(积分法)欧拉积分,余元公式
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欧拉积分的运用及余元公式的证明
王国俊 01211071
徐州师范大学 数学系 徐州 221116
摘要 欧拉积分的应用十分广泛，本文着重讲了欧拉积分及其变形在积分计算中的运用,并给出了余元公式的一种新的证明方法,而且意外得到了欧拉积分的一种新的变形. 关键词 欧拉积分；Gamma 函数；Beta 函数；余元公式
现在我们很多时候解决问题的工具还是用初等函数来解决问题，这给我们研究带来很多不便.利用含参变量积分是引进非初等函数的一个重要途径.所谓欧拉积分正是如此.下面先介绍点预备知识：
在一般的数学教材中，欧拉积分定义如下：
)
0,0()1(),()
0()(1
1
1
010
>>-⎰=B >⎰=Γ----+∞
q p dx x x
q p dx
e x q p x ααα
两者分别称为Gamma 函数和Beta 函数,简称为函数函数和B Γ.
欧拉积分的几个基本变形：
函数Γ)1(
令2
y x =, 就有
)0(2)(2
120
10
>⎰=⎰=Γ--+∞
--+∞
ααααdy e y
dx e x
y x
令py x =, 则有
)0,0()(10
10
>>⎰=⎰=Γ--+∞
--+∞
p dy e y p dx e x py x ααααα
特别地当2
1
=
α时，由华东师范大学编的数学分析第20章第二节例七有π=Γ)21(并且
有)()1(αααΓ=+Γ
函数B )2(
令ϕ2
cos =x 就有
ϕϕϕπ
d q p p q 121220cos sin 2),(--⎰=B
令y
y
x +=
1，则有 dy y y q p q
p p +-∞
++⎰=B )
1(),(1
欧拉积分间的联系：
)
()
()(),(q p q p q p +ΓΓΓ=
B )0,0(>>q p
以上介绍了欧拉积分的定义及相关变形，那么如何利用欧拉积分解决数学中某些积分运算呢?
一 欧拉积分在求解积分中的运用
1． 通过式子的变形将积分变成欧拉积分的形式，再利用欧拉积分的相关性质，计算出该积
分的值.
例1 求积分dx x x 21
-⎰
解 原式=8
)3()
23()23()23,23()1(2
1
2
1
10π=ΓΓΓ=B =-⎰dx x x 例2 求积分dx x
x 4
21
1-⎰
解 原式=42
1
421
431
)1()(41dx x x x
--⎰ =421
4
21
443
41
0)1()()(4
1dx x x x ---⎰ =
)2
1,43(41B 2.利用换元法将未知积分化为欧拉积分，然后再进行计算.
例3 求积分dx x x
2
4
0)1(+⎰∞
+
解 令
t x x =+1则有 t
t
x -=
1 从而有 dt t dx 2
)
1(1
-=
带入原式有 224sin 41)43()41(41)2()
43()45()43,45()1()
1(4
1
41
102
4
0π
ππ=
=ΓΓ=ΓΓΓ=B =-⎰=+⎰-∞
+dt t t dx x x 例4 求xdx x q
p cos sin 20π
⎰
解 原式=)(sin )
sin 1()
(sin 2
1)sin 1()(sin 22
12
2
12
2022
22
20x d x x dx x x q p q p ---⎰=-⎰ππ
令x u 2
sin =得, 10< 上式=)2 1,21(21) 1(2 12 12 11 0++Γ= -⎰--q p du u u q p 3.在很多时候我们解决问题时，需要综合运用以上的两种方法. 例5 求积分dx e x x n 2 20-+∞ ⎰ 解 原式=)2 (2 120 2 x d e x x n --∞ +⎰ 212022 1dx e x x n --∞+⎰= 令2,(0)t x x x ==>则 则上式=)2 12(212 12 120+Γ= ⎰--∞ +n dt e t t n = πn n 2! )!12(- 例6 求x dx cos 30 -⎰π 解 原式=2 sin 12 1)2 cos 1( 222 x dx x dx +⎰= -+⎰π π 令2 sin 2 x u =得 上式= du u u du u u 2 12 12 102 12 11 0)1(2 1)1()1(2 1- - - - -⎰= -+⎰ 令t u =2 得 上式= dt t t dt t t 12 114 3 1 04 3 211 0) 1(2 21)1(2 21---- -⎰= -⎰ )2 1,41(221 B = 注 在利用欧拉积分进行积分计算时一定要注意欧拉积分的上下限及等价变形.