偏微分在实际生活中的应用
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−3
• （3）政府征收从量税时，
TC ′ = 10 S + 0.1Q + 0.1Q = 10 S + 0.2Q = 10 S + 3S P −3
1 2
• 利润函数 R ′ = P • Q − TC ′ = 15S P − 10S − 3S P −3 • 仿上分别对S,P求偏导且令其为0；
−2
1 2
• • • •
解： 1 −3 2 TC = 10S + 0.1Q = 10S + 1.5S P −3 （1） Q = 15S P R = P • Q − TC = 15S P − 2 − 10 S − 1.5S P −3 利润函数 对P,S分别求偏导数，为使R最大，令其为0
1 2
1 2 1 2
∂R ∂S
组合最优化
• 在生产函数中，往往会涉及劳动和资本两 种要素，两者的最有组合可能带来成本最 小化或产量的最大化。 • 另一种情况呢？是一家企业多个工厂生产 一种产品，他们的最优组合也会带来同样 的效果。
• 下面我们分别别来看一下 吧！
• 一、假定某产品的生产函数为 Q = f ( L, K ) = LK 2 单位资本的价格为20元，单位劳动的价格为5元， 求成最小化时的资本和劳动的组成比例。 分析：学了微观经济学，我们都知道劳动的边际 产量和资本边际产量之比等于劳动与资本的价 MPL 格之比时，即 MPK = ω ，可实现固定产量小的 r 成本最小化。而MPL,MPK则是生产函数 Q = f ( L, K ) = LK 2 对K，L分别求偏导。
MU X =
∂X
= 5X
t=
∂M ∂M
=2
MU X 5 X −0.5 PX PX
=2
⇒X=
25 2 4 PX
而这就是商品X的需求函数 PX = 2 5X （2）由（1）可知
Q PX = 5 ⇒ X =
1 4
• 则
CS = ∫
Q0
0
f (Q )dQ − P0Q0
1 4
=∫
5
0 2 X
dX − PX • X
如此看来,这也不算一个难 题了！
• 解：
MPL = MPK =
∂Q ∂L ∂Q ∂K
=K
2
= 2 LK
•要实现固定产量下的 成本最小化，则有
MPL MPK
=
K2 2 KL
=
K 2L
=
W R
=
5 20
= ⇒
1 4
K L
=
1 2
接下来，我们看下一种情形
• 二、某公司两个工厂生产同一种产品，其成本 2 函数为 C = 2Q12 + Q2 − Q1Q2 • Q1,Q2分别为两个工厂的产量。求产量为40时 能使公司成本最小的两个工厂的产量组合。 • 分析：由公司总成本函数可以得到两个工厂的 边际成本函数，当两者相等时成本可达到最小。 结合总成本固定为40，可很快得到两个工厂产 40 量最优的组合。 • 其中，两个工厂的边际成本函数就是总成本函 2 2 数 C = 2Q1 + Q2 − Q1Q2 对Q1,Q2分别求偏 导。
经济生活中的两个 “最”
——浅议偏微分在实 际生活中的应用
引入
• 在第八章，我们学习了偏微分，有一个很 重要的思路就是求偏微分。可以说，求偏 微分贯穿了整个偏微分概念的始终。 • 在我们熟悉而又陌生的经济生活中，求偏 微分的这样一种思想也是处处可见的。 • 今天，我从经济生活中的两个“最”入手， 带大家感受一番偏微分的强大功能。
这个问题，你怎么看？
Leabharlann Baidu来分析一下
• （1）利润=销售额-成本是大家最熟悉不过的公式， 根据题意很容易得出利润函数。很明显这是一个 关于S和P的二元函数，要是利润最大，就是二元 函数求极值的问题了。分别对S和P求偏倒数并使 之为0，即可得到P和S； • （2）有（1）中的P和S，带入需求函数即可求得 报纸的需求量； • （3）收取0.1Q的从量税只是使成本增加了0.1Q， 仿上也可以很快求解； • （4）有S*，这就成了一个一元函数，那就简单了
• 解：
MC1 = MC2 =
∂C ∂Q1 ∂C ∂Q2
= 4Q1 − Q2 = 2Q2 − Q1
要使成本最小，则必然有MC1=MC2,又总成 本为40. 即 Q + Q = 40
4Q1 − Q2 = 2Q2 − Q1 Q1 = 15 ⇒ Q2 = 25
1
2
共享
• 最后和大家分享一个题，是效用论中有关 消费者剩余的，同时也涉及到积分学，我 觉得不错，与大家共享一下吧！ • 假定某消费者的效用函数为 U = 10 X 0.5 + 2 M 其中X为商品X的数量，M表示消费者的货 币收入。求： （1）此时消费者对商品X的需求函数； （2）当商品X的价格PX=5时的消费者剩余 又是多少？
利润最大化
• 我们知道经济生活中一个非常明确的目标 就是——追求利润最大化。 • 作为一家报社老板，他们又是如何实现这 一目标的呢？ • 我们知道报纸在介绍丰富多彩的新闻报道 的同时，总会掺杂不少的绯闻轶事。而这 和报社利润又有何关系呢？ • 下面的例子为你揭晓！
• 某岛国有一种报纸，该报纸的需求函数为 1 Q = 15S 2 P −3 ，其中S为报纸报道丑闻的面积 • （平方英寸），报道S平方英寸的丑闻的成本 为10S，印刷和投递的成本为0.1Q。 • （1）求利润最大化时的价格和丑闻量; • （2） 此时的保值需求量又为多少？ • （3）如果政府决定对每份报纸收取0.1Q的从 量税，请问报纸价格、丑闻数量有何变化？ • 如果政府限定丑闻量为（3）中的S*，那么此时 的价格和报纸数量又是多少呢？
• 要使 R ′′最大，则对P求一阶导数，令其为0
dR ′′ dP
= −30( S *) P
1 2
−3
+ 4.5( S *) P
1 2
−4
=0
• 可得 P=0.15 1 • 此时 Q = 4444 • ( S *) 2 = 12345
• 总结一下：通过这个题目我们可以思 考一下，我们以前接触的求极值更多 的是一元函数，在多元函数中同样存 在着这样的实际问题，我们通过多元 函数求偏导也能够解决这些问题
会计学院六班，来 自红色土地江西。喜欢 看书，打各种球，乒乓 球突出。对上网看电影 和听音乐也有几分爱好。 无不良嗜好，喜爱数学， 自信学习还行，整体感 觉不错，另外对推理也 挺感兴趣，喜欢做数独。
很高兴在这个集体里 与大家相识，作为三组组 员，我祝愿我们组越来越 棒，也祝大家友谊长存， 珍惜在一起学习的每一天
1 2
∂R′ ∂S
=
15 2 S
P
−2
1 2
− 10 − 2
−3
3 S
1 2
P
−3
=0
∂R ′ ∂P
= −30 S P
+ 9S P
−4
=0
• 联立两式可得到P=0.3 S=7.716 • 因此 Q=1543.2 • （4）如果S*=7.716，则利润函数为 1 1 −2 R ′′ = 15( S *) 2 P − 10S * −1.5( S *) 2 P −3
• 分析：（1）根据效用函数可以对X和M求偏导，可求 商品X和货币的边际效用函数，消费者要实现效用最大 MU X 化，则 PX = t ,而t即为货币的边际效用，由此可得商 品X的需求函数; （2）由（1）可求得商品X的反需求函数，结合消费者 剩余的定义和计算公式，可以很快求得消费者剩余。 解：（1） −0.5 ∂U ∂U
∂R ∂P
=
15 2 S
P −2 − 10 − 21.5S P − 3 = 0
1 2
= −30 S P
−3
+ 4 .5 S P − 4 = 0
1 2
• 联立两式，可得 • P=0.15 S=123.4568 • （2）由（1）可知，R最大时
Q = 15 123.4568 • (0.15) = 4938.3
1 4 5 4
=5
1 4
− 5× =
• 所以，此时的消费者剩余为 1.25元
= 1.25
后记
• 在两个简单的“最”里边包含了如此多的数 学思想和方法，那么在更为复杂的问题中又 是可想而知的。 • 今天，我带着大家在最小的一个方面学习了 偏导数。但是，这是不足够的，更多的知识 和运用等待着我们去开拓。 • 因此，数学不是无用的，它时时刻刻与我们 的生活联系在一起。只要我们学好它，用好 它，会对我们的生活产生巨大的影响。 • 好好加油，让我们共同努力！
• （3）政府征收从量税时，
TC ′ = 10 S + 0.1Q + 0.1Q = 10 S + 0.2Q = 10 S + 3S P −3
1 2
• 利润函数 R ′ = P • Q − TC ′ = 15S P − 10S − 3S P −3 • 仿上分别对S,P求偏导且令其为0；
−2
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• • • •
解： 1 −3 2 TC = 10S + 0.1Q = 10S + 1.5S P −3 （1） Q = 15S P R = P • Q − TC = 15S P − 2 − 10 S − 1.5S P −3 利润函数 对P,S分别求偏导数，为使R最大，令其为0
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1 2 1 2
∂R ∂S
组合最优化
• 在生产函数中，往往会涉及劳动和资本两 种要素，两者的最有组合可能带来成本最 小化或产量的最大化。 • 另一种情况呢？是一家企业多个工厂生产 一种产品，他们的最优组合也会带来同样 的效果。
• 下面我们分别别来看一下 吧！
• 一、假定某产品的生产函数为 Q = f ( L, K ) = LK 2 单位资本的价格为20元，单位劳动的价格为5元， 求成最小化时的资本和劳动的组成比例。 分析：学了微观经济学，我们都知道劳动的边际 产量和资本边际产量之比等于劳动与资本的价 MPL 格之比时，即 MPK = ω ，可实现固定产量小的 r 成本最小化。而MPL,MPK则是生产函数 Q = f ( L, K ) = LK 2 对K，L分别求偏导。
MU X =
∂X
= 5X
t=
∂M ∂M
=2
MU X 5 X −0.5 PX PX
=2
⇒X=
25 2 4 PX
而这就是商品X的需求函数 PX = 2 5X （2）由（1）可知
Q PX = 5 ⇒ X =
1 4
• 则
CS = ∫
Q0
0
f (Q )dQ − P0Q0
1 4
=∫
5
0 2 X
dX − PX • X
如此看来,这也不算一个难 题了！
• 解：
MPL = MPK =
∂Q ∂L ∂Q ∂K
=K
2
= 2 LK
•要实现固定产量下的 成本最小化，则有
MPL MPK
=
K2 2 KL
=
K 2L
=
W R
=
5 20
= ⇒
1 4
K L
=
1 2
接下来，我们看下一种情形
• 二、某公司两个工厂生产同一种产品，其成本 2 函数为 C = 2Q12 + Q2 − Q1Q2 • Q1,Q2分别为两个工厂的产量。求产量为40时 能使公司成本最小的两个工厂的产量组合。 • 分析：由公司总成本函数可以得到两个工厂的 边际成本函数，当两者相等时成本可达到最小。 结合总成本固定为40，可很快得到两个工厂产 40 量最优的组合。 • 其中，两个工厂的边际成本函数就是总成本函 2 2 数 C = 2Q1 + Q2 − Q1Q2 对Q1,Q2分别求偏 导。
经济生活中的两个 “最”
——浅议偏微分在实 际生活中的应用
引入
• 在第八章，我们学习了偏微分，有一个很 重要的思路就是求偏微分。可以说，求偏 微分贯穿了整个偏微分概念的始终。 • 在我们熟悉而又陌生的经济生活中，求偏 微分的这样一种思想也是处处可见的。 • 今天，我从经济生活中的两个“最”入手， 带大家感受一番偏微分的强大功能。
这个问题，你怎么看？
Leabharlann Baidu来分析一下
• （1）利润=销售额-成本是大家最熟悉不过的公式， 根据题意很容易得出利润函数。很明显这是一个 关于S和P的二元函数，要是利润最大，就是二元 函数求极值的问题了。分别对S和P求偏倒数并使 之为0，即可得到P和S； • （2）有（1）中的P和S，带入需求函数即可求得 报纸的需求量； • （3）收取0.1Q的从量税只是使成本增加了0.1Q， 仿上也可以很快求解； • （4）有S*，这就成了一个一元函数，那就简单了
• 解：
MC1 = MC2 =
∂C ∂Q1 ∂C ∂Q2
= 4Q1 − Q2 = 2Q2 − Q1
要使成本最小，则必然有MC1=MC2,又总成 本为40. 即 Q + Q = 40
4Q1 − Q2 = 2Q2 − Q1 Q1 = 15 ⇒ Q2 = 25
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共享
• 最后和大家分享一个题，是效用论中有关 消费者剩余的，同时也涉及到积分学，我 觉得不错，与大家共享一下吧！ • 假定某消费者的效用函数为 U = 10 X 0.5 + 2 M 其中X为商品X的数量，M表示消费者的货 币收入。求： （1）此时消费者对商品X的需求函数； （2）当商品X的价格PX=5时的消费者剩余 又是多少？
利润最大化
• 我们知道经济生活中一个非常明确的目标 就是——追求利润最大化。 • 作为一家报社老板，他们又是如何实现这 一目标的呢？ • 我们知道报纸在介绍丰富多彩的新闻报道 的同时，总会掺杂不少的绯闻轶事。而这 和报社利润又有何关系呢？ • 下面的例子为你揭晓！
• 某岛国有一种报纸，该报纸的需求函数为 1 Q = 15S 2 P −3 ，其中S为报纸报道丑闻的面积 • （平方英寸），报道S平方英寸的丑闻的成本 为10S，印刷和投递的成本为0.1Q。 • （1）求利润最大化时的价格和丑闻量; • （2） 此时的保值需求量又为多少？ • （3）如果政府决定对每份报纸收取0.1Q的从 量税，请问报纸价格、丑闻数量有何变化？ • 如果政府限定丑闻量为（3）中的S*，那么此时 的价格和报纸数量又是多少呢？
• 要使 R ′′最大，则对P求一阶导数，令其为0
dR ′′ dP
= −30( S *) P
1 2
−3
+ 4.5( S *) P
1 2
−4
=0
• 可得 P=0.15 1 • 此时 Q = 4444 • ( S *) 2 = 12345
• 总结一下：通过这个题目我们可以思 考一下，我们以前接触的求极值更多 的是一元函数，在多元函数中同样存 在着这样的实际问题，我们通过多元 函数求偏导也能够解决这些问题
会计学院六班，来 自红色土地江西。喜欢 看书，打各种球，乒乓 球突出。对上网看电影 和听音乐也有几分爱好。 无不良嗜好，喜爱数学， 自信学习还行，整体感 觉不错，另外对推理也 挺感兴趣，喜欢做数独。
很高兴在这个集体里 与大家相识，作为三组组 员，我祝愿我们组越来越 棒，也祝大家友谊长存， 珍惜在一起学习的每一天
1 2
∂R′ ∂S
=
15 2 S
P
−2
1 2
− 10 − 2
−3
3 S
1 2
P
−3
=0
∂R ′ ∂P
= −30 S P
+ 9S P
−4
=0
• 联立两式可得到P=0.3 S=7.716 • 因此 Q=1543.2 • （4）如果S*=7.716，则利润函数为 1 1 −2 R ′′ = 15( S *) 2 P − 10S * −1.5( S *) 2 P −3
• 分析：（1）根据效用函数可以对X和M求偏导，可求 商品X和货币的边际效用函数，消费者要实现效用最大 MU X 化，则 PX = t ,而t即为货币的边际效用，由此可得商 品X的需求函数; （2）由（1）可求得商品X的反需求函数，结合消费者 剩余的定义和计算公式，可以很快求得消费者剩余。 解：（1） −0.5 ∂U ∂U
∂R ∂P
=
15 2 S
P −2 − 10 − 21.5S P − 3 = 0
1 2
= −30 S P
−3
+ 4 .5 S P − 4 = 0
1 2
• 联立两式，可得 • P=0.15 S=123.4568 • （2）由（1）可知，R最大时
Q = 15 123.4568 • (0.15) = 4938.3
1 4 5 4
=5
1 4
− 5× =
• 所以，此时的消费者剩余为 1.25元
= 1.25
后记
• 在两个简单的“最”里边包含了如此多的数 学思想和方法，那么在更为复杂的问题中又 是可想而知的。 • 今天，我带着大家在最小的一个方面学习了 偏导数。但是，这是不足够的，更多的知识 和运用等待着我们去开拓。 • 因此，数学不是无用的，它时时刻刻与我们 的生活联系在一起。只要我们学好它，用好 它，会对我们的生活产生巨大的影响。 • 好好加油，让我们共同努力！