概率论与数理统计复习题

1.设A,B 为两个随机事件且

13

(),()25

P A P B ==

,

2

(|)5

P B A =

,求

()P A B ⋃.

2.某工厂向三家出租车公司(D,E,F)租用汽车，20%汽车来自D 公司，20%来自E 公司，60%来自F 公司，而这三家出租公司的车在运输过程中发生故障的概率分别为0.10，0.12，0.04. (1)该工厂租用汽车发生故障的概率是多少？

(2)若租用汽车发生故障，问该故障汽车来自F 公司的概率是多少？

3.设随机变量X 的概率密度函数为

0(),0,0

x

axe x f x x λλ-⎧>=>⎨

≤⎩已知,

求(1) 常数a 以及X 的分布函数, (2) 1

{0}

P X λ

<<,

(3)

Y =的概

率密度函数。

4. .设随机变量X 的分布律为

求(1) 常数a, (2) 2

1

Y X =-的分布律。 5.

设

随

机

变

量

(X,Y)

的

联

合

概

率

密

度

函

数

为

(56),0,0

(,)0,

x y

ke x y f x y -+

⎧>>=⎨

⎩其他

求：(1)常数k ，(2)联合分布函数，(3)边缘概率密度和边缘分布函数，

(4)条件概率密度函数，(5)X 和Y 是否独立？(6)23Z X Y

=+的概率密度函数。

(7)

{}P X Y <

6. 设随机变量X 的分布律为

求

22

(),(),(35)E X E X E X +，(),(23)D X D X -+.

7. 设连续型随机变量X 的概率密度函数为

,0()0,0

x

e x

f x x -⎧>=⎨

≤⎩

求(1) 22,X

Y X Z e

-==的数学期望, (2)

11()23

D X +。

8.

设

二

维

随

机

变量(X,Y)的

联

合

概

率

密

度

为

1

s i n (),0,0(,)222

0,x

y x y f x y ππ⎧+<<<<⎪=⎨⎪⎩

其他

求X 和Y 的协方差

(,)Cov X Y 和相关系数XY ρ.

9.假设市场对某种商品的需求量是随机变量X(单位吨)，它服从[2000,4000]的均匀分布。设每售出这种商品一吨，可获利3万元，如果售不出而囤积，则损失1万元。问需要组织多少货源才能获利最大？

10.假设某种型号的灯泡寿命服从参数

100

θ=指数分布。现在随机地取16只，设这些灯泡的寿命

相互独立。求这16只灯泡寿命总和大于1920(小时)的概率。

11.某单位有260部电话分机，每部分机平均有4%的时间使用外线，设各分机是否使用外线相互独立。问需要安装多少外线，才能以95%的概率保证用外线时不占线？ 12.

设总体服从参数为

λ

(未知)的指数分布，密度函数为

0(),00

x

e x

f x x λλλ-⎧>=>⎨

≤⎩

12,,...,n X X X 为一个样本，试求：

(1)

λ

的矩估计量，

(2)

λ的最大似然估计量，

(3) 验证

1

λ的矩估计量和最大似然估计量是否为

1

λ

的无偏估计量。

13. 设从正态总体

1(,25)X

N μ得到一个容量为10的样本，样本均值为19.8x =，

从正态总体

2(,36)Y

N μ得到一个容量为12的样本，样本均值为24.0y =。设两个

总体相互独立，求均值差

12μμ-的置信度为95%的置信区间。

14. 某厂生产的汽车电池使用寿命服从正态分布，其说明书上写明其标准差不超过0.9年。现在随机抽取10个，得样本标准差为1.2年，试在显著性水平0.05α=的条件下检验说明书上的标准差是否可

信。

15. 规定杨树苗平均高达60cm 以上才可以出苗圃。某苗圃所育杨树苗中随即抽取50株，测得杨树苗的平

均高度为59x =cm ，均方差2264s cm =。试问在显著性水平0.05α=条件

下，这批杨树苗能否出苗圃？

16.上课例题，投骰子试验，检验骰子是否均匀。 几类重要分布的期望和方差

数理统计三大分布

12,,...,n X X X 服从(0,1)N ，

(1)

n χ-2

()n χ

(1)t n -

2

1()

n χ,2

2()

n χ

212(1,1)

F n -- 1.

解：

1()2

P A ⋃

=

。