2013白蒲中学高一数学教案：平面向量：05(苏教版)
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第五教时
教材：实数与向量的积
目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。 过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1．引入新课：已知非零向量a
作出a
+a
+a
和(-a
)+(-a
)+(-a
)
OC =BC AB OA ++=a
+a
+a
=3a
PN
=MN QM PQ ++=(-a
)+(-a
)+(-a
)=-3a
讨论：1︒3a
与a
方向相同且|3a
|=3|a
|
2︒-3a
与a
方向相反且|-3a
|=3|a
| 2．从而提出课题：实数与向量的积 实数λ与向量a
的积，记作：λa
定义：实数λ与向量a
的积是一个向量，记作：λa
1︒|λa
|=|λ||a
|
2︒λ>0时λa
与a
方向相同；λ<0时λa
与a
方向相反；λ=0时λa
=0 3．运算定律：结合律：λ(μa
)=(λμ)a
①
第一分配律：(λ+μ)a
=λa
+μa
② 第二分配律：λ
(a
+b )=λa
+λb ③
结合律证明：
如果λ=0，μ=0，a
=0至少有一个成立，则①式成立
如果λ≠0，μ≠0，a
≠0有：|λ(μa
)|=|λ||μa
|=|λ||μ||a
|
|(λμ)a
|=|λμ|| a
|=|λ||μ||a
|
∴|λ(μa
)|=|(λμ)a
|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a 同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a
反向。
从而λ(μa )=(λμ)a
第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0，a
=0至少有一个成立，则②式显然成立
a
a
a a
O A B C
a
-a -a -a
-N M
Q P
如果λ≠0，μ≠0，a
≠0
当λ、μ同号时，则λa
和μa
同向， ∴|(λ+μ)a
|=|λ+μ||a
|=(|λ|+|μ|)|a
|
|λa
+μa
|=|λa
|+|μa
|=|λ||a
|+|μ||a
|=(|λ|+|μ|)|a
| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a
同向 即：|(λ+μ)a
|=|λa
+μa
|
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa
同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa
同向
还可证：|(λ+μ)a
|=|λa
+μa
| ∴②式成立 第二分配律证明：
如果a =0，b
=0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
当a ≠0
，b
≠0且λ≠0，λ≠1时
1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，
作=OA a
=AB b
=1OA λ
a
=11B A λb
则=OB a +b
=1OB λ
a
+λb
由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A | ∴
==
|
||||
|||111AB B A OA OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1
∴
=|
|||1OB OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1
因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也
相同
λ
(a +b
)=λ
a
+λb
当λ<0时 可类似证明：λ(a
+b )=λa +λb ∴ ③式成立
4．例一 （见P104）略
三、向量共线的充要条件（向量共线定理）
O
A
B B 1
A 1
A
O
B
B 1
A 1
1．
若有向量a (a
≠0
)、b ，实数λ，使b =λa
则由实数与向量积的
定义知：a
与b 为共线向量
若a
与b
共线(a
≠0
)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa
当a
与b
反向时b =-μa
从而得：向量b 与非零向量a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数
λ
使b =λa
2．例二（P104-105 略） 三、小结：
四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2