概率作业B答案 (2)

普通高等教育“十一五”国家级规划教材

随机数学

（B）

标准化作业简答

吉林大学公共数学中心

2013.2

第一次作业

一、填空题 1．解：应填

29

. 分析：样本空间含基本事件总数2

10C ，事件所含基本事件数为10个，即（1,2），（2，3）…，

（9,10），（10,1）共10个，故所求概率为

210102

9

C =. 2．应填0.6.

分析: ()()()1()1()()()P AB P AB P A B P A B P A P B P AB ==+=-+=--+, 故()1()0.6.P B P A =-= 3．应填1

3

．

4. 应填172

5. 5．应填

23． 6

． 二、选择题

1．（D ）．2.（C ）．3．（B ）．4.（C ）．5．（C ）．6.（A ）. 三、计算题

1．将n 只球随机地放入N ()n N ≤个盒子中，设每个盒子都可以容纳n 只球，求：（1）每个盒子最多有一只球的概率1p ；（2）恰有()m m n ≤只球放入某一个指定的盒子中的概率2p ；

（3）n 只球全部都放入某一个盒子中的概率3p ． 解：此题为古典概型，由公式直接计算概率. （1）1n N n P p N

=.

（2）2(1)m n m

N n

C N p N --=.

（3）31

1

n n N p N N -=

=

.

2．三个人独立地去破译一份密码，已知每个人能译出的概率分别为111

,,534

，问三人

中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

解：设i A 表示事件“第i 个人译出密码”，1,2,3.i =B 表示事件“至少有一人译出密码”. 则1231234233

()1()1()()()15345

P B P A A A P A P A P A =-=-=-

=. 3．随机地向半圆)0(202>-<

4π

的概率. 解：此为几何概型问题.

设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴夹角小于4

π

”. 则2

2

21142()22

a a P A a πππ+=

=+. 4．仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率.

解: 设A 表示事件“仪器出现故障”，

B i 表示事件“有i 个元件出现故障”，i =1，2，3. （1）3

1()()()i i i P A P B P A B ==∑，

384.08.02.03)(21=⨯⨯=B P ，2

2()30.20.80.096P B =⨯⨯=，008.02.0)(33==B P .

所以1612.095.0008.06.0096.025.0384.0)(=⨯+⨯+⨯=A P . （2）22()0.0960.6

()0.3573()0.1612

P AB P B A P A ⨯=

==. 5．在100件产品中有10件次品；现在进行5次放回抽样检查，每次随机地抽取一件产品，求下列事件的概率：（1）抽到2件次品；（2）至少抽到1件次品．

解：设i A 表示取到i 件次品，0,1,2,3,4,5.i = （1）()()2

3

225()0.110.10.73.P A C =-≈ （2）()50()110.10.41.P A =--≈

四、证明题

1．设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=，证明事件A 与B 相互独立． 证明：由定义证明.

(|)(|)1(|)1(|)(|)()()

()()

()()()()1()()()()P A B P A B P A B P A B P A B P AB P AB P B P B P AB P A P AB P B P B P AB P A P B +=⇒=-=⇒

=-⇒=

-⇒=

所以事件A 与B 相互独立．

2．设事件A 的概率()0P A =，证明A 与任意事件都相互独立． 证明：设B 为任意事件，显然AB A ⊂, 从而0()()0P AB P A ≤≤=，即()0P AB =， 满足()()()P AB P A P B =， 故A 与任意事件都相互独立．

第二次作业

一、填空题 1．应填

1124

. 2. 应填

3．应填

964

． 4 5．应填

19

27

． 6. 应填0.2． 7. 应填0.975． 二、选择题

1.（D ）.

2.（D ）. 3．（A ）．4．（B ）．5．（D ）．6. （C ）. 7．（C ）． 三、计算题

1．一批产品由9个正品和3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，直到取得正品为止．用X 表示取到的次品个数，写出X 的分布律和分布函数．

解：X 的分布律为

X 的分布函数为

0,

0,3

,01,421(),12,22119

,23,2201,

3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪

≥⎪⎩