闭区间套定理的应用_刘宪敏
闭区间套定理证明单调有界数列收敛定理
闭区间套定理证明单调有界数列收敛定理闭区间套定理，又称为Cantor定理，是数学分析中非常重要的一个定理，它可以用来证明单调有界数列的收敛性。
在本文中，我们将详细讨论闭区间套定理的证明方法和应用。
首先，我们来介绍一下闭区间套定理的概念。
闭区间套定理是基于实数的完备性公理，在这里我们不过多地涉及实数的定义和性质，只需要知道实数满足完备性公理即可。
闭区间套定理的陈述如下：对于一系列的闭区间[a1, b1]，[a2,b2]，[a3, b3]，...，满足以下两个条件：首先，对于任意的正整数n，都有[a(n+1), b(n+1)]是[a(n), b(n)]的子区间；其次，序列{b(n) - a(n)}是一个收敛的数列。
那么，存在唯一的实数x，它同时属于所有的闭区间[a(n), b(n)]。
证明闭区间套定理的关键是构造一个实数x，我们可以通过区间的中点来构造这个实数。
具体的证明步骤如下：首先，由于每个闭区间[a(n+1), b(n+1)]都是[a(n), b(n)]的子区间，所以这些闭区间形成了一个嵌套的闭区间序列。
根据实数的完备性公理，我们知道这个嵌套的闭区间序列一定存在一个实数x，它属于所有的闭区间。
接下来，我们来证明这个实数x是唯一的。
假设存在另一个实数y，它也同时属于所有的闭区间[a(n), b(n)]。
那么，根据实数的性质，我们知道x和y之间一定存在一个有理数q。
由于x和y都同时属于所有的闭区间，所以q同时属于所有的闭区间。
但我们知道每个闭区间的长度都趋近于零，所以q的存在与有理数的稠密性矛盾。
因此，实数x是唯一的。
最后，我们需要证明序列{b(n) - a(n)}是一个收敛的数列。
由于每个闭区间[a(n+1), b(n+1)]都是[a(n), b(n)]的子区间，所以这些闭区间的长度{b(n) - a(n)}一定是递减且非负的。
根据实数的性质，我们知道这个数列一定存在一个下界，即存在一个常数M，使得对于任意的正整数n，都有{b(n) - a(n)} ≥ M。
3.5 闭区间套定理与有限覆盖定理
lim
n→ ∞
[(n + 1 )
c
− nc = 0
]
2.闭区间套定理 闭区间套定理 设闭区间套列 [a1 , b1 ], [a 2 , b2 ],⋯, [a n , bn ],⋯ 满足
a （1）对任意的正整数 n， n ≤ a n+1 < bn +1 ≤ bn ）
（2） ）
lim
(b n n→ ∞
n n
n n
，
n
n
定义 • 设 Ω 是直线上的点集,η(η ∈ Ω或η ∉ Ω 均可) 是一个定点.若 η 的任意邻域内都含有 Ω 的无限多个点,则称η 为点集Ω 的一个聚 点。
定理（聚点原理） 定理（聚点原理） 直线上的有界无穷点集至少有一个聚点。 直线上的有界无穷点集至少有一个聚点。 推论（致密性定理） 推论（致密性定理） 有界数列必有收敛的子列。 有界数列必有收敛的子列。
若把满足闭区间套定理的闭区间称为闭区 间套， 间套，那么我们得到了闭区间套的一个有 用的性质： 用的性质：
]} 推论 设 {[a , b是一个闭区间套，存在一点 是一个闭区间套， ) ξ ∈ [a , b ](n = 1,2,⋯， 则对任意 ε >0 ， 存在正整数 n> N [a , b ] 。 (ξ , ε ) ⊂ U 当 N 时，总有
− an
)=
0
则 lim a n = lim bn = ϖ n→∞ n→∞ 是所有区间的唯一公共点。 这里 ϖ 是所有区间的唯一公共点。
注意： 注意： 在闭区间套定理中， 在闭区间套定理中，若将闭区间改为开 区间，定理一般不成立。 区间，定理一般不成立。对于二维及二 维以上的空间， 维以上的空间，我们有类似的闭集合套 原理。 原理。
闭区间套定理证明单调有界数列收敛定理
闭区间套定理证明单调有界数列收敛定理闭区间套定理（Nested Interval Theorem）是实数完备性的一个等价表述，可以用来证明单调有界数列的收敛性。
以下是对这个定理的证明：假设有一个单调递增的实数数列{a_n}，同时它也被一个实数数列 {b_n} 上界限制。
我们要证明 {a_n} 收敛，并找到它的极限L。
这里的上界约束意味着对于每个n，a_n ≤b_n，其中{b_n} 是一个递减数列。
首先，我们观察到闭区间[a_1, b_1]。
由于{a_n} 单调递增，我们有 a_1 ≤ a_n ≤ b_n ≤ b_1。
这意味着每个闭区间都包含在前一个闭区间中。
接下来，我们构造一个数列{I_n}，其中每个元素是之前闭区间的中点。
也就是说，I_n = (a_n + b_n) / 2。
由于 {a_n} 是递增的且 {b_n} 是递减的，我们可以得到 I_1 ≤ I_2 ≤ I_3 ≤ ...。
根据闭区间套定理（Nested Interval Theorem），存在唯一的实数 c，满足 c ∈⋂[a_n, b_n]。
也就是说，c 同时存在于每个闭区间 [a_n, b_n] 中。
我们现在证明 c 是该数列 {a_n} 的极限。
由于 {a_n} 单调递增，对于任何n，a_n ≤c。
另一方面，对于任何k，通过数列{I_n} 的构造方式，我们有 c ≤ I_k ≤ b_k。
而这意味着 c ≤ a_k ≤ b_k，对于所有的 k，得到 c ≤ a_k ≤ b_k ≤ b_1。
因此，c 是{a_n} 的上界。
接下来，我们证明 c 是 {a_n} 的最小上界，也就是它是数列的上确界。
假设存在一个上界 d，满足 d < c。
那么存在一个 n，使得 d < a_n ≤ c，这与 c ∈⋂[a_n, b_n] 矛盾。
因此，c 是 {a_n} 的上确界。
综上所述，我们证明了闭区间套定理可以用来证明单调有界数列的收敛性。
数学分析第七章 实数的完备性
设 S 为数轴上的点集, H 为开区间的集合,(即 H 的每一个 元素都是形如 (, )的开区间).若 S 中任何一点都含在至少一个 开区间内,则称 H为 S的一个开覆盖,或简称H 覆盖 S .
若 H 中开区间的个数是无限(有限)的, 则称 H 为 S 的一个
无限(有限)开覆盖.
例 开区间集
H = {(x - b - x , x + b - x) | x (a,b)}
五 作业
P168: 1, 3, 5, 6.
第七章 实数的完备性
§2 闭区间上连续函数性质的证明
一 有界性定理
若函数 f 在闭区间 [a,b]上连续,则 f 在 [a,b] 上有界.
证明: (应用有限覆盖定理证明)
由连续函数的局部有界性， x' [a,b],U(x';x' ),Mx' 0使得
f (x) M x' x U (x'; x' ) [a,b]. 考虑开区间集 H = {U (x'; x' ) x' [a,b]}, 显然H是[a,b]的一个无限开覆 但不能覆盖[a, b].
•2 定理7.3 (Heine-Borele 有限覆盖定理)
设H 为闭区间 [a,b] 的一个(无限)开覆盖,则从 H 中可 选出有限个开区间来覆盖 [a,b] .
•定理的证明
用反证法 假设定理的结论不成立， 即不能用H中有限个
开区间来覆盖 [a,b]. 将[a,b]等分为两个子区间 ， 则其中至少有一个子区 间不能用H
说明:区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立.
如{(0, 1 )},虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个, n
且 lim ( 1 - 0) = 0,但不存在属于所有开区间的公共点. n n
闭区间套定理与致密性定理
,k K
取k0 max K 1, N 1 , 则 x n a x n x nk x nk a , n N
(ii) 有条件(2)知道, 1 2 . (iii) 设所有区间还有一个公共点 ,即an bn , 利用极限保序性,可得: .
15
注意: 1. 在解决数学问题时,我们往往先找出解 的大致范围,然后逐步缩小这个范围, 这时就要用到闭区间套定理. 2. 闭区间是很重要的. 例4 考察开 lim (1 ) e x x
7
1 x (3) 考虑 lim (1 ) x x 1 x 可证明 lim (1 ) e 令 y x x x 1 x lim(1 ) e 故 x x
1 令t x
得到
lim(1 x) e
24
1 1 A x n : n N , x n 1 x n , x1 2 Q. 2 xn
可以证明:
如,
x
n
有下界0, 且 lim x n 2.
n
它的任意一个子列都收敛于 但在有理数系中无收敛的子列.
2.
25
3. 当数列无界时,也有类似的结论. 定理
x 0
1 x
8
例1 判断下列数列的收敛性
1 1 1 (1) an 2 n 3 1 3 1 3 1
1 1 1 (2) an 1 1 2 1 n 2 2 2
1 1 1 (3) an 1 2! 3! n!
这里 x nk是原数列中的第 nk 项, 在子数列中是 第 k项 , 注意
k nk
(1)k nk ; (2)ni n j i j
闭区间套定理证明单调有界数列收敛定理
闭区间套定理证明单调有界数列收敛定理摘要：一、引言二、闭区间套定理简介三、单调有界数列收敛定理证明1.准备工作2.闭区间套定理应用3.推导过程4.结论四、实例分析五、总结与展望正文：一、引言在数学分析中，收敛定理是研究数列行为的重要工具。
其中，单调有界数列收敛定理是收敛定理的一个核心部分。
本文将通过对闭区间套定理的证明，揭示单调有界数列的收敛性，并通过实例分析加深对这一定理的理解。
二、闭区间套定理简介闭区间套定理是拓扑学中的一个重要定理，它揭示了闭区间序列的性质。
该定理表述如下：设（Ai）i∈N是一个闭区间序列，如果每个区间Ai都包含在某个更大的闭区间Bi中，那么存在一个极限点，使得极限点属于所有的Bi，但不属于任何Ai。
三、单调有界数列收敛定理证明（1）准备工作首先，我们需要明确单调有界数列的定义。
设（an）n∈N是一个实数数列，如果满足以下条件：1.单调性：对于任意的n，有an+1 ≤ an；2.有界性：存在实数M，使得对于任意的n，有-M ≤ an ≤ M。
（2）闭区间套定理应用根据闭区间套定理，我们可以找到一个极限点，使得极限点属于所有的闭区间[an, M]，但不属于任何[an+1, M]。
这里，闭区间[an, M]表示数列（an）n∈N的有界区间。
（3）推导过程根据极限点的定义，我们有：lim(n→∞) an = λ其中，λ表示极限点。
（4）结论由于数列（an）n∈N是有界单调递减的，所以当n趋向于无穷大时，an 的极限存在且唯一。
这就证明了单调有界数列收敛定理。
四、实例分析为了更好地理解这一定理，我们可以举一个具体的例子。
考虑数列（an）n∈N，其中an = n - 4。
这个数列是有界且单调递减的。
我们可以找到一个极限点，例如λ = 2，使得数列（an）n∈N收敛于2。
五、总结与展望本文通过对闭区间套定理的证明，揭示了单调有界数列的收敛性。
这一定理在数学分析中具有广泛的应用，是研究数列行为的重要工具。
应用闭区间套定理的步骤及方法
应用闭区间套定理的步骤及方法作者：张珅作者单位：上海中华职业技术学院刊名：新课程学习（基础教育）英文刊名：JOURNAL OF NEW CURRICULUM LEARNING年，卷(期)：2010，""(4)被引用次数：0次1.华东师范大学数学系数学分析 19912.宋国柱分析中的基本定理和典型方法 20043.李莲洁实数连续性等价命题的证明及应用 2002(2)4.胡丽平实数集连续性定理的证明 2001(3)5.周明用闭区间套定理证明闭区间上连续函数的性质 1998(2)1.期刊论文常进荣.王林闭区间套定理的推广及应用-石家庄职业技术学院学报2003,15(6)将实分析中的闭区间套定理作了推广,并给出了三个应用实例.2.期刊论文毛一波.MAO Yi-bo闭区间套定理的推广-渝西学院学院(自然科学版)2005,4(2)从两个方面对实数集R1上的闭区间套定理进行了推广,得到了一般完备度量空间上的闭区间套定理,而一般实数集Rn空间上的闭区间套定理为其特例,并利用Rn空间上的闭区间套定理得到了Rn空间上的聚点定理.3.期刊论文毛青松.MAO Qing-song赋Γ收敛结构的模糊数空间上的两个基本定理-黑龙江大学自然科学学报2009,26(6)首先介绍关于模糊数和Γ收敛的相关概念和结论,然后给出具有小于等于关系的模糊数之间的Hausdorff距离的一个不等式.设u,v,w∈E,若u≤v≤w,则d_H(end u,end v)≤d+H(end u,end w).在此基础上证明了在赋Γ收敛结构的模糊数空间上成立单调收敛定理和闭区间套定理.这一结论推广了实数理论的相关结果.4.期刊论文谢振肖两个特殊命题的证明-高等数学研究2009,12(4)利用闭区间套定理精确证明幂级数收敛半径的存在性问题.利用有限覆盖定理证明一含参变量积分问题.5.期刊论文刘宪敏.段庆斌.李海春闭区间套定理的应用-辽宁教育行政学院学报2007,24(4)闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,可以应用到数学教学、科学研究及日常生活中.在数学教学中的应用最突出的地方是证明某些数学定理,如零点定理.6.期刊论文李莲洁实数连续性等价命题的证明及应用-淮北煤师院学报(自然科学版)2002,23(2)本文以闭区间套定理为基础,证明实数连续性的其他等价命题,并给出它们的应用及有关的评议.7.期刊论文朱俊恭关于闭区间套定理-遵义师范学院学报2002,4(1)对闭区间套定理的条件作一些变动或增加,可以得到相同的结论.8.期刊论文许静波.XU Jing-bo实数连续性理论在平面几何上的应用-吉林师范大学学报（自然科学版）2006,27(4)本文利用实数的连续性理论解决了平面几何方面的问题,具体用闭区间套定理证明了平面上任给一个三角形都存在任意方向上的一条直线,可将该三角形分成面积相等的两部分,进一步又得到:对于一个三角形和一个多边形,至少存在一条直线可将它们同时分成面积相等的两部分.9.期刊论文韩云芷.田艳先.HAN Yun-zhi.TIAN Yan-xian积分中值定理的构造性证明-保定师范专科学校学报2007,20(4)利用闭区间套定理证明定积分中值定理,并利用定积分中值定理证明二重积分中值定理.10.期刊论文李响.李春明闭区间套定理的延伸-齐齐哈尔大学学报（自然科学版）2008,24(4)区间套定理是数学分析的基本定理之一,也是一个刻划实数连续性的等价命题,它常常报某区间上满足的性质采用对分法归结为某点的局部性质,这种方法往往简单而有效,因而引起人们研究的兴趣,在文献[1]中给出了R"空间的区域套定理,本文将进一步延伸到度量空间.本文链接：/Periodical_xkcxx-jcjy201004105.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：eb648148-bd61-4072-88ab-9dcd014e68ab下载时间：2010年8月9日。
大连海事大学数学系(精)
显然, [a, b] ，已知开区间集S覆盖闭区间[a,b], 从而, S中必至少存在一个开区间 ( p, q) , 有 ( p, q) 根据极限保序性,由1)式,当 n充分大时,有 [an , bn ] ( p, q), 即 p an bn q.
DMU
实数连续性定理
DMU
实数连续性定理
有限覆盖定理 若开区间集S覆盖闭区间[a,b],则S 中存在有限个开区间也覆盖了闭区间[a,b].
证明：用反证法.假设S中任意有限个开区间都不能 覆盖闭区间[a,b]，简称 [a,b]没有有限覆盖.将闭 区间[a,b]二等分,分成两个闭区间
ab ab [ a, ] 与[ , b] 2 2
聚点定理 数轴上有界无限点集E至少有一个聚点.
说明：应用反证法和有限覆盖定理证明.
DMU
实数连续性定理
五.致密性定理
{an }必有收敛的子数列{ank }. 致密性定理 有界数列
证明：若数列{an}有无限多项相等，设
an1 an2
ank
显然，常数子数列 {ank } 是收敛的子数列. 若数列{an}没有无限多项相等，则有有界无限点集
定理中,将被覆盖的闭区间[a,b] 改为开区间（a,b）, 1 ,1) n 1, 2,...} 定理不一定成立.例如,开区间集 {( n 1 覆盖开区间(0,1).但是,S中任意有限个开区间都不能 覆盖开区间(0,1).
DMU
实数连续性定理
四.聚点定理 定义 设E是数轴上的无限点集,是数轴上的一个定 点(可以属于E,也可以不属于E).若 0 ,点 的 邻域都含有E的无限多个点,则称 是E的一个聚点. 例如，设 E { 1 n | n N }. 则0是E的一个聚点. 再如，设E={开区间(a,b)的一切有理点}， 则 (a,b)的每一个点都是E的聚点.
闭区间套定理的证明、推广及应用
重庆三峡学院数学分析课程论文闭区间套定理的证明、推广及应用院系数学与统计学院专业数学与应用数学（师范）姓名姜清亭年级 2009级学号 ************指导教师刘学飞2011年5月闭区间套定理的证明、推广及应用姜清亭（重庆三峡学院 数学与统计学院 09级数本（1）班）摘 要 闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,可以应用到数学教学、科学研究及日常生活中。
同时得到与之相应的若干定理，并使闭区间套定理得到推广。
其中在数学教学中的应用最突出的地方是证明某些数学定理,如零点定理。
关键词 开区间套定理 闭区闭套定理 聚点定理证明 有界性定理证明1 空间上的区间套定理定理1 (闭区间套定理) 设有闭区间列｛[],n n a b ｝若1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ⊃⊃⊃2 lim()0n n n b a →∞-=则存在唯一数属于l 。
所有的闭区间（即[]1,n n n a b l ∞==），且lim lim n n n n a b l →∞→∞== 证明:由条件1可知，数列增加有上界1b ，数列｛n b ｝单调减少有下界1a ，1221.........n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤根据公理，数列｛n a ｝收敛，设lim n n a →∞=l ．由条件2 有()lim lim ()lim lim 0n n n n n n n n nx n n b b a a b a a l l →∞→∞→∞→∞=-+=-+=+=于是，lim lim n n n n a b l →∞→∞==，对任意取定的,n k N k +∈∀,有k nn k a a b b ≤≤，从而，lim lim k n n k n n a a l b b →∞→∞≤==≤， 或k k a l b ≤≤，即l 属于所有的闭区间．证明l 唯一性．假设还有一个'l 也属于所有的闭区间，从而'',,,,n n n n n N l l a b l l b a +⎡⎤∀∈∈-≤-⎣⎦有有有条件2),有'l l =即l 是唯一的．2 闭区间套定理的推广定理2 （开区间套定理）若开区间列｛(),n n a b ｝，若1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ⊃⊃⊃2 )(lim n n n a b -∞→= nn ab 2lim-∞→=0对每个闭区间[n n b a ,]，有)()(n n b f a f <0，根据闭区间套定理知，存在唯一数l 属于所有的闭区间，且n n a ∞→lim =n n b ∞→lim =l证：由条件⑴知：1221b b b a a a n n ≤≤⋅⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅⋅⋅≤≤， 即{}()的数列，是单调增加有上界1b a n {}的数列。
解析高考数学中的区间套定理及应用
解析高考数学中的区间套定理及应用高考中的数学学科不仅是考试中的一个科目，更是学生学习中的核心学科之一。
其中，区间套定理是高考数学中的重要概念之一。
本文将深入解析区间套定理及其应用。
一、区间套定理的定义区间套定理是指，当一个闭区间序列{l_n}满足两个条件时，其中必存在一个实数c，该实数同时位于所有的闭区间中。
1.所有闭区间长度收敛于02.所有闭区间互相包含，即若i<j，则l_i包含于l_j中。
该定理看似无趣，但实际上应用广泛。
在高等数学和实分析中，区间套定理被用作连续函数和序列极限的证明。
二、区间套定理的应用1. 證明收緊性定理收缩映射定理是指，对于一个收缩映射f，如果有一个不动点，那么这个不动点是唯一的。
根据区间套定理，我们可以证明收缩映射定理的原理。
假设我们要证明该定理，我们可以选择一个初始点c，并通过递归地应用收缩映射f来构建一个闭区间序列。
由于该序列必须互相包含且长度必须趋于零，因此我们知道该序列收敛到一个不动点。
同时，由于f是一个收缩映射，它必须收缩区间的长度，并将其映射到自身上，从而满足定理的条件。
2. 证明序列的极限另一个区间套定理的应用是证明序列的极限。
如果我们有一个收敛的序列{a_n}，则我们可以构建一个闭区间序列{[a_n, a_n+1]}。
由于{a_n}收敛，我们知道该闭区间序列的长度趋向于零。
根据区间套定理，我们也知道存在一个实数c，它同时包含于所有闭区间中。
此时，我们可以推断出该实数c即为该序列的极限。
3. 求解方程区间套定理还可用于求解方程。
如果我们要解一个方程f(x) = 0，我们可以选择两个不同的实数a和b，然后构建一个闭区间序列{[a, b]}。
我们接下来计算出f(c)的值，其中c是该闭区间的中间点。
如果f(c)为0，则我们已经找到了方程的解。
否则，我们可以根据f(c)的符号和中间点c的位置递归地选择一个新的子区间。
我们不断重复这一过程，直到我们找到一个f(c) = 0的解。
闭集套定理
闭集套定理
闭区间套定理是实数连续性的一种描述，其表述为：设有无穷多个闭区间，满足以下两个条件：闭区间包含关系：[an+1,bn+1]⊂[an,bn]，即后一个闭区间都在前一个闭区间之内；长度趋近于零：\lim \limits_{n \rightarrow \infty} (b_n - a_n) = 0，只要n充分大，闭区间的长度与0就可以接近到预先给定的程度。
那么，这一无穷多个闭区间所构成的集合称为一个闭区间套，简称区间套。
定理的结论是：若是一个闭区间套，则存在唯一实数ξ，使得所有闭区间都收敛于ξ，即这些区间的左端点最终会趋近于右端点，且ξ是这些区间的唯一公共点。
闭区间套定理不仅具有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。
例如，可以用来证明单调有界定理、闭区间上的连续函数的性质（有界性、最值性、零点存在性、一致连续性等）、拉格朗日中值定理
等微分学上常用的定理。
实数的连续性
S 中存在有限个开区间也覆盖了
闭区间 a ,
定理.
b
.
注：1.有限覆盖定理亦称为紧致性定理或海涅-波莱尔
2.在有限覆盖定理中，将被覆盖的闭区间 a , b 改为
1 ,1) n N 开区间 ( a , b ) ,定理不一定成立.例如开区间集 ( n 1
,
定理(可列化) 设 E 是非空集合，则 inf E (1) x E , x ; (2) xn E , xn ( n )
n n 1 例1 证明 sup n N 1, inf n N . n1 n1 2
2）在具有性质 . P 的区间中确定一个长度不超过该区间 1 长度 的也具有性质 P 的子区间（通常采用二等分法）， 2 然后继续使用上述步骤，可得具有性质 P 的区间套. 实 现将具有性质 P 的这个数“套”出来.
二、确界定理
非空数集 E 有上界,则它有无限多个上界,在这无 限多个上界之中,有一个上界 与数集 E 有一种特殊 关系. 定义:设 E 是非空数集.若 R 使 (1) x E , x ; (2) 0, x E , 有 : x . 则称是 数集 E 的上确界.表为 sup E
注:区间套定理中要求各个区间都是
闭区间，否则结论不一定成立.
1 例如 开区间序列 1， . n
区间套定理的应用：一般来讲，证明问题需要找 出一个具有某种性质 P 的数，常用区间套定理将这个 数“套”出来.
具体方法是： 1）构造一个具有性质 . P 的区间，性 质 P要根据性质 P 来定;
同样有 1 [a2 , b2 ] [a1 , b1 ], 并且 b2 a2 (b1 a1 ). 2 将上述过程无限进行下去, 可得一列闭区间[an , bn ]
闭区间套定理的应用及推论
闭区间套定理的应用及推论作者：孙雪梅来源：《空中英语教室·社会科学版》2011年第02期【摘要】介绍闭区间套定理及其证明方法，给出开区间套定理的正确表述，近一步讨论区间套定理在证题中的应用。
【关键词】闭区间套；开区间套；应用【中图分类号】O172【文献标识码】A【文章编号】1001-4128(2011)02-0171-03作者简介：孙雪梅,副教授。
1 闭区间套定理在实数连续性的描述中，闭区间套定理是数学分析的一个基本定理。
定义1：设｛[a n,b n]｝(n1)是R中的闭区间，如果满足：（1）[a n+1,b n+1][a n,b n] (n1)；（2）lim n→∞(b n-a n)=0则｛[a n,b n]｝叫做R中的一个闭区间套定理1：（闭区间套定理）设有闭区间列｛[a n,b n]｝，若：（1）[a1,b1][a2,b2]L[a n,b n]L（2）lim n→∞(b n-a n)=0，则存在唯一实数属于所有闭区间（即I∞n=1[a n,b n]=L且lim n→∞a n=lim n→∞b n=L证一：应用公理证明闭区间套定理证明：由条件1）数列{a n}单调增加有上界b1，数列{a n}单调减少有下界a1，即：a1a2L a nL b nL b2b1根据公理，数列{a n}收敛，设lim n→∞a n=L由条件2）有lim n→∞b=lim n→∞(b n-a n+a n)=lim n→∞(b n-a2)+lim n→∞a n=0+L=L，于是lim n→∞a n=lim n→∞b n=L对于任意取定的k∈N+ n>k有a k a na k lim n→∞a n=L=lim n→∞b n b k或a k Lb k即L属于所有的闭区间。
证明L的唯一性，假设还有一个L′也属于所有的闭区间，从而n∈N+有L,L′∈[a n,b n]，有｜L-L′｜b n-a n，由条件2）有L=L′即L是唯一的，证毕。
浅谈函数的一致连续性
浅谈函数的一致连续性（渤海大学数理学院辽宁锦州 121000 中国）摘要：在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。
本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。
首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。
其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打下了坚实的基础。
再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。
最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。
使人们能够对它们有个全面的了解。
关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。
Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized, the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual transformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable peopleto have a comprehensive understanding of their.Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continuity judgment.引言数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。
叙述闭区间套定理
叙述闭区间套定理闭区间套定理是数学中一个重要的定理，它指出如果一个实值函数在闭区间上有极值，则该函数在该区间上也有零点。
在函数分析中，闭区间套定理经常被用来证明函数的性质，同时也用在很多的理论中。
因此，对这一定理有了充分的认识是很重要的。
简而言之，闭区间套定理指出，如果一个实值函数在闭区间[a,b]上有极值，则函数在该闭区间上必然存在零点。
特别地，如果该实值函数在闭区间[a,b]上连续（有时也可以是微分可导），则该函数必定在区间[a,b]上具有零点（即极值点）。
要证明闭区间套定理，我们可以考虑实值函数f(x)在闭区间[a,b]上有极值时的情况。
显然，该函数在区间[a,b]上一定满足一定条件：（1）函数f(x)在区间[a,b]上可以连续（有时也可以是微分可导）。
（2）当x=a时，f(x)在[a,b]上为极大值；当x=b时，f(x)在[a,b]上为极小值。
这两个条件是闭区间套定理的充分条件；显然，如果满足了这两个条件，则在区间[a,b]上必然存在零点。
下面我们来证明闭区间套定理：假设f(x)在[a, b]上连续（有时也可以是微分可导），且f(a) >= 0, f(b) <= 0, f(x)在[a, b]上取极值，即f(x1) >= 0, x1 < a, f(x2) <= 0, x2 > b.据《微积分学》A.T.诺克斯（A.T. Knox）的定理，可知在[a, b]上必然存在一个点c，使得f(c) = 0.因此，闭区间套定理也就得到了证明。
闭区间套定理在函数分析中有着重要的应用，它可以用来证明函数在某一区间上存在着零点，因此可以帮助我们求解各种问题。
例如，如果一个实值函数在[a,b]上连续，且在[a,b]上取极值，则可以应用闭区间套定理来证明函数在[a,b]上存在零点。
此外，闭区间套定理也用在各种数学理论中，例如序列的极限理论等。
由于闭区间套定理有着广泛的应用，因此有必要深入研究这一定理，以便更好地利用它来解决实际问题。
开放讲座-第二讲-关于闭区间套和有限覆盖定理的讨论
则得到 f a1 f b1* f b2* f b1 .
结论得证
问题5
f x C a , b , f a f b 0, 则c a , b ,
n 1
即
lim an lim bn
n n
[ [ [ ... [ ... ] ... ] ] ]
a1 a2 a3 an bn b3 b2 b1
闭区间套定理应用
单调有 界定理 确 定 界 理 闭区间 套定理
列紧性 定 理
有限覆 盖定理
Cauchy 收敛定理
用闭区间套定理证明柯西收敛定理
n
a
n
0；
因此 lim an lim bn ， a , b .
在 I 中至少有一( , )， .
根据数列极限的定义
= -，N 1 N * , n N 1 : an , = -，N 2 N * , n N 2 : bn ,
一、覆盖
定义1
给定集合A, 若有一族开区间I , ，
使A
或称开区间族I 是A的一个开覆盖.
等价定义
I , 称这一族开区间覆盖了A.
I 是A的覆盖 : 任意x A,
，使x I 0 . 总有一个开区间 I 0 I
例1 开区间族
。
n
i 1
覆盖了 a , b , 假设x1 x2 xn .
x a , b , U ( x1 ; x1 ), x U ( x1 ; x1 ) a , b , f x 0 U ( x1 ; x1 ) U ( xk ; xk ) x U ( x k ; xk ) a , b , f x 0 U ( x k ; xk ) U ( x l ; xl ) , x U ( x l ; xl ) a , b ， f x 0 ............ x U ( xi ; xi ) a , b , f x 0, i 1, 2, , n 与f a 0, f b 0矛盾！
应用闭区间套定理的步骤及方法
应用闭区间套定理的步骤及方法作者：张珅来源：《新课程学习·上》2010年第04期摘要:本文首先介绍了闭区间套的定义及闭区间套定理,然后举例说明闭区间套定理的应用,最后总结出应用闭区间套定理的一般步骤和方法。
关键词:区间套闭区间套定理有界性定理实数系的连续性是分析学的基础,对于我们学习的极限论、微积分乃至整个分析学具有无比的重要性,实数系R的连续性,从几何角度理解就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”,本文将以实数系的连续性中的闭区间套定理为例来说明其应用。
一、介绍闭区间套定义及闭区间套定理定义1(闭区间套定义)设闭区间列{[an,bn]｝具有如下的性质:(1){[an,bn]｝[an+1,bn+1],n=1,2,…(2)lim(bn-an)=0则称{[an,bn]｝为闭区间套,或简称区间套。
定理1(闭区间套定理)若{[an,bn]｝是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得∈[an,bn],n=1,2,…即an≤≤bn,n=1,2,…且==.二、举例说明闭区间套定理的应用例1.(有界性定理)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界.证明:假设f(x)在[a,b]上无界,则闭区间[a,b]具有性质:f(x)在闭区间[a,b]无界,记该性质为p*.将闭区间[a,b]二等分得到[a,]和[,b]两个闭区间,则其中至少有一个闭区间具有性质p*,在此将具有性质p*的闭区间记为[a1,b1],用同样的方法将[a1,b1]两等分得到具有性质p* 的闭区间[a2,b2]如此无限的等分下去就可得到一个闭区间列{[an,bn]｝满足:(1){[an,bn]｝[an+1,bn+1],n=1,2,…(2)bn-an=→0(n→∞)则存在唯一的实数∈[an,bn],n=1,2,…且==.因为f(x)在闭区间[a,b]上连续,而∈[a,b].故取=1存在>0, 当x∈[a,b]。
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有（ｆ ａ１） ≤（ｆ ａ２） ≤…≤（ｆ ａｎ） ≤…≤（ｆ ｂｎ） ≤…≤（ｆ ｂ２） ≤（ ｂ１） ， 于是
我 们 可 把（ｆ ａ１） 和（ｆ ｂ１） 作 为 第 一 个 区 间 端 点 ， （ｆ ａ２） 和（ｆ ｂ２） 作 为
第二个区间的端点， …， （ｆ ａｎ） 和（ｆ ｂｎ） 作 为 第ｎ个 区 间 的 端 点 ， 这
满 足 闭 区 间 套 定 理 条 件［ａｎ， ｂｎ］!［ａｎ＋１， ｂｎ＋１］。 假 定 区 间 两 端 点 的
函 数 值 中 是 相 反 的 ， 可 以 得 到 一 系 列 的 函 数 值ｆ （ ａ１） ，（ｆ ａ２） ， ｆ
（ ａ３） ， … ， （ｆ ａｎ） ，…（ｆ ｂｎ） … ， （ｆ ｂ２） ，（ ｂ１） 。 假 设（ｆ ｘ） 是 单 调 增 加 的 ，
尹淑华
可 以 将 满 足 性 质Ｐ＊的 数 或 集 合 找 出 来 。 同 时 由 于 性 质 Ｐ的 情 况 多种多样， 应用在科学研究和日常生活中也是多种多样的。
（ 瓦房店市第一中等职业技术学校， 辽宁 瓦房店 １１６３００）
二 、闭 区 间 套 定 理 在 科 学 研 究 中 的 应 用
在课堂教学中， 教师必须以适当的方式、方法适时地引
曲家生活时代背景、写作背景也是把握好乐曲的关键所在。在 １００℃， 可 以 作 为 第 二 个 闭 区 间［５５， １００］； 取 其 中 点７７℃进 行 测
演奏的时候 ， 学生应在心里跟着乐曲 歌 唱 ， 既 充 满 激 情 又 放 松 定， 结果ＴＭＶ也没有死亡， 于是测定温度范围改为７７℃￣１００℃，
样 设 计 正 好 满 足 闭 区 间 套 定 理 的 第 一 个 条 件［ａｎ， ｂｎ］!［ａｎ＋１， ｂｎ＋１］；
又 因（ｆ ｘ） 在 闭 区 间［ａ， ｂ］上 是 连 续 的 ， 且０≤ｌｉｍ（ ｂｎ－ ａｎ） ≤０，从 而 ｎ→∞
可 以 保 证（ｆ ａｎ） 和（ｆ ｂｎ） 的 差 是 无 限 小 的 ， 即 ｌｉｍ（ｆ ｂｎ） ＝ｌｉｍ（ｆ ａｎ） ，
分， 比较分点是否具有Ｐ＊的性质， 至少可得一 个 闭 区 间 具 有 性
索表的过程就相当于通过闭区间套定理的形式将病原菌检索 出 来 ， 是 将 门 、纲 、目 、科 、属 、种 转 化 为 一 系 列 闭 区 间 ， 将 真 菌 的名称限定出来。过程如下： 条锈病菌属于真菌界， 特征区别 于植物和动物， 可以当作第一个闭区间Ａ１； 而真菌门的特征为 原生质团或原生团缺乏， 营养体阶段为黄型的菌丝体， 作为第 二个闭区间Ａ２； 真菌门中担子菌亚门的特征为有性阶段， 有性 阶段的孢子为担孢子， 作为第三个闭区间Ａ３； 担子菌亚门中冬 孢 菌 纲 的 特 征 为 无 担 子 果 ， 有 冬 孢 子 ， 作 为 第 四 个 闭 区 间Ａ４； 冬孢菌纲中锈菌目的特征为担子自外生型冬孢子发生， 以横 隔膜分成４个细胞， 每个细胞产生１个担孢子， 担孢子由小柄 上 产 生 ， 孢 子 强 烈 散 射 ， 作 为 第 五 个 闭 区 间Ａ５， 这 样 通 过 构 造 闭区间套Ａ１!Ａ２!Ａ３!Ａ４!Ａ５…有限步骤， 将条锈病菌检索 出来。
ｎ→∞
ｎ→∞
所 得 的 函 数 值（ｆ ａｎ） 和（ｆ ｂｎ） 又 满 足 闭 区 间 套 定 理 第 二 个 条 件 ，
可以证明出来。
闭区间套定理可以证明零点定理。在证明中， 应用二等分
法构造出一列闭区间， 使它具有共同性质Ｐ＊（ 性质Ｐ＊要 根 据 给
定条件Ｐ来确定） ， 运用二等分法， 将具有此性质区间（ 集合） 二等
①［ａｎ， ｂｎ］!［ａｎ＋１， ｂｎ＋１］ ②ｌｉｍ（ ａｎ－ ｂｎ） ＝０， 则存在 唯 一 的 数ｌ属 ｎ→∞
于任意一个闭区间［ａｎ， ｂｎ］， 且ｌｉｍ＝ｌｉｍｂｎ＝ｌ ｎ→∞ ｎ→∞
闭区间套定理应用在数学教学中， 可以证明零点定理等。
在 零 点 定 理 证 明 过 程 中 ， 我 们 先 构 造 闭 区 间 列［ａｎ， ｂｎ］， 且
闭区间套定理是数学分析中一个重要定理， 可以应用到
数 学 教 学 、科 学 研 究 及 日 常 生 活 中 。在 数 学 教 学 中 的 应 用 最 突
出的地方是证明某些数学定理， 如零点定理。
一 、闭 区 间 套 定 理 在 数 学 教 学 中 的 应 用
闭 区 间 套 定 理 ： 若 有 闭 区 间 列｛［ａｎ， ｂｎ］｝， 且 对 任 意ｎ都 有 下 列条件：
心态， 使自己完全投入到要表现的音乐意境中去。
可以作为第三个闭区间 ［７７， １００］； 再取其中点８６℃进行测定，
（ 责任编辑： 王晓东） ＴＭＶ还 没 有 死 亡 ， 则 测 定 温 度 范 围 改 为８６℃￣１００℃， 可 以 作 为
闭区间套定理的应用
第四个闭区间［８６， １００］， 依次下去， 可以将ＴＭＶ的致死温度９０℃ 测定出来。
在科学研究中， 有时间接应用闭区间套定理。例如， 小麦
刘宪敏， 段庆斌， 李海春
的条锈病、秆锈病和叶锈病是农 业 生 产 的 重 要 病 害 ， 是 由 于 不 同的柄锈菌引起的， 这些不同的病原菌可以通过真菌检索表
（ 沈阳农业大学基础部， 辽宁 沈阳 １１０１６１）
（ 包含门、纲、目、科、属、种） 对比查找出 来 ， 而 对 比 查 找 真 菌 检
温度时， 就可以应用闭区间 套 定 理 。 过 程 如 下 ： 开 始 研 究ＴＭＶ
一 、教 态 表 情
的致死温度时， 由于不知到致死温度是多少， 将研究温度设定
教师亲切和蔼的面容、期 待 的 目 光 、恰 当 的 手 势 动 作 等 教
· １７３ ·
（ 责任编辑： 王晓东）
质Ｐ＊， 然后继续运用二等分法， 得到满 足 闭 区 间 套 定 理 的 条 件
同时具有性质Ｐ＊的闭区间列， 由定理结论得到唯一一个具有性 课堂教学中如何沟通师生间的情感
质Ｐ的数或集合（ 这个性质Ｐ＊随性质Ｐ的不同而变化） 。在日常生 活中应用时， 不一定经过无限的步骤， 有时经过有限的步骤， 就
在科学研究中， 有时直接可 以 应 用 闭 区 间 套 定 理 。 例 如 ， 导、沟通师生间、学生间的情感， 使 彼 此 产 生 良 好 的 情 感 体 验 ，
植物病理学中研究 烟 草 花 叶 病 毒（ ＴＭＶ） 三 常 规 特 性 中 的 致 死 才能有利于教学工作的顺利进行，为此要注意以下五个方面。
２００７ 年第 ４ 期从 开 始 的 时 候 就 应 该 仔 细 读 在１０℃￣１００℃， 可以作为第一个闭区间［１０， １００］； 取其中 点５５℃
谱， 放慢速度练习， 不能贪多求快； 最后 ， 教 师 引 导 学 生 了 解 作 进 行 测 定 ， 结 果ＴＭＶ没 有 死 亡 ， 则 测 定 温 度 范 围 改 为 ５５℃￣
三 、闭 区 间 套 定 理 在 日 常 生 活 中 的 应 用 闭区间套定理不仅在科学研究中可以应用， 而且在日常 生活中也常有反映。例如， 报纸上经常刊登寻人启示， 描述被 寻找人的特征， 如衣着、身高、头发 颜 色 、口 音 等 。 每 一 种 描 述 可以看作一个闭区间或者一个集合， 通过构造一系列闭区间， 将被寻找人限定出来， 过程如下： 将被寻找人的衣着特征作为 第一个闭区间Ａ１； 被寻找人的衣着特征和身高特征作为第二 个 闭 区 间（ 或 集 合） Ａ２； 被 寻 找 人 的 衣 着 特 征 、身 高 和 头 发 颜 色 ， 作 为 第 三 个 闭 区 间（ 或 集 合） Ａ３； 被 寻 找 人 的 衣 着 特 征 、身 高 、头 发 颜 色 、口 音 ， 作 为 第 四 个 闭 区 间（ 或 集 合） Ａ４； 依 次 下 去， 通过有限步骤， 可以将被寻找人限定出来。 将此定理应用到数学教 学 、科 学 研 究 及 日 常 生 活 中 ， 可 以 找到这个定理应用及其联系实际的新方向。