历年高数复习题

高数试题 2008.7

一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 1.设直线1724

:121x y z l -+-==

-，26,:23,

x y l y z -=⎧⎨+=⎩则l 1 与l 2 的夹角为[ ]. （A ）

2π；（B ）3π；（C ）4π；（D ）6

π. 2.函数 z = xe 2y

在点P (1, 0)出沿从P (1, 0)到Q (2, 1)方向的方向导数为[ ].

2233

();();();().2222

A B C D -

- 3.函数22

22

221sin ,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

在(0, 0)点[ ].

(A ) 偏导数连续；(B ) 偏导数不存在； (C )偏导数存在但不可微； (D )可微但偏导数不连续。 4.积分

11

220

x

dx x y x dy -=⎰⎰

[ ]. 11

11()

()

()

()

3

4

12

24

A B C D 。 5.设是由x 2

+ y 2

+ z 2

= 1所围成的区域，则三重积分

||z e dv Ω

=⎰⎰⎰[ ]. 3()

()()

()2.2

2

A B C D π

π

ππ；；； 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）

1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y – 3z = 2都平行的直线方程是

2.设2224,:3,

x y z z ⎧++=⎪Γ⎨=⎪⎩则2

x ds Γ

=⎰

3. 满足微分方程初值问题20

d (1)d 1 x

x y y e

x y =⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 的解为y ＝ ．

4.设z = ln(1 + x 2

+ y 2

), 则(1,2)dz =

三、（9分）求微分方程4cos y y x x ''+=的通解．

四、（9分）求函数f (x , y ) = xy 在闭区域x 2

+ y 2

1上的最大值和最小值。.

五、（9分）某物体的边界由曲面z = x 2 + y 2和平面z = 0, |x | = a ，|y | = a 围成, 其密度函数为 = x 2 + y 2

, 求该物体的质量. 六、（9分）设直线0,:30,

x y b L x ay z ++=⎧⎨

+--=⎩在平面 上，而平面 与曲面z = x 2 + y 2

相切于(1, 2, 5)，求

a ,

b 的值。.

七、（9分）计算曲面积分

333

()()()x y z dydz x y z dzdx x y z dxdy ∑

++++++++⎰⎰

其中为由圆锥面x 2

+ y 2

= z 2

与上半球面x 2

+ y 2

+ z 2

= R 2

(R > 0)围成曲面的外侧. 八、（8分）设函数Q (x , y )在xOy 平面上具有一阶连续偏导数，第二类曲线积分2(,)L

xydx Q x y dy +⎰与路径无

关，且对任意t ，有

(,1)

(1,)

(0,0)

(0,0)

2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰

⎰

，求Q (x , y ).

九、（6分）设当1x >-时，可微函数()f x 满足

1()()()d 01x

f x f x f t t x '+-

=+⎰， (0)1f =.

1. 求()f x '；

2. 证明：当0x ≥时，()x

f x e -≥． 答案 一、1.B ；2.A ；3.D ；4.C ；5.D.二、1.

24231x y z --==

-；2.1233dz dx dy =+；3. tan(1)4

x

y e π=+-；4. 10(1)(2)3

n n

n n x ∞

+=--∑；

三、1212cos 2sin 2cos sin 39y C x C x x x x =+++.四、max min 11,22f f ==-.五、611245

a , 六、a = 5,

b = 2.

七、5

9

(22)5

R π.八、Q (x , y ) = x 2

+ 2y – 1.

高数试题 2009.7

一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 1. 函数(,)z f x y =在00(,)x y 处可微的充分条件是[ ] (A)(,)f x y 在点00(,)x y 处连续； (B) (,)f x y 在点00(,)x y 处存在偏导数；

(C) 00000

lim[(,)(,)]0x y z f x y x f x y x ρ→∆-∆-∆=，2

2

()()x y ρ=∆+∆；

(D) 00000

(,)(,)lim

0x y z f x y x f x y x

ρρ

→∆-∆-∆=.

2. 圆心在原点半径分别为R 和r 的()R r >的两个圆所围成的均匀圆环形薄板(面密度为μ)关于原点的转动惯量为[ ].

(A) 4

4

()R r πμ-； (B) 44

1()2

R r πμ-；

(C) 441()4R r πμ-； (D) 44

1()6

R r πμ-.

3. 微分方程x

x e xe y y y 3265+=+'-''的特解形式为（ ）

(A)x x cxe e b ax x y 32)(*++=； （B ）x

x e c x b ae y 32)(*++=；

（C ）x x ce e b ax y 32)(*++=； (D) x

x cxe e b ax y 32)(*++=

4. 设Ω是由球面2222

(0)x y z a a ++=>所围成的闭区域，则

222x y z dv Ω

++⎰⎰⎰

= [ ]

(A) 443

a π； (B) 44a π； (C) 4

a π； (D) 4

12

a π. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分） 1. 已知3a =，26

b =，72a b ⨯=，则a b ⋅= 2．函数),(y x f 2

2

y xy x +-=在点)1,1(处的梯度为

3. 已知曲线Γ为连接(1,1,1)和(2,2,2)两点的直线段，则曲线积分(23)x y z ds Γ

++⎰

=

4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22

z x y =+所围立体的体积为 ． 5. 设∑为平面

1234x y z

++=在第一卦限中的部分，则4(2)3z x y dS ∑

++⎰⎰=

6. 以y 1 = cos2x , y 2 = sin2x 为特解的常系数齐次线性微分方程为＿＿＿＿．

三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1．求点0(1,1,1)P 到直线

723

123

x y z ---==

的距离. 2．已知一平面通过球面x 2

+ y 2

+z 2

= 4(x 2y 2z )的中心, 且垂直于直线L :0

x y z =⎧⎨+=⎩, 求（1）该平面

的方程；（2）该平面与球面的交线在xOy 平面上的投影。

3．设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y

x u

∂∂∂2.