江苏省南京市高一下学期期末数学试卷
江苏省南京市高一下学期数学期末考试试卷
江苏省南京市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二上·吉林期末) 下列各组向量平行的是（）A .B .C .D .2. （2分）已知，则下列说法正确的是（）A . 若,则B . 若，则C . 若，则D . 若，则3. （2分）各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则的值为（）A .B .C .D . 或4. （2分） (2016高一下·吉林期中) △ABC中，若c= ，则角C的度数是（）A . 60°B . 120°C . 60°或120°D . 45°5. （2分）已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）A . 135°B . 90°C . 120°D . 150o6. （2分）由公差d≠0的等差数列a1 ， a2 ，…an ，…组成一个数列a1+a2 ， a3+a4 ， a5+a6 ，…，下列说法正确的是（）A . 该新数列不是等差数列B . 是公差为d的等差数列C . 是公差为2d的等差数列D . 是公差为4d的等差数列7. （2分）椭圆M：=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 ， P为椭圆M上任一点，且的最大值的取值范围是[2c2 ， 3c2]，其中. 则椭圆M的离心率e的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两个分支分别交于点、，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分）设是由正数组成的等比数列，且公比不为1，则与的大小关系为（）A .B .C .D . 与公比的值有关10. （2分） (2017高一上·白山期末) 有一批材料可以建成80m的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形（如图所示），且围墙厚度不计，则围成的矩形的最大面积为（）A . 200m2B . 360m2C . 400m2D . 480m211. （2分）已知函数，下列命题是真命题的为（）A . 若，则.B . 函数在区间上是增函数.C . 直线是函数的一条对称轴.D . 函数图象可由向右平移个单位得到.12. （2分）公差不为零的等差数列的前n项和为.若是与的等比中项,,则（）.A . 18B . 24C . 60D . 90二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）在实数范围内，若关于x的不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集是空集，那么系数a，b．c应当满足的条件为________．14. （1分）向量=（1，0），=（1，1），O为坐标原点，动点P（x，y）满足，则点Q（x+y，y）构成图形的面积为________ ．15. （1分）若x，y满足约束条件.则z=x+y的最大值为________16. （2分） (2016高三上·绍兴期末) 已知数列{an}中，a3=3，an+1=an+2，则a2+a4=________，an=________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2018·全国Ⅲ卷文) 等比数列中， .（1）求的通项公式；（2）记为的前项和，若Sm=63，求m。
2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知()()cos15,sin15,cos 75,sin 75OA OB =︒︒=︒︒，则AB =A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】D 【详解】()()()()22cos 75cos15,sin 75sin15cos 75cos15sin 75sin1522cos 7515211AB =--=-+-=--=-=.故选D .2．平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A ．α内有无穷多条直线都与β平行；B ．直线a α⊂，直线b β⊂，且b a αβ, ；C ．直线,a a αβ∥∥，且直线a 不在α内，也不在β内；D ．α内的任何一条直线都与β平行.【答案】D【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系结合充分条件的概念依次判断即可.【详解】对于A ，α内有无穷多条直线都与β平行，推不出平面α与平面β平行，平面α与平面β可以相交，A 错误；对于B ，推不出平面α与平面β平行，平面α与平面β也可以相交，B 错误；对于C ，推不出平面α与平面β平行，平面α与平面β也可以相交，C 错误；对于D ，由面面平行的定义知能推出平面α与平面β平行，D 正确.故选：D3．i 为虚数单位，则32i -满足的方程是（）A ．26130x x --=B ．26130x x ++=C ．26130x x +-=D ．26130x x -+=【答案】D【分析】根据实系数一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】四个选项中的方程是实数系一元二次方程，所以可知32i -是实系数一元二次方程的根，因此32i +也是该实系数一元二次方程的根，而()()32i+3+2i 6,32i 3+2i 9413-=-=+=，因此选项D 符合，故选：D4．设D 为ABC 所在平面内一点，3CD BD =，则（）A ．1433AD AB AC=-+B ．3122AD AB AC =-C ．3212AD AB AC =-+D ．4133AD AB AC=- 【答案】B【分析】根据3CD BD =，可推得12BD CB =，利用向量的加减运算，可求得答案.【详解】由3CD BD =可得2CD BD BD -=，即12BD CB =,故1131=+=+=+()=2222AD AB BD AB CB AB AB AC AB AC --,故选：B二、多选题5．近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等．根据下方的统计图，下列结论正确的是（）2010至2022年我国新生儿数量折线图A ．2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万B ．2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万C ．2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势D ．2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差【答案】AC【分析】根据折线图逐项进行分析验证即可求解.【详解】对于A ，由折线图可知：2010至2022年每年新生儿数量13个数据中有2010至2018年的数量（9个）均高于1500万，3个数据低于1400万，根据数据之间的差距可得2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万，故选项A 正确；对于B ，由图可知共有13个数据，因为1325% 3.25⨯=，所以第一四分位数是按照从小到大排列的数据的第4个数据，由折线图可知，第4个数据为2019年新生儿的数量，其值大于1400万，故选项B 错误；对于C ，由折线图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，故选项C 正确；对于D ，由折线图可知：2010至2016年每年新生儿数量的波动比2016至2022年每年新生儿数量的波动小，所以2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差，故选项D 错误，故选：AC.三、单选题6．设常数a 使方程sin 23cos 2x x a +=在区间[]0,2π上恰有五个解()1,2,3,4,5i x i =，则51i i x ==∑（）A ．73πB ．256πC ．133πD ．143π【答案】C【分析】令π()sin 23cos 22sin 23f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，作出函数在[]0,2π上的图像，判断方程sin 23cos 2x x a +=在区间[]0,2π上恰有五个解的条件，解方程.【详解】13πsin 23cos 22sin 2cos 22sin 2223x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作出函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,2π上的图像:由图像可知，sin 23cos 2x x a +=在区间[]0,2π上恰有五个解，只有3a =时才能成立，由π2sin 2=33x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，[]0,2πx ∈解得：1=0x ，2π=6x ，3=πx ，47π=6x ，5=2πx 51π7π13π0++π++2π=663ii x==∑，故选：C7．已知一组数1x ，2x ，3x ，4x 的平均数是1x =，方差22s =，则数据121x +，221x +，321x +，421x +的平均数和方差分别是（）A ．3，4B ．3，8C ．2，4D ．2，8【答案】B【分析】根据1x ，2x ，3x ，4x 的平均数是1，方差是2，可计算出1234x x x x +++、22222341x x x x +++值，代入另一组的平均数和方差的计算公式即可．【详解】由题知，1234144x x x x +++=⨯=，()()()()222221234111114s x x x x ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦2222123412341[()2()14]24x x x x x x x x =+++-++++⨯=，2222123412x x x x ∴+++=．另一组数据的平均数()12341212121214x x x x =+++++++()()123411214244344x x x x ⎡⎤=++++⨯=⨯+=⎣⎦，另一组数据的方差222212341[(213)(213)(213)(213)]4x x x x =+-++-++-++-()()()2222123412341148444123216844x x x x x x x x ⎡⎤=+++-++++⨯=⨯-+=⎣⎦．故选：B ．四、多选题8．已知()cos 4cos3f θθθ=+，且1θ，2θ，3θ是()f θ在()0,π内的三个不同零点，则（）A ．{}123π,,7∈θθθB ．123π++=θθθC ．1231cos cos cos 8θθθ=-D ．1231cos cos cos 2θθθ++=【答案】ACD【分析】根据题意结合余弦函数的图像性质，解出1θ，2θ，3θ，即可判断选项A 、B ，将123cos cos cos θθθ根据诱导公式化为π2π4π77cos cos cos 7，分子分母同乘sin π7，结合倍角公式即可判断C ，将123cos cos cos ++θθθ通过诱导公式化为coscos 2π4π6π777cos ---，再将分子分母同乘sin π7，结合积化和差公式进行化简即可判断D.【详解】解：由题知1θ，2θ，3θ是cos 4cos30+=θθ的三个根，cos 4cos30+=θθ可化为cos 4cos3=-θθ，即()cos 4cos π3=+θθ，所以可得4π32πk =++θθ或4π32πk ++=θθ，Z k ∈，解得π2πk =+θ或π2π77k =-+θ，Z k ∈，因为()0,πθ∈，所以π2πk =+θ不成立，当π2π77k =-+θ，Z k ∈成立时，取1k =，解得()π0,π7=∈θ，取2k =，解得()3π0,π7=∈θ，取3k =，解得()5π0,π7=∈θ，取4k =，解得()π0,π=∉θ（舍），故1π7=θ，23π7=θ，35π7=θ，所以选项A 正确；因为1239ππ7++=≠θθθ，所以选项B 错误；123cos cos cos cos cos π3πc s5π777o =θθθπ4π2π777cos cos πcos π⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-ππ2π4π2sin π2π4π7cos cos 77coscos cos cos 7π7772sin 7==2π2π4π2sin 777cos π4s 7c sino =cos 4π4π2sin 77π8sin 7=π8ππsin πsinsin 1777πππ88sin 8sin 8sin 777⎛⎫+- ⎪⎝⎭====-，故选项C 正确；而123cos cos cos cosco π3π5π777s cos ++++=θθθ6π4πcos πcos πcos π2π777⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--⎝-⎝⎭⎭coscos 2π4π6π77s 7co =---π2π4π6πsin 777cos cos c 7πsin 7os ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=π2ππ4ππ6πsin sin sin 7777cos cos c 77πossin 7⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=，根据积化和差公式：()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦，所以原式可化为：1π2ππ2ππ4ππ4ππ6ππ6πsin sin sin sin sin sin 2777777777777πsin 7⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦13π1π15π13π17π15πsin sin sin sin sin sin 272727272727πsin 7⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=13π1π15π13π17π15πsin sin sin sin sin sin 272727272727πsin 7⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭=1πsin 127π2sin 7⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，故选项D 正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有：（1）利用诱导公式将角化为关系比较接近的；（2）遇见cos cos 2cos3cos 4αααα的形式，分子分母同乘sin α，再用倍角公式化简；（3）积化和差公式：()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦，()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦，()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦，()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦.9．已知事件A ，B 满足()0.5P A =，()0.2P B =，则（）A ．若B A ⊆，则()0.5P AB =B ．若A 与B 互斥，则()0.7P A B +=C ．若A 与B 相互独立，则()0.9P AB =D ．若()|0.2P B A =，则A 与B 相互独立【答案】BD【分析】对于A ，由题意可得()()P AB P B =，从而即可判断；对于B ，由互斥事件的概率计算公式计算即可；对于C ，先求得()0.8P B =，再根据独立事件的计算公式计算即可；对于D ，判断()()()P AB P A P B =⋅是否成立即可.【详解】解：对于A ，因为()0.5P A =，()0.2P B =，B A ⊆，所以()()0.2P AB P B ==，故错误；对于B ，因为A 与B 互斥，所以()()()0.50.20.7P A B P A P B +=+=+=，故正确；对于C ，因为()0.2P B =，所以()10.20.8P B =-=，所以()0.50.80.4P AB =⨯=，故错误；对于D ，因为()|0.2P B A =，即()0.2()P AB P A =，所以()0.2()0.1P AB P A =⨯=，又因为()()0.50.20.1P A P B ⨯=⨯=，所以()()()P AB P A P B =⋅，所以A 与B 相互独立，故正确.故选：BD10．在ABC 中，下列说法正确的有：（）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若A B >，则cos cos A B <C ．若A B >，则sin(2)sin(2)A B >D ．若A B >，则cos(2)cos(2)A B <【答案】ABD【分析】利用大边对大角定理结合正弦定理可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论结合二倍角的余弦公式可判断D 选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，若A B >，则a b >，由正弦定理可得sin sin A B >，A 对；对于B 选项，因为0B A π<<<，且余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，故cos cos A B <，B 对；对于C 选项，取6B π=，23A π=，则3sin 2sin 32B π==，43sin 2sin 32A π==-，此时，sin 2sin 2AB <，C 错.对于D 选项，若A B >，则sin sin A B >，则22cos 212sin 12sin cos 2A A B B =-<-=，D 对；故选：ABD.11．如图所示，四边形A B C D ''''是由斜二测画法得到的平面四边形ABCD 水平放置的直观图，其中，5A D ''=，2C D C B ''''==，点P '在线段C D ''上，P '对应原图中的点P ，则在原图中下列说法正确的是（）A ．四边形ABCD 的面积为14B ．与AB 同向的单位向量的坐标为34(,)55-C ．AD 在向量AB 上的投影向量的坐标为912(,)55-D ．|3|PA PB +的最小值为17【答案】ABD【分析】根据直观图可得四边形ABCD 为直角梯形，从而可求得原图形的面积，即可判断A ；以点D为坐标原点建立平面直角坐标系，写出AB 的坐标，再根据与AB同向的单位向量为AB AB，即可判断B ；根据AD 在向量AB上的投影向量的坐标为AB AD AB ABAB⋅⋅ 即可判断C ；设()[]0,,0,4P y y ∈，根据向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示即可判断D.【详解】解：由直观图可得，四边形ABCD 为直角梯形，且5,4,2AD CD BC ===，则四边形ABCD 的面积为()254142+⨯=，故A 正确；如图，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,5,0,0,4,2,4D A C B ，则()3,4AB =- ，所以与AB同向的单位向量的坐标为34,55AB AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 正确；()5,0AD =-，则AD 在向量AB上的投影向量的坐标为()3,415912,5555AB AD AB ABAB -⋅⎛⎫⋅=⨯=- ⎪⎝⎭，故C 错误；设()[]0,,0,4P y y ∈，则()()5,,2,4PA y PB y =-=-，则()317,44PA PB y +=- ，()2231744PA PB y +=+- ，当1y =时，3PA PB +取得最小值17，故D 正确.故选：ABD.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点,,,E F G M 分别是1111,,,BC AA C D BB 的中点则（）A ．直线1,AG EF 是异面直线B ．平面1DMC 截正方体所得截面的面积为122C ．三棱锥11A MCD -的体积为163D ．三棱锥11A BDC -的内切球的体积为323π27【答案】ACD【分析】对于A ，根据异面直线的概念即可判断；对于B ，利用平面基本性质作出截面图形，从而可以判断；对于C ，利用等体积法求解锥体体积即可判断；对于D ，利用体积分割法求出锥体的内切球的半径，代入球的体积公式即可判断.【详解】对于A ，如图，取11B C 的中点P ，连接PE ，取PE 的中点Q ，连接1AQ ，则11,A F EQ A F EQ =∕∕，所以四边形1A FEQ 是平行四边形，所以1EF AQ ∕∕，又因111AG AQ A ⋂=，所以直线1,AG EF 是异面直线，故A 正确；对于B ，如图，延长1,C M CB 交于点H ，连接HD 交AB 点N ，连接1,MN AB ，因为11,BB CC M ∕∕为1BB 的中点，则112BM CC =，所以B 为HC 的中点，因为AB CD ∕∕，所以N 为AB 的中点，则1MN AB ∕∕，因为1111,AD B C AD B C =∕∕，所以11AB C D 为平行四边形，所以11AB DC ∕∕，所以1MN DC ∕∕，则平面1DMC 截正方体所得截面为等腰梯形1MNDC ，在等腰梯形1MNDC 中，1142,22,25DC MN DN MC ====，则梯形的高为20232-=，所以等腰梯形1MNDC 的面积为()422232182+⨯=，故B 错误；对于C ，连接11,BC B C ，则11BC B C ⊥，因为AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥，又11,,AB BC B AB BC =⊂ 平面11ABC D ，所以1B C ⊥平面11ABC D ，又因为M 为1BB 的中点，所以三棱锥11M AC D -的高为1124B C =，111424822AC D S =⨯⨯= ，所以111111682233A MC D M AC D V V --==⨯⨯=，故C 正确；对于D ，由题意，三棱锥11A BDC -为边长42的正面体，设其内切球的球心为O ，半径为R .则11111111211111134(42)3333334A BDC A BD A C D A CBC BD V S R S R S R S R S R R -=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=⨯⨯⨯⨯ 表，又11131164444444323A BDC A ABD V V V --=-=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体，所以213644(42)343R ⨯⨯⨯⨯=，解得233R =，则三棱锥11A BDC -的内切球的体积为3423323ππ3327⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.五、填空题13．某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为.【答案】35【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】应抽取的理科生人数为：()501000300351000⨯-=.故答案为：35.【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的理解能力和计算能力.14．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为35π，则原圆锥的母线长为【答案】25【分析】设圆台的母线长为l ，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解．【详解】用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，设圆台的母线长为l ，该圆台的侧面积为35π，∴由圆台侧面积公式可得()π123π35πl l +==，解得5l =，设截去的圆锥的母线为l '，由三角形相似可得12l l l '='+，则25l l '='+，解得5l '=，∴原圆锥的母线长为5525l l +=+='．故答案为：25．15．已知ABC ∆中的内角为,,A B C ，重心为G ，若2sin 3sin 3sin 0A GA B GB C GC ⋅+⋅+⋅= ，则cos B =.【答案】112【详解】试题分析：设,,a b c 为角,,A B C 所对的边，由正弦定理得2330aGA bGB cGC ++= ，则2333()aGA bGB cGC c GA GB +=-=--- 即()()23330a c GA b c GB -+-= ，又因为,GA GB 不共线，则23=0a c -,33=0b c -,即233,a b c ==所以33,23b b ac ==，2221cos 212a c b B ac +-∴==.【解析】向量及解三角形.16．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的B 底线宽72AB =码，球门宽8EF =码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得EPF ∠最大，这时候点P 就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点O 处（OA AB =，OA AB ⊥）时，根据场上形势判断，有OA 、OB 两条进攻线路可供选择.若选择线路OA ，则甲带球码时，APO 到达最佳射门位置；若选择线路OB ，则甲带球码时，到达最佳射门位置.【答案】72165-722165-【分析】若选择线路OA ，设AP t =，利用两角差的正切公式可得出tan EPF ∠关于t 的表达式，利用基本不等式可求得tan EPF ∠的值及OP 的长；若选择线路OB ，若选择线路OB ，以线段EF 的中点N为坐标原点，BA 、AP 的方向分别为x 、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，利用斜率公式、两角差的正切公式以及基本不等式可求得结果.【详解】若选择线路OA ，设AP t =，其中072t <≤，32AE =，32840AF =+=，则32tan AE APE AP t ∠==，40tan AF APF AP t∠==，所以，()tan tan tan tan 1tan tan APF APE EPF APF APE APF APE∠-∠∠=∠-∠=+∠∠2240328885128012801280201280112t t t t t t t t t-===≤=+++⋅，当且仅当1280t t=时，即当165t =时，等号成立，此时72165OP OA AP =-=-，所以，若选择线路OA ，则甲带球72165-码时，APO 到达最佳射门位置；若选择线路OB ，以线段EF 的中点N 为坐标原点，BA 、AP 的方向分别为x 、y 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()36,0B -、()36,72O 、()4,0F -、()4,0E ，7213636OB k ==+，直线OB 的方程为36y x =+，设点(),36P x x +，其中3636x -<≤，36tan 4PF x AFP k x +∠==+，36tan 4PE x AEP k x +∠==-，所以，()tan tan tan tan 1tan tan AEP AFP EPF AEP AFP AEP AFP∠-∠∠=∠-∠=+∠∠()()()2222836363684416363616361361443616x x x x x x x x x x x x x x x +++--+-===++-++⋅+++-++-，令(]360,72m x =+∈，则36x m =-，所以，()223616161280128036272227236m x x m m m x m m m---++=+=+-≥⋅-+321072=-，当且仅当12802m m =时，即当810m =，即当81036x =-时，等号成立，所以，881tan 12803210724109272EPF m m∠=≤=--+-，当且仅当81036x =-时，等号成立，此时，()23681036722165OP =⋅--=-，所以，若选择线路OB ，则甲带球722165-码时，到达最佳射门位置.故答案为：72165-；722165-.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.六、解答题17．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如表所示，求数学成绩在[)60,70之间的人数．分数段[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90:x y 1:12:13:44:5【答案】(1)0.005a =(2)73分(3)20人【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，即可求出a 的值．（2）由频率分布直方图能求出平均分．（3）由频率分布直方图能求出语文成绩在[)60,70的人数，从而得解．【详解】（1）解：由频率分布直方图可得：10(20.020.030.04)1a ⨯+++=，解得0.005a =．（2）解：由频率分布直方图可得平均分为：()550.005650.04750.03850.02950.0051073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（分)，（3）解：数学成绩在[)60,70的人数为11000.0410202⨯⨯⨯=（人)．18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(),3m a b =u r ，()cos ,cos 2n B A ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且m n ⊥ ．(1)求A ；(2)若3c =，△ABC 的面积为332，求a ．【答案】(1)3A π=(2)7a =．【分析】（1）由m n ⊥ 结合正弦定理的边化角公式得出A ；（2）由面积公式得出2b =，再由余弦定理得出7a =.【详解】（1）由()cos ,cos 2n B A ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()sin ,cos n B A =- ，又m n ⊥ ，所以sin 3cos 0a B b A -=．由正弦定理得sin sin 3sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，所以sin 3cos 0A A -=，即tan 3A =．又A 为△ABC 的内角，所以3A π=．（2）由1sin 2ABC S bc A = 得，33133222b =⨯⨯，解得2b =．又根据余弦定理得2222212cos 2322372a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以7a =．19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC AB ⊥，点M ，N 分别是线段11AC ，1A B 的中点．(1)求证：平面1A BC ⊥平面1A AB ；(2)设平面1MNB 与平面11BCC B 的交线为l ，求证：//MN l ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件证明1BC AA ⊥即可推理作答.(2)连接1BC ，证明//MN 平面11BCC B ，再结合线面平行的性质即可推理作答.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，则1BC AA ⊥，又BC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，1,AB AA ⊂平面1A AB ，于是得BC ⊥平面1A AB ，而BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面1A AB .（2）连接1BC ，如图，因点M ，N 分别是线段11AC ，1AB 的中点，则1//MN BC ，因1BC ⊂平面11BCC B ，MN ⊄平面11BCC B ，因此，//MN 平面11BCC B ，而平面1MNB ⋂平面11BCC B l =，MN ⊂平面1MNB ，所以//MN l .20．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14151617181920频数10201616151310(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.【答案】（Ⅰ）1085,17,{()85, 17,n n y n N n -<=∈>（Ⅱ）0.160.160.150.130.10.7p =++++=【详解】试题分析：（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）①这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；②当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率试题解析：（1）当日需求量n≥17时，利润y ＝85．当日需求量n<17时，利润y ＝10n －85．所以y 关于n 的函数解析式为1085,17{85,17n n y n -<=≥（n ∈N ）．（2）①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100×（55×10＋65×20＋75×16＋85×54）＝76．4．②利润不低于75元时日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p ＝0．16＋0．16＋0．15＋0．13＋0．1＝0．7．【解析】概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数21．ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，点O 为ABC 的内心，记△OBC ，,OAC OAB的面积分别为1S ，2S ，3S ，已知22213132S S S S S +-=，2AB =．(1)若ABC 为锐角三角形，求AC 的取值范围；(2)在①4sin sin cos 21B A A +=；②12cos 12cos 0sin sin A B A B--+=；③cos cos 1a C c A +=中选一个作为条件，判断△ABC 是否存在，若存在，求出ABC 的面积，若不存在，说明理由．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）【答案】(1)(3,23)(2)答案见解析【分析】（1）由题意，根据ABC 的内切圆的性质可得222a c b ac +-=，利用正、余弦定理可得sin 3sin sin AB B AC C C⋅==，结合角C 的取值范围即可求解；（2）选择①，根据正弦定理可得2a b =，由（1）得23440b b -+=，方程无解即△ABC 不存在．选择②，根据三角恒等变换可得24a b c +==，由（1）得2242a b a +-=，解得2a b ==，结合三角形的面积公式计算即可.选择③，由（1），根据余弦定理可得2412a a +-=，方程无解即△ABC 不存在．【详解】（1）设ABC 的内切圆半径为r ，因为22213132S S S S S +-=，所以22211111()()()()()22222ar cr ar cr br +-⋅=，化简得：222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，因为()0,πB ∈，所以π3B =，所以2π3A C +=，因为sin sin AC AB B C =，所以sin 3sin sin AB B AC C C⋅==，因为ABC 为锐角三角形，所以π02C <<，2ππ032C <-<，解得：ππ62C <<，所以1sin 12C <<，所以AC 的取值范围为(3,23)．（2）选择①，因为4sin sin cos 21B A A +=，所以24sin sin 1cos 22sin B A A A =-=，因为sin 0A ≠，所以sin 2sin 0A B -=，所以2a b =，由（1）知222a c b ac +-=，2c =，所以22444b b b +-=，整理得23440b b -+=，方程无实数解，所以ABC 不存在．选择②，由12cos 12cos 0sin sin A B A B--+=得：sin sin 2(sin cos cos sin )0A B A B A B +-+=，所以sin sin 2sin()A B A B +=+，即sin sin 2sin A B C +=，所以24a b c +==，由（1）知222a c b ac +-=，2c =，所以2242a b a +-=，所以224(4)2a a a +--=，解得2a b ==，所以ABC 存在且唯一，ABC 的面积113sin 43222S ac B ==⨯⨯=．选择③，因为cos cos 1a C c A +=，所以222222122a b c b c a a c b ab bc+-+-⋅+⋅==，由（1）知222a c b ac +-=，2c =，所以2412a a +-=，整理得2230a a -+=，方程无实数解，所以ABC 不存在．22．三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥面111,,2,1ABC AB AC AB AC AA AC ⊥====，,M N 分别是,BC BA 中点.(1)求证：1A N //平面1C MA ；(2)求平面1C MA 与平面11ACC A 所成夹角的余弦值；(3)求点C 到平面1C MA 的距离．【答案】(1)证明见解析(2)23(3)43【分析】（1）先证明四边形11MNAC 是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解【详解】（1）连接1,MN C A .由,M N 分别是,BC BA 的中点，根据中位线性质，MN //AC ，且12AC MN ==，由棱台性质，11AC //AC ，于是MN //11AC ，由111MN AC ==可知，四边形11MNAC 是平行四边形，则1A N //1MC ，又1A N ⊄平面1C MA ，1MC ⊂平面1C MA ，于是1A N //平面1C MA .（2）过M 作ME AC ⊥，垂足为E ，过E 作1EF AC ⊥，垂足为F ,连接1,MF C E .由ME ⊂面ABC ，1A A ⊥面ABC ，故1AA ME ⊥，又ME AC ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，则ME ⊥平面11ACC A .由1AC ⊂平面11ACC A ，故1ME AC ⊥，又1EF AC ⊥，ME EF E ⋂=，,ME EF ⊂平面MEF ，于是1AC ⊥平面MEF ，由MF ⊂平面MEF ，故1AC MF ⊥.于是平面1C MA 与平面11ACC A 所成角即MFE ∠.又12AB ME ==，11cos 5CAC ∠=，则12sin 5CAC ∠=，故121sin 5EF CAC =⨯∠=，在Rt MEF 中，90MEF ∠= ，则43155MF =+=，于是2cos 3EF MFE MF ∠==（3）[方法一：几何法]过1C 作1C P AC ⊥，垂足为P ，作1C Q AM ⊥，垂足为Q ，连接,PQ PM ，过P 作1PR C Q ⊥，垂足为R .由题干数据可得，115C A C C ==，22115C M C P PM =+=，根据勾股定理，21232522C Q ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，由1C P ⊥平面AMC ，AM ⊂平面AMC ，则1C P AM ⊥，又1C Q AM ⊥，111C Q C P C = ，11,C Q C P ⊂平面1C PQ ，于是AM ⊥平面1C PQ .又PR ⊂平面1C PQ ，则PR AM ⊥，又1PR C Q ⊥，1C Q AM Q = ，1,C Q AM ⊂平面1C MA ，故PR ⊥平面1C MA .在1Rt C PQ 中，1122223322PC PQ PR QC ⋅⋅===，又2CA PA =，故点C 到平面1C MA 的距离是P 到平面1C MA 的距离的两倍，即点C 到平面1C MA 的距离是43.[方法二：等体积法]辅助线同方法一.设点C 到平面1C MA 的距离为h .()1211112223323C AMC AMC V C P S -=⨯⨯=⨯⨯⨯= ，1111132233222C C MA AMC h V h S h -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= .由11223C AMC C C MA h V V --=⇔=，即43h =.。
江苏省南京市学高一下期末数学试卷解析版
南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上1．2sin15°cos15°=．2．经过两点A（1，1），B（2，3）的直线的方程为．3．在等差数列{a}中，已知a=3，a=5，则a等于．n1474．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x﹣2y+m﹣1=0在y轴上的截距为，则实数m的值为．5．不等式＞3的解集是．6．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：y﹣1=k（x﹣）不经过第四象限，则实数k的取值范围是．7．如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE=90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csinA=atanC，则角C的大小是．9．记数列{a}的前n项和为S，若对任意的n∈N*，都有S=2a﹣3，则数列{a}的第6项n n n n na=．610．正三棱柱ABC﹣A B C的底面边长为2，高为3，点P为侧棱BB上一点，则三棱锥A﹣1111CPC的体积是．111．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．在下列命题中，正确的是（写出所有正确命题的序号）①若m∥n，n∥α，则m∥α或m?α；②若m∥α，n∥α，m?β，n?β，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ12．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数f（x）=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B （2，0）两点，则关于x的不等式x2+bx+c＜4的解集是．13．在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点P（a，b）在直线x+2y﹣1=0上，则+的最小值是．14．已知等差数列{a}是有穷数列，且a∈R，公差d=2，记{a}的所有项之和为S，若a2+S n1n1≤96，则数列{a}至多有项．n二、解答题:本大题共6小题，共90分。
2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期末联考数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南京市高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．2022i 的值为（）A ．1B ．－1C ．iD ．i-【答案】B【分析】根据41i =计算可得结果.【详解】由41i =，得202245052i i i 1⨯=⋅=-.故选：B2．数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为（）A ．6B ．6.5C ．7D ．5.5【答案】D【分析】由百分位数的求法求60百分位数.【详解】由题设，1060%6⨯=，故60百分位数为565.52+=.故选：D3．向量a 与b不共线，AB a kb =+ ，(),AC la b k l R =+∈ ，且AB 与AC 共线，则k ，l 应满足（）A ．0k l +=B ．0k l -=C ．10kl +=D ．10kl -=【答案】D【分析】根据AB 与AC 共线，由()a kb a b λ+=+求解.【详解】由AB 与AC共线，故AB AC λ= ，即()a kb a b λ+=+，故1l k λλ=⎧⎨=⎩，所以10kl -=.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.4．一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（）A ．3π4B ．π2C ．π4D ．3π24【答案】A【分析】根据题意求得圆锥底面半径和高，由此求得圆锥的表面积.【详解】依题意，设圆锥底面半径为r ，高为h ，母线长为1l =，则2221l r h =+=，底面周长为()12π2π12r =⨯⨯，则12r =，所以213122h ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以圆锥的表面积为2ππ3πππ424S S S r rl =+=+=+=侧底，故选：A.5．已知向量()cos ,sin a θθ= ，()2,1b =- ，若//a b ，则πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．3-B ．13-C ．13D ．3【答案】C【分析】先根据向量平行得到正余弦间的关系，再弦化切，进而用正切和公式展开代入即可.【详解】因为//a b →→，所以cos 2sin θθ-=，易知cos 0θ≠，所以1tan 2θ=-，所以πtan 11tan 41tan 3θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭.故选：C.6．从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（）A ．15B ．310C ．25D ．12【答案】B【分析】求出从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条，共有几种取法,再求出取出的三条线段能构成一个三角形的情况有几种，根据古典概型的概率公式即可得答案.【详解】从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条，共有35C 10=种取法,而取出的三条线段能构成一个三角形的情况有4,6,8和4,8,10以及6,8,10,共3种,故这三条线段能构成一个三角形的概率为310P =,故选：B7．在ABC 中，下列命题正确的个数是（）①AB AC BC →→→-=；②0AB BC CA ++= ；③若()()0AB AB AC AC →→→→+⋅-=，则ABC 为等腰三角形；④0AB AC →→⋅>，则ABC 为锐角三角形．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】①AB AC CB →→→-=，所以错误；②0AB BC CA →→→→++=，所以正确；③由题得||||AB AC →→=,所以ABC 为等腰三角形，所以正确；④0AB AC →→⋅>，则A 是锐角，但是ABC 不一定为锐角三角形，所以错误．【详解】①AB AC CB →→→-=，所以错误；②0BC CA A A CA B C →→→→→→++==+，所以正确；③若()()0AB AB AC AC →→→→+⋅-=，则22=,||||AB AC AB AC →→→→∴=,所以ABC 为等腰三角形，所以正确；④0AB AC →→⋅>，则||||cos 0,cos 0,AB AC A A A →→>∴>∴是锐角，但是ABC 不一定为锐角三角形，所以错误．故选：B8．已知锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22sin sin sin sin B A A C -=⋅，3c =，则a 的取值范围是（）A ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．()1,3D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由正弦定理可得22b a ac -=，结合三角形为锐角三角形可得a 的取值范围.【详解】∵22sin sin sin sin B A A C -=⋅，∴由正弦定理可得22b a ac -=，∵ABC 为锐角三角形，∴可得222222a c b a b c ⎧+>⎨+>⎩，即22293239a a aa a ⎧+>+⎨+>⎩解得3,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题主要考查三角形的正余弦定理的应用，及锐角三角形的性质，属于中档题.二、多选题9．设复数2i 2i z =+，则下列结论正确的是（）A ．z 的共轭复数为2i-B ．z 的虚部为1C ．z 在复平面内对应的点位于第二象限D ．|1|2z +=【答案】BCD【分析】根据共轭复数的定义即可判断A 选项；根据虚部的概念即可判断B 选项；根据复数的几何意义可以判断C 选项；根据复数模的计算公式可以判断D 选项.【详解】由题得，复数2i 2i 2i z =+=-+，故z 的共轭复数为2i --，则A 错误；z 的虚部为1，故B 正确；z 在复平面内对应的点为(2,1)-，位于第二象限，故C 正确；|1||1i |112z +=-+=+=，故D 正确．故选:BCD ．10．下列说法中错误的是（）A ．已知(1,2),(1,1)a b == ，且a 与a λb + 的夹角为锐角，则实数5,3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213(,)24e =- 不能作为平面内所有向量的一组基底C ．若//a b ，则存在唯一实数λ，使得=a bλ D ．非零向量a 和b 满足a b a b ==- ，则a 与a b +的夹角为60o【答案】ACD【分析】A.根据a 与a λb +的夹角为锐角，由()0a a λb +> ，且不共线求解判断；B.判断12,e e 是否共线；C.由0b = 时判断；D.根据a 和b满足a b a b ==- ，得到222a b a b ⋅== ，然后利用向量的夹角公式求解判断.【详解】A.因为(1,2),(1,1)a b == ，所以()1,2a λb λλ+=++ ，又因为a 与a λb +的夹角为锐角，所以()0a a λb +> ，即()1220λλ+++>且0λ≠，解得53λ>-且0λ≠，故错误；B.因为向量1(2,3)e =- ，213(,)24e =- ，所以124e e = ，即12,e e 共线，所以12,e e不能作为平面内所有向量的一组基底，故正确；C.当0b = 时，满足//a b ，则存在无数个实数λ，使得=a b λ，故错误；D.因为非零向量a 和b满足a b a b ==- ，则22b a b =- ，即222a b a b ⋅== ，则()2232a ab a a b a ⋅+=+⋅= ，()22223a b a b a a b b a +=+=+⋅+= ，所以()()3cos ,2a a b a a ba a b⋅++==⋅+，因为()[],0,a a b π+∈ ，则(),6a a bπ+=，故错误；故选：ACD11．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A =“第一枚出现奇数点”，事件B =“第二枚出现偶数点”，事件C =“两枚骰子出现点数和为8”，事件D =“两枚骰子出现点数和为9”，则（）A ．A 与B 互斥B ．C 与D 互斥C ．A 与D 独立D ．B 与C 独立【答案】BC【分析】对于A ，结合互斥事件的概念举反例排除即可；对于B ，列举出事件,C D 所包含的基本事件，结合结合互斥事件的概念即可判断；对于CD ，利用古典概型求出事件,,,,,A B C D AD BC 的概率，结合独立事件的概率公式判断即可.【详解】对于A ，记(),x y 表示事件“第一枚点数为x ，第二枚点数为y ”，则事件A 包含事件()1,2，事件B 也包含事件()1,2，所以A B ⋂≠∅，故A 与B 不互斥，故A 错误；对于B ，事件C 包含的基本事件有()()()()()2,6,3,5,4,4,5,3,6,2共5件，事件D 包含的基本事件有()()()()3,6,4,5,5,4,6,3共4件，故C D ⋂=∅，即C 与D 互斥，故B 正确；对于C ，总的基本事件有6636⨯=件，事件A 的基本事件有1863=⨯件，故()181362P A ==，由选项B 知()41369P D ==，而事件AD 包含的基本事件有()()3,6,5,4共2件，故()213618P AD ==，所以()()()P AD P A P D =，故A 与D 独立，故C 正确；对于D ，事件B 的基本事件有6318⨯=件，故()181362P B ==，由选项B 知()536P C =，而事件BC 包含的基本事件有()()()2,6,4,4,6,2共3件，故()313612P BC ==，所以()()()15512367212P B P C P BC =⨯=≠=，故B 与C 不独立，故D 错误.故选：BC.12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知45,2A c =︒=，下列说法正确的是（）A ．若3,a ABC = 有两解B ．若3,a ABC = 有两解C ．若ABC 为锐角三角形，则b 的取值范围是(2,22)D ．若ABC 为钝角三角形，则b 的取值范围是(0,2)【答案】AC【分析】根据三角形的构成，可判断三角形有几个解所要满足的条件，即sin c A a c <<，ABC 有两解，a c >或sin a c A =，ABC 有一解，sin a c A <，ABC 有0解，根据直角三角形的情况，便可得出ABC 为锐角或钝角三角形时，b 的取值范围.【详解】A 选项，∵sin c A a c <<，∴ABC 有两解，故A 正确；B 选项，∵a c >，∴ABC 有一解，故B 错误；C 选项，∵ABC 为锐角三角形，∴cos cos cc A b c A<<，即222b <<，故C 正确；D 选项，∵ABC 为钝角三角形，∴0cos b c A <<或cos cb c A>，即02b <<或22b >，故D 错误.故选：AC三、填空题13．设有两组数据：12,...n x x x 与12,...n y y y ，它们之间存在关系式：i i y ax b =+（1,2,i n = ，其中,a b 非零常数），若这两组数据的方差分别为2x σ和2y σ，则2x σ和2y σ之间的关系是．【答案】222y xa σσ=【分析】注意两组数据的关系,后一组中的每一个数字是前一组数字的a 倍,这样两组数据的方差之间的关系就是后者的方差是前者的2a 倍.【详解】两组数据:12,x x ,n x ⋯与12,y y ,n y ⋯,它们之间存在关系式:i i y ax b =+即第二组数据是第一组数据的a 倍还要整体加上b ,在一列数字上同时加上一个数字方差不变,而同时乘以一个数字方差要乘以这个数字的平方,2x σ∴和2y σ之间的关系是222y x a σσ=,故填:222y x a σσ=,【点睛】本题考查方差的变换特点,若在原来数据前乘以同一个数,平均数也乘以同一个数,而方差要乘以这个数的平方,在数据上同加或减同一个数,方差不变,属于基础题.14．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为．【答案】120°【详解】试题分析：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，有余弦定理可得，cosθ=256449258+-⨯⨯=12，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故答案为1200．【解析】本试题主要考查了余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意点评：解决该试题的关键是设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°-θ，即可得答案．15．已知向量()2,1a = ，(),2b x = ，若b 在a 方向上的投影向量为a，则x 的值为．【答案】32/1.5【分析】利用投影向量公式求解即可.【详解】解： ()2,1a =，(),2b x = ，∴22a b x ⋅=+ ，415a =+= ，∴b 在a方向上的投影向量为225a b a x a aa ⋅+⋅=， b在a 方向上的投影向量为a，∴2215x +=，32x ∴=，故答案为：32.16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为12cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为．【答案】4003π【分析】先连接OE 交AB 与点N ，结合四棱锥的侧面积是底面积的2倍，求得正方形边长，再画出折叠后的立体图形，找出外接球的球心，结合勾股定理即可求解【详解】如图：连接OE 交AB 与点N ，设正方形边长为x ，()0122x <≤，则2xON =，122x EN =-则正方形面积为：2x ，四棱锥的侧面积为：()2142122242AB EN x x x x ⨯⨯=-=-，由题意得2S S =侧底，即22242x x x -=，解得8x =，画出折叠后的立体图形．如图：设重合点为P ，该四棱锥为正四棱锥，球心应在OP 的连线上，设为'O ，设外接球半径为R ，则8NP EN ==，4ON =，43PO =，'','43O P O B R OO R ===-，42OB =，由勾股定理得222''O B OO OB=+，即()()2224243R R =+-，解得1033R =，外接球表面积为：21004004433πS πR π==⨯=故答案为4003π【点睛】本题考查图形折叠前后的变换关系，四棱锥的外接球半径的求法，属于中档题四、解答题17．已知i 是虚数单位，设13i 22ω=-+.(1)求证：1＋ω＋ω2＝0；(2)计算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)．【答案】(1)证明见解析；(2)4.【分析】（1）代入13i 22ω=-+，化简210ωω++=，即可作出证明；（2）由（1）知210ωω++=，求解31ω=，代入即可求解.【详解】（1）证明：∵13i 22ω=-+，222131133(i)2()(i)(i)224222ω∴=-+=+⨯-⨯+13313i i 42422=--=--，∴2131311i i 0.2222ωω++=-+--=（2）由1＋ω＋ω2＝0知，(ω－1)(1＋ω＋ω2)＝0，∴ω3－1＝0，∴ω3＝1.∴(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)＝(－2ω2)(－2ω)＝4ω3＝4.18．已知4sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5cos 13β=-，β是第三象限角．（Ⅰ）求tan 2α的值；（Ⅱ）求()cos αβ+的值．【答案】（Ⅰ）247；（Ⅱ）6365．【分析】（Ⅰ）先求得cos α，然后求得tan α，从而求得tan 2α.（Ⅱ）先求得sin β，从而求得()cos αβ+的值.【详解】（Ⅰ）∵4sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴23cos 1sin 5αα=--=-，∴sin tan s 43co ααα==-，∴22tan 24tan 21tan 7ααα==-．（Ⅱ）∵5cos 13β=-，β是第三象限角，∴212sin 1cos 13ββ=--=-，故63cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=⋅-=．19．为测量地形不规则的一个区域的径长AB ，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到ACB DCB ∠=∠，ACD ∠为钝角，5AC =，7AD =，26sin 7ADC ∠=．(1)求sin ACB ∠的值；(2)若测得BDC BCD ∠=∠，求待测径长AB ．【答案】(1)15sin 5ACB ∠=(2)15AB =【分析】（1）由正弦定理结合二倍角的余弦公式求解即可；（2）分别在ACD ，BCD △用余弦定理可求得4CD =，10BD BC ==，再由两角差的余弦公式可求出cos ADB ∠，最后在在ABD △，由余弦定理即可求出答案.【详解】（1）在ACD 中，由正弦定理可得：57sin sin sin 267AC AD ADC ACD ACD =⇒=∠∠∠，则26sin 5ACD ∠=，因为ACB DCB ∠=∠，因为ACD ∠为钝角，所以1cos 5ACD ∠=-，所以215cos 12sin sin 5ACD ACB ACB ∠=-∠⇒∠=.（2）在ACD ，由余弦定理可得：212549cos 525CD ACD CD+-∠=-=⨯⋅，解得：4CD =或6CD =-（舍去），因为BDC BCD ∠=∠，所以BD BC =，在BCD △，10cos cos 5BDC BCD ∠=∠=，由余弦定理可得：22210162cos 528CD BD BC BDC CD BD BD BD+-∠====⋅，解得：10BD BC ==，10cos 5BDC ∠=，15sin 5BDC ∠=，26sin 7ADC ∠=，5cos 7ADC ∠=，()cos cos cos cos sin sin ADB BDC ADC BDC ADC BDC ADC∠=∠-∠=∠∠+∠∠1051526510610111057573535+=⨯+⨯==，在ABD △，由余弦定理可得：22211102cos 104921071535AB BD AD BD AD ADB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，故15AB =.20．社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[]40,100内，将笔试成绩按照[)40,50、[)50,60、L 、[]90,100分组，得到如图所示频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；(3)若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线．【答案】(1)0.020a =(2)众数为75，平均数为74.5(3)65【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可求得a 的值；（2）利用频率分布直方图中最高矩形底边的中点值为众数，将矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得应聘者笔试成绩的平均数；（3）计算出25%百分位数，可得结果.【详解】（1）解：由题意有()0.0050.0100.0300.015101a a +++++⨯=，解得0.020a =.（2）解：应聘者笔试成绩的众数为7080752+=，应聘者笔试成绩的平均数为450.05550.1650.2750.3850.2950.1574.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（3）解：1500.75200= ，所以，面试成绩的最低分为25%百分位数，前两个矩形面积之和为0.050.10.15+=，前三个矩形的面积之和为0.150.20.35+=，设25%百分位数为m ，则()0.15600.020.25m +-⨯=，解得65m =.因此，若计划面试150人，估计参加面试的最低分数线为65.21．如图，三棱锥A BCD -中，ABC 为等边三角形，且面ABC ⊥面BCD ，CD BC ⊥．(1)求证：CD AB ⊥；(2)当AD 与平面BCD 所成角为45°时，求二面角C AD B --的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)1010.【分析】(1)根据给定条件证得CD ⊥平面ABC 即可推理作答.(2)由AD 与平面BCD 所成角确定正ABC 边长与CD 长的关系，再作出二面角C AD B --的平面角，借助余弦定理计算作答.【详解】（1）在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，而CD BC ⊥，CD ⊂平面BCD ，因此有CD ⊥平面ABC ，又有AB ⊂平面ABC ，所以CD AB ⊥.（2）取BC 中点F ，连接AF ，DF ，如图，因ABC 为等边三角形，则AF BC ⊥，而平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，AF ⊂平面ABC ，于是得AF ⊥平面BCD ，ADF ∠是AD 与平面BCD 所成角，即45ADF ∠= ，令2BC =，则3DF AF ==，因CD BC ⊥，即有2DC =，由(1)知，DC AC ⊥，则有6AD BD ==，过C 作CO AD ⊥交AD 于O ，在平面ABD 内过O 作OE AD ⊥交BD 于E ，连CE ，从而得COE ∠是二面角C AD B --的平面角，Rt ACD △中，23AC CD CO AD ⋅==，222226(2)()33OD CD CO =-=-=，ABD △中，由余弦定理得222222(6)(6)22cos 23266AD BD AB EDO AD BD +-+-∠===⋅⨯⨯，6cos 2OD DE EDO ==∠，22306OE DE OD =-=，显然E 是Rt BCD 斜边中点，则1622CE BD ==，COE 中，由余弦定理得2222222306()()()623cos 2230263CO EO CE COE CO EO+-+-∠==⋅⨯⨯1010=，所以二面角C AD B --的余弦值1010.22．设ABC 是边长为1的正三角形，点123,,P P P 四等分线段BC （如图所示）．（1）求112AB AP AP AP ⋅+⋅ 的值；（2）Q 为线段1AP 上一点，若112AQ mAB AC =+ ，求实数m 的值；（3）P 为边BC 上一动点，当PA PC ⋅ 取最小值时，求cos PAB ∠的值．【答案】（1）138；（2）14；（3）51326．【分析】（1）利用线段的中点向量公式将所求化为212AP ，再结合余弦定理求解；（2）利用平面向量的线性运算进行化简求解；（3）先讨论P 的位置，研究PA PC ⋅ 的符号，再设PC x = ，将PA PC ⋅ 表示为关于x 的函数，利用二次函数的最值判定P 的位置，再利用余弦定理进行求解．【详解】（1）原式2121()2AP AB AP AP =⋅+= ，在1△ABP 中，由余弦定理，得211113121cos 6016416AP ︒=+-⨯⨯⨯=，所以112138AB AP AP AP ⋅+⋅= （2）易知114BP BC = ，即11()4AP AB AC AB -=- ，即13144AP AB AC =+ ，因为Q 为线段1AP 上一点，设13114412AQ AP AB AC m AB AC λλλ==+=+ ，所以3411412m λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1314m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以14m =；（3）①当P 在线段2BP 上时，0PA PC ⋅≥ ；②当P 在线段2P C 上时，0PA PC ⋅≤ ；要使PA PC ⋅ 最小，则P 必在线段2P C 上，设PC x = ，则cos PA PC PA PC APC ⋅=⋅∠ 222111cos 2416PA PC APB PC PP x x x ⎛⎫=-∠=-=-=-- ⎪⎝⎭ ，当14x =时，即当P 为3P 时，PA PC ⋅ 最小，则由（1）可知134 AP=，则由余弦定理得222139151616cos1322613214AB AP BPBAPAB AP+-+-∠===⋅⨯⨯，。
江苏省南京市高一数学下学期期末试卷含解析
2016-2017学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）y=x﹣2的倾斜角大小为．直线． 12．若数列{a}满足a=1，且a=2a，n∈N*，则a的值为．61n+1nn3．直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为．b=，A=120°，则B的大小为．4．在△ABC中，若 a=，的解集是．不等式． 56．函数y=sinx﹣cosx的最大值为．y=x+，x∈（﹣2，+7．若函数∞），则该函数的最小值为．，斜高为的底面边长为2P﹣ABCD8，则该正四棱锥的体积为．．如图，若正四棱锥，），则cosθ的值为∈（．9．若sin（θ+） =，θ10．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为．①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，α⊥β，则α∥β．11．设等比数列{a}的公比q，前n项和为S．若S，S，S成等差数列，则实数q的值为．4n32n 12．已知关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，集合B=（2，3）．若B?A，则a的取值范围为．N∈n对任意3n≤Nn=2﹣a=1a}{a13．已知数列满足，且a，∈+19，若nn+1n1的取值**n都成立，则范围为λ实数．+=1，则x+y的最小值为＞0 ，且． 14．若实数x，y满足x＞y90分）二、解答题（共6小题，满分，15．已知sinαπ=，α∈（）．﹣α1）求sin）的值；（（（2）求tan2α的值．16．如图，直三棱柱ABC﹣ABC中，CA=CB，M，N，P分别为AB，AC，BC的中点．11111求证：（1）CP∥平面MNC；1（2）平面MNC⊥平面ABBA．1117．已知三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0）（1）求BC边上高的长度；（2）若直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，求直线l的方程．18．如图，在圆内接△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA=2bcosB．（1）求B的大小；是劣弧上一点，AB=3，BC=2，AD=1D（2）若点，求四边形ABCD的面积．19．某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的最米．10.5到地面的距离为E该广告画最高点米．8为AC它所占水平地面的长米，4为AB高．低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；（2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大？20．已知等差数列{a}和等比数列{b}，其中{a}的公差不为0．设S是数列{a}的前n项和．若nnnnn a，a，a是数列{b}的前3项，且S=16．452n1（1）求数列{a}和{b}的通项公式；nn{}为等差数列，求实数）若数列t；（2（3）构造数列a，b，a，b，b，a，b，b，b，…，a，b，b，…，b，…，若该数列前k12k312231211n项和T=1821，求n的值．n2016-2017学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）y=x﹣2的倾斜角大小为 1．直线60°．【考点】I2：直线的倾斜角．=，由＜180°，且tanα，设倾斜角等于【分析】由于直线的斜率等于α，则 0°≤α此求得α的值 k=【解答】解：由题意得：直线的斜率是：，=αα＜180°，且tan设倾斜角等于α，则 0°≤，∴α=60°，故答案为 60°．2．若数列{a}满足a=1，且a=2a，n∈N*，则a的值为 32 ．6nn+1n1【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{a}满足a=1，且a=2a，n∈N*，nn+1n15=32．×2 =1则a6故答案为：32．3．直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为 1 ．【考点】IE：直线的截距式方程．化为截距式： =1，即可得出．4y﹣12=0 【分析】直线3x﹣ =1，12=0【解答】解：直线3x﹣4y﹣化为截距式：∴直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和=4﹣3=1．故答案为：1．b=，A=120°，则B的大小为中，若．在△4ABCa=，45°．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinB，结合b＜a，B为锐角，即可得解B的值．b=，A=120°，【解答】解：∵，a==∴由正弦定理，sinB= =，可得：，B为锐角，∵b＜a ∴B=45°．故答案为：45°．5＜．不等式的解集是 {x|﹣2x＜1} ．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由方程化为x﹣1与x+2的乘积为负数，得到x﹣1与x+2异号，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．【解答】解：方程化为（x﹣1）（x+2）＜0，或，解得：﹣2＜x＜1，即则不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}．故答案为：{x|﹣2＜x＜1}． cosx6．函数y=sinx﹣的最大值为：三角函数的最值．【考点】HW【分析】把给出的函数提取，由两角差的正弦公式化积，则函数的最大值可求．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx== =．的最大值为cosx． y=sinx∴函数﹣故答案为：y=x+，x∈（﹣2，+．若函数∞），则该函数的最小值为 4 ． 7【考点】7F：基本不等式．【分析】变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵x∈（﹣2，+∞），∴x+2＞02﹣2=6﹣2=4，当且仅当x=1∴时取等号，y=x+2=x+2+﹣≥故该函数的最小值为4，故答案为：4，则该正四棱锥的体积为．ABCDP﹣的底面边长为2 ，斜高为8．如图，若正四棱锥【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．，斜高为，PO【分析】利用已知中，正四棱锥底面正方形的边长为2，求出正四棱锥的高代入棱锥的体积公式，即可求得答案． PE，【解答】解：如图，正四棱锥的高PO，斜高则有PO=，正四棱锥的体积为V==2，．故答案为：．cosθθ的值为∈（，）9．若sin（θ，则+）=，【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数关系式以及和与差构造即可求解．=，利用和与差构造即可求解．）+ 【解答】解：sin（θ∈（，∵θ，）∈（∴θ，+π）+θ∴cos）=（﹣．+θ=cos=cos．（）cos那么：+sinsin（θ）+cos=θ=故答案为：．10．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为③④．①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，α⊥β，则α∥β．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，a与b相交、平行或异面；在②中，α与β相交或平行；在③中，由线面垂直的性质定理得a∥b；在④中，由面面平行的判定定理得α∥β．【解答】解：由a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在①中，若a⊥c，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故①错误；相交或平行，故②错误；β与α，则γ⊥β，γ⊥α在②中，若．在③中，若a⊥α，b⊥α，则由线面垂直的性质定理得a∥b，故③正确；在④中，若a⊥α，α⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故④正确．故答案为：③④．11．设等比数列{a}的公比q，前n项和为S．若S，S，S成等差数列，则实数q的值为﹣432nn2 ．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】S，S，S成等差数列，可得2S=S+S，化为2a+a=0，即可得出．44333224【解答】解：∵S，S，S成等差数列，∴2S=S+S，∴2a+a=0，44223343可得q=﹣2．故答案为：﹣2．12．已知关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，集合B=（2，3）．若B?A，则a的取值范围为（﹣∞，1] ．【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】对a分类讨论，利用不等式的解法、集合之间的基本关系即可得出．【解答】解：关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，，解得．2 ，联立B?A，∴2a≤+①2a≥1时，A=（﹣∞，1）∪（2a，∞），∵ a，由2a ＜1，解得．A=（﹣∞，2a）∪（1，+∞），满足B?A1②2a＜时，综上可得：a的取值范围为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．Nn+19，若≤3n对任意∈=2a13．已知数列{a}满足=1，且a﹣aN，n∈nn+11n．8] 实*n*都成立，则数λ的取值范围为（﹣∞，﹣：数列与不等式的综合．【考点】8K1n﹣n*aaa﹣（）=2a时，=2aa【分析】=1，且﹣an，∈N，即n≥2a﹣+（．利用a=1nnnn﹣n﹣n111﹣n+1nn）.（λ3n +19a可得）a﹣（…）+a﹣+a+a.≤，化为：≤=f n11﹣n22*都成立，?λ≤fNn3n+19≤对任意∈（n）．通过作差即可得出最小值．mina﹣a=2 a=2，n∈N，即n≥2时，【解答】解：∵a=1，且a﹣11nnnn+1﹣2﹣1nnn﹣+2+1=+2（a﹣n*n﹣1．a）+a=2…+﹣=﹣1．∴a（a﹣a）+（aa）+…+=211﹣2n﹣n12nn1n﹣≤=f（n）．≤∵+193n，化为：λ*都成立，?λ≤f（n3n对任意n∈N）． +19≤min≤，因此n≤6时，f（n）＜0；n）≤0，可得n≥7时，f（n）＞0．由f（n=nf（n+1）﹣f（）≤=0，﹣．解得n≤∴f（1）＞f（2）＞f（3）＞f （4）＞f（5）＜f（6），可得f（n）=f（5）=﹣8．min则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣8]．故答案为：（﹣∞，﹣8]．的最小值为，则+，且=1x+y．＞．若实数14x，y满足x＞y0：基本不等式．【考点】7F得=1且0＞yx＞yx】【分析实数，满足，+可，=x+y==，利用基本不等式的性质即可得出．，且，=1+0yxyx【解答】解：实数，满足＞＞则=x+y==≥．=，y=当且仅当x=时取等号．故答案为：．分）90小题，满分6二、解答题（共．∈（，π）． 15．已知sinαα=，﹣1）求sinα（）的值；（（2）求tan2α的值．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】（1）根据同角三角函数关系式以及和与差的公式计算即可．（2）根据同角三角函数关系式以及二倍角公式计算．∈（，π）α．=，α【解答】解：∵sin．==cos∴α =可得：tanα． cossin=（1）sin﹣（．=α×﹣α）=sincosα=．tan2α =2（）16．如图，直三棱柱ABC﹣ABC中，CA=CB，M，N，P分别为AB，AC，BC的中点．11111求证：（1）CP∥平面MNC；1（2）平面MNC⊥平面ABBA．11【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接MP，只需证明四边形MPCN是平行四边形，即可得MN∥CP∵CP，即可证得111CP ∥平面MNC；1（2）只需证明CM⊥平面MNC，即可得平面MNC⊥平面ABBA．11的中点BC，AB分别为P、M，因为MP）连接1（【解答】证明：MP=，AC，∵MP∥又因为在直三棱柱ABC﹣ABC中，∴AC∥AC，AC=AC 1111111且N是AC的中点，∴MP∥CN，MP=CN 1111∴四边形MPCN是平行四边形，∴CP∥MN 11∵CP?面MNC，MN?面MNC，∴CP∥平面MNC；11（2）在△ABC中，CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB．在直三棱柱ABC﹣ABC中，BB⊥面ABC．1111∵CM?面ABC，∴BB⊥CMBB∩AB=B，BB，AB?平面面ABBA 1111又CM?平面MNC，1由因为∴平面MNC⊥平面ABBA．1117．已知三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0）（1）求BC边上高的长度；（2）若直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，求直线l的方程．【考点】IK：待定系数法求直线方程．【分析】（1）由条件利用直线的斜率公式，用点斜式求得直线BC的方程，再利用点到直线的距离公式求得BC边上高的长度．（2）由题意可得直线l垂直于线段AB，求得直线AB的斜率，用点斜式求得直线l的方程．【解答】解：（1）∵三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0），的斜率为=1，故直线BC的方程为y﹣0=1?（x﹣1）∴BC，即 x﹣y﹣1=0，=．的距离，即A到直线BC 边上高的长度即点故BC（2）∵直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，∴直线l垂直于线段AB，．4=0﹣y﹣4x，即）1的斜率为﹣x﹣0=4?（y的方程为l，故直线=4=故直线l．acosC+ccosA=2bcosB，满足c，b，a所对的边分别为C，B，A，ABC．如图，在圆内接△18．（1）求B的大小；是劣弧上一点，AB=3，BC=2，AD=1，求四边形ABCD的面积．（2）若点D【考点】HT：三角形中的几何计算；NC：与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据正弦定理化简即可．（2）在△ABC，利用余弦定理求出AC，已知B，可得∠ADC，再余弦定理求出DC，即可△ABC和△ADC面积，可得四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵acosC+ccosA=2bcosB．由正弦定理，可得sinAcosC+sinAcosA=2sinBcosB．得sinB=2sinBcosB．∵0＜B＜π，sinB≠0，cosB=，∴B=．即B=，，BC=22）在△ABC中，AB=3．（= ，cos由余弦定理， AC=可得：．AC=，AD=1，ABCD在圆上，在△ADC中，B=．∵ADC=．∴∠=．由余弦定理，cos =DC=2 解得：．=+SAD?DC?sin的面积四边形ABCDS=S=2AB?BC?sin+ADC△△ABC19．某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米．最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；（2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大？【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）根据相似三角形得出NH，从而得出MH；（2）计算DG，EG，得出tan∠DMG和tan∠EMG，利用差角公式计算tanθ，得出tanθ关于x的解析式，利用不等式求出tanθ取得最大值时对应的x即可．【解答】解：（1）由题意可知MG=CH=x，，即，可得CHN∽△CAB 由△ NH=∴， MH=MN+NH=．到地面的距离∴M﹣，﹣MH=5 （2）DG=CD﹣CG=CD﹣，EG=9 同理EMG=，tan∠∠∴tan DMG==，，===）DMG﹣∠EMG（∠=tanθtan∴．5x=即x=6，当且仅当，∴时取等号，5x+≥ 2=60∵0＜x≤8=∴tanθ，≤∴当x=6时，tanθ取得最大值，即θ取得最大值．20．已知等差数列{a}和等比数列{b}，其中{a}的公差不为0．设S是数列{a}的前n项和．若nnnnn a，a，a是数列{b}的前3项，且S=16．4n215（1）求数列{a}和{b}的通项公式；nn{}为等差数列，求实数t；（2）若数列（3）构造数列a，b，a，b，b，a，b，b，b，…，a，b，b，…，b，…，若该数列前k132221113k21n项和T=1821，求n的值．n【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．可得．，项，且S=16a，a是数列{b}的前3由【分析】（1）设{a}的公差d≠0．a，4251nn，即可得出．，解得a，即，4ad+=1611为等差数列，可得==n=．根据数列．可得（2）n2 2{}S﹣2t=0t． =+，．解得t2=．数列{A}A的前=n=n）由（1）可得：S项和，数列{b}的前n项和（3nnnn﹣n．数列a，b，a，U=b﹣，n=b，a，b，b，b，…，a，k11n22213132k+，…，b，…，可得：该数列前，﹣1），根据=项和=kbb+（﹣k k21783=6561．进而得出．3=2187，【解答】解：（1）设{a}的公差d≠0．∵a，a，a是数列{b}的前3项，且S=16．4n512n+=16，∴4a，即，1解得a=1，d=2，1∴a=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．n∴b=1，b ．q=3，公比=321．=3 ∴b n2= =S．（2=n．∴）n{}∵数列为等差数n﹣1．列，=2t=0+，∴t解得t=2或0，经过验证满足题意．2．﹣．数列{A}的前}的前n项和An=项和，数列（3）由（1）可得：S=n{b nnnn2=﹣Un=﹣．n=n数列a，b，a，b，b，a，b，b，b，…，a，b，b，…，b，…，k122k23311112k﹣1）， +∴该数列前k+=项和=k87∵3=2187，2﹣（3=6561．项的和为：， =1700∴取k=8=36，可得前．=1821=1700+令Tm=5，解得n∴．n=36+5=41。
2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知向量a →=（2m ，1），b →=（1，2），若a →∥b →，则m 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．−14D ．142．已知复数z 满足（1+i ）z ＝|1+i |，则复数z 的实部为（ ） A ．﹣1B ．1C ．√22D ．−√223．甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为4：3：3：2，为了解某种疾病的感染情况，采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为n 的样本，已知样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，则样本容量n 的值是（ ） A ．200B ．240C ．260D ．2804．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．如图，为测量某塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝45°，CD ＝20米，在C 点测得塔顶A 的仰角为60°，则塔的总高度为（ ）A ．10（3+√3）B ．10（√3+1）C ．20（√3−1）D ．20（3−√3）5．从数字1，2，3，4中，无放回地抽取2个数字组成一个两位数，其各位数字之和等于5的概率为（ ） A ．13B ．316C ．516D ．126．已知圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是（ ） A ．7√3π24B ．√3π6C ．√3π4D ．7√3π87．已知cos （α+β）=23，tan αtan β=−13，则cos （α﹣β）的值为（ ） A ．−23B ．−13C ．13D ．238．在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，BD ＝4，则AB →•AD →−3|AC →|的最小值为（ ） A ．﹣10B ．﹣13C ．4﹣4√3D ．2﹣5√3二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分． 9．已知复数z 1，z 2，则下列说法正确的是（ ）A ．若z 12+1＝0，则z 1＝±iB ．|z 1z 2|＝|z 1||z 2|C ．若|z 1﹣z 2|＝|z 1+z 2|，则z 1z 2＝0D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝±z 210．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A 表示事件“两次掷出的点数之和是3”，B 表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C 表示事件“两次掷出的点数相同”，D 表示事件“至少出现一个奇数点”，则下列结论正确的是（ ） A ．A 与B 互斥B ．A 与C 互斥C ．B 与C 独立D ．B 与D 对立11．已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ） A ．若A ＜B ，则sin A ＜sin BB ．若a ＝2，B =π3，且该三角形有两解，则√3＜b ＜2C ．若tanA a 2=tanB b 2，则△ABC 为等腰三角形D ．若tan A +tan B +tan C ＞0，则△ABC 为锐角三角形12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别是AD ，CC 1，AA 1的中点，AP →=λAB →（0≤λ≤1），则下列说法正确的是（ ）A ．若λ=12，则B 1D 1∥平面MPN B ．若λ＝1，则AC 1∥平面MPNC ．若AC 1⊥平面MPQ ，则λ=12D ．若λ=13，则平面MPN 截正方体所得的截面是五边形三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置． 13．已知α∈（0，π2），cos α=13，则sin (α2)= ．14．已知某3个数据的平均数为2，方差为2，现加入数字2构成一组新的数据，这组新的数据的方差为 ．15．在解析几何中，设P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）为直线l 上的两个不同的点，则我们把P 1P 2→及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n →表示，此时P 1P 2→•n →=0．若点P ∉l ，则可以把PP 1→在法向量n →上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离．现已知平面直角坐标系中，P （﹣4，0），P 1（2，﹣1），P 2（﹣1，3），则点P 到直线l 的距离为 ．16．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是√62，√62，1，则此三棱锥的外接球的体积为 ；此三棱锥的内切球的表面积为 ．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：（0，100]，（100，200]，（200，300]，（300，400]，（400，500]，（500，600]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间（400，600]上的车辆数；（2）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）．18．（12分）已知α∈（0，(π2)），β∈（0，(π2)），且cos α=(2√55)，sin β=(7√210)． （1）求tan （α+β）的值； （2）求2α+β的值．19．（12分）已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝120°，点D 在边BC 上且满足CD ＝2BD ． （1）用AB →、AC →表示AD →，并求|AD →|；（2）若点E 为边AB 中点，求CE →与AD →夹角的余弦值．20．（12分）我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束．已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是34，12，13，且每名男生每跳相互独立．记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A ，B ，C ． （1）求P （A ）、P （B ）、P （C ）；（2）求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率．21．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos C +√3a sin C ＝b +c ． （1）求A ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且b ＝2，求△ABC 面积的取值范围．22．（12分）如图，已知斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1⊥平面A 1B 1C 1，AB 1与平面ACC 1A 1所成角的正切值为√217，所有侧棱与底面边长均为2，D 是边AC 中点． （1）求证：AB 1∥平面BDC 1；（2）求异面直线BB 1与A 1C 1所成的角；（3）F 是边CC 1一点，且CF ＝λCC 1，若AB 1⊥A 1F ，求λ的值．2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知向量a →=（2m ，1），b →=（1，2），若a →∥b →，则m 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．−14D ．14解：∵a →=（2m ，1），b →=（1，2），若a →∥b →，则2×2m ＝1×1，可得m =14． 故选：D ．2．已知复数z 满足（1+i ）z ＝|1+i |，则复数z 的实部为（ ） A ．﹣1B ．1C ．√22D ．−√22解：∵z （1+i ）＝|1+i |=√1+1=√2，∴z =√21+i=√2(1−i)(1+i)(1−i)=√22−√22i ，故复数z 的实部为√22． 故选：C ．3．甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为4：3：3：2，为了解某种疾病的感染情况，采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为n 的样本，已知样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，则样本容量n 的值是（ ） A ．200B ．240C ．260D ．280解：采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为n 的样本， 则n ×44+3+3+2−n ×34+3+3+2=20，解得n ＝240．故选：B ．4．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．如图，为测量某塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝45°，CD ＝20米，在C 点测得塔顶A 的仰角为60°，则塔的总高度为（ ）A ．10（3+√3）B ．10（√3+1）C ．20（√3−1）D ．20（3−√3）解：设AB ＝h ，则BC =ℎtan60°=ℎ√3，因为∠BCD ＝30°，∠BDC ＝45°，CD ＝20米，所以在△BCD 中，sin ∠CBD ＝sin （30°+45°）=12×√22+√32×√22=√2+√64，所以由正弦定理CDsin∠CBD=BC sin∠BDC，可得√2+√64=√3√22， 解得h ＝20（3−√3）． 故选：D ．5．从数字1，2，3，4中，无放回地抽取2个数字组成一个两位数，其各位数字之和等于5的概率为（ ） A ．13B ．316C ．516D ．12解：从数字1，2，3，4中，无放回地抽取2个数字组成一个两位数，其基本事件总数为A 42=12种， 其各位数字之和等于5包含的两位数有：14，23，32，41，共4个， 则其各位数字之和等于5的概率为P =412=13． 故选：A ．6．已知圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是（ ） A ．7√3π24B ．√3π6C ．√3π4D ．7√3π8解：根据题意，设圆锥的高为h ，半径为r ，母线长为l ， 若其侧面展开图是面积为2π的半圆，则有{πrl =2πlπ=2πr，解可得：r ＝1，l ＝2，则该圆锥的高h =√4−1=√3， 故该圆锥的体积V =πr 2ℎ3=√3π3，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥，将圆锥的体积分为1：7的两部分，则下半部分圆台体积占原来圆锥体积的78，则所得的圆台体积为78V =7√3π24．故选：A ．7．已知cos （α+β）=23，tan αtan β=−13，则cos （α﹣β）的值为（ ）A ．−23B ．−13C ．13D ．23解：因为cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β=23，tan αtan β=sinαsinβcosαcosβ=−13， 所以sin αsin β=−16，cos αcos β=12， 则cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=12−16=13． 故选：C ．8．在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，BD ＝4，则AB →•AD →−3|AC →|的最小值为（ ） A ．﹣10B ．﹣13C ．4﹣4√3D ．2﹣5√3解：设AB ＝x ，AD ＝y ，又BD ＝4，则有16＝x 2+y 2﹣xy ≥xy （当且仅当x ＝y 时取等号），∴AB →⋅AD →=xy 2，|AC →|=√(AB →+AD →)2=√x 2+y 2+xy ， 故AB →⋅AD →−3|AC →|=xy 2−3√x 2+y 2+xy =xy2−3√2√8+xy ， 令t =√8+xy ，则xy ＝t 2﹣8，因为8＜8+xy ≤24，所以2√2＜t ≤2√6，∴xy2−3√2√8+xy =t 2−82−3√2t =12(t −3√2)2−13， 故当t ＝3√2时，AB →⋅AD →−3|AC →|有最小值﹣13． 故选：B ．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分． 9．已知复数z 1，z 2，则下列说法正确的是（ ）A ．若z 12+1＝0，则z 1＝±iB ．|z 1z 2|＝|z 1||z 2|C ．若|z 1﹣z 2|＝|z 1+z 2|，则z 1z 2＝0D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝±z 2解：设z 1＝a +bi （a ，b ∈R ），z 2＝c +di （c ，d ∈R ），选项A ，∵z 12=−1，∴z 1＝±i ，A 正确；选项B ，∵z 1z 2＝（a +bi ）（c +di ）＝ac ﹣bd +（ad +bc ）i ，∴|z 1z 2|=√(ac −bd)2+(ad +bc)2=√a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2， 又|z 1||z 2|=√a 2+b 2•√c 2+d 2=√a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2， 即|z 1z 2|＝|z 1||z 2|，B 正确；选项C ，∵z 1﹣z 2＝a ﹣c +（b ﹣d ）i ，∴|z 1﹣z 2|=√(a −c)2+(b −d)2， ∵z 1+z 2＝a +c +（b +d ）i ，∴|z 1+z 2|=√(a +c)2+(b +d)2，若|z 1﹣z 2|＝|z 1+z 2|，则√(a −c)2+(b −d)2=√(a +c)2+(b +d)2，化简得：ac +bd ＝0，又z 1z 2＝（a +bi ）（c +di ）＝ac ﹣bd +（ad +bc ）i ，所以z 1z 2不一定为0，C 错误； 选项D ，举反例，当z 1＝2i ，z 2＝1+√3i 时，|z 1|＝|z 2|＝2，不满足z 1＝±z 2，D 错误． 故选：AB ．10．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A 表示事件“两次掷出的点数之和是3”，B 表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C 表示事件“两次掷出的点数相同”，D 表示事件“至少出现一个奇数点”，则下列结论正确的是（ ） A ．A 与B 互斥B ．A 与C 互斥C ．B 与C 独立D ．B 与D 对立解：对于选项A ，事件A 与事件B 都包含事件（1，2），所以不互斥，错误； 对于选项B ，很明显事件A 与事件C 互斥，正确；对于选项C ，事件B 的发生与事件C 的发生没有关系，所以互不影响，相互独立，正确；对于选项D ，B 表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，D 表示事件“至少出现一个奇数点”，很明显不是对立事件，错误． 故选：BC ．11．已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ） A ．若A ＜B ，则sin A ＜sin BB ．若a ＝2，B =π3，且该三角形有两解，则√3＜b ＜2C ．若tanA a 2=tanB b 2，则△ABC 为等腰三角形D ．若tan A +tan B +tan C ＞0，则△ABC 为锐角三角形 解：选项A ，若A ＜B ，则a ＜b ， 由正弦定理知，a sinA=b sinB，所以sin A ＜sin B ，即选项A 正确；选项B ，因为该三角形有两解，所以a sin B ＜b ＜a ，即2sin π3＜b ＜2，所以√3＜b ＜2，即选项B 正确； 选项C ，由tanA a 2=tanB b 2知，b 2•sinAcosA=a 2•sinBcosB，由正弦定理得，sin 2B sin A cos B ＝sin 2A sin B cos A ，因为sin A sin B ≠0，所以sin B cos B ＝sin A cos A ，即sin2B ＝sin2A ， 所以2B ＝2A 或2B +2A ＝π，即A ＝B 或A +B =π2， 所以△ABC 为等腰或直角三角形，即选项C 错误； 选项D ，因为tan （A +B ）=tanA+tanB1−tanAtanB，所以tan A +tan B ﹣tan （A +B ）＝﹣tan （A +B ）tan A tan B ， 即tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C ，因为tan A +tan B +tan C ＞0，所以tan A tan B tan C ＞0， 又A ，B ，C ∈（0，π），且至多只有一个钝角，所以tan A ＞0，tan B ＞0，tan C ＞0，即A ，B ，C 均为锐角，故选项D 正确． 故选：ABD ．12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别是AD ，CC 1，AA 1的中点，AP →=λAB →（0≤λ≤1），则下列说法正确的是（ ）A ．若λ=12，则B 1D 1∥平面MPN B ．若λ＝1，则AC 1∥平面MPNC ．若AC 1⊥平面MPQ ，则λ=12D ．若λ=13，则平面MPN 截正方体所得的截面是五边形解：对于A ，连接B 1D 1，BD ，在正方体中，可知B 1D 1∥BD ，当λ=12时，P 是AB 的中点，则MP ∥BD ，所以MP ∥B 1D 1，由于MP ⊂平面MNP ，B 1D 1⊄平面MNP ，所以B 1D 1∥平面MPN ，故A 正确；对于B，当λ＝1时，P与点B重合，连接BM交AC于点O，连接NO，若AC1∥平面MPN，则AC1⊂平面ACC1，且平面ACC1∩平面MNP＝NO，则AC1∥NO，由于N是CC1的中点，则O为AC中点，这显然不符合要求，故B错误；对于C，若AC1⊥平面MPQ，则AC1⊥MP，由于MP⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，又BD⊥AC，BD ⊥CC1，AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面ACC1，所以BD⊥平面ACC1，AC₁⊂平面ACC1，则BD⊥AC1，显然AC1与平面ABCD不垂直，故AC1⊥MP，则BD∥MP，由于M为AD中点，所以P为AB中点，故λ=12，C正确；对于D，取NC中点F，在DD1上取点H，使得DH=18DD1，在棱BB1取E，使得BE=14BB1，在棱CC1上取CK=18CC1，由于N ，M 分别为CC 1，AD 的中点，所以NF EF=14，HDMD=14⇒HD MD=NF EF⇒MH ∥NE ，同理EB PB=38，NK HK=38，⇒NK HK =EBPB⇒HN/PE ， 连接PE ，NE ，HN ，MH ，MP 即可得到截面多边形，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置． 13．已知α∈（0，π2），cos α=13，则sin (α2)=√33． 解：因为α∈（0，π2），所以0＜α2＜π4，因为cos α＝1﹣2sin 2α2=13，则sinα2=√33． 故答案为：√33． 14．已知某3个数据的平均数为2，方差为2，现加入数字2构成一组新的数据，这组新的数据的方差为32．解：不妨设三个数据为x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3＝3×2＝6，13[(x 1−2)2+(x 2−2)2+(x 3−2)2]=2，即(x 1−2)2+(x 2−2)2+(x 3−2)2=6，加入数字2构成一组新的数据，则新的数据平均数也为2，故这组新的数据的方差为14[(x 1−2)2+(x 2−2)2+(x 3−2)2+(2−2)2]=32．故答案为：32．15．在解析几何中，设P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）为直线l 上的两个不同的点，则我们把P 1P 2→及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n →表示，此时P 1P 2→•n →=0．若点P ∉l ，则可以把PP 1→在法向量n →上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离．现已知平面直角坐标系中，P （﹣4，0），P 1（2，﹣1），P 2（﹣1，3），则点P 到直线l 的距离为215．解：由题意，P 1P 2→=（﹣3，4），与P 1P 2→垂直的向量n →可取为（4，3）， 即直线l 的一个法向量n →=（4，3），又PP 1→=（6，﹣1）， 故点P 到直线l 的距离d =|PP 1→⋅n →||n →|=215． 故答案为：215．16．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是√62，√62，1，则此三棱锥的外接球的体积为7√7π6；此三棱锥的内切球的表面积为 (20−8√6)π ．解：①已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是√62，√62，1， 如图所示：即S △AOB =S △AOC =√62，S △BOC ＝1，故AO ，BO ，CO 两两垂直；所以BO ＝CO ， 故12⋅CO ⋅BO =1，整理得CO ＝BO =√2，所以12⋅AO ⋅BO =√62，解得AO =√3， 所以三棱锥的外接球的半径满足(2R)2=(√2)2+(√2)2+(√3)2，解得R 2=74，即R =√72，故V 球=43⋅π⋅(√72)3=7√7π6． ②首先利用OC ＝OB =√2，OA =√3， 利用勾股定理AB =AC =√5，BC ＝2， 所以S △ABC =12×2×2=2， 利用等体积转换法，设内切球的半径为r ， 所以13×12×√2×√2×√3=13×(S △ABC +S △BOC +S △AOC +S △AOB )⋅r ，解得r =1√3+√2=√3−√2，故S 球=4⋅π⋅r 2=(20−8√6)π．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：（0，100]，（100，200]，（200，300]，（300，400]，（400，500]，（500，600]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间（400，600]上的车辆数；（2）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）．解：（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，设（400，500]的频率为x，由题意得（0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034）×100+x＝1，解得x＝0.03，∴样本中停车时长在区间（400，600]上的频率为0.05，估计该天停车时长在区间（400，600]上的车辆数是50；（2）设免费停车时间长不超过y分钟，又（0，100]的频率为0.13＜30%，并且（0，200]的频率为0.45＞30%，则y位于（100，200]之间，则0.13+（y﹣100）×0.0032＝0.3，解得y＝153.1，确定免费停车时长为不超过153分钟．18．（12分）已知α∈（0，(π2)），β∈（0，(π2)），且cosα=(2√55)，sinβ=(7√210)．（1）求tan（α+β）的值；（2）求2α+β的值．解法一：（1）由题意cosα=2√55，sinα=√55，cosβ=√210，sinβ=7√210则tanα=12，tanβ=7，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=12+71−12×7=−3，（2）由α，β为锐角，可得2α+β∈(0，3π2)， tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]=tan(α+β)+tanα1−tan(α+β)tanα=−3+121−(−3)×12=−1所以2α+β=3π4；解法二：（1）由题意：cosα=2√55，sinα=√55，cosβ=√210，sinβ=7√210， sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=√55×√210+2√55×7√210=3√1010， cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=2√55×√210−√55×7√210=−√1010， 所以tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=−3； （2）由α，β为锐角，可得2α+β∈(0，3π2)， tanα=sinαcosα=12， tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]=tan(α+β)+tanα1−tan(α+β)tanα=−3+121−(−3)×12=−1，所以2α+β=3π4．19．（12分）已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝120°，点D 在边BC 上且满足CD ＝2BD ． （1）用AB →、AC →表示AD →，并求|AD →|；（2）若点E 为边AB 中点，求CE →与AD →夹角的余弦值．解：（1）∵点D 在边BC 上，且CD ＝2BD ， ∴CD →=2DB →，∴AD →−AC →=2(AB →−AD →)，∴AD →=23AB →+13AC →，且AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝120°，∴|AD →|=√(23AB →+13AC →)2=√49AB →2+19AC →2+49AB →⋅AC →=√169+19−49=√133； （2）∵点E 为边AB 中点，∴CE →=12(CA →+CB →)=12(−AC →+AB →−AC →)=12AB →−AC →，∴|CE →|=√14AB →2+AC →2−AB →⋅AC →=√1+1+1=√3，又AD →⋅CE →=(23AB →+13AC →)⋅(12AB →−AC →)=13AB →2−13AC →2−16AB →⋅AC →=43−13+12=32，∴cos ＜AD →，CE →＞=AD →⋅CE →|AD →||CE →|=32√133×3=3√3926． 20．（12分）我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束．已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是34，12，13，且每名男生每跳相互独立．记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A ，B ，C ． （1）求P （A ）、P （B ）、P （C ）；（2）求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率．解：（1）记“甲、乙、丙三名男生第1跳成功”分别为事件A 1，B 1，C 1，记“甲、乙、丙三名男生第2跳成功”分别为事件A 2，B 2，C 2，记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”为事件A ，B ，C ． P(A)=P(A 1+A 1A 2)=P(A 1)+P(A 1A 2)=34+(1−34)×34=1516， P(B)=P(B 1+B 1B 2)=P(B 1)+P(B 1B 2)=12+(1−12)×12=34， P(C)=P(C 1+C 1C 2)=P(C 1)+P(C 1C 2)=13+(1−13)×13=59．（2）记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好”为事件D ， P(D)=P(ABC +ABC +ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=1516×(1−34)×(1−59)+(1−1516)×34×(1−59)+(1−1516)×(1−34)×59 =77576． 21．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos C +√3a sin C ＝b +c ． （1）求A ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且b ＝2，求△ABC 面积的取值范围． 解：（1）由正弦定理可得：sinAcosC +√3sinAsinC =sinB +sinC ，所以sinAcosC +√3sinAsinC =sin(A +C)+sinC =sinAcosC +cosAsinC +sinC ，所以√3sinAsinC =cosAsinC +sinC ， 因为sin C ＞0，所以√3sinA =cosA +1， 所以sin(A −π6)=12， 因为A −π6∈(−π6，5π6)， 所以A −π6=π6，即A =π3； （2）由题设及（1）知△ABC 的面积S △ABC =√32c ． 由正弦定理得c =bsinCsinB =2sin(120°−B)sinB =√3tanB+1， 由于△ABC 为锐角三角形， 故0°＜B ＜90°，0°＜C ＜90°． 由（1）知A +C ＝120°， 所以30°＜B ＜90°， 故1＜c ＜4， 从而√32＜S △ABC ＜2√3． 因此△ABC 面积的取值范围是(√32，2√3)．22．（12分）如图，已知斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1⊥平面A 1B 1C 1，AB 1与平面ACC 1A 1所成角的正切值为√217，所有侧棱与底面边长均为2，D 是边AC 中点． （1）求证：AB 1∥平面BDC 1；（2）求异面直线BB 1与A 1C 1所成的角；（3）F 是边CC 1一点，且CF ＝λCC 1，若AB 1⊥A 1F ，求λ的值．解：（1）证明：如图，连接B 1C 与BC 1交于点O ，连DO ，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， 四边形BCC 1B 1是菱形，则O 是B 1C 的中点，又D 是AC 中点， 即OD 为△AB 1C 的中位线， 所以AB 1∥DO ，又AB 1⊄平面BDC 1，DO ⊂平面BDC 1， 可证得：AB 1∥平面BDC 1；（2）取A 1C 1的中点E ，连AE ，斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1底面△A 1B 1C 1边长均为2， 则B 1E ⊥A 1C 1，平面ACC 1A 1⊥平面A 1B 1C 1，平面ACC 1A 1∩平面A 1B 1C 1＝A 1C 1，B 1E ⊂平面A 1B 1C 1， 则B 1E ⊥平面ACC 1A 1，所以∠B 1AE 即为AB 1与平面ACC 1A 1所成角， Rt △B 1AE 中，B 1E =√3，tan ∠B 1AE =B 1E AE =√217，则AE =√7，又AA 1＝2，A 1E ＝2， 则在△A 1AE 中，∠AA 1C 1＝120°，则∠A 1AC 1＝60°， 由三棱柱中，AA 1∥BB 1，A 1C 1∥AC ，所以异面直线BB 1与A 1C 1所成的角∠B 1AE 等于∠A 1AC 1，即为60°， 即异面直线BB 1与A 1C 1所成的角为60°；（3）由（2）知B 1E ⊥平面ACC 1A 1，又A 1F ⊂平面ACC 1A 1，则A 1F ⊥B 1E ， 又A 1F ⊥AB 1，B 1E ∩AB 1＝B 1，而B 1E ，AB 1⊂平面AB 1E ， 所以A 1F ⊥平面AB 1E ，又AE ⊂平面AB 1E ，则A 1F ⊥AE ，在菱形ACC 1A 1中，以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建系， 由（2）知∠A 1C 1C ＝60°，所以C （2，0），C 1（3，√3），A 1（1，√3）， CF →=λCC 1→=λ（1，√3），又F （2+λ，√3λ），所以A 1F →=A 1C →+CF →=（1，−√3）+（λ，√3λ）＝（λ+1，√3λ−√3），AE →=AA 1→+A 1E →=CC 1→+12AC →=（1，√3）+（1，0）＝（2，√3），又A 1F ⊥AE ，即A 1F →•AE →=0，即2（1+λ）+√3（√3λ−√3）＝0， 整理可得：λ=15， 所以λ的值为15．。
2023-2024学年江苏省南京二十九中高一(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年江苏省南京二十九中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x ∈N|2x ≤32}，B ={1,3,5,7}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A. {0,2,4}B. {2,4}C. {0,4}D. {2,4,5}2.已知非零向量a ，b ，则a ⊥b 是|a +b |=|a−b |成立的( )条件．A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要3.将函数f(x)=sin2x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为( )A. y =sin (2x +π6)B. y =sin (2x +π3)C. y =sin (2x−π6)D. y =sin (2x−π3)4.甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于丙、丁)的概率是( )A. 12B. 13C. 14D. 165.已知tanθ=2，则sin (2θ−π)1−sin(π2−2θ)=( )A. −12B. 12C. −2D. 26.如图所示，在△ABC 中，AN =14NC ，P 是BN 上的一点，若AP =611AB +m AC ，则实数m 的值为( )A. 1011B. 811C. 211D. 1117.已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长是2，点P 是棱AD 的中点，Q 是正方体表面上的一动点，PQ ⊥A 1C ，则动点Q 的轨迹长度是( )A. 3B. 5C. 32 D. 628.已知α,β∈(0,π4),cos 2α−sin 2α=17，且3sinβ=sin (2α+β)，则α+β的值为( )A. π12B. π6C. π4D. π3二、多选题：本题共3小题，共18分。
高中数学：2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一(下)期末数学试卷(含参考答案)
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z ＝1+2i （i 为虚数单位），则z 2＝（ ） A ．﹣3+2iB ．﹣3+4iC ．5+2iD ．5+4i2．（5分）函数f(x)=cosx −√3sinx 在[0，π2]的最大值是（ ）A ．2B ．0C ．1D ．√33．（5分）如图，在正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，E 、F 分别为棱CC '、AB 的中点，则异面直线A 'D '与EF 所成角的余弦值是（ ）A ．√63B ．√33C ．√22 D ．124．（5分）若钝角三角形的边长分别为a ，a +3，a +6，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（3，9）B ．（0，9）C ．（3，+∞）D ．（9，+∞）5．（5分）如图，在五个正方形拼接而成的图形中，β﹣α的值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π26．（5分）已知△ABC 是正三角形，若点M 满足AM →=13AB →+12AC →，则AM →与AC →夹角的余弦值为（ ）A ．√63B ．√36C ．√1912D ．4√19197．（5分）如图，在正四面体ABCD 中，E ，F 是棱CD 上的三等分点，记二面角C ﹣AB ﹣E ，E ﹣AB ﹣F ，F ﹣AB ﹣D 的平面角分别为θ1，θ2，θ3，则（ ）A．θ1＝θ2＝θ3B．θ1＜θ2＜θ3C．θ1＝θ3＞θ2D．θ1＝θ3＜θ28．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC=π2，AD＝2，若球O的表面积为22π，则三棱锥A﹣BCD（以A为顶点）的侧面积的最大值为（）A．6B．212C．252D．272二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥nD．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n（多选）10．（5分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a：b：c＝4：5：6，则（）A．A：B：C＝4：5：6B．sin A+sin C＝2sin BC．cos C=18D．3sin A＝8sin2C（多选）11．（5分）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果．记“x+y＝7”为事件A，“xy是奇数”为事件B，“x＞3”为事件C，则（）A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立C ．A 与C 相互独立D ．B 与C 相互独立（多选）12．（5分）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2√2，则（ ） A ．棱台的侧面积为12√7B ．棱台的体积为28√6C ．棱台的侧棱与底面所成的角的余弦值为12D ．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为√77三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在平行四边形ABCD 中，AE →=2ED →，BF →=FC →，AC →=λAE →+AF →，则λ＝ ． 14．（5分）若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 ． 15．（5分）如图，在△ABC 中，AC ＝2，A =π3，点D 在线段AB 上，且AD ＝2DB ，sin ∠ACD =√7sin ∠BCD ，则△ABC 的面积为 ．16．（5分）在△ABC 中，若cosB =√22，则（tan 2A ﹣3）sin2C 的最小值为 ．四、解答题：共6小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy 中，设向量a →=（2sin θ，1），b →=（1，sin （θ+π3）），θ∈R ．（1）若a →•b →=0，求tan θ的值；（2）若a →∥b →，且θ∈（0，π2），求θ的值．18．（12分）已知向量a →，b →满足|a →|=1，b →=(1，√3) （1）若|a →+2b →|=3，求|2a →−3b →|的值；（2）若a →⋅(a →−b →)=0，求a →在b →上的投影向量的坐标．19．（12分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O ，E 分别为B 1D ，AB 的中点． （1）求证：OE ∥平面BCC 1B 1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．20．（12分）某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示：（1）求出a的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．21．（12分）如图，在△ABC中，AB=√2，BC＝2，以AC为边，向△ABC外作正方形ACDE，连接BD．（1）当AB⊥BC时，求B到直线DE的距离；（2）设∠ABC＝θ（0＜θ＜π），试用θ表示BD，并求BD的最大值．22．（12分）如图，已知△ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是边AB，AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设∠MGA＝α（π3≤α≤2π3）．（1）分别记△AGM，△AGN的面积为S1，S2，试将S1，S2表示为α的函数；（2）求y=1S12+1S22的最大值与最小值．附：参考答案一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z ＝1+2i （i 为虚数单位），则z 2＝（ ） A ．﹣3+2iB ．﹣3+4iC ．5+2iD ．5+4i【解答】解：z 2＝（1+2i ）2＝1+4i ﹣4＝﹣3+4i ， 故选：B ．2．（5分）函数f(x)=cosx −√3sinx 在[0，π2]的最大值是（ ）A ．2B ．0C ．1D ．√3【解答】解：由已知可得，f(x)=2×(12cosx −√32sinx)=2cos(x +π3)，因为0≤x ≤π2，所以π3≤x +π3≤5π6，又y ＝cos x 在[π3，5π6]上单调递减，所以，当x +π3=π3，即x ＝0时，函数取得最大值f(0)=2cos π3=1． 故选：C ．3．（5分）如图，在正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，E 、F 分别为棱CC '、AB 的中点，则异面直线A 'D '与EF 所成角的余弦值是（ ）A ．√63B ．√33C ．√22 D ．12【解答】解：取CD 的中点M ，连结ME ，FM ， 因为F ，M 分别为AB ，DC 的中点，所以FM ∥AD ， 又A 'D '∥AD ， 所以A 'D '∥FM ，则∠EFM 即为异面直线A 'D '与EF 所成角， 不妨设正方体的棱长为2，则FM ＝2，EM =√1+1=√2， 所以EF =√22+(√2)2=√6， 在Rt △EFM 中，cos ∠EFM =FM EF =26=√63， 所以异面直线A 'D '与EF 所成角的余弦值是√63． 故选：A ．4．（5分）若钝角三角形的边长分别为a ，a +3，a +6，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（3，9）B ．（0，9）C ．（3，+∞）D ．（9，+∞）【解答】解：由已知得{a +a +3＞a +6a 2+(a +3)2＜(a +6)2，∴3＜a ＜9． 故选：A ．5．（5分）如图，在五个正方形拼接而成的图形中，β﹣α的值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【解答】解：由图可得tan β＝3，tan α=12，∴tan （β﹣α）=tanβ−tanα1+tanβ⋅tanα=3−121+3×12=1， ∵0＜β＜π2，0＜α＜π2，∴−π2＜β﹣α＜π2，∴β﹣α的值为π4．故选：B ．6．（5分）已知△ABC 是正三角形，若点M 满足AM →=13AB →+12AC →，则AM →与AC →夹角的余弦值为（ ）A ．√63B ．√36C ．√1912D ．4√1919【解答】解：∵AM →=13AB →+12AC →，且△ABC 是正三角形，∴|AM →|2=19|AB →|2+13AB →⋅AC →+14|AC →|2=19|AB →|2+16|AB →|2+14|AB →|2=1936|AB →|2，∴|AM →|=√196|AB →|，∴AM →•AC →=13AB →•AC →+12AC →2=16|AB →|2+12|AB →|2=23|AB →|2，∴cos ＜AM →，AC →＞=AM →⋅AC →|AM →||AC →|=23|AB →|2√196|AB →→=4√1919， ∴AM →与AC →夹角的余弦值为4√1919． 故选：D ．7．（5分）如图，在正四面体ABCD 中，E ，F 是棱CD 上的三等分点，记二面角C ﹣AB ﹣E ，E ﹣AB ﹣F ，F ﹣AB ﹣D 的平面角分别为θ1，θ2，θ3，则（ ）A ．θ1＝θ2＝θ3B ．θ1＜θ2＜θ3C ．θ1＝θ3＞θ2D ．θ1＝θ3＜θ2【解答】解：如图1，在正四面体ABCD中，取AB的中点G，连接CG，DG，则CG⊥AB，DG⊥AB，而CG∩DG＝G，所以AB⊥平面CDG，连接EG，FG，因为EG⊂平面CDG，FG⊂平面CDG，所以AB⊥EG，AB⊥FG．由二面角的平面角的定义可以判断θ1＝∠CGE，θ2＝∠EGF，θ3＝∠FGD，由对称性容易判断θ1＝θ3．设该正四面体的棱长为6，如图2，CD＝6，易得CG=DG=3√3，取CD的中点H，则GH⊥CD，CE＝2，EH＝HF＝1，在△GCH中，由勾股定理可得GH=√GC2−CH2=3√2，于是GE=GF=√(3√2)2+12=√19．于是，在△GCE中，由余弦定理可得cosθ1=(3√3)2+(√19)2−222×33×19=757，在△GEF中，由余弦定理可得cosθ2=(√19)2+(√19)2−222×19×19=1719，而(7√57)2=4957=9311083＞(1719)2=289361=8671083⇒7√571719，即1＞cosθ1＞cosθ2＞0⇒θ1＜θ2，于是θ1＝θ3＜θ2．故选：D．8．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC=π2，AD＝2，若球O的表面积为22π，则三棱锥A﹣BCD（以A为顶点）的侧面积的最大值为（）A ．6B ．212C ．252D ．272【解答】解：取BC 中点E ，∵∠BAC ＝90°，∴E 为△ABC 的外接圆圆心，过E 作AD 的平行线，由球的性质可知，球心O 必在此平行线上，作OF ∥AE ，交AD 于F ，如图所示：OA =√OE 2+AE 2，OD =√OF 2+DF 2=√AE 2+DF 2， OA ＝OD ，∴AF ＝DF ＝OE =12AD ＝1，∵球O 的表面积为22π∴球O 的半径R =√222，设AB ＝x ，AC ＝y ，由R =OC =√CE 2+OE 2=√x 2+y 24+1=√222，得：x 2+y 2＝18，∴三棱锥A ﹣BCD 侧面积S ＝S △ABD +S △ACD +S △ABC =12•2x +12•2y +12xy ＝x +y +12xy ，由x 2+y 2≥2xy ，得：xy ≤9，（当且仅当x ＝y ＝3时取等号），又（x +y ）2＝x 2+y 2+2xy ≤18+x 2+y 2＝36（当且仅当x ＝y ＝3时取等号）， ∴S ≤6+92=212（当且仅当x ＝y ＝3时取等号）．故选：B ．二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βC．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥nD．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或为异面直线，因此A不正确；B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β，因此B正确；C．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n，因此C正确；D．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n可能平行、相交或为异面直线，因此D不正确．故选：BC．（多选）10．（5分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a：b：c＝4：5：6，则（）A．A：B：C＝4：5：6B．sin A+sin C＝2sin BC．cos C=18D．3sin A＝8sin2C【解答】解：对于A，由题意可知，sin A：sin B：sin C＝a：b：c＝4：5：6，但推不出A：B：C＝4：5：6，故A错误；对于BC，由a：b：c＝4：5：6，不妨设a＝4k，b＝5k，c＝6k，则a+c＝2b，由正弦定理可得，sin A+sin C＝2sin B，故B正确；cos C=16k2+25k2−36k22×4k×5k=18，故C正确；又sinAsin2C=a2ccosC=4k12kcosC=83，故3sin A＝8sin2C，故D正确．故选：BCD．（多选）11．（5分）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果．记“x+y＝7”为事件A，“xy是奇数”为事件B，“x＞3”为事件C，则（）A．A与B互斥B．A与B对立C．A与C相互独立D．B与C相互独立【解答】解：对于A，事件：A＝“x+y＝7”包含的基本事件有：（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），事件B＝“xy为奇数”，包含的基本事件有：（1，3），（1，5），（3，1），（3，5），（5，1），（5，3），A与B不能同时发生，是互斥事件，故A正确；对于B，A与B不能同时发生，能同时不发生，不是对立事件，故B错误；P（A）=66×6=16，P（B）=96×6=14，P（C）=186×6=12，P（AC）=36×6=112，P（A）•P（C）=16×12=112，P（AC）＝P（A）•P（C），P（BC）=36×6=112≠P（B）P（C），B与C不相互独立，A与C独立，故C正确，D错误．故选：AC．（多选）12．（5分）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2√2，则（）A．棱台的侧面积为12√7B．棱台的体积为28√6C．棱台的侧棱与底面所成的角的余弦值为1 2D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为√7 7【解答】解：根据题意，如图所示，作正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1，依次分析选项：对于A，在侧面梯形ABB1A1中，A1B1＝2，AB＝4，则AH=12（4﹣2）＝1，则斜高A1H=√8−1=√7，故梯形ABB1A1的面积S′=(4+2)√72=3√7，故棱台的侧面积S＝4S′＝12√7，A正确；对于B，底面ABCD为正方形，则HM＝AH＝1，A1H=√7，则棱柱的高A1M=√7−1=√6，故棱台的体积VOA=13（4+16+8）×√6=28√63，B错误；对于C，棱台的侧棱与底面所成的角即∠A1AM，则余弦值cos∠A1AM=AMAA1=12，C正确；对于D，棱台的侧面ABB1A1与底面ABCD所成锐二面角的平面角为∠DHM，则cos∠DHM=HMA1H=7=√77，D正确．故选：ACD．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在平行四边形ABCD 中，AE →=2ED →，BF →=FC →，AC →=λAE →+AF →，则λ＝ 34．【解答】解：由AE →=2ED →，BF →=FC →得：AD →=32AE →，BF →=12AD →=34AE →，在平行四边形ABCD 中，由加法的平行四边形法则可得：AC →=AD →+AB →，故AC →=32AE →+FB →−FA →=32AE →−34AE →+AF →=34AE →+AF →，故λ=34，答案为：34．14．（5分）若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 4π．【解答】解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ， 因为圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形， 所以2πr ＝2，h ＝2， 所以h ＝2，r =1π，所以圆柱的体积为πr 2•h =4π．故答案为：4π．15．（5分）如图，在△ABC 中，AC ＝2，A =π3，点D 在线段AB 上，且AD ＝2DB ，sin ∠ACD =√7sin ∠BCD ，则△ABC 的面积为3√32．【解答】解：在△ACD 中，由正弦定理得AD sin∠ACD=CD sin∠A，即AD sin∠ACD=CD sinπ3，（1） 在△BCD 中，由正弦定理得BD sin∠BCD=CD sinB，（2）又sin ∠ACD =√7sin∠BCD ，（3）， 联立（1）（2）（3）得，sinB =√217，在△ABC 中，由正弦定理得BC sinπ3=AC sinB，可得BC =2×√32√217=√7，由余弦定理得cosA =AC 2+AB 2−BC 22AC⋅AB =AB 2−32×2×AB =12，即AB 2﹣2AB ﹣3＝0， 因为AB ＞0，解得AB ＝3，因此，△ABC 的面积为S △ABC =12AB ⋅ACsin π3=12×3×2×√32=3√32．故答案为：3√32． 16．（5分）在△ABC 中，若cosB =√22，则（tan 2A ﹣3）sin2C 的最小值为 4√2−6 ．【解答】解：因为cosB =√22，所以B ＝45°，则（tan 2A ﹣3）sin2C ＝（tan 2A ﹣3）sin[2π﹣2（A +B ）]＝﹣（tan 2A ﹣3）sin （2A +π2）=−sin 2A−3cos 2A cos 2A×cos2A =−1−cos2A2−3×1+cos2A 21+cos2A 2•cos2A =2(1+2cos2A)⋅cos2A1+cos2A①，令t ＝1+cos2A ， 因为A ∈（0，3π4），所以t ∈（0，2），①=2[1+2(t−1)](t−1)t =2(2t 2−3t+1)t =4t +1t ×2﹣6≥2√4t ⋅2t −6＝4√2−6，当且仅当4t =1t×2，即t =√22时取等号．故答案为：4√2−6．四、解答题：共6小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy 中，设向量a →=（2sin θ，1），b →=（1，sin （θ+π3）），θ∈R ．（1）若a →•b →=0，求tan θ的值；（2）若a →∥b →，且θ∈（0，π2），求θ的值．【解答】解：（1）在直角坐标系xOy 中，已知向量a →=（2sin θ，1），b →=（1，sin （θ+π3）），θ∈R ，∵a →•b →=0，∴2sin θ+sin （θ+π3）＝0，即2sin θ+sin θcos π3+cos θsin π3=0，即52sin θ+√32cos θ＝0，∴tan θ=−√35；（2）∵a →∥b →，∴2sin θsin （θ+π3）＝1，∴2sin 2θcos π3+2sin θcos θsin π3=1，∴12（1﹣cos2θ）+√32sin2θ＝1，整理得√32sin2θ−12cos2θ=12，所以sin （2θ−π6）=12，又θ∈（0，π2），所以2θ−π6∈（−π6，5π6），所以2θ−π6=π6， 即θ=π6．18．（12分）已知向量a →，b →满足|a →|=1，b →=(1，√3) （1）若|a →+2b →|=3，求|2a →−3b →|的值；（2）若a →⋅(a →−b →)=0，求a →在b →上的投影向量的坐标． 【解答】解：（1）由题得|b →|=2，|a →+2b →|2=a →2+4a →⋅b →+4b →2=4a →⋅b →+17=9， ∴a →⋅b →=−2．∴|2a →−3b →|=√4a →2−12a →⋅b →+9b →2=√4+24+36=8；（2）a →⋅(a →−b →)=a →2−a →⋅b →=1−a →⋅b →=0， ∴a →⋅b →=1， ∴|a →|cos〈a →，b →〉=a →⋅b →|b →|=12，∴投影向量坐标为12×b→|b→|=(14，√34)，∴投影向量坐标为(14，√34)．19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．（1）求证：OE∥平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．【解答】证明：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C＝F，连接OF，…2分因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且OF=12 DC，又E为AB中点，所以EB∥DC，且d1＝1，从而d2=d3=32，即四边形OEBF是平行四边形，所以OE∥BF，…6分又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，所以OE∥面BCC1B1．…8分（2）因为DC⊥面BCC1B1，BC1⊂面BCC1B1，所以BC1⊥DC，…10分又BC1⊥B1C，且DC，B1C⊂面B1DC，DC∩B1C＝C，所以BC1⊥面B1DC，…12分而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，所以面B1DC⊥面B1DE．…14分20．（12分）某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示：（1）求出a的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知：10×（0.010+0.015+a+0.030+0.010）＝1，解得a＝0.035；（2）平均数为：20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1＝41.5岁，因为0.1+0.15＝0.25＜0.5，0.1+0.15+0.35＝0.6＞0.5所以中位数落在[35，45）内，设中位数为m，则10×0.010+10×0.015+（m﹣35）×0.035＝0.5，所以m≈42.1岁；（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为a1，a2，b1，b2，b3，设从5人中随机抽取2人，为{a1，a2}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，b3}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 2，b 3}，{b 1，b 2}，{b 1，b 3}，{b 2，b 3}共10个样本点， 这2人恰好在同一组的样本点为{a 1，a 2}，{b 1，b 2}，{b 1，b 3}，{b 2，b 3}共4个， 所以P =410=25． 21．（12分）如图，在△ABC 中，AB =√2，BC ＝2，以AC 为边，向△ABC 外作正方形ACDE ，连接BD ． （1）当AB ⊥BC 时，求B 到直线DE 的距离；（2）设∠ABC ＝θ（0＜θ＜π），试用θ表示BD ，并求BD 的最大值．【解答】解：（1）在△ABC 中，AB =√2，BC ＝2，又△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，可得AC =√22+(√2)2=√6， 则点B 到AC 的距离h =AB⋅BC AC =2√2√6=2√33，得B 到DE 的距离为√6+2√33． （2）在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos θ＝6﹣4√2cos θ， 所以CD 2＝BC 2＝6﹣4√2cos θ． 设∠ACB ＝α，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2+CD 2﹣2BC •CD cos （α+π2）＝BC 2+CD 2+2BC •AC sin α ＝4+6﹣4√2cos θ+4S △ABC ＝10﹣4√2cos θ+4√2sin θ ＝10+8sin （θ−π4），0＜θ＜π．于是当θ=3π4时，BD 2最大为18，即BD 的最大值为3√2． 22．（12分）如图，已知△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，线段MN 经过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α（π3≤α≤2π3）． （1）分别记△AGM ，△AGN 的面积为S 1，S 2，试将S 1，S 2表示为α的函数； （2）求y =1S 12+1S 22的最大值与最小值．【解答】解：（1）因为点G 是正△ABC 的中心， 所以AG =23AD =2√3．在△AMG 中，∠BAG =π6，∠AMG =π−π6−α=5π6−α，所以MG =AGsin30°sin(5π6−α)=√33sin(5π6−α)=1√3sin(π6+α)， 在△ANG 中，同理，可得NG =√33sin(α−π6)．所以S 1=12AG ⋅MG ⋅sinα=sinα3sin(π6+α)(π3≤α≤2π3)，S 2=12AG ⋅NGsin(π−α)=sinα3sin(α−π6)(π3≤α≤2π3)； （2）y =1S 12+1S 22=9sin 2(π6+α)sin 2α+9sin 2(α−π6)sin 2α =9[1−cos(π3+2α)]+1−cos(2α−π3)2sin 2α=9(2−cos2α)2sin 2α=92sin 2α+9，因为π3≤α≤2π3，所以α=π2时，y min =272；当α=π3或α=2π3时，y max ＝15．。
2024届江苏省南京市、盐城市高一数学第二学期期末综合测试试题含解析
2024届江苏省南京市、盐城市高一数学第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（ ）A ．56B ．153C ．52D ．1562． “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（ ）A ．493B ．383C ．183D ．1233．若tan 0α>，则（ ） A ．sin 0α> B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α>4．已知ππ042βα<<<<，且π10sin 410α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π4sin 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ+=( )A ．1010B ．1010-C ．31010D ．31010-5．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,5}U A ==，则U C A =（ ） A ．{1,5}B ．{3,4}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5}6．给出下列命题：（1）存在实数α使5sin cos 3αα+= . （2）直线20192x π=是函数cos y x =图象的一条对称轴. （3）()()cos sin y x x R =∈的值域是[]cos1,1.（4）若,αβ都是第一象限角，且sin sin αβ>，则tan tan αβ>. 其中正确命题的题号为（ ） A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）7．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于58，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（ ）A ．32B ．40C ．32103D ．1038．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（ ） A ．3B ．5C ．2D ．19．直线310x y -+=的倾斜角为 A ．23π B ．56π C ．3π D ．6π 10．正四棱柱的高为3cm ,17,则正四棱柱的侧面积为( ) A ．10B ．24C ．36D ．40二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
江苏省南京市雨花台中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)
南京市雨花台中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知复数是纯虚数，则实数x 的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．12．已知向量，的夹角为，，，则等于（ ）A ．7B ．6C ．5D ．43．设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，，则C ．若，，则D ．若，，，则4．在中，角所对的边的长分别为.下列命题中错误的个数是（ ）①−3②已知，则最小内角的度数为③若，则是锐角三角形④若，且结合的长解三角形，有两解，则长的取值范围是A ．0B ．1C ．2D ．35．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰了出现的点数，根据四名同学的统计结果､可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）A．平均数为3，中位数为2B ．平均数为2，方差为2.6C ．中位数为3，众数为2D ．中位数为3，方差为1.66．阿基米德（Archimedes ，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7.如图，在正方体中，M ，N 分别为C 1D 1和CC 1的中点，则异面直线AM与BN 所成角的余弦值为（ ）A BC ．D ．()2i 1i z x =++-a b 120 1a = 5b = 3a b - αβm n //m αn ⊂α//m n//αβ//m α//n β//m n m β⊥//n βm n⊥αβ⊥m αβ= n m ⊥n α⊥ABC V A B C ､､a b c ､､cos104sin 80sin10︒︒-=︒7,a b c ===30tan tan tan 0A B C ++>ABC V 60,4A AC == BC BC ()+∞36π36π45π54π63π1111ABCD A B C D -35458．已知三棱锥P−ABC 的所有顶点都在一个球面上且PA ⊥平面ABC ，AB =AC =PA ，，且底面的面积为）A ．BC ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数，下列结论正确的有（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆D ．若是关于的方程的一个根，则10．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．若，则C ．若，且只有一解，则的取值范围为D ．为的外心，则11．已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设E 为空间内任一点，且A ，B ，C ，D ，E 五点在同一个球面上，则（ ）A ．四面体的表面积为B ．四面体的体积为C ．当E 的轨迹长度为D ．当三棱锥的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12．已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积是 ．13．已知随机事件A ，B 的概率分别为P(A)=0.5，P(B)=0.3，若B ⊆A,则P(AB)=______；若A 与B 相互独120BAC ∠=︒ABC V 16π40π64π12,z z 120z z ->12z z >2212z z =12z z =2z 22i 3z -=2z 143i z =-+x 20(,)x px q p q ++=∈R 8p =ABC V A B C a b c 2cos cos c B b C a +=1a =2B C A +=ABC V π4A =ABC V b (]0,1O ABC V 12BC BO ⋅= ABCD 24CA CB AB ===ABCD ABCD AE =4πE ABC -E 1O A O B O C ''''''===立，则P(A+B)=_______14．在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知向量.(1)若向量，求向量与向量的夹角的大小；(2)若向量OB ⟂OC ，求向量在向量上投影向量的坐标.16．在中，角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若为锐角三角形，且，（i ）求角的取值范围；（ii ）求面积的取值范围.(1,0)(0,3)A B -、12z z 、12Z Z 、12122,4z z Z Z ===12AZ BZ ⋅ ()()()1,2,2,1,3,OA OB OC m =-== //OA OC AB OC AB OC ABC V ,,A B C ,,a b c sinsin 2A C a b A +=B ABC V 2c =C ABC V17．如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，是的中点，侧面底面.（1）求证：；（2）过侧面的对角线的平面交侧棱于点，若，求证：截面侧面；（3）若截面平面，成立吗？请说明理由.111A B C ABC -AB AC =D BC 11BB C C ⊥ABC 1AD CC ⊥11BB C C 1BC 1AA M 1AM MA =1MBC ⊥11BB C C 1MBC ⊥11BB C C 1AM MA =18．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流.(1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示.（i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）；（ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.19．如图，在四棱锥中，，，，△MAD 为等边三角形，平面平面ABCD ，点N 在棱MD 上，直线平面ACN ．(1)证明：．(2)设二面角的平面角为，直线CN 与平面ABCD 所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围．南京市雨花台中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学参考答案1．A2．A3．C4．B5．B6．C7．A8．C9．BCD10．ABD11．AC12．613．0.3 0.6514．15．(1) (2)M ABCD -AD BC ∥AC CD ⊥2BC AD =MAD ⊥//MB 2MN ND =M AC D --αθtan α⎡⎣tan θ43π4()1,2-16．(1) (2)（i ）；（ii ）17．（1）证明：，D 是的中点，.∵底面侧面，底面侧面，底面，侧面.又侧面，.（2）证明：如图，延长，与的延长线交于点N ，连接，则平面，，.，，，由已知侧面底面所以侧面底面，交线为，底面，侧面，平面，∴截面侧面.（3）成立.理由如下：过M 作于点E ，连接.∵截面侧面，根据面面垂直的性质，侧面.又侧面，，四点共面.侧面，平面，平面平面，.∴四边形是平行四边形，π3ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭AB AC = BC AD BC ∴⊥ABC ⊥11BB C C ABC ⋂11BB C C BC =AD ⊂ABC AD ∴⊥11BB C C 1CC ⊂11BB C C 1AD CC ∴⊥11B A BM 1C N 1C N ⊂11MB C 1AM MA = 111NA A B ∴=1111A B AC = 11111AC A N A B ∴==111C N B C ∴⊥11BB C C ⊥ABC11BB C C ⊥111A B C 11B C 1C N ⊂111A B C 1C N ∴⊥11BB C C 1C N ⊂11MB C 1MBC ⊥11BB C C 1ME BC ⊥DE 1MBC ⊥11BB C C ME ∴⊥11BB C C AD ⊥11BB C C //ME AD ∴,,,M E D A ∴//MA 11BB C C MA ⊂AMED AMED ⋂11BB C C DE =//AM DE ∴AMED又，.是的中点，，..18．(1)小吃类28家，生鲜类12家(2)（i ）75百分位数为487.5元，平均数为440元，（ii ）个数为28019．（1）证明：连接BD 交AC 于O ，连接ON ．因为，，所以根据相似的性质可得．因为直线平面ACN ，平面MBD ，平面平面，所以，则，所以．（2）取AD 的中点E ，AC 的中点F ，连接ME ，EF ，MF ．因为△MAD 为等边三角形，所以不妨设，则，．因为平面平面ABCD ，平面平面，平面,所以平面ABCD ，平面ABCD,所以，．又因为E ，F 分别为AD ，AC 的中点，所以，而，所以，又，平面MEF,则平面MEF ，平面MEF 得，所以∠MFE 是二面角的平面角，即．设，则，得．过N 作交AD 于H ，连接CH ，由于平面ABCD ，所以平面ABCD ，则∠NCH为直线CN 与平面ABCD 所成的角，即．，，．1//AM CC 1//DE CC ∴D BC 112DE CC ∴=111122AM CC AA ∴==1AM MA ∴=//AD BC 2BC AD =2BO BC OD AD==//MB MB ⊂ACN MBD ON =//MB ON 2MN BO ND OD==2MN ND =6MA AD MD ===ME =ME AD ⊥MAD ⊥MAD ⋂ABCD AD =ME ⊂AMD ME ⊥,EF AC ⊂ME EF ⊥ME AC ⊥//EF CD AC CD ⊥AC EF ⊥ME EF E ⋂=,ME EF ⊂AC ⊥MF ⊂AC MF ⊥M AC D --MFE α∠=EF m =tan ME EF α⎡==⎣m ⎡∈⎣//NH ME ME ⊥NH ⊥NCH θ∠=13NH ME ==113DH ED ==2CD m =因为，所以，则．因为，所以．故的取值范围为．cos 3CDm ADC AD ∠==CH=tan NH HCθ===m ⎡∈⎣tan θ=tanθ。
江苏南京秦淮中学等五校联合体2024年高一下学期期末考试数学试卷+答案
2023—2024学年第二学期期末试卷高一数学注意事项：1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）四部分。
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)，则复数zz －2i的虚部是 A ．45 B ． 45i C ． 35 D ．35i2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是 A ．若m ∥α，n α⊂，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若m ∥β，n ∥β，且m α⊂，n α⊂，则α∥βD ．若α⊥β，α β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β 3．已知数据x 1，x 2，x 3， …x n 的平均数为10，方差为5，数据3x 1－1，3x 2－1，3x 3－1， …3x n－1的平均数为—x ，方差为s 2，则 A ．—x =10，s 2=14 B ．—x =9，s 2=44 C ．—x =29，s 2=45D ．—x =29，s 2=444．向量→a 与→b 不共线，→AB ＝→a ＋ k →b ，→AC ＝ m →a －→b (k ，m ∈R )，若→AB 与→AC 共线，则k ，m 应满足A ．k ＋m ＝0B ．k -m ＝0C ．km ＋1＝0D ．km －1＝05．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件A ＝“第一枚向上点数为奇数”，事件B ＝“第二枚向上点数为偶数”，事件C ＝“两枚骰子向上点数之和为8”，事件D ＝“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则 A ． A 与C 互斥B ． A 与C 相互独立C ． B 与D 互斥 D ． B 与D 相互独立6． 在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．若2b cos C ＝2a －c ，A ＝π4，b ＝3，则实数a 的值为 A ． 6B ． 3C ． 6D ． 37． 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，P A ＝4，PC 与平面ABCD 所成角的大小为θ，且 tan θ＝223，则四棱锥P －ABCD 的外接球表面积为 A ． 26π B ． 28π C ． 34πD ． 14π8．已知sin2θ＝45，θ∈(0，π4) ，若cos(π4－θ)＝m cos(π4＋θ)，则实数m 的值A ．－3B ．3C ．2D ．－2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数z ＝i ＋3i 2(i 为虚数单位)，则下列结论正确的是 A ． z 的共轭复数为－3－iB ．z ·i=1－3iC ． z 在复平面内对应的点位于第二象限D ．|z ＋2|＝ 210．已知△ABC 内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是 A ．若sin A ＞sin B ，则A ＞BB ．若a cos B =b cos A ，则△ABC 为等腰三角形 C ．若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形D ．若a ＝1.5，b ＝2，A ＝30°的三角形有两解11．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，C 1C ，A 1A 的中点，则A ．M ，N ，B ，A 1四点共面B ．若a ＝2，则异面直线PD 1与MNC ．平面PMN 截正方体所得截面为等腰梯形D ．若a ＝1，则三棱锥P －MD 1B 的体积为124三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．12．一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是▲ .13．已知A(－3，5)，B(1，10)，C(2，1)，则tan∠ACB＝▲ .14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=120°，BD是△ABC的中线，且1BD=，则a＋c的最大值为▲．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15．(13分)已知sin α＝－55，α∈(π，3π2)，sin(α+β)＝513，β∈(π2，π)．（1）求tan2α的值；（2）求sinβ的值．16．(15分)某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，制成如图所示的频率直方图。
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江苏省南京市高一下学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2020高一下·温州期末) 已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值（）
A . 3
B .
C . 4
D .
2. （2分）执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）
A . 5
B . 4
C . 3
D . 2
3. （2分）为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是
A . 80
B . 70
C . 60
D . 30
4. （2分） (2018高二上·宾县期中) 把“二进制”数化为“五进制”数是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2019高二下·广东期中) 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是（）
A . 恰有1件一等品
B . 至少有一件一等品
C . 至多有一件一等品
D . 都不是一等品
6. （2分） (2017高二上·长春期末) 某班名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这
名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则等于（）
A . 45
B . 48
C . 50
D . 55
7. （2分）将函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为y=sinx，则y=sin（ωx+φ）图象上距离y轴最近的对称轴方程为（）
A . x=﹣
B . x=
C . x=﹣
D . x=
8. （2分） (2018高三上·杭州期中) 若 = ，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D . (以上 )
9. （2分）已知向量=（1，x），=（x，3），若与共线，则||=（）
A .
B .
C . 2
D . 4
10. （2分） (2019高一上·赤峰月考) 已知函数在上的最大值为，则m 的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）函数的图象（）
A . 对称关于点对称
B . 关于直线
C . 关于y轴对称
D . 关于原点对称
12. （2分） (2015高一上·雅安期末) △ABC的三个内角分别记为A，B，C，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC的值是（）
A . ﹣
B .
C .
D . ﹣
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高一下·临沂期末) 已知，，，则与的夹角
________．
14. （1分） (2015高二下·双流期中) 若a，b在区间（0，1）内，则椭圆 =1（a＞b＞0）与直线l：x+y=1在第一象限内有两个不同的交点的概率为________．
15. （1分）(2012·陕西理) 观察下列不等式：
，
，
…
照此规律，第五个不等式为________．
16. （1分） (2018高一下·龙岩期末) 如图，在同一个平面内，向量的模分别为1，，
，与的夹角为，且，与的夹角为135°.若，则 ________．
三、解答题 (共6题；共55分)
17. （10分） (2017高二下·衡水期末) 已知函数f（x）=sin（2x+ ）﹣cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期及x∈[ ， ]时f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，且角C为锐角，S△ABC= ，c=2，f（C+ ）= ﹣．求a，b的值．
18. （10分）(2019·全国Ⅲ卷理) 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。
经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
19. （10分） (2020高一下·通州期末) 已知，．
（1）若与同向，求；
（2）若与的夹角为，求．
20. （10分）(2018·安徽模拟) 如图，四棱柱的底面是正方形，为和
的交点，
若。
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值。
21. （5分）已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（）的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．
22. （10分） (2016高一下·驻马店期末) 已知向量 =（cos2x， sinx）， =（1，cosx），函数f（x）=2 • +m，且当x∈[0， ]时，f（x）的最小值为2．
（1）求m的值，并求f（x）图象的对称轴方程；
（2）设函数g（x）=[f（x）2]﹣f（x），x∈[0， ]，求g（x）的最大值．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、19-2、20-1、
20-2、21-1、
22-1、22-2、。