ⅰ Ⅱ C C
三角形：三个杆件与三个铰
刚片 = 杆件 虚铰 = 铰
1、三刚片规则
B Ⅰ A Ⅲ
将三杆件换成刚片
加、减二元体 不影响几何不变性
二元体：铰接在一起的两个链杆。
三铰共线为瞬变体系
2、二刚片规则 将二杆件换成刚片
几何构造分析练习
第1题
B D A
C
第2题
C
D
第3题
C
A
D B A
E B
第4题
D
E
F
D
第5题
E A B
F
C
C
第6题
D
A
B
C
A
C
第9题
B
C
第7题
C
第8题
A
B
A
B
A
B
第10题
第11题
1
2
3
1
2
3
4
5
6
4
6
7
8
7
5
8
E
第12题
F
D
C
D
第13题
C
A
B
A
B
几何构造分析练习
第14题 第15题
C
D
第16题
C
A
[例题]对体系进行几何组成分析
F G D E D A B C H
O12
G
I
E
A
II
B
C
III
O13
[解]： （1）首先去二元体DFG、EHG； （2）用三刚片规则进行分析。 ●试着找出三个刚片（保证每两个刚片之间有两个联系） 首先将地基当作一个刚片Ⅲ； 再将BCE当做刚片Ⅱ，将DG当做刚片Ⅰ。 ●找出虚铰位置 刚片Ⅰ、刚片Ⅱ由DB和EG两个平行链杆相连虚铰在无穷远处O12， 刚片Ⅰ、刚片Ⅲ由平行的AD和G支座链杆相连接，虚铰也在无穷远处O13， 刚片Ⅱ、刚片Ⅲ由AB和C支座链杆连接，虚铰在C处 ， ●结论 O12、O13、C三个虚铰构成三角形，故该体系为无多余约束的几何不变体系。
结构力学I-第二章-结构的几何构造分析报告
FG
1 3
2
W = 3×8 - (2 ×10+1+3) = 0
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18:16
LOGO
平面杆件体系的计算自由度
算例
例2：计算图示体系的自由度
1
2
方法1：按刚片计算
9根杆, 9个刚片
有几个单铰？
3根支座链杆
3
3
W = 3 ×9-(2×12+3) = 0
方法2：按铰接链杆计算
W = 2 ×6 - (9+3) = 0
18:16
LOGO
基本概念
多余约束
定义：并不能使体系自由度减少的约束称为多余约束
1 杆：限制 A 在Ⅰ方向上运动； 2 杆：限制 A 在Ⅱ方向上运动； 结论：1、2两杆非多余约束。
任意取2根杆， A点都已固定， 第3根杆已不能再减少自由度； 结论：3根杆中1根是多余约束。
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18:16
Page 21
18:16
LOGO
平面杆件体系的计算自由度
讨论
计算自由度和几何可变
1
2
2
2
3
3
3
3
2
1
1
1
W = 3 ×9-(2×12+3) = 0 几何不变体系
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W = 3 ×9-(2×12+3) = 0 几何不变还是几何可变？
18:16
LOGO
平面杆件体系的计算自由度
讨论
计算自由度和几何可变
减少3个自由度.
x
φ
1个自由杆件3个自由度 2个自由杆件有6个自由度
刚结点约束后 N = 3
基本概念
结构力学第二章
④ 若W＜0，无论体系是否几何不变，体系均有多余约束。
§2-4 体系的几何组成与静定性的关系
结构: 必须几何不变
A C 无多余约束
有多余约束
D D E
B
C
A
F
B
一. 无多余约束的几何不变体系是静定结构 静定结构: 由静力平衡方程可求出所 有内力和支座反力的体系。
q
二. 有多余约束的几何不变体系是超静定结构
(1,3) 1
Ⅱ
O
2
B
Ⅰ
I
Ⅰ
O
A1
(1,2)
2
Ⅱ
Ⅲ
C
(2,3)
瞬变体 系能否 作为结 定义：原为几何可变，发生微小位移后又成为几何不变 构
二. 瞬变体系
的体系。
瞬变体系有：三铰共线、三链杆共点、不等长链杆平行
O
B
几何 可变
A C
B
A
C
FAB
A
FAC
B
A
C
P
P
FAC ＝ FAB ＝ P/(2sin )
A
1
3
2
六、
B
B
A C C A′
常变体系
七、瞬铰（虚铰）
O
.
C D
相交∞远
︷
C
A
A
B
B
D
§2-2 平面几何不变体系的组成规则
讨论无多余约束的几何不变体系的组成规律。
1. 一个点与一个刚片（基础）之间的连接方式
一个点与一个刚片之间用两根链杆相连,且三铰不在一直
线上,则组成无多余约束的几何不变体系。
A 1 2 A
1
结构力学 第二章 结构的几何构造分析.
2019/9/6
A
B
C
Ⅲ
如图示，三刚片用三个不共线的 铰相连，故：该体系为无多余约 束的几何不变体系。
结构力学
36
（Ⅰ,Ⅱ）
Ⅰ (Ⅰ,Ⅲ) Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
(Ⅰ,Ⅲ)
三刚片以三个无穷远处虚铰相连 组成瞬变体系
（Ⅱ，Ⅲ）
（Ⅰ,Ⅱ）
（Ⅱ，Ⅲ）
如图示，三刚片以共线三铰相连几何瞬变体系
2019/9/6
结构力学
② 在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适 当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的解 题途径。
由若干杆件用各种结点连接而成的杆件体系，当 能承受一定范围内任意荷载时，称为杆件结构。不能 承受任意荷载的体系称为机构。
2019/9/6
结构力学
5
2-1-2 体系的分类
在忽略变形的前提下，体系可分为两类：
静定结构 — 几何特征为无多余约束几何不变。
2019/9/6
结构力学
21
2-2-1 静定结构组成规则
规则1 一刚片规则（二元体规则）
一个刚片与一个 点用两根链杆相连， 且三个铰不在一直线 上，则组成几何不变 的整体，并且没有多 余约束。
2019/9/6
图2-8
结构力学
A C
1 A2
22
在体系上用两个不共线杆件或刚片连接一个新
掌握： 体系的计算自由度的概念及计算，无多余 约束的几何不变体系的几何组成规则，及 常见体系的几何组成分析。
了解： 结构的几何特性与静力特性的关系。
2019/9/6
结构力学
4
§2-1 几何构造分析的几个概念
2-1-1 几何构造分析的目的
① 研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构能 承受荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。
A
B
C
Ⅲ
如图示，三刚片用三个不共线的 铰相连，故：该体系为无多余约 束的几何不变体系。
结构力学
36
（Ⅰ,Ⅱ）
Ⅰ (Ⅰ,Ⅲ) Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
(Ⅰ,Ⅲ)
三刚片以三个无穷远处虚铰相连 组成瞬变体系
（Ⅱ，Ⅲ）
（Ⅰ,Ⅱ）
（Ⅱ，Ⅲ）
如图示，三刚片以共线三铰相连几何瞬变体系
2019/9/6
结构力学
② 在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适 当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的解 题途径。
由若干杆件用各种结点连接而成的杆件体系，当 能承受一定范围内任意荷载时，称为杆件结构。不能 承受任意荷载的体系称为机构。
2019/9/6
结构力学
5
2-1-2 体系的分类
在忽略变形的前提下，体系可分为两类：
静定结构 — 几何特征为无多余约束几何不变。
2019/9/6
结构力学
21
2-2-1 静定结构组成规则
规则1 一刚片规则（二元体规则）
一个刚片与一个 点用两根链杆相连， 且三个铰不在一直线 上，则组成几何不变 的整体，并且没有多 余约束。
2019/9/6
图2-8
结构力学
A C
1 A2
22
在体系上用两个不共线杆件或刚片连接一个新
掌握： 体系的计算自由度的概念及计算，无多余 约束的几何不变体系的几何组成规则，及 常见体系的几何组成分析。
了解： 结构的几何特性与静力特性的关系。
2019/9/6
结构力学
4
§2-1 几何构造分析的几个概念
2-1-1 几何构造分析的目的
① 研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构能 承受荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(结构的几何构造分析)【圣才出品】
第2章结构的几何构造分析2.1 复习笔记本章主要用以分析杆件结构的几何构造（或称几何组成），目的在于检查结构是否稳固，能否承受荷载。
本章首先介绍了几何构造分析的几个概念，包括几何不变体系和几何可变体系（几何瞬变体系、几何常变体系）、自由度、约束、多余约束、瞬铰；然后着重介绍了几何不变体系的5种组成规律以及装配思路；最后讲述了平面杆件体系的计算自由度，来帮助更好地分析杆件体系的几何构造。
一、几何构造分析的几个概念（见表2-1-1）表2-1-1 几何构造分析的几个概念二、平面几何不变体系的组成规律1．铰结三角形规律平面几何不变体系有5种组成规律，归结为3种装配格式，根据这些基本组成规律或基本装配格式，可以通过2种装配过程，组成各式各样的无多余约束的几何不变体系，具体内容见表2-1-2：表2-1-2 铰结三角形规律注：条件“三铰不共线”和“三链杆不共点”是完全等效的；“三链杆不共点”还包括三链杆延长线组成的瞬铰情况。
2．装配思路（1）从基础出发。
视基础为基本刚片，将周围部件由近及远按照基本装配格式逐级装配，直至形成整体体系。
（2）从内部刚片出发。
在体系内部选取基本刚片，将周围部件按照基本装配格式逐级装配，最后将扩大刚片与地基装配，形成整体体系。
三、平面杆件体系的计算自由度（见表2-1-3）表2-1-3 平面杆件体系的计算自由度W注：①表中m为体系中刚片的个数，j为联系结点个数，g为单刚结点个数，h为单铰结点个数，b为单链杆根数；②n个刚片复结合等于（n－1）个单结合，连接n个结点的复链杆相当于（2n－3）个单链杆。
2.2 课后习题详解2-1 试分析图2-2-1所示体系的几何构造。
图2-2-1解：（1）如图2-2-2所示，ABC和DEF为两个二元体，可以撤除，剩下的杆CD通过不共点的三链杆与基础相连，形成几何不变体，二元体不影响原结构的几何不变性，故体系为几何不变体系，且无多余约束。
图2-2-2（2）如图2-2-3所示，刚片AB通过不共点三链杆1、2、3与基础相连，形成几何不变体。
2.结构力学PPT之结构的几何构造分析
II I
III
基本规律只是相互之间变相，终归为三角形稳定性
基本装配格式： 1.固定一个结点——简单装配格式 2.固定一个刚片——联合装配格式 3.固定两个刚片——复合装配格式
二元体特性： 把两根不在同一直线上的链杆联结一个新结点的结构形式称 为二元体。 在体系上加上或拆去一个二元体，不改变体系原有的组成性质
刚片AC、BC、基础， 通过A、B、C三个铰 两两相连，成无多余 联系几何不变体系。
刚片AC与基础通过铰A相连， 刚片AC、BC通过铰C相连， 刚片BC与基础通过连杆B相连， 少一个约束， 整体是几何可变体系。
• 从规律出发，由内及外，内外联合形成整体体系。 B
利用虚铰
A
II 4
C
D 1
I
E 2
瞬变体系
两个虚铰在无穷远
两个虚铰在无穷远：若组成此两 虚铰的两对链不平行则几何不变； 否则几何可变；
四杆不平行 不变
平行且等长 常变
平行不等长 瞬变
三个虚铰在无穷远
三个虚铰在无穷远： 体系 为可变（三点交在无穷远 的一条直线上）
彼此等长 常变
彼此不等长 瞬变
7、虚（瞬）铰： 虚铰是由不直接相连接的两根链杆构成的。 虚铰的两根链杆的杆轴可以平行、交叉，或延长线交于一点。 当两个刚片是由有交汇点的虚铰相连时，两个刚片绕该交点 （瞬时中心，简称瞬心）作相对转动。 从微小运动角度考虑，虚铰的作用相当于在瞬时中心的一个实 铰的作用。 . . O’ O A B C D
5、多余约束
在体系上加上或撤除某一约束并不改变原体系的 自由度数，则该约束就是多余约束。
6、瞬变体系 体系在特定位置时是几何可变，离开此位置， 是几何不变。 即在微小荷载作用下发生瞬间的微小的刚体几 何变形，然后成为几几何瞬变是几何可变的特例，不可作为结构
结构力学第二章 1【精选】
无多余几何不变
一元体—一个刚片与一个体系之间只用
三根不相交于一点也不平行的链杆联结, 则该刚片称为一元体。
在进行体系几何组成分析时，减少或增 加一元体不改变体系的几何构造特征。
二元体---两个刚片与一个体系之间只用
三个不在一直线上的铰两两连结, 则两个 刚片称为二元体。
二元体规则：
在一个体系上增加
复单链链杆杆
2n-3个
连接n个铰的
复链杆 等于多少个
单链杆？
每个自由刚片有 多少个
自由度呢？
n=3
每个单铰 能使体系减少 多少个自由度
呢？ s=2
每个单链杆 能使体系减少
多少个 自由度呢？
s=1
每个单刚结点 能使体系减少
多少个 自由度呢？
s=3
4. 体系的计算自由度
1. 体系的自由度数 等于其各组成部分互不联结时总的自由度数减
约束--指限制杆件或体系运动的装置。或者说是 减少自由度的装置。分为外部约束和内部约束。
一根
链杆
相当
n=3
一个 约束
平面刚体——n刚=2片
单铰：指联结两个刚片的铰。
x α
y
铰
β
单铰联后
n=4
每一自由刚片3个自由度 两个自由刚片共有6个自由度
1个单铰 = 2个约束
两刚片用两链杆连接
C
B
n=4
x A
2
1
3根单链杆
W=3 ×9-(2×12+3)=0
另一种解法 按铰结计算 6个铰结点 12根单链杆
W=2 ×6-12=0
2
有
几
个 单
3
铰？
1
讨论
2
一元体—一个刚片与一个体系之间只用
三根不相交于一点也不平行的链杆联结, 则该刚片称为一元体。
在进行体系几何组成分析时，减少或增 加一元体不改变体系的几何构造特征。
二元体---两个刚片与一个体系之间只用
三个不在一直线上的铰两两连结, 则两个 刚片称为二元体。
二元体规则：
在一个体系上增加
复单链链杆杆
2n-3个
连接n个铰的
复链杆 等于多少个
单链杆？
每个自由刚片有 多少个
自由度呢？
n=3
每个单铰 能使体系减少 多少个自由度
呢？ s=2
每个单链杆 能使体系减少
多少个 自由度呢？
s=1
每个单刚结点 能使体系减少
多少个 自由度呢？
s=3
4. 体系的计算自由度
1. 体系的自由度数 等于其各组成部分互不联结时总的自由度数减
约束--指限制杆件或体系运动的装置。或者说是 减少自由度的装置。分为外部约束和内部约束。
一根
链杆
相当
n=3
一个 约束
平面刚体——n刚=2片
单铰：指联结两个刚片的铰。
x α
y
铰
β
单铰联后
n=4
每一自由刚片3个自由度 两个自由刚片共有6个自由度
1个单铰 = 2个约束
两刚片用两链杆连接
C
B
n=4
x A
2
1
3根单链杆
W=3 ×9-(2×12+3)=0
另一种解法 按铰结计算 6个铰结点 12根单链杆
W=2 ×6-12=0
2
有
几
个 单
3
铰？
1
讨论
2
第二章 结构的几何构造分析
G
元体A、B、C、D、E、F、
F
E
G后,剩下大地。
A 故该体系为无多余约束
D
C
B
的几何不变体系。
20
2. 如上部体系与基础 用满足要求的三个 约束相联时，可去 掉基础只分析上部.
？？
• 如上部为几何可变， 整体也是几何可变；
• 如上部为几何不变， 整体也是几何不变。
例2：对图示体系进行几何组成分析。
被约束对象：刚片 I，II，III 提供的约束：铰A、B、C
15
铰接三角形是最简单的几何不变体系
规律4: 三刚片用三个铰两两铰接，
且三铰不在一直线上， 则组成几何不变体系，且无多余约束。
问题：其中的一些铰用等 效链杆代替呢?
16
刚片I, II——用铰A连接 刚片I, III——用铰B连接 刚片II,III——用铰C连接
•逐步添加二元
体确定刚片Ⅰ
•同理得刚片Ⅱ •大地为刚片Ⅲ
•三刚片用不共
(Ⅰ,Ⅲ )
(Ⅱ,Ⅲ )
Ⅰ
Ⅱ
(Ⅰ,Ⅱ )
线三铰相连，
Ⅲ
故该体系为无多余约束的几何不变体系。
23
例5：对图示体系进行几何组成分析。
①抛开基础,只分析上部。 ②在体系内确定三个刚片。 ③三刚片用三个不共线的三铰相连。 ④该体系为无多余约束的几何不变体系。
W (3m 2 j) (3g 2h b)
m、j、g、h、b意义同前。
44
4. 一个体系若求得W >0，一定是几何可变体系；若W 0
，则可能是几何不变体系，也可能是几何可变体系，取决于 具体的几何组成。
所以W 0是体系几何不变的必要条件，而非充分条件。
结构力学第二章
①抛开基础,只分析上部。 ②在体系内确定三个刚片。 ③三刚片用三个不共线的三铰相连。 ④该体系为无多余约束的几何不变体系。
有一个多余约束的几何不变体系
3.等价变换 一个刚片，无论其大小、形状，只要本身没有多余
联系，则可在不改变与其它部分联结方式的前提下，用一 根链杆或一铰接三角形代替。
例15
o12
2、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片
间用链杆形成的瞬铰相连，而不用单铰相连。
E
O13
O23
D
F
O12
A
D
B
C
ⅠF
如将基础、ADE、 EFC作为刚片，将 找不出两两相联
的三个铰。
Aபைடு நூலகம்
B
C
Ⅲ
如图示，三刚片用三个不共线的 铰相连，故：该体系为无多余约 束的几何不变体系。
（Ⅰ,Ⅱ）
Ⅰ (Ⅰ,Ⅲ) Ⅱ
o13
II o23 III
I
I
例16
例17
例17
I II
III
III
III
例17
OI,III
III OI,II
I II OII,III
III III
结论：几何不变体系
例18
E
F
D
例18 F
E D
例18
II
III
E
F
D I
例18
OI,II II E
OI,III III F
D I
结论:几何不变体系
系。
1 几何构造分析的几个概念
（7）虚铰（瞬铰） 连接两个刚片的，不直接相连接的两根单链杆构成的联 系，叫虚铰。虚铰的铰心在两根链杆（延长线）的交点 上。
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− m: 刚片数（不包括地基）； − g: 单刚结点数（含支座）； − h: 单铰数（含支座）； − b: 单链杆数（含支座）。
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平面杆件体系的计算自由度
计算自由度
平面链杆系的计算自由度：
W = 2j - b
− m: 结点数；
− b: 单链杆数（含支座链杆）； 两点间加一链杆，则减少一个自由度。
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平面杆件体系的计算自由度
讨论
计算自由度和几何可变
1
2
2
2
3
3
3
3
2
1
1
1
W = 3 ×9-(2×12+3) = 0 几何不变体系
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W = 3 ×9-(2×12+3) = 0 几何不变还是几何可变？
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平面杆件体系的计算自由度
讨论
计算自由度和几何可变
结论1：计算自由度为0， 不一定是几何不变体系。
W=0 几何可变体系
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平面杆件体系的计算自由度
1 2
讨论
每除去一个约束，体系的计算自由度都会增加。 必要约束
除去该约束，体系的自由度将增加。
例：右图所示几何不变体系，自由度为零；
3
3
除去图中任意一根链杆，体系的自由度都将
回顾：和自由度的关系
体系运动时可独立改变的几何参数数目（S）
S≥W
原因：有些约束是多余的，被称为多余约束。
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平面杆件体系的计算自由度
1 3
AC CDB CE EF CF DF DG FG
算例
例1：计算图示体系的自由度
1
有几个刚片？
有几个单铰？
有几个支座链杆？ 有几个支座刚结点？
体系几何可变 体系几何不变
计算自由度 W ≤ 0 是几何体系不变的必要条件。
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平面几何不变体系的组成规律
主要课题
无多余约束的几何不变体系的组成规律。
主要规律
一个点与一个刚片
规律1 一个刚片与一个点用两根链杆相 连，且三个铰点不共线，则能够组成 无多余约束的几何不变体系； 多余约束
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平面杆件体系的计算自由度
小结
计算自由度W给了什么信息？
W > 0, W = 0, W < 0, 缺少足够联系，体系几何可变； 具备成为几何不变体系所要求的最少联系数目； 体系具有多余联系。
计算自由度W和几何不可变 (可变) 的关系
W > 0 W ≤ 0
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相当于(n－1)个刚结点。
相当于(2n－3)个链杆。
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基概念
多余约束
定义：并不能使体系自由度减少的约束称为多余约束
1 杆：限制 A 在Ⅰ方向上运动； 2 杆：限制 A 在Ⅱ方向上运动； 结论：1、2两杆非多余约束。
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任意取2根杆， A点都已固定，
束的几何不变体系。
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平面几何不变体系的组成规律
主要规律
万变归宗 规律1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰点不共线， 则能够组成无多余约束的几何不变体系； 规律2：两个刚片用一个铰和一根链杆相联结，且三个铰不共线， 则能够组成无多余约束的几何不变体系；
规律3：两个刚片用三根链杆相连，且三根链杆不交于同一点，则
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平面杆件体系的计算自由度
计算自由度
回顾 1. 每个自由刚片拥有自由度 3；
2. 每根单链杆能使体系自由度减少 1；
3. 每个单铰能使体系自由度减少2； 4. 每个单刚结点能使体系自由度减少3。 计算自由度W：各部件自由度总和减总约束数
W = 3m -(3g+2h+b)
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基本概念
约束
定义：减少自由度的装置，又叫联系 刚结点：两根杆连成整体 1个刚结点 = 3个约束， 减少3个自由度. 1个自由杆件3个自由度 2个自由杆件有6个自由度 刚结点约束后 N = 3
x φ
y
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基本概念
约束
定义：减少自由度的装置，又叫联系 虚铰：2相交链杆构成1虚铰。随着体系的运动，两根链杆的交点
基本概念
几何构造分析
定义：就是判断一个杆系是否是几何不变体系，同时还要研究几 何不变体系的组成规律，又称：
几何组成分析
杆系机动分析 几何构造分析目的：
1. 判别一个体系是否为几何不变，从而决定它能否作为结构;
2. 对于结构，区别静定结构、超静定结构，以选定相应计算方法; 3. 搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计算顺序。 额外要求： 1 对于几何可变体系，还要判断是瞬变体系还是常变体系； 2 不论是结构还是几何可变体系，都要判断是否有多余约束。
结 构 力 学 I
第二章 几何构造分析
2018年8月30日
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第二章 几何构造分析
主要内容
基本概念 平面杆件体系的计算自由度 平面几何不变体系的组成规律 几何构造分析示例
思考与小结
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2
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基本概念
几何不变体系和几何可变体系
几何不变体系 ：不考虑材料应变，在载荷作用下能够保持其位置 和几何形状不变的体系，可称之为结构； 几何可变体系：不考虑材料应变，在载荷作用下其位置或几何形 状是可以改变的体系，只能称之为机构；
2 3
W = 3×8 - (2 ×10+1+3) = 0
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平面杆件体系的计算自由度
1 2
算例
例2：计算图示体系的自由度
方法1：按刚片计算 9根杆, 9个刚片 有几个单铰？ 3根支座链杆 W = 3 ×9-(2×12+3) = 0 方法2：按铰接链杆计算 W = 2 ×6 - (9+3) = 0
也在改变，所以这种等效铰点只适用于瞬时微小运动，也叫瞬铰。
y
1个虚铰 = 2个约束，
C B
Ⅱ
减少2个自由度.
x
1个自由刚片3个自由度 2个自由刚片有6个自由度 Ⅰ
D
A
虚铰约束后 N = 4
y
O
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x 14:32
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基本概念
约束
定义：减少自由度的装置，又叫联系 无穷远处的瞬铰：两根链杆的交点在无穷远处，因此两根链杆所
装配分析
装配格式 2 联合装配格式：用不共线的铰和链杆，或用不共点的三个链杆将
一个刚片固定在基本刚片上的装配格式
无多不变
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平面几何不变体系的组成规律
装配分析
装配格式 2 联合装配格式：用不共线的铰和链杆，或用不共点的三个链杆将
一个刚片固定在基本刚片上的装配格式。
P P
几何不变体系
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几何可变体系
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基本概念
自由度
定义：确定物体位置所需要的独立坐标数； 体系运动时可独立改变的几何参数数目。
平面内一点
N=2
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4
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基本概念
自由度
一般而言，若一个体系有n个独立的运动方式，则这个体系n有个 自由度。凡自由度大于零的体系都是几何可变体系。
二元体：这种不共线的“两杆一铰”
体系，称为二元体。
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瞬变体系
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平面几何不变体系的组成规律
主要规律
两个刚片 规律2 两个刚片用一个铰和一根链杆相 联结，且三个铰不共线，则能够组成 无多余约束的几何不变体系；
虚铰：2相交链杆构成1虚铰
规律3
两个刚片用三根链杆相连，且 三根链杆不交于同一点，则能够组成
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平面几何不变体系的组成规律
装配分析
主结构和次结构 次结构受力，会传到主结构； 主结构受力，不影响次结构。
装配分析目的
分析结构是怎么搭建起来的， 以便于后续的受力分析；
（先次结构后主结构）
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平面几何不变体系的组成规律
装配分析
装配格式 1 简单装配格式：基本结构上逐次装配二元体。
复铰约束后 N =5
连结n个杆件的复铰， 相当于(n－1)个单铰。
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11
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基本概念
约束
定义：减少自由度的装置，又叫联系 复刚结点
复链杆
Ⅲ Ⅰ
Ⅱ
复刚结点约束后 N = 3; 连结n个杆件的复刚结点，
三刚片本有9个自由度， 复链杆约束后 N = 6;
连结n个铰点的复链杆，
1
1
W=0 几何可变体系
S=n+W
S : 体系的自由度 n : 体系的多余约束数 W: 体系的计算自由度
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平面杆件体系的计算自由度
讨论
计算自由度和几何可变
结论1：计算自由度为0， 不一定是几何不变体系； 结论2：该体系上部有多 余约束，下部分则缺乏约 束，使得体系成为几何可 变体系。 W=0 几何可变体系
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平面杆件体系的计算自由度
计算自由度
平面链杆系的计算自由度：
W = 2j - b
− m: 结点数；
− b: 单链杆数（含支座链杆）； 两点间加一链杆，则减少一个自由度。
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平面杆件体系的计算自由度
讨论
计算自由度和几何可变
1
2
2
2
3
3
3
3
2
1
1
1
W = 3 ×9-(2×12+3) = 0 几何不变体系
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W = 3 ×9-(2×12+3) = 0 几何不变还是几何可变？
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平面杆件体系的计算自由度
讨论
计算自由度和几何可变
结论1：计算自由度为0， 不一定是几何不变体系。
W=0 几何可变体系
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平面杆件体系的计算自由度
1 2
讨论
每除去一个约束，体系的计算自由度都会增加。 必要约束
除去该约束，体系的自由度将增加。
例：右图所示几何不变体系，自由度为零；
3
3
除去图中任意一根链杆，体系的自由度都将
回顾：和自由度的关系
体系运动时可独立改变的几何参数数目（S）
S≥W
原因：有些约束是多余的，被称为多余约束。
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平面杆件体系的计算自由度
1 3
AC CDB CE EF CF DF DG FG
算例
例1：计算图示体系的自由度
1
有几个刚片？
有几个单铰？
有几个支座链杆？ 有几个支座刚结点？
体系几何可变 体系几何不变
计算自由度 W ≤ 0 是几何体系不变的必要条件。
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平面几何不变体系的组成规律
主要课题
无多余约束的几何不变体系的组成规律。
主要规律
一个点与一个刚片
规律1 一个刚片与一个点用两根链杆相 连，且三个铰点不共线，则能够组成 无多余约束的几何不变体系； 多余约束
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平面杆件体系的计算自由度
小结
计算自由度W给了什么信息？
W > 0, W = 0, W < 0, 缺少足够联系，体系几何可变； 具备成为几何不变体系所要求的最少联系数目； 体系具有多余联系。
计算自由度W和几何不可变 (可变) 的关系
W > 0 W ≤ 0
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相当于(n－1)个刚结点。
相当于(2n－3)个链杆。
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基概念
多余约束
定义：并不能使体系自由度减少的约束称为多余约束
1 杆：限制 A 在Ⅰ方向上运动； 2 杆：限制 A 在Ⅱ方向上运动； 结论：1、2两杆非多余约束。
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任意取2根杆， A点都已固定，
束的几何不变体系。
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平面几何不变体系的组成规律
主要规律
万变归宗 规律1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰点不共线， 则能够组成无多余约束的几何不变体系； 规律2：两个刚片用一个铰和一根链杆相联结，且三个铰不共线， 则能够组成无多余约束的几何不变体系；
规律3：两个刚片用三根链杆相连，且三根链杆不交于同一点，则
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平面杆件体系的计算自由度
计算自由度
回顾 1. 每个自由刚片拥有自由度 3；
2. 每根单链杆能使体系自由度减少 1；
3. 每个单铰能使体系自由度减少2； 4. 每个单刚结点能使体系自由度减少3。 计算自由度W：各部件自由度总和减总约束数
W = 3m -(3g+2h+b)
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基本概念
约束
定义：减少自由度的装置，又叫联系 刚结点：两根杆连成整体 1个刚结点 = 3个约束， 减少3个自由度. 1个自由杆件3个自由度 2个自由杆件有6个自由度 刚结点约束后 N = 3
x φ
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基本概念
约束
定义：减少自由度的装置，又叫联系 虚铰：2相交链杆构成1虚铰。随着体系的运动，两根链杆的交点
基本概念
几何构造分析
定义：就是判断一个杆系是否是几何不变体系，同时还要研究几 何不变体系的组成规律，又称：
几何组成分析
杆系机动分析 几何构造分析目的：
1. 判别一个体系是否为几何不变，从而决定它能否作为结构;
2. 对于结构，区别静定结构、超静定结构，以选定相应计算方法; 3. 搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计算顺序。 额外要求： 1 对于几何可变体系，还要判断是瞬变体系还是常变体系； 2 不论是结构还是几何可变体系，都要判断是否有多余约束。
结 构 力 学 I
第二章 几何构造分析
2018年8月30日
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第二章 几何构造分析
主要内容
基本概念 平面杆件体系的计算自由度 平面几何不变体系的组成规律 几何构造分析示例
思考与小结
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基本概念
几何不变体系和几何可变体系
几何不变体系 ：不考虑材料应变，在载荷作用下能够保持其位置 和几何形状不变的体系，可称之为结构； 几何可变体系：不考虑材料应变，在载荷作用下其位置或几何形 状是可以改变的体系，只能称之为机构；
2 3
W = 3×8 - (2 ×10+1+3) = 0
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平面杆件体系的计算自由度
1 2
算例
例2：计算图示体系的自由度
方法1：按刚片计算 9根杆, 9个刚片 有几个单铰？ 3根支座链杆 W = 3 ×9-(2×12+3) = 0 方法2：按铰接链杆计算 W = 2 ×6 - (9+3) = 0
也在改变，所以这种等效铰点只适用于瞬时微小运动，也叫瞬铰。
y
1个虚铰 = 2个约束，
C B
Ⅱ
减少2个自由度.
x
1个自由刚片3个自由度 2个自由刚片有6个自由度 Ⅰ
D
A
虚铰约束后 N = 4
y
O
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基本概念
约束
定义：减少自由度的装置，又叫联系 无穷远处的瞬铰：两根链杆的交点在无穷远处，因此两根链杆所
装配分析
装配格式 2 联合装配格式：用不共线的铰和链杆，或用不共点的三个链杆将
一个刚片固定在基本刚片上的装配格式
无多不变
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平面几何不变体系的组成规律
装配分析
装配格式 2 联合装配格式：用不共线的铰和链杆，或用不共点的三个链杆将
一个刚片固定在基本刚片上的装配格式。
P P
几何不变体系
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几何可变体系
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基本概念
自由度
定义：确定物体位置所需要的独立坐标数； 体系运动时可独立改变的几何参数数目。
平面内一点
N=2
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基本概念
自由度
一般而言，若一个体系有n个独立的运动方式，则这个体系n有个 自由度。凡自由度大于零的体系都是几何可变体系。
二元体：这种不共线的“两杆一铰”
体系，称为二元体。
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瞬变体系
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平面几何不变体系的组成规律
主要规律
两个刚片 规律2 两个刚片用一个铰和一根链杆相 联结，且三个铰不共线，则能够组成 无多余约束的几何不变体系；
虚铰：2相交链杆构成1虚铰
规律3
两个刚片用三根链杆相连，且 三根链杆不交于同一点，则能够组成
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平面几何不变体系的组成规律
装配分析
主结构和次结构 次结构受力，会传到主结构； 主结构受力，不影响次结构。
装配分析目的
分析结构是怎么搭建起来的， 以便于后续的受力分析；
（先次结构后主结构）
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平面几何不变体系的组成规律
装配分析
装配格式 1 简单装配格式：基本结构上逐次装配二元体。
复铰约束后 N =5
连结n个杆件的复铰， 相当于(n－1)个单铰。
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基本概念
约束
定义：减少自由度的装置，又叫联系 复刚结点
复链杆
Ⅲ Ⅰ
Ⅱ
复刚结点约束后 N = 3; 连结n个杆件的复刚结点，
三刚片本有9个自由度， 复链杆约束后 N = 6;
连结n个铰点的复链杆，
1
1
W=0 几何可变体系
S=n+W
S : 体系的自由度 n : 体系的多余约束数 W: 体系的计算自由度
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平面杆件体系的计算自由度
讨论
计算自由度和几何可变
结论1：计算自由度为0， 不一定是几何不变体系； 结论2：该体系上部有多 余约束，下部分则缺乏约 束，使得体系成为几何可 变体系。 W=0 几何可变体系