第09章组合变形题解

第 9 章 组 合 变 形

9-1 试分析下列构件在指定截面A 的内力分量（判断基本变形）

解：（a ）拉伸与弯曲；

（b ）压缩、扭转与两个方向的弯曲； （c ）压缩、扭转与两个方向的弯曲。

9-2 木制矩形截面悬臂梁受力如图，已知 F 1 = 0.8 kN ，F 2 = 1.65 kN ，木材的许用应力 [ σ ] =10 MPa ，若矩形 h ／b = 2 ，试确定其截面尺寸。

解：显然固定端是危险截面。

kNm 6.128.01=⨯==l F M y

kNm 65.1165.12

2

=⨯==l

F M z =+=+=2

2max 66bh M hb M W M W M z

y z z y y

σ

][)2

3

3(1

3

σ≤+

=

z y M M b 代入数据得到

363mm 7275001010

65

.15.16.13=⨯⨯+⨯≥

b ， mm 180h ,mm 90≥≥b 。

9-3 工字钢简支梁受力如图，已知 F = 7 kN ，[ σ ] =160 MPa ，试选择工字钢型号。（提示：先假定 W z ／W y 的比值进行试选，然后校核。） 解：显然中间截面是危险截面。

kNm 74

1

max ==

l F M kNm 394.220sin max == M M y ， kNm 578.620cos max == M M z

（b ）车刀 （a ）机械

构件

][max σσ≤+

=

z

z

y

y W M W M 选 6=y z W W 试算 33cm 8.2110160

6394

.26578.6]

[66=⨯⨯⨯+=

+≥

σy

z y M M W

查表取 16 号工字钢 W y = 21.2 cm 3 ，W z = 141 cm 3 校核强度 ][M Pa 15910)2

.21394

.2141578.6(3max σσ≤=⨯+=+

=

z z y

y W M W M 强度刚好够，所以选定 16 号工字钢。

9-4 证明斜弯曲时横截面仍然绕中性轴转动（提示：证明截面形心位移垂直于中性轴）。 证明：假设在任意相距很近 dx 的截面之间作用两个M y ，M z ，其中下标 y ，z 为截面

形心主惯性轴，中性轴方程由

0=-

=

y I M z I M z z y

y σ 确定为 ϕtan ==y

z z

y I M I M z y 两截面之间由M z 和M y 产生的相对位移分别为

2)(dx EI M dx d Y z z z =⋅=θ，2)(dx EI M dx d Z y y y -=⋅=θ，

tan =-=z

y y

z I M I M Z Y 显然

tan α tan ϕ = -1 ，α = ϕ±90°

即截面形心位移与中性轴互相垂直。

[反证法] 假设斜弯曲时横截面绕非中性轴转动，则中性轴上的纵向纤维将有伸长或缩短，这与斜弯曲时横截面存在有中性轴的结论是相矛盾的。故斜弯曲时横截面绕中性轴转动。

9-5 证明对正多边形截面梁，横向力无论作用方向如何偏斜，只要力的作用线通过截面形心，都只产生平面弯曲。

证明：只要证明任意正多边形的形心坐标轴为形心主惯轴即可。现以正三角形为例，图中y 、z 轴为一对正交形心主轴，y 和y 1轴为对称轴，显然，I y = I y 1，I yz = 0；由式（A-13）有

β2cos 221y

z y z y y I I I I I I -++== 即

z y y z y

z I I I I I I =⇒=-⇒=--00)2cos 1(2β

设Y 、Z 为一对任意正交形心轴，由式（A-15）有 02cos 2sin 2

=+-=ααyz y

z YZ I I I I

即任意形心轴都是主惯性轴，其惯性矩都相等，只可能发生平面弯曲，不会发生斜弯曲。

z

9-6 求图示正六边形截面悬臂梁的最大应力。（已知正六边形的形心主惯性矩 I y = I z ）

解：显然 固定端是危险截面，

l F M =m a x

由于正六边形的形心主惯性矩 I y = I z ，

只发生平面弯曲，中性轴与载荷作用线垂直，外凸角点中距离中性轴最远的点是A 点，如图（a ）所示，A 点到中性轴的距离

15cos a h = ， 15cos max a I l

F z =σ

9-7 图示起重架的最大起吊重量（包括小车）为 F = 40 kN ，横梁 AB 由两根 18 号槽钢组成，[ σ ] =120 MPa ，试校核横梁强度。

解：以小车行至横梁中央作为危险工况，此时最大弯矩在梁的中间截面 C ， 最大弯矩 kNm 354

==

l F M C ，轴向压力 kN 64.3423

==F F x AB 梁发生压缩与弯曲组合变形 A

F

W M x z C +=max σ

查表得 18 号槽钢 3cm 2.152=z W ，2cm 29.29=A 代入上式

MPa 9.1209.51151029

.29264

.34102.1522353max =+=⨯⨯+⨯⨯=σ

略大于许用应力，一般情况下可以安全使用。

9-8 拆卸工具的勾爪受力如图，已知两侧爪臂截面为矩形，[ σ ] =180 MPa ，试按爪臂强度条件确定拆卸时的最大顶力 F 。

解：勾爪立柱发生拉伸与弯曲组合变形

2F N = ， 2Fe M =

M Pa 180][)261732626171(2)61(22

2max =≤⨯⨯+⨯=

=+=+=

σσF bh

e h b F W M A N z

解得 F = 19 kN 。

9-9 压力机框架为铸铁材料，[ σ+ ] = 30

MPa ，[ σ－

] = 80 MPa ，立柱截面尺寸如图所示，试校核框架立柱的强度。

解：截面形心

（

a ）

A －A 剖面