第09章组合变形题解
第9章 组合变形教学课件
M z M ez FyF
杆件各横截面上的内力均与m-m截面相同，故杆件各横截面均为危险截面。
⑶应力分析 m-m截面上任意一点B(y,z)处的正应力分别为
在轴力作用下
N
FN A
F A
9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
厂
房
夹
立
具
柱
9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
现以图示具有两个对称轴的偏心受拉等直杆为例，分析偏心受力构 件的强度计算。
偏心受压构件
9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
⑴外力分析 根据力的平移定理将作用在杆端A点处的偏心拉力F向截面形 心O点简化，得到轴向拉力F和力偶矩Me，其中Me=Fe。Me可分解为对形心 轴y轴的力偶矩Mey和对形心轴z轴的力偶矩Mez，其中Mey=FzF，Mez=FyF 。
⑷强度计算 杆件危险点处为单向应力状态，对于抗拉、抗压能力相同的材 料，其强度条件为
max
FN A
M max Wz
9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
【例9.1】三角形托架如图所示，横梁AB采 用16号工字钢。已知作用在B点的集中荷 载F=10kN，材料的许用应力[σ]=90MPa， 试校核AB梁的强度。
第9章 组合变形
9.1 组合变形的概念 9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合 9.3 斜弯曲 9.4 扭转与弯曲的组合
9.1 组合变形的概念
工程实际中的受力杆件所发生的变形，经常是两种或两种以上基本 变形的组合，这种变形称为组合变形。
工程中常见的组合变形有下面三种形式：
①拉伸（压缩）与弯曲的组合
②斜弯曲
【解】： ⑴外力分析
由横梁AB的受力图列出平衡方程 M A 0
FC sin 300 2m F 3m 0
材料力学-组合变形
组合变形
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
z Fz φ Fy y F
x
对载荷进行分解、分组和叠加。 对载荷进行分解、分组和叠加。
一、应力与变形的计算
1. 应力计算
z x Fy y z Fz x 中性轴 σamax σlmax
y
z Fz φ x l My z Mz Fy y F
x
M y = Fz (l x) = F sin φ (l x) M z = Fy (l x) = F cos φ (l x) M y = M sin φ = F (l x) sin φ M z = M cos φ = F (l x) cos φ
x
M z = Fy (l x)
M y = Fz (l x)
FN M y z A M z y A σ= + + A Iz Iy
Fx = bh
-
Fz (l x) × 30
b h / 12
3
+
Fy (l x) × 20
bh 3 / 12
2. 3. 4. 5.
中性轴离开坐标原点， 中性轴离开坐标原点，且与形心主轴斜交 截面上到中性轴距离最大的点， 截面上到中性轴距离最大的点，正应力值最大 多边形截面的最大的正应力均发生在角点， 多边形截面的最大的正应力均发生在角点， 曲线周边截面通过推中性轴平行线， 曲线周边截面通过推中性轴平行线，至截面周边的 方法来确定最大正应力的位置。 方法来确定最大正应力的位置。
压缩+ 压缩+平面弯曲
3)求应力 求应力
FN = 3kN M max = 8kN m
σ t ,max
FN M max ± = σ c,max A W
组合变形例题
F A C b
h
0.5L
L0
d
D L
材料力学
本章结束
A
5 kN
C
B
D
2 kN 5 kN
300 500
2 kN
500
(a)
1.5 kN A m
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
5 kN
12 kN
(b)
T
1.5 kN m
如图c、d、e、f 所示
x (c )
1.5 kN A m
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
M C (1.5) 2 (2.1) 2 2.58 kNm
M
2.58 kNm 2.48 kNm
因此，得：
x (e)
d 72 mm
(f) x
直径为20mm的圆截面水平直角折杆，受垂直力P=0.2kN，已知［σ］=170MPa 试用第三强度理论确定ａ的许可值。
解：内力图： 危险截面：A
Tmax Pa 0.2a M max 2Pa 0.4a
所以起重机架的最大起重量取决于杆AC的强度，为
Fmax 26.7 kN
图示横梁AC~立柱CD结构，均由Q235钢制成，C、D两处均为球 铰。在跨度中点受竖向载荷F作用。已知： (1) 横梁AC的L=4000mm，b=60mm，h=120mm，材料许用应力 [ ]=160MPa。 (2) 立柱CD直径d=20mm, L0=500mm；材料参数为 E=200GPa, 许 用应力 [ ] 160MPa , p 100, s 60 , cr (3041.12 ) MPa，稳 定安全系数 nst 4 。 试确定此横梁~立柱结构的许用载荷。
最新9组合变形汇总
例9-5：图示Z形截面杆，在自由端作用一集中力F，该杆的变 形设有四种答案：
（A）平面弯曲变形； （B）斜弯曲变形； （C）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。
F
F
例9-6：具有切槽的正方形木杆，受力如 图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应力σt 和最 大压应力σc；
（2）此σt是截面削弱前的σt值的几倍？
大小有关，而与外力的大小无关；②一般情况下，I y I z 中性轴不与外力作用平面垂直；③对于圆形、正方形和正
多边形，通过形心的轴都是形心主轴，Iy Iz,
此时梁不会发生斜弯曲。
〈四〉强度校核：
对矩形截面，可以直接断定截面的 LmaxYmax必发生在
' '' 具有相同符号的截面角点处。
max
y
zP z iy2
0
根据该方程式可知中性轴是不过形心的直线。
现令：应力零线N-N，它在y、z轴上的截距分别为 a y a z 分别将
ay,0 0, az 代入 k 表达式得：
ay
iZ 2 yP
aZ
iy2 zP
由ay、az就可把应力零线的位置确定下来，应力零线就是该 截面的中性轴。上式表明ay、az 均与yp 、 zp符号相反，所以中性 轴与偏心压力分别在坐标原点的两侧，以中性轴为界，一侧受
曲。
思考题
正方形，圆形，当外力作用线通过截面形心时，为平面弯曲还 是斜弯曲？
目录
§9-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
例1：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知 圆杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力σt 和最大压应力 σc 。
解： X A 3 kN
YA 4 kN
任 意 横 截 面 x上 的 内 力 :
09组合变形习题
图示矩形截面拉杆中间开一深度为h/2的缺口，与不开口的拉杆相比，开中处的最大应力的增大倍数有四种答案：
(A) 2倍；(B) 4倍；(C) 8倍；(D) 16倍；
正确答案是_________________。
04．三种受压杆件如图，设杆1、2、和杆3中的最大压应力(绝对值)分别用 、 和 表示，它们之间的关系有四种答案：
18．试作用图示空间折杆的内力图，(弯曲剪应力图可略)。
19．矩形截面木受力如图，已知 ， ， ，试验算木条的强度和刚度。
20．图示矩形截面简支梁受均布载荷作用，载荷作用方向如图示， ，简支梁受均布载荷时平面弯曲的跨度挠度值 ，试求该梁的最大总挠度及挠曲线平面的位置。
21．悬重物架，如图所示。已知载荷 。
08用第三强度理论校核图示杆的强度时，有四种答案：
(A) ；
(B) ；
(C) ；
(D) ；
正确答案是__________________。
09．按第三强度理论计算等截面直杆弯扭组合变形的强度问题时，应采用的强度公式有四种答案：
(A) ；
(B) ；
(C) ；
(D) ；
正确答案是__________________。
06.图示正方形截面杆承受弯扭组合变形，在进行强度计算时，其任一截面的危险点位置有四种答案：
(A)截面形心；( B )竖边中点A点；( C )横边中点B点；( D )横截面的角点D点；
正确答案是__________________。
07．折杆危险截面上危险点的应力状态，现有四种答案：
正确答案是__________________。
第九章 组合变形部分
填空题
01．( 5 )偏心压缩实际不就是____________和____________的组合变形问题。
题9组合变形word精品文档11页
组合变形1. 偏心压缩杆，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心的距离e 和中性轴到形心的距离d 之间的关系有四种答案： (A) d e =； (B) d e >； (C) e 越小，d 越大； (D) e 越大，d 越大。
答：C2. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为1m ax σ、2m ax σ和3m ax σ，现有下列四种答案： (A)3max 2max 1max σσσ==； (B)3max 2max 1max σσσ=>； (C)3max 1max 2max σσσ=>； (D)3max 1max σσσ=<max2。
答：C3.形形心重合）。
立柱受沿图示a-a (A) 斜弯曲与轴向压缩的组合； (B)平面弯曲与轴向压缩的组合； (C) 斜弯曲； (D)平面弯曲。
答：B4. 铸铁构件受力如图所示，种答案：(A) A 点； (B) B 点； (C) C 点； (D) D 点。
答：C5. 图示矩形截面拉杆，中间开有深度为2h的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处最大正应力将是不开口杆的 倍：(A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。
答：C6. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为1m ax σ、2m ax σ和3m ax σ(A)max32max 1max σσσ<<； (B)3max 2max max1σσσ=<； (C)2max max3max1σσσ<<； (D)2max 3max 1max σσσ<=。
答：C 7. 正方形等截面立柱，受纵向压力作用。
当力F 点由A 移至B 时，柱内最大压应力的比值maxmaxB A σσ有四种答案：(A) 1:2； (B) 2:5； (C) 4:7； (D) 5:2。
答：C8. 图示矩形截面偏心受压杆，其变形有下列四种答案： (A) 轴向压缩和平面弯曲的组合； (B)轴向压缩、平面弯曲和扭转的组合； (C)缩和斜弯曲的组合；(D)轴向压缩、斜弯曲和扭转的组合。
材料力学(机械工业出版社)知识小结第九章组合变形
第九章组合变形 9–1概述一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。
二、组合变形的研究方法——叠加原理①外力分析：外力向形心(或弯心)简化并沿形心主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。
9–2斜弯曲一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横向力）不共面。
二、斜弯曲的研究方法：1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。
2.叠加：分别对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解ϕsin P P y =ϕcos P P z =2.研究两个平面弯曲 ①内力ϕϕsin sin M Px x P M y z === ϕϕcos cos M Py x P M x y ===M y 引起的应力：ϕσcos yyy I M I z M z-=-=' M z 引起的应力：ϕσsin zz z I M I y M y-=-='' 自：注意这里M y M z 所取的惯性矩是不同的。
合应力：)sin cos (ϕϕσσσzy I yI z M +-=''+'=③中性轴方程0)sin cos (00=+-=ϕϕσzy I yI z M ϕαctg tg 00yzI I z y ==④最大正应力在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。
2max D L σσ=1max D y σσ=⑤变形计算22z y f f f +=，zy f f =βtg（自：横：123bh I z =竖：123hb I y =）（自：收均布载荷简支梁：82maxql M =）9–3拉（压）弯组合 偏心拉（压）截面核心一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生的变形。
第九章：组合变形1
组合变形
斜弯曲中性轴
cos sin z y0 Iy Iz
z y P υ
（1）过截面形心的直线；
斜率
Iy z tg tg y Iz
α
中性轴
（2） 中性轴与荷载线不在同一象限内；
（3）当Iy≠Iz , 中性轴与荷载线不垂直。
组合变形
斜弯曲挠度的方向
P
l
z
fy
y
f
φ f z P β
D
f
max
+ + ++ + + + + - - - f P
y
E
z
组合变形
4.强度条件
对称材料：[+]=[-] x
z
Pz x Py
强度条件：
max
cos sin M max ( ) [ ] Wz Wy
y
C
水 平 面
垂直面
D
+ + ++ + + + + - - - f P
Pl 3 sin 自由端： f y 3 EI Z
方向：
Pl 3 cos fz 3 EI y
tg
tg
fy fz
Iy Iz
讨
挠度
论
fy
z y φ
组合变形
Iy tg tg Iz
Iy tg 中性轴 tg Iz
（1）当Iy≠Iz ，β ≠ υ
（2）若Iy＞Iz ，β ＞ υ
危险点：c、f点；强度条件
E C + + ++ 水 + 平 + 面 + + D - - - - f y
建筑力学—组合变形及答案讲解
第六章直梁弯曲弯曲变形是杆件比较常见的基本变形形式。
通常把以发生弯曲变形为主的杆件称为梁。
本章主要讨论直梁的平面弯曲问题，内容包括：弯曲概念和静定梁的力学简图；弯曲内力及内力图；弯曲应力和强度计算；弯曲变形和刚度计算。
其中，梁的内力分析和画弯矩图是本章的重点。
第一节平面弯曲的概念和力学简图一、弯曲概念和受力特点当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用(图6-1)时，杆轴由直线弯成曲线，这种在外力作用下其轴线变成了一条曲线。
这种形式的变形称为弯曲变形。
工程上通常把以弯曲变形为主的杆件称为梁。
图 6-1 弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。
例如房屋建筑中的楼面梁和阳台挑梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形，如图6-2所示。
一些杆件在荷载作用下不仅发生弯曲变形，还发生扭转等变形，当讨论其弯曲变形时，仍然把这些杆件看做梁。
图6-2工程实际中常见到的直梁，其横截面大多有一根纵向对称轴，如图6-3所示。
梁的无数个横截面的纵向对称轴构成了梁的纵向对称平面，如图6-4所示。
图 6-3 图6-4若梁上的所有外力（包括力偶）作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线将在其纵向对称平面内弯成一条平面曲线，梁的这种弯曲称为平面弯曲，它是最常见、最基本的弯曲变形。
本章主要讨论直梁的平面弯曲变形。
从以上工程实例中可以得出，直梁平面弯曲的受力与变形特点是：外力作用于梁的纵向对称平面内，梁的轴线在此纵向对称面内弯成一条平面曲线。
二、梁的受力简图为了便于分析和计算直梁平面弯曲时的强度和刚度，需建立梁的力学简图。
梁的力学简图（力学模型）包括梁的简化、荷载的简化和支座的简化。
1、梁的简化由前述平面弯曲的概念可知，载荷作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线弯成一条平面曲线。
因此，无论梁的外形尺寸如何复杂，用梁的轴线来代替梁可以使问题得到简化。
例如，图6-1a和图6-2a所示的火车轮轴和桥式起重机大梁，可分别用梁的轴线AB代替梁进行简化（图6-1b和图6-2b）。
09组合变形_2弯拉弯压_少课时_机
危险点的最大拉应力
m
t max
M
Wz
FN A
A
l
m
t max
cmax
B
F
t max
M
Wz
FN A
5. 根据危险点的应力状态，建立 强度条件
危险点为单向拉伸应力状态，故得 弯曲与拉伸组合变形的强度条件
m
t max
cmax m
A
l
tmax
M Wz
FN A
≤
t
m
t max
式中， M、FN 分别为危险截面上的弯矩、轴力。
强度计算
Fy
Fx
P
对于塑性材料，弯压组合变形的强度条件为
max
M Wz
FN A
≤[ ]
在确定工字钢型号时，可先不考虑轴力的影响，得
W
M
≥
10 103 N m 0.1103 m3 100 cm3
z [ ] 100 106 Pa
W ≥ 100 cm3 z
查型钢表，初选 No 14 工字钢，其
Wz 102 cm3
A 21.5 cm2
再代入强度条件进行校核
M
max Wz
FN A
10103 N 102 106
m m3
26103 N 21.5104 m2
110106 Pa 110 MPa [ ] 100 MPa
强度条件不符合要求
重选 No 16 工字钢，其
Wz 141 cm3
B
F
二、弯曲与压缩组合
类似可得，弯曲与压缩组合变形 的强度条件
对于塑性材料：
max
M Wz
FN A
≤
对于脆性材料：
组合变形(习题解答
10-3 试求图示[16a 简支梁由于自重作用所产生的最大正应力及同一截面上AB 两点的正应力。
q解：(1)查表可矩[16a 的理论重量为17.24kg/m ，故该梁重均布载荷的集度为172.4N/m 。
截面关于z 轴对称，而不关于y 轴称，查表可得：364640108cm 10810,73.3cm 0.73310m ,63mm =0.063m , 1.8cm =0.018mz y W I b z --==⨯==⨯==⑴外力分析：cos 172.4cos 20162.003/sin 172.4sin 2058.964/y z q q N m q q N mϕϕ======⑵内力分析：跨中为危险面。
32,max 32,max 11162.003 4.2357.217881158.964 4.2130.01688z y y z M q l N mM q l N m==⨯⨯=⋅==⨯⨯=⋅⑶应力分析：A 、B 点应力分析如图所示。
A 点具有最大正应力。
,max,max max 66,max,max max 066357.217130.016(0.0630.018)11.29MPa 108100.73310357.217130.0160.018 6.50MPa108100.73310y z A A z y y z B zyM M z W I M M z W I σσσσ---+--==--⋅=--⨯-=-⨯⨯==++⋅=+⨯=⨯⨯max 11.29MPa A σσ==-10-4 试求图示简支梁的最大正应力，及跨中的总挠度。
已知弹性模量100Pa E G =。
解：(1) 外力分析：由于集中力在横截面内与轴线垂直，故梁将发生斜弯曲。
cos 10cos159.66kN sin 10sin15 2.59kNy z P P P P ϕϕ======⑵内力分析：集中力作用在跨中，故跨中横截面为危险面。
,max ,max119.6637.245kN m 44112.593 1.943kN m 44z y y z M P l M P l ==⨯⨯=⋅==⨯⨯=⋅⑶应力分析：跨中横截面D 2、D 1点分别具有最大的拉压应力，应力分析如图所示。
组合变形习题PPT课件
一个袋子中有5个红球和5个白球，从中随 机抽取5个球，求取出5个球中颜色相同的 概率。
高难度习题解析
总结词
这些习题难度较大，需要学 生具备较强的逻辑思维和分 析能力。
题目1
一个袋子中有10个不同颜色 的球，从中随机抽取3个球， 求取出3个球中颜色种类最 多的概率。
题目2
题目3
一个班级有20名学生，从中 选出5名学生代表，要求男 女比例相等且来自不同宿舍， 问共有多少种不同的选法。
04
组合变形的注意事项
力的作用点与方向
力的作用点
力的作用点是确定物体运动状态的依据，在分析受力时，必须明确力的作用点。
力的方向
在分析受力时，要明确力的方向，特别是对于作用在刚体上的力，其方向通常由 箭头的指向表示。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
力的大小与单位
力的大小
在分析受力时，要明确力的大小，通常用实线段表示力的大小，并在其旁边标注相应的 数值。
组合变形的实例解析
平面力系的组合变形
总结词
平面力系中，力的方向和作用点对确定刚体运动 状态十分重要。
总结词
平面力系中，力的合成与分解是解决复杂问题的 关键。
详细描述
在平面力系中，力的方向和作用点发生变化时， 刚体的运动状态也会随之改变。例如，当一个水 平推力作用在静止的木箱上时，木箱会沿推力方 向移动；而当这个推力作用点改变时，木箱的运 动轨迹也会发生变化。
组合变形的分类
线性组合变形
将多个简单形按照线性关系组合在一起，形成新 的复杂形。
对称组合变形
将多个简单形按照对称关系组合在一起，形成新 的复杂形。
非线性组合变形
将多个简单形按照非线性关系组合在一起，形成 新的复杂形。
45-48-第09章-组合变形--王亲猛课件资料
y
应力分布图
s
s
应力: s FN
A
s M max
Wz
叠加：同向应力相加，反向相减
即可得出杆上最大拉、压应力。
（4）强度条件：
s max
s
s max
s
8
例9-1 起重机的横梁用25a号工字钢制成如图，梁长 l 4m，拉杆与横梁夹角 为30，电葫芦自重为 4k，N最大起吊重量为 20k，N许用应力为 [s ] 100MPa
300 500
500
解： （1）外力分析
5kN
d
A
C
B
D
2kN 5kN
2kN
力学简图
1.5kNm 7kN z
1.5kNm
建立坐标系 x
5kN
5kN 7kN
y
22
1.5kNm 7kN z 1.5kNm
5kN y
MT
12kN 1.5kNm
y 5kN 12.5k
N
Mz
z
1.5kNm
7kN
12kN 2.25kNm
A F
m1＝Fr1 A
F F、P 使轴弯曲
m1、m2 使轴受扭
C
E
B
P
m2＝Pr2 E
B
C
P
弯扭组合
(Combination of bending and torsion)
4
9.1 组合变形概述 (Summary)
讨论组合变形强度问题的基本思路 由于材料力学讨论线弹性、小变形，各载荷的
（1）将外力作局用部相等互效独变立换，（互分不解影或响平。移因）此并在分计组算：反使力每、一内组力 只产生力一、种应基力本、变变形形；时都可以应用叠加原理。
组合数学答案9-14
6) The vertex x3 are labeled (*).
7) Scan the vertex x3, and label y5 with (x3).
8) Scan the vertex y5, and find that no new labels are possible. So, we get a breakthrough. We find the M2-augmenting path r2=y5x3 using the labels as a guide. Then m3 = {(x3,y5),(x1,y1),(x2,y2),(x4,y4)} is a matching of four edges.
we assume that the black square is located in ith row and jth column. Then the first block must a black one, so i and j are all odd or even. We can divide chessboard into 5 parts: A1(the distribution of i*(j-1)), A2(the distribution of (m-i)*j), A3(the distribution of (i-1)*(n-j+1)), A4(the distribution of (m-i+1)*(n-j)) and the black square. We can get i and j have all odd or even, it always has even edges, so it has a perfect cover.
15 0
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第 9 章 组 合 变 形9-1 试分析下列构件在指定截面A 的内力分量（判断基本变形）解：（a ）拉伸与弯曲；（b ）压缩、扭转与两个方向的弯曲； （c ）压缩、扭转与两个方向的弯曲。
9-2 木制矩形截面悬臂梁受力如图，已知 F 1 = 0.8 kN ，F 2 = 1.65 kN ，木材的许用应力 [ σ ] =10 MPa ，若矩形 h ／b = 2 ，试确定其截面尺寸。
解：显然固定端是危险截面。
kNm 6.128.01=⨯==l F M ykNm 65.1165.122=⨯==lF M z =+=+=22max 66bh M hb M W M W M zy z z y yσ][)233(13σ≤+=z y M M b 代入数据得到363mm 727500101065.15.16.13=⨯⨯+⨯≥b ， mm 180h ,mm 90≥≥b 。
9-3 工字钢简支梁受力如图，已知 F = 7 kN ，[ σ ] =160 MPa ，试选择工字钢型号。
（提示：先假定 W z ／W y 的比值进行试选，然后校核。
） 解：显然中间截面是危险截面。
kNm 741max ==l F M kNm 394.220sin max == M M y ， kNm 578.620cos max == M M z（b ）车刀 （a ）机械构件][max σσ≤+=zzyy W M W M 选 6=y z W W 试算 33cm 8.21101606394.26578.6][66=⨯⨯⨯+=+≥σyz y M M W查表取 16 号工字钢 W y = 21.2 cm 3 ，W z = 141 cm 3 校核强度 ][M Pa 15910)2.21394.2141578.6(3max σσ≤=⨯+=+=z z yy W M W M 强度刚好够，所以选定 16 号工字钢。
9-4 证明斜弯曲时横截面仍然绕中性轴转动（提示：证明截面形心位移垂直于中性轴）。
证明：假设在任意相距很近 dx 的截面之间作用两个M y ，M z ，其中下标 y ，z 为截面形心主惯性轴，中性轴方程由0=-=y I M z I M z z yy σ 确定为 ϕtan ==yz zy I M I M z y 两截面之间由M z 和M y 产生的相对位移分别为2)(dx EI M dx d Y z z z =⋅=θ，2)(dx EI M dx d Z y y y -=⋅=θ，tan =-=zy yz I M I M Z Y 显然tan α tan ϕ = -1 ，α = ϕ±90°即截面形心位移与中性轴互相垂直。
[反证法] 假设斜弯曲时横截面绕非中性轴转动，则中性轴上的纵向纤维将有伸长或缩短，这与斜弯曲时横截面存在有中性轴的结论是相矛盾的。
故斜弯曲时横截面绕中性轴转动。
9-5 证明对正多边形截面梁，横向力无论作用方向如何偏斜，只要力的作用线通过截面形心，都只产生平面弯曲。
证明：只要证明任意正多边形的形心坐标轴为形心主惯轴即可。
现以正三角形为例，图中y 、z 轴为一对正交形心主轴，y 和y 1轴为对称轴，显然，I y = I y 1，I yz = 0；由式（A-13）有β2cos 221yz y z y y I I I I I I -++== 即z y y z yz I I I I I I =⇒=-⇒=--00)2cos 1(2β设Y 、Z 为一对任意正交形心轴，由式（A-15）有 02cos 2sin 2=+-=ααyz yz YZ I I I I即任意形心轴都是主惯性轴，其惯性矩都相等，只可能发生平面弯曲，不会发生斜弯曲。
z9-6 求图示正六边形截面悬臂梁的最大应力。
（已知正六边形的形心主惯性矩 I y = I z ）解：显然 固定端是危险截面，l F M =m a x由于正六边形的形心主惯性矩 I y = I z ，只发生平面弯曲，中性轴与载荷作用线垂直，外凸角点中距离中性轴最远的点是A 点，如图（a ）所示，A 点到中性轴的距离15cos a h = ， 15cos max a I lF z =σ9-7 图示起重架的最大起吊重量（包括小车）为 F = 40 kN ，横梁 AB 由两根 18 号槽钢组成，[ σ ] =120 MPa ，试校核横梁强度。
解：以小车行至横梁中央作为危险工况，此时最大弯矩在梁的中间截面 C ， 最大弯矩 kNm 354==l F M C ，轴向压力 kN 64.3423==F F x AB 梁发生压缩与弯曲组合变形 AFW M x z C +=max σ查表得 18 号槽钢 3cm 2.152=z W ，2cm 29.29=A 代入上式MPa 9.1209.51151029.29264.34102.1522353max =+=⨯⨯+⨯⨯=σ略大于许用应力，一般情况下可以安全使用。
9-8 拆卸工具的勾爪受力如图，已知两侧爪臂截面为矩形，[ σ ] =180 MPa ，试按爪臂强度条件确定拆卸时的最大顶力 F 。
解：勾爪立柱发生拉伸与弯曲组合变形2F N = ， 2Fe M =M Pa 180][)261732626171(2)61(222max =≤⨯⨯+⨯==+=+=σσF bhe h b F W M A N z解得 F = 19 kN 。
9-9 压力机框架为铸铁材料，[ σ+ ] = 30MPa ，[ σ－] = 80 MPa ，立柱截面尺寸如图所示，试校核框架立柱的强度。
解：截面形心（a ）A －A 剖面mm 5.40420017200050202060100209020505020601010020==⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=c z4232323cm 4885.49205020501215.9602060201215.302010020100121=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=yc I截面内力 kN 12==F N ， kNm 89.2)0405.02.0(12)(=+⨯=+=c z a F MMPa 9.2686.22410420012105.4048889.232max =+=⨯+⨯⨯=+σ MPa 3.3286.22.3510420012105.5948889.232max -=+-=⨯+⨯⨯-=-σ 9-10 图示矩形截面杆偏心受拉，由实验测得两侧的纵向应变 ε1 和ε2 ，试求偏心距 e 。
解：试件发生偏心拉伸 F N = ， Fe M =两测点应变分别为E bh Fe bhEF 2216±=εε ， b h E F 221=+εε ， Ebh Fe 22112=-εε 联立求解可得 62121he εεεε+-=9-11 求图示矩形截面立柱固定端 A ，B ，C ，D 四点的正应力，并确定中性轴的位置。
解：立柱发生压缩与弯曲组合变形，危险截面在固定端kN 25-=N ， kNm 36.05=⨯=y M ，kNm 25.105.025=⨯=z M362mm 105.13.01.061⨯=⨯⨯=y W 362mm 105.01.03.061⨯=⨯⨯=z W483mm 1025.23.01.0121⨯=⨯⨯=y I 483mm 1025.01.03.0121⨯=⨯⨯=z I ，A = 0.1×0.3 = 3×104 mm 2 M Pa 67.3=++=A N W M W M y y z z Aσ ， M Pa 33.0-=+-=AN W M W M y y z z B σ M P a 33.5-=+--=A N W M W M y y z z C σ ， M Pa 33.1-=++-=AN W M W My y z z D σ 中性轴方程为2ε1030010010251025.21031025.01025.138686=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=+-=z y A N z I M y I M y y z z σ 整理化简可得 250415=-z y9-12 确定图9-12所示矩形截面和圆形截面的截面核心大小。
解：由式（9-9），对矩形⇒±=-=22he i a y z y 6122223hbh bh hA I e z y === 同理可得 6b e z= 对圆形 ⇒±=-=R e i a 2 4RAa I e ==9-13 电动机工作时的最大转矩 T = 120 N ·m ，主轴 l = 120 mm ，d = 40 mm ，皮带轮直径 D = 250 mm ，皮带张力 F 1 = 2 F 2 ，[ σ ] = 60 MPa ，用第三强度理论校核该主轴强度。
解：由力偶矩平衡 T DF D F F ==-22)(221 N 96025.0120222=⨯==D T F ，N 28803221==+=F F F F 显然轴的根部是危险截面 Nm 6.34512.02880=⨯==l F M ，Nm 120==T M nMPa 5810401206.345323322223=⨯+=+=πσznr W M M 强度足够。
9-14 图示皮带轮传动轴尺寸及受力已知，[ σ ] = 80 MPa ，按第四强度理论选择轴的直径 d 。
解：（1）作轴的受力简图如图（a ）所示；F = 14 kN , T = 1.5 kNm（b ）M(a)（2）作轴的扭矩图、弯矩图如图（b ）、（c ）、（d ）所示；由图中可以看出 B 截面是危险截面，该截面的弯矩为My = 2.8 kNm , Mz = 1.4 kNm （3）危险点的相当应力 ][75.02224σσ=++=znz y r W M M M62223108014.35.175.04.18.232⨯⨯⨯++=d 解得 d = 75.6 mm 。
9-15 钢制圆轴在齿轮 B ，C 上受力如图所示， 已知 [ σ ] = 100 MPa ，按第四强度理论确定该齿轮轴的直径。
解：（1） 作轴的受力简图如图（a ）所示； F 1= 5 kN , F 2= 10 kN ， T = 0.75 kNm（2） 作轴的扭矩图、弯矩图如图（b ）（c ）（d ）所示；由图中可以看出 C 截面是危险截面，该截面的弯矩为My = 1.125 kNm , Mz = 0.188 kNm（3） 危险点的相当应力 ][75.02224σσ≤++=znzyr W M M M622231010014.375.075.0188.0125.132⨯⨯⨯++=d 解得1.51=d 9-16牙轮钻杆外径 D = 152 mm 内径d = 120 mm ，钻进压力F = 180 kN ，扭矩T = 17.3 kN ·m，[ σ ] = 100 MPa ，按第四强度理论校核钻杆强度。