经典自由电子论

3.1.2 经典自由电子论的主要成就
1. 欧姆定律的推导

模型：在一金属导体的长度方向施加电场E，除热运 动外，电子在电场作用下的作定向运动。在两次碰撞 之间，电子在外电场中做匀加速运动，加速度为
a eE m

电子平均速度——不加电场时，热平衡状态，电子气 体的速度是各向同性的，平均速度为零。 因为考查的是集体运动行为，可以把电子与正离子的 每次碰撞后的一瞬间，电子的定向速度为零。那么， 在两次碰撞间电子定向平均运动速度为
第2章 金属电子理论 （固体电子理论）
3.1 经典自由电子论
引言

为什么研究固体从金属开始？ 自然界最基本的物质状态之一，元素周期表中 有2/3的元素属于金属。应用广泛（电导、热 导、光泽、延展），当时对金属的了解比其它 固体多。

当时人们对金属的了解有多少？ 有良好的导电，导热性能 有较好的延展性和可塑性 维德曼-弗兰茨定律（Wiedemann-Franz law）

1 j nvx T x vx T x vx 2 d dT d 1 nvx x 2vx dT dx dx 2 d 3 dT 2 cv nvx cv kB dT 2 dx

金属的热导率和电导率的比，正比于温度
wk.baidu.com T
度dT/dx的比

——电导率 ——热导率: 某个方向的能流密度jxq和负温度梯
能流密度：单位时间内通过单位面积的能量。
※能流密度的推导

x
考虑一维情况，假设在xv处有个高温热源，在x+v处有个低温热 源， v为电子速度。 电子在高温处以及在低温处经最后一次碰撞，到达x处，携带能量不 同，导致热流。x处的密度n，高温、低温处各贡献一半，即n/2。则能 流密度为
/ T
从现象到推测 有良好的导电，导热性能 ——组成金属的原子大多位于周期表的左边，金属原子 容易失去价电子金属电导和热传导可能是价电子起 作用 延展性、可塑性 ——与组成金属的原子之间的相互结合方式有关结合 没有方向性猜想金属键—负电背景 猜想金属中电子行为: 价电子的活动区域很大原子 核（离子实）很小，分布很稀

1 1 eE vd vd a 2 2 2m

电流密度——单位时间内通过单位面积的电荷量。
ne 2 E nevd 2m 2 ne j E, 2m
电导率
其中，n为单位体积内的电子数（电子浓度），m为电子 质量，e为电子电荷量。 欧姆定律
2. 维德曼-弗兰茨定律
2 m
2 T e
2 3k B
ne 2 2m
3.1.3 Drude模型的局限


Drude模型最成功之处在于解释了维德曼-弗兰茨定律。 与很多更精致、更复杂的理论得出的值相差不多。 但后来固体物理证明，Drude模型关于维德曼-弗兰茨 定律的证明是建立在两个大错误的互相抵消上，即室 温下的电子比热容高估了100倍，而电子的平均速度 低估了100倍。 电子热容问题：比热和温度无关，结果过大（100倍） 电导率与温度的关系T1/2（实际上T） 不能解释一、二价金属的导电能力的问题。
q x


※维德曼-弗兰茨定律的证明
1 dT q jx nv 2 cv 3 dx 2 3 nk BT dT 2 m dx 1 vx 2 v 2 3 1 2 3 mv k BT 2 2
2 nk 3 BT
j
q x
dT dx

3.1.1 自由电子气模型的建立（Drude）
——经典自由电子论的基本假设

独立电子近似：电子与电子无相互作用 自由电子近似：除碰撞的瞬间外，电子与离子无相互作用。 电子与核之间的库仑相互作用 碰撞假设：电子和离子的碰撞是瞬时的，电子碰撞后的速度只与 温度有关而与碰撞前的速度无关。在固定温度T的金属中，单个电 子的平均能量等于=3kBT/2（经典统计） 弛豫时间近似：一个电子与离子两次碰撞之间的平均时间间隔为 弛豫时间。不管处在什么初始的不平衡状态，在没有外力的情况 下，电子的漂移速度按照e-t/的方式趋于零，从而达到统计平衡状 态。 漂移速度——电子的平均集体运动速度。