单向近似模型-密勒原理
固体物理学：4-5-紧束缚近似
紧束缚模型 —— 只考虑不同原子、相同原子态 之间的相互作用
不考虑不同原子态之间的作用
对于内层电子能级和能带有一一对应的关系 对于外层电子，能级和能带的对应关系较为复杂
一般的处理方法 1) 主要由几个能量相近的原子态相互组合形成能带 2) 略去其它较多原子态的影响
讨论分析同一主量子数中的s态和p态之间相互作用 略去其它主量子数原子态的影响
处理思路和方法 1) 将各原子束缚态的波函数组成布洛赫和 2) 再将能带中的电子的波函数写成布洛赫和的线性组合 3) 最后代入薛定谔方程求解组合系数和能量本征值
同一量子数s态和 p态之间的作用 原子态组成布洛赫和
能带中的电子态 布洛赫和的线性组合
能带中的电子态
代入薛定谔方程 求解组合系数 能量本征值
§4-5 紧束缚近似
一、 模型
电子在一个原子(格 点)附近时，主要受 到该原子势场的作 用，其它原子势场 的作用较弱。
设晶体有N个原子组成，每个原子只有一个价电子,处于S态。
1）孤立原子中的电子
第m个格点附近，第i个电子的束缚态波函数写 为
—— 满足薛定谔方程
—— 格点的原子在 处的势场
—— 电子第i 个束缚态的能级 —— 电子第i 个束缚态的波函数
Wannier 函数
一个能带的Wannier 函数是由同一个能带的布洛 赫函数所定义。
Wannier 函数
满足正交关系
紧束缚作用： 如果晶体中原子之间的间距增大,当电子距某一原子较
近时，其行为类似孤立原子情形。 瓦尼尔函数也应接近孤立原子的波函数
电子波函数
满足
—— 薛定谔方程
无简并s态
用 应用
—— 重叠越多 形成能带越宽
《流体力学》第4章 相似原理和量纲分析
∆p′ ∆p = 2 ρ′v′2 ρv
过程装备与控制工程教研室
16
第4章 相似原理和量纲分析
4.2 动力相似准则
任何系统的机械运动都必须服从牛顿第二定律 F=ma
原型 F = m = ρ a a V
′ ′ 模型 F′ = ma′ = ρ′Va′
3 ρ l
′ ′ F′ ma′ ρ′Va′ = = F m a ρV a
2 kv 2 kF = kρk ka = k k = kρkl2kv V kl
kω =
角速度比例尺
ω′ v′ / l′ kv = = ω v / l kl
过程装备与控制工程教研室
10
第4章 相似原理和量纲分析 4.1.3 动力相似
模型与原型的流场对应点作用在流体微团上的各类力 模型与原型的流场对应点作用在流体微团上的各类力中同类力的 方向相同、大小的比例彼此相等，即它们的动力场相似。 方向相同、大小的比例彼此相等，即它们的动力场相似。 动力场相似
第4章 相似原理和量纲分析 4.1.2 运动相似
长度比例尺和速度比例尺确定所有运动学量的比例尺
体积流量比例尺
q′ l′3 / t′ kl3 kqV = V = 3 = = kl2kv q l /t kt V
运动粘度比例尺
ν′ l′2 / t′ kl2 k = = 2 = = kl kv ν ν l / t kt
第4章 相似原理和量纲分析
第 4章
相似原理和量纲分析
过程装备与控制工程教研室
1
第4章 相似原理和量纲分析
流体力学的研究方法：理论分析方法，实验研究方法，数值计算方法。 流体力学的研究方法：理论分析方法，实验研究方法，数值计算方法。 结合工程需要的流体力学实验一般很难在实物（原型）上进行， 结合工程需要的流体力学实验一般很难在实物（原型）上进行，而是 很难在实物 利用有关实验装置在按一定比例尺制作的模型上进行。 利用有关实验装置在按一定比例尺制作的模型上进行。 模型上进行
单管电流源电路
R
IR
IC2
IC3
IC4 由多集电极晶体管实现的，例如下
T5
T2
T3
图(a)利用一个三集电极PNP管组成
T1
T4 双路电流源,其等价电路如图(b)所示。
VCC
R
IR
IC1 IC2
IC3
(a)
T2 T1 R IR
VCC T3
IC2
IC3
(b)
三、比例式镜像电流源 电流源的电流与参考电流成某一比例关系。实现
IR
VCC
VBE(on) R
VCC R
I R iC1 iB1 iB2
VCC
vBE2
iC 2 I0 I S 2e VT
R
IR
iC2
vB E1
iC1 I S1e VT
vBE1 vBE2 iC1
T1
T2
iC 2
I0
(
IS2 IS1
)iC1
( SE2 SE1
)iC1
当SE1 SE2时，I0 iC2 iC1 镜像电流源
Av() / dB ωp
10 102 103 104 105 f / Hz 20 dB/10倍频程
(a)
90
45
0 1
10 102 103 104 105 f / Hz
ωp
(b)
三、共射放大器的高频响应
1、晶体三极管的频率参数
b.
b′
Ib
rbb′
Cb′c
.
rb′e
Cb′e Vb′e
. Ic
c
gmVb′e
rce
e
因为发射结正向偏置，扩散电容成分较大，记为Cb'e；而集电结 为反向偏置，势垒电容起主要作用，记为Cb'c。在高频区，这些 电容呈现的阻抗减小，其对电流的分流作用不可忽略。考虑这
密勒定理及应用
图 1 中节点 1. 2 的节点电压方程是 :
图2 图1
( G + ……) U 1 - GU 2 + …… = is1
①
- GU 1 + ( G + ……) U 2 + …… = is2
②
其中 is1 , is2 分别为流向节点 1 ,节点 2 的电流源电流的代数和 。
将 U 2 = KU 1 带入方程 ①中 ,
一 、密勒定理 密勒定理是电路分析中的一个重要定理 ,它的内容如下 : 定理 :在电路中 ,若一个电导接在两个节点间 ,且节点 2 的节点电压是节点 1 的节点电压的 k 倍 。则可以在电路 中去掉此电导 ,并在节点 1 与地之间添加一个值为 (1 - K) G 的电导 , 在节点 2 与地之间添加一个值为 (1 - 1/ K) 的电 导 ,这样修改后的电路与原电路对于节点电压方程等效 。 证明 : 该定理的电路原理图如图 1 ,修改后的电路原理图如图 2 。
密勒定理及密勒电容的推导
密勒定理及密勒电容的推导一、密勒定理推导1、原理简介密勒定理在分析某些电路时有着很重要的作用。
但必须注意，只有K（V2/V1）为已知或设法求出之后，才能使用密勒定理进行电路分析。
2、详细内容设有一个具有n个节点的线性电路，其中节点0为参考点。
而节点1和节点2之间有一电阻Rf相接，如图1所示。
又设节点电位V1和V2的比值为一常数K，即V2/V1=K，现在把Rf从节点1和节点2之间移去，在节点1与参考节点0之间接另一个电阻R2，如图2所示。
如果R1=Rf/1-K,R2=Rf/1-1/K,则图1、2所示两电路，就各节点的KCL方程来说是完全等效的。
这就是密勒定理。
图一图二3、推导过程二、密勒电容推导1、密勒电容与密勒效应密勒电容就是跨接在放大器（放大工作的器件或者电路）的输出端与输入端之间的电容。
密勒电容对于器件或者电路的频率特性的影响即称为密勒效应。
密勒效应是通过放大输入电容来起作用的，即密勒电容C可以使得器件或者电路的等效输入电容增大(1+Av)倍，Av是电压增益。
因此很小的密勒电容即可造成器件或者电路的频率特性大大降低。
简单说来：对电子管，屏极与栅极之间的电容；对晶体管，集电极与基极之间的电容；对场效应管，漏极与栅极之间的电容。
这些管子作共阴极(共发射极、共源极)放大器时，输出端与输入端电压反相，使得该电容的充电放电电流增大，从输入端看进去，好像该电容增大了k倍，k是放大倍数。
这种现象叫密勒效应。
2、密勒效应密勒效应是在电子学中，反相放大电路中，输入与输出之间的分布电容或寄生电容由于放大器的放大作用，其等效到输入端的电容值会扩大1+K倍，其中K是该级放大电路电压放大倍数。
虽然一般密勒效应指的是电容的放大，但是任何输入与其它高放大节之间的阻抗也能够通过密勒效应改变放大器的输入阻抗。
输入电容值为：CM=C*(1-A V)A V是放大器的放大，C是反馈电容。
密勒效应是米勒定理的一个特殊情况。
3、密勒效应的推导在密勒定理里：当Zf 是电容时，Zf=1/jωc，所以其中CM =C*(1-AV)。
密勒效应及其直观理解
密勒效应(Miller Effect)及其直观理解（原创，勿转载）KEYWORDS：密勒效应(Miller Effect), 密勒定理，输入阻抗，输出阻抗+ -+ -1．什么是密勒效应（密勒定理）如图1所示的二端口网络（two-port network）中，V in为输入电压，V out为输出电压，Zf为V in与V out之间的桥接阻抗，A为Vin 与V out之间的闭环增益，且A的输入阻抗为无穷大，输出阻抗为零，则图1电路与图2电路是等效的。
+ -+ -其中Zin= Zf * 1/(1- A)Zout=Zf * 1/(1- 1/A)2. 密勒效应的直观理解密勒定理的证明是跟据电路输入和输出阻抗的定义来进行的，但是本人认为数学推导虽然是必须的，但却不利于学习者对密勒效应有直观的认识，进而在电路分析中能够做到得心应手。
一位MOTORALA的工程师说：“only an intuitive sense of the subject matter creates an understanding of the fundamental relationships”，本人深表赞同。
试想，我们把图1中桥接阻抗Zf看作两个阻抗Z1和Z2的串联（毫无疑问，这是可以的），并且取合适的阻抗值（分压比），使其对V out-Vin分压后串联结点的电势为零（假如Vin和V out都是正值，怎么会分压出来零电势呢？别忘了，阻抗是个包含模值(magnitude)和相位(phase)的复数！）如此，我们得到图3。
-+-+仔细比较图3和图2，是不是发现这两个图是一样的？只是Z1和Z2换了个地方，再分别改成Zin 和Zout 就完全一样了。
至此，我们只需跟据上面假设的两个条件，列两个方程： Z1+Z2 = Zf(V out-Vin)*Z1/(Z1+Z2) + V in=0就可求得Z1和Z2的值，事实上： Z1=Zin= Zf * 1/(1- A) Z2=Zout= Zf * 1/(1- 1/A)为免麻烦，其实我们可以直接把Zin 和Zout 的值代入方程，以证明是不是Z1=Zin, Z2=Zout 。
相似原理
相似条件系指保证流动相似的必要和充分条件：. 1) 相似的流动 都属于同一类的流动,它们都应为 相同的微分方程组所描述. 2) 单值条件相似.
几何条件 边界条件 物性条件
3)由单值条件中的物理量所组成的相似准则数 相等.
初始条件
凡属同一类的流动,当单值条件相似而且由 单值条件中的物理量所组成的相似准则数相 等时,这些流动必定相似. 单值条件中的各物理量称为定性量,即决定 性质的量。 由定性量组成的相似准则数称为定性准则数。 包含被决定量的相似准则数称为非定性准则 数。
几何相似是指模型与原型的全部对应线性长度的比 例相等，即 l
l kl
线性长度也称为特征长度，可以是翼型的翼弦长b（见图 4-1），圆柱的直径d，管道的长度l，管壁绝对粗糙度 等，式中 kl 为长度比例尺。
v
b
v
b
图4-1 几何相似
只要模型与原型的全部对应线性长度的比例相等，则它们的 夹角必相等。 由于几何相似，模型与原型的对应面积、对应体积也分别互 成一定比例，即
F
kF 1 2 2 k kl k v
k k v kl k
1
k v kl 1 k
vl vl
vl vl
vl vl Re
Re称为雷诺（O.Reynolds）数,它是惯性力与粘滞
力的比值。 二流动的粘滞力作用相似，它们的雷诺数必定相等， 即 Re Re ；反之亦然。这便是粘滞力相似准则，又 称雷诺准则。 由此可知，粘滞力作用相似的流场，有关物理量的比 例尺要受雷诺准则的制约，不能全部任意选择。例如， 当模型与原型用同一种流体时， k k 1 ， 故有
重力相似准则
流体力学 第10章 相似性原理与因次分析
x3+1 π 3+1 = α β γ x1 x2 x3
共写出 (n 3) 个有效
π 式,此物理过程可写为
F (π 4 , π 5 , π 6 π n ) = 0
通过量纲和谐原理建立其物理量之间的关系, 通过量纲和谐原理建立其物理量之间的关系,此乃 π 定理. 定理. 例:有压管道两测点压强降 p 与管长 l ,管径 d ,绝 对粗糙度 ,管断面平均流速 v ,流体密度 ρ , 有关, 流体动力粘性系数 有关,应用 π 定理建立压强降 的表达式. 的表达式. :(1 解:(1)依题意写出
Re = vd
ν
10.1.2 量纲和谐原理
(1)物理方程由物理量组成,一个理论上成熟的物理方程一 物理方程由物理量组成, 定是量纲和谐的(量纲齐次). 定是量纲和谐的(量纲齐次). 如:能量方程
z1 +
p1
γ
+
α1v12
2g
= z2 +
p2
γ
+
2 α 2 v2
2g
+ hl
(2)将有量纲的物理方程改写为无因次方程其性质不变. (2)将有量纲的物理方程改写为无因次方程其性质不变. 将有量纲的物理方程改写为无因次方程其性质不变 如:
1 2 s = gt 通过量纲和谐原理分析得: 通过量纲和谐原理分析得: 2
s = f ( g , t, G)
定理—布金汉 Buckingham)定理 布金汉( (2) π 定理 布金汉(Buckingham)定理 任一物理过程, 个物理量, 任一物理过程,存在有 n 个物理量,总可以写成函数
f ( x1 , x2 , x3 .....xn ) = 0
ρu 2l ρu 2l ( )p = ( )m σ σ
相似原理及模型试验简介
固体边壁 固体边壁
给定瞬时tP 的流速vP 对应瞬时tP的流速vM
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14.2.5 流动相似
1 流动相似： 原型与模型几何相似、运动相似，动力相似 G PT PP PSPE PIP G M T M P M SM E M IM
G r T r P r S r E r I r
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原型
FPmPddutPP FPFrFMmrmMddutrru tM Mmtrrur mMddutM M FrFMmtrrur mMddutM M＝mtrrur FM
m rur tr
Fr
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因此，对于相似的原型与模型流动，则
F rtr 1 m rur
从中可见，相似系统中物量的相似比尺相 互约束，四个相似比尺中三个可自由选取，剩 余一个由上述比尺关系确定。
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为便于讨论，规定： 物理量的下标 r 表示其物理量的比尺 物理量下标 P、M 表示原型量和模型量
r: ratio P:prototype M:model
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14.2.1 几何相似
几何相似： 指原型和模型几何形状和几何尺寸相似，即原
型和模型的对应线性长度之比均保持一个定值。
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6 惯性力
IMuVu
t
t
Fr Ir rLr3u trr rLr3urtr1
代入
F rtr 1 m rur
则
v P L tP Pv L M M tM S tPS tM ,S tr 1 ,S tv L t
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40
推论：牛顿数相等表示模型与原型流动中 作用力分力与位移惯性力比值相等
单电子近似和紧束缚近似
单电子近似和紧束缚近似
**单电子近似（Single Electron Approximation）** 单电子近似是一种多电子量子力学的基本近似方法，
它假定N个电子之间没有任何相互作用，分子中的所有电
子可以独立地考虑。
在单电子近似中，每个电子都受到原
子核的同时也受到其他电子已经形成的电子云的电场作
用，但不能受到其他电子的电场作用。
因此，单电子近似
可以将多电子体系的复杂性减少到N个单电子体系的复杂性，极大地简化了电子态的计算。
**紧束缚近似（Hartree-Fock Approximation）**
紧束缚近似是一种基于Hartree-Fock理论的多电子体系的近似方法，它假设原子内的电子态的波函数是由一组
不相交的单电子波函数组成的，并且原子内的电子间的相
互作用可以通过一组交换-积分来表示。
它将多电子体系的
复杂性减少到N个单电子体系的复杂性，忽略了电子间的
相互作用，从而简化了电子态的计算。
模拟电子技术基础 第五章 频率响应PPT课件
第5章 频率响应
UCRUCRUCRsississisCrCrRbCrRbbRbebsebseesee((rr(RCrrbRbCrrbRbCbbSbeMbSeMbSeMrrrrbbrrbCbbeCbbCebebb)Ub)Ub)Ueeesss((1(1R1RRssrgsrbgrbgbmemermeRrbrRbRebeLeLUL)U)UC)CsCsbsbbeee
U1 －
Z1
Z
N
A(jω) ＝
U2 U1
(a)
I2 ＋
U2 －
Z2
图5–7 (a)原电路；
(b)等效后的电路
I1 ＋
U1 －
N
Z1
A(jω) ＝
U2 U1
第5章 频率响应
I2 ＋
Z2
U2
－
(b)
图5–7 (a)原电路；
(b)等效后的电路
第5章 频率响应
Z1Z1ZU11IU1I1 11UUII1111 UU 1U1UUZZ1U11ZU1UUZ1U12U2221111ZUUZ2ZZUU2UU12U2U2121212 111Z1ZAZAuZAu Au u
(5–1) (5–2a) (5–2b)
第5章 频率响应
图5–2给出了不产生线性失真的振幅频率响应和相 位频率响应，称之为理想频率响应。
|Au(jω)|
(jω)
K
0
0
ω
ω
∞ω
(a)
(b)
图5–2 (a)理想振幅频率响应；(b)理想相位频率响应
第5章 频率响应
5–1–2实际的频率特性及通频带定义 实际的振幅频率特性一般如图5–3所示。在低频和
三、高频增益表达式及上限频率
第5章 频率响应
共射电路的频率特性分析
2.增益带宽乘积GBP
共射放大器:
GBP AV 0 h
' ' D 1 T RL Cc T RL Cc
说明晶体管的选择对于决定共射放大器频率特性的重要性； 选择特征频率大，rb和Cc小的晶体管，在同样的电路条件下
可以获得较大的带宽；
放大器发射极静态偏置电流设置的越小，则re就越大，有利
C
E
V
rc 1
单向化近似:只有输入到输出流动，而没有输出反馈回输入的反馈回路.
Zf
Io
Io
Vi
放 大 器
密勒等效
Vo
RL
Vi Z f i
放大 器
RL
Z fo
Vo
线性电子
8
（2）密勒定理
线性电子
9
（2）密勒定理
如放大器是反相放大器，K<0，则Zfi，Zfo与Zf是同类阻抗元件；
C ' (1 | K |)Cc C '' 1
如何选择晶体管？
T ? rb ? re ?
密勒因子D越大，电压增益函数的带宽就越小，而负载RL越
大，又导致D变大，因此，放大器的负载值不能取的过大， 否则会限制放大器的通频带带宽；
RL越大，导致中频电压增益越高，即该表达式体现了增益
与带宽两 个重要指标之间的矛盾性；
增益带宽乘积GBP
线性电子
15
单独考虑每个电容低频特性的影响，再综合分析；
线性电子
3
（1）耦合电容C1的影响
1 低频时， jC 阻抗增加： 1
Rs
Vs
C1
Vi R B
hie
ib RC Vo
RL
流体力学-相似原理与量纲分析性
K
c
v2l We
l Sr vt
如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该方 程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是 令方程中的有关力与惯性力相比。
第三节 流动相似条件
流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量都成比例。
相似流动必然满足以下条件：
1、任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应点上的各种物 理量，都应为相同的微分方程所描述； 2、相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即流动满足单值 条件； 3、由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动相似也必须满 足的条件。
（4-15）
c 为声速
则弹性力之比： CF Cc 2C Cl 2
代入式(4-15)得：
Cv Cc
1
（4-32）
或: v' v c' c
（4-33）
令:
v Ma
c
（4-34）
Ma称为马赫数，它是惯性力与弹性力的比值。
当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等， 即：Ma' Ma 反之亦然。这就是弹性力相似准则（马赫准则）。
（4-29）
或:
'v'2 v2
（4-30）
K' K
:
v2 Ca
K
（4-31）
Ca 称为柯西数，它是惯性力与弹性力的比值。
当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等， 即：C'a Ca
反之亦然。这就是弹性力相似准则（柯西准则）。
四、弹性力相似准则
CF 1 C Cl2Cv2
若流场中的流体为气体： K c2
图4-2 速度场相似
长度比例尺和速度比例尺确定所有运动学量的比例尺。
频率响应
二、相频特性的渐近线描绘
波特图
ω )的渐近线相频特性 1. 一阶零点 (1 + j ω1 φ( ω)
当ω<<ω1时，φ(ω)=0
ω φ (ω ) = arctan( ) ω1
45°/dec °
0.1 ω1
当ω = ω1 时， φ(ω) = 45° ° 当ω>>ω1时， φ(ω) = 90° °
-45°/dec °
ω 20 lg A( jω ) = 20 lg A + 20 lg jω + 20 lg 1 + j ω1 ω ω ω − 20 lg 1 + j − 20 lg 1 + j − 20 lg 1 + j ω2 ω3 ω4
ω )的渐近线幅频特性 1. 一阶零点 (1 + j ω1 ω 2 ω 20 lg 1 + j = 20 lg 1 + ( ) = y
当ω<< ω1时，y≈20lg1=0dB 当ω>> ω1时，y=20lg(ω/ ω1) 当ω = ω1 时，y=3dB
波特图
ω1
ω1
ω 20 lg 1 + j (dB ) ω1
20dB/dec Lg(ω/ ω1）
ω ) 的渐近线 2.一阶极点(1 + j 一阶极点 ω1 ω 2 ω = −20 lg 1 + ( ) = y − 20 lg 1 + j
ω )的渐近线相频特性 2. 一阶极点 (1 + j ω1
画波特图的一般步骤： ♦ 画波特图的一般步骤： 1. 写出标准式：找常数项 写出标准式： 2. 画出各个零、极点的渐近线 画出各个零、 3. 合成波形
波特图
【精品课件】单电子近似的理论基础
'
)
j
'
(
r
'
)dr
'
spin//
j'
* j
* j
(r) (r)
j' j
(r) (r )
jj'
1
在HF方程中合理地扣除被研究电子
spin//
与
全
体
电
子
互
作
用
中
的自
身
作
用
。
HF j
依
赖
于j,
难
直
接
用
于
求
解
固
体
多电
子
问
题
。
引入平均交换电荷密度： HF (r, r' ) 1
V ex(r) 3 [3 2(r)]1/3, 0.66 ~ 1for mostsystems 2
X
7. 密度泛函理论(Density functional theory)
(1) Thomas-Fermi-Dirac Model
• energy as a function of the one electron density,
0
jj'
j u jj' j'
j'
单电子方程：
2 2 2m
U ion
r
e2 4 0
j'
j (r' ) 2 d r' e2
r r'
40 j'
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1） 密勒原理
设放大倍数K =U 2/U 1（1）求Z 1Z U U I )(211-=（2）同理求得Z 2K Z Z -=11Z K K Z 12-=若Z 为容抗, Z =1/(j ωC ),则有C C K
K C C K C ≈-=-=1,)(121Z I 1I 2U 1U 2Z 1U 1I 1Z 2U 2I 2Z U U U )(1121-=K Z U -=11111U Z I =2.单向近似模型
21/68
22/68共射放大电路混合π模型
i b'e b'c
o b'c b'c +(1)1C C K C K C C C K
=--=≈b'c 等效到输入端的电容大了许多倍，其影响不可忽视，此现象称为共射电路的密勒倍明：。
说增效应C o b e
'=U K U
o b'e
U K U =m b'e o
L b'e 11jωg U C R U -⨯
+'=m L L o
1jωg R R C '-='+()b'e e 1r r β=+⋅m L K g R '≈-
在通频带，共射放大电路混合π模型
23/68
o m L b'e 'U K g R U =≈-m L o b'c m L '1'g R C C g R --=⋅-i b'e m L b'c
(1')C C g R C =++b'c
C ≈()e
e 'b r h r ⋅+=fe 1121(1),K C K C C C C K -=-=≈复习：注意：利用密勒定理计算等
效输入电容C i 和输出电容C o 时，其中的电压增益K 是包
括C b’c 的，而实际工程计算K
时常忽略C b’c 的存在，因此
分析结果是工程近似结果。
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制作单位：北京交通大学电子信息工程学院 《模拟电子技术》课程组。