阶常系数齐次线性方程解法
高等数学11-5.1二阶常系数齐次线性微分方程(18)
三、小结
高等数学
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
y py qy 0
高等数学
r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
因此 u( x) 0
2r1 p 0
可取满足上式的简单函数 u( x) x
高等数学
由此得到方程 (1)的另一个与 y1 线性无关的解
y2
xe
r
1
x
于是，方程(1)的通解为 :y C1er1x C2 xer1 x (C1 C2 x)er1 x
3 当 p2 4q 0时,
特征方程有一对共轭复根 :
便是( 1 )的通解, 其中C1 , C 2是任意常数。
如何找出齐次方程的两个线性无关的解呢?
高等数学
下面介绍求解的欧拉指数法 ---特征方程法
由于当r为常数时,指数函数y erx及其各阶导数,
都只相差一个常数因子r, 根据指数函数的这个特点, 我们用y erx来尝试, 看能否取到适当的常数 r, 使y erx 满足方程(1)。
第五节 二阶常系数线性 微分方程
一、二阶常系数齐次线性方程
二、二阶常系数非齐次线性方程
高等数学
一、二阶常系数齐次线性方程解法
设二阶线性常系数齐次方程为
y py qy 0 (1) 由上一节的讨论可以知道，求出齐次方程的通解的 关键是找出方程的两个线性无关的特解 y1 , y2
这样
y C1 y1 C2 y2
y1线性无关的解
y2 ,
为此,
高阶常系数齐次线性微分方程的解法
高阶常系数齐次线性微分方程的解法
高阶常系数齐次线性微分方程（HCCLDE）是一类常见的微分方程，由一个高次项和多个常系数组成。
它可以用来描述许多物理系统的运动规律，如波动方程，动力学系统，电磁学系统等。
因此，解决高阶常系数齐次线性微分方程是一件重要而又复杂的工作。
首先，为了解决HCCLDE，需要根据给定的方程确定一
个基本的解，可以使用求解基本解的常用方法，如解析法、拉普拉斯变换、Fourier级数展开等。
其次，要求出方程的通解，需要对基本解进行叠加，也就是找到该方程的特解，可以采用求解特解的常用方法，如换元法、拉普拉斯变换、Laplace变
换等。
最后，将基本解和特解叠加，就可以得到高阶常系数齐次线性微分方程的通解。
为了求解HCCLDE，必须了解其特性，并利用相应的数
学方法。
根据HCCLDE的特性，可以把HCCLDE的解分为基本解和特解，并通过叠加这两类解得到它的通解。
此外，可以利用常用的方法求解基本解和特解，例如解析法、拉普拉斯变换、Fourier级数展开、换元法、Laplace变换等。
总之，解决高阶常系数齐次线性微分方程是一项复杂的任务，需要结合相关知识和技术，并利用一些常用的数学方法来解决。
通过了解HCCLDE的特性，可以将它的解分为基本解
和特解，并将它们叠加，最终得到HCCLDE的通解。
阶常系数齐次线性方程解法共59页文档
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
四阶常系数齐次线性微分方程
四阶常系数齐次线性微分方程\[a_4y^{(4)}+a_3y^{(3)}+a_2y''+a_1y'+a_0y=0\]的微分方程，其中$a_0,a_1,a_2,a_3,a_4$为常数，$y^{(4)}$表示$y$的四阶导数，$y''$表示$y$的二阶导数，$y'$表示$y$的一阶导数。
在本文中，我们将详细研究这种类型的微分方程及其解的性质。
一、特征方程和特征根对于四阶常系数线性齐次微分方程，我们可以构造其特征方程。
将$y=e^{rx}$代入方程，可得\[a_4r^4+a_3r^3+a_2r^2+a_1r+a_0=0\]这是一个关于$r$的代数方程，称为特征方程。
通过求解特征方程，可以得到其根$r_1,r_2,r_3,r_4$，这些根被称为特征根。
二、特解的形式根据特征根的不同情况，我们可以分为以下几种情况：1.当特征根都是不相同的实数$r_1,r_2,r_3,r_4$时，方程的通解可表示为\[y(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+C_3e^{r_3x}+C_4e^{r_4x}\]其中$C_1,C_2,C_3,C_4$为任意常数。
2. 当有重根$r_1=r_2=r_3\neq r_4$时，方程的通解可表示为\[y(x)=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^{r_1x}+C_4e^{r_4x}\]其中$C_1,C_2,C_3,C_4$为任意常数。
3. 当有一对共轭复根$r_1 = \alpha + \beta i, r_2 = \alpha -\beta i$和两个不相同实根$r_3, r_4$时，方程的通解可表示为\[y(x) = e^{\alpha x}[(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) + C_3e^{r_3x} + C_4e^{r_4x}]\]其中$C_1,C_2,C_3,C_4$为任意常数。
高(二)阶常系数线性微分方程-齐次方程解法
定义 设 y1 , y2 ,, yn为定义在区间 I 内
n 的n个函数．如果存在 个不全为零的常
数，使得当x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0，
那么称这 n 个函数在区间 I 内线性相
关．否则称线性无关。
例如 当x (, )时， e x，ex , e2x线性无关
例3：求微分方程y''-2y' 5 y 0的通解
解：特征方程2 2 5 0 特征根为一对共轭虚根1 1 2i，2 1 2i
故通解为：y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x)
练习1 求方程 y 4 y 4 y 0的通解. 解 特征方程为 r 2 4r 4 0 ,
(4)
y c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x) y1 c2( x) y2
将 y, y, y 代入方程(2), 得
c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x)( y1 P( x) y1 Q( x) y1) c2( x)( y2 P( x) y2 Q( x) y2 ) f ( x)
y py qy f ( x)
当 f ( x) 0时， 二阶常系数线性齐次微分方程
当 f ( x) 0时，二阶常系数线性非齐次微分方程
二、二阶常系数齐次线性微分方程
1.二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式:
y py qy 0
(1)
2.二阶齐次微分方程的解的结构:
(2)求出特征方程的两个根1、2
(3)根据特征根的不同情况写出通解
例1：求微分方程y''+4y' 3y 0的通解 解：特征方程2 +4 3 0 特征根为1 3，2 1
10.6二阶常系数齐次线性微分方程
微积分
二阶常系数齐次微分方程
―、特征方程法
二阶常系数齐次线性方程解法
特征方程法
y" + py' + qy = 0
设y = /x,将其代入上方程，
(r2 + pr + q )erx = 0
得
故有 r °+ pr + q = 0
主 ・.・e’x 特征0方, 程
特征根 ％ =~P2 -4q, 2
微积分
例2求微分方程y" -2y -8y=0
解特征方程为
r2 一 2r 一 8 = (r 一 4)(r + 2) = 0
解得 “=4g=_2
故所求通解为
一 y = c1 e4 x + c 2 e
2x
经济数学
微积分
例 ， 3求方程y" + 2y + 5y = 0的通
解. 解 特征方程为r2 + 2r + 5 = 0 ,
3)有一对共轭复根(A< 0)
伊 特征根为 r = a + ip, r2 = a- ，
( 伊 ) y1 = e a+ )% y2 = e(a-ip x,
1
重新组合yi = 2顷1 + y 2) =e" * p,
_i
y2 =
(yi - y2) =e"sin p，
2i
(注：利用欧拉公式eliC = cosx + isinx.)
二阶常系数齐次线性微分 方
第6节二阶常系数齐次线性微分方程 第十章微分方程与差分方程
主讲 韩华
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性 微分方程
一、定义 二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程的解法 四、n阶常系数齐次线性方程解法 阶常系数齐次线性方程解法 五、小结
一、定义
y′′ + py′ + qy = 0
二阶常系数齐次线性方程
y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程
1
′ ′ 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2 ，y2′ 代入原方程并化简，
u′′ + ( 2r1 + p )u′ + ( r + pr1 + q )u = 0,
2 1
知 u′′ = 0,
得齐次方程的通解为
则 y2 = xe r x , 取 u( x) = x, rx rx 1 y = C1e + C2 xe 1
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
r 2 + pr + q = 0
通解的表达式
≠ r2 实根 r1 = r2 复根 r = α ± iβ 1, 2
实根 r
1
y = C1e + C 2 e y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
1
=(C1 + C2 x)er1x;
有两个不相等的实根 (∆ > 0)
r1 = − p+ p 2 − 4q , 2 r2 = − p− p 2 − 4q , 2
两个线性无关的特解
y1 = e ,
r1 x
y2 = e ,
r2 x
常系数高阶齐次线性微分方程
总结词
通过幂级数展开来求解高阶线性微分方 程的一种方法。
VS
详细描述
幂级数法的基本思想是将未知函数表示为 一个幂级数，然后利用微分方程的性质， 将原方程转化为一个递推关系式，求解这 个递推关系式可以得到幂级数的系数，从 而得到原方程的解。这种方法适用于具有 特定形式的未知函数的高阶线性微分方程 。
积分因子法
计算
根据求解方法，通过计算得到通解的具体形 式。
05 方程的应用实例
在物理问题中的应用
量子力学
常系数高阶齐次线性微分方程在 量子力学中用于描述粒子的波函 数随时间的变化。例如，在求解 氢原子能级问题时，需要用到此 类方程。
波动问题
在研究波动问题，如声波、电磁 波等时，常系数高阶齐次线性微 分方程可以用来描述波的传播和 演化。
热传导问题
在求解热传导问题时，常系数高 阶齐次线性微分方程可以用来描 述温度随时间和空间的变化。
在工程问题中的应用
控制系统
在控制系统的分析和设计中，常系数高阶齐次线性微分方程用于描述系统的动态特性。例如，在航空航天、化工等领 域中，此类方程被广泛应用于各种控制系统的建模和仿真。
信号处理
在信号处理中，常系数高阶齐次线性微分方程用于描述信号的滤波、预测和补偿等过程。例如，在通信、雷达和图像 处理等领域中，此类方程被广泛应用于信号处理算法的设计和实现。
02 方程的解法
特征方程法
总结词
通过解特征方程来求解高阶线性微分方程的一种方法。
详细描述
特征方程法的基本思想是将高阶线性微分方程转化为多个一阶线性微分方程来求解。首先，我们对方程进行整理， 得到一个关于未知函数和其导数的多项式方程，然后令其为0，得到一个关于未知函数的多项式方程，即特征方 程。求解特征方程，可以得到一组根，对应于原方程的一组解。
二阶常系数齐次线性方程的解法
二阶常系数齐次线性方程的解法前面我们已经知道了，无论是线性齐次方程和非齐次方程，它们的通解结构虽然知道，但通解的寻求却是建立在已知特解的基础上。
但是，即使对二阶线性齐次方程，特解的寻求也没有一般的方法。
但是对于常系数的二阶线性齐次方程，它的通解可按一定的方法很容易求的。
二阶线性齐次方程的解法二阶线性齐次方程的一般形式为：，其中a1，a2为实常数。
我们知道指数函数e ax求导后仍为指数函数。
利用这个性质，可适当的选择常数ρ，使e ax满足方程上面的方程。
我们可令：，代入上面的方程得：因为e ax≠0，所以：这样，对于上面二次方程的每个根ρ，e ax就是方程的一个解。
方程就被称为方程的特征方程。
根据这个代数方程的根的不同性质，我们分三种不同的情况来讨论：1.特征方程有两个不等的实根的情形设此两实根为。
于是是齐次方程的两个特解，由于它们之比不等于常数，所以它们线性独立，因此，方程的通解为：其中c1，c2为实常数。
2.特征方程有重根的情形此时特征方程的重根应为：，于是只能得到的一个特解：，我们可根据常数变易法再求其另一个特解为：.于是方程的通解为:3.特征方程有共轭复根的情形设共轭复根为，那末是方程的两个线性独立的解，但是这种复数形式的解使用不方便，为了得到实数形式的解，利用欧拉公式：，为此可以得到方程的通解：由上面可知，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤为：1.对照方程写出其特征方程：；2.求出特征方程的两个根：ρ1，ρ23.根据ρ1，ρ2是不同实根，相同实根，共轭复根，分别利用上面的公式写出原方程的通解。
例题：求方程的通解.解答：此方程的特征方程为：它有两个不相同的实根，因此所求的通解为：[返回页首][关闭窗口]爱华女子网校版权所有，如若转载请联系我们。
高阶常系数齐次线性微分方程的解法
高阶常系数齐次线性微分方程的解法凯歌【摘要】常微分方程是微积分学的重要组成部分，求解高阶微分方程是常微分方程的一难点问题，通常用适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。
结合多年的教学经验，归纳总结给出高阶常系数齐次线性微分方程的一些求解方法，包括常系数齐次线性微分方程和欧拉方程以及可降阶的高阶微分方程等，并通过例题阐述各种方法。
%Ordinary Differential equation is an important part of differential and integration. Solving Ordinary Differential equation of difficult prob-lem is the differential equations of high order. Generally, in order to achieve the purpose to solve problems, it uses an appropriate variable substitution. With many years of teaching experience, summarizes to give some methods for solving the linear differential equation of higher-order, including homogeneous linear differential equation with constant coefficient, Euler equations and higher-order differential of reduce order and so on, gives an example to explain a variety of methods.【期刊名称】《现代计算机（专业版）》【年(卷),期】2016(000)002【总页数】4页(P26-28,51)【关键词】微分方程;特征方程;欧拉方程;齐次方程【作者】凯歌【作者单位】内蒙古财经大学统计与数学学院，呼和浩特 010070【正文语种】中文求解常微分方程的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶微分方程则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。
6.6阶常系数齐次线性微分方程解析
即
d2 y dy p qy 0（ , p, q为常数） 2 dx dx
称之为二阶常系数齐次线性微分方程。
2018/11/14
3
二阶常系数齐次线性微分方程的解法 ——特征方程法 d2 y dy
dx
2
p
rx
dx
qy 0（ , p, q为常数） (1)
r1 r2 R r1 r2 R
y C1e r1 x C 2e r2 x y C1e rx C2 xe rx y e (C1 cos x C2 sin x )
10
r1 i r2 i
2018/11/14
x
例2 求微分方程 y－5 y 6 y 0 的通解.
与位移大小成正比. G为小球的重力.
100 g f ma kx， k 20 g . 5
d2 x d2 x g 100 2 20 gx 即 2 x 0. dt dt 5
2018/11/14 2
在二阶齐次线性微分方程中，
d2 y dy P( x) Q( x ) y 0 2 dx dx
dx
2
p
dx
qy 0（ , p, q为常数） (1)
y1 ( y1 y2 ) e x cos x是方程(1)的解.
1 2
y2
1 2i
( y1 y2 ) e x sin x也是方程(1)的解.
8
y e x (C1 cos x C2 sin x )是方程(1)的通解.
2
设y e 是方程(1)的解，代入(1)得(r pr q)e 0.
常微分方程4.2n阶常系数线性齐次方程解法
Y
C1e1xT1
C2e2xT2
Cne
n
Tx 3n
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
高阶线性方程
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f x (4.5)
c2 e 2 x
c enx n 11
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
例1 求方程 y 8y 7 y 0 的通解。
解 第一步：特征方程及特征根
P() 2 8 7 0 1 1, 2 7
P() 0 满足
特征根
特征方程
结论： y e x 是方程的解的充要条件 满足 P() 0
9
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。
P() n a1n1 an1 an 0
复习内 容
一阶常系数线性齐次方程组的解法 高阶线性方程
高阶线性方程的通解结构
2
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
一阶常系数线性齐次方程组的解法
dY AY dx
第一步：写出方程组的系数矩阵A
y e x
二阶常系数 齐次微分方程的解
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x y ex(C1 cosx C2 sin x)
故所求通解为 y (C C x)e2x .
1
2
例2 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0,
解得 r1，2 1 2 j ,
故所求通解为
y e x (C cos 2 x C sin 2x).
1
2
三、n阶常系数齐次线性方程解
法
y(n) P y(n1) P y P y 0
1
n1
n
特征方程为 rn P rn1 P r P 0
1
n1
n
特征方程的根 若是k重根r
通解中的对应项
(C C x C xk1)erx
0
1
k1
若是k重共轭 复根 j
[(C C x C xk1)cosx
01
k1
(D D x D xk1)sinx]ex
0
1
k1
注意
n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数.
1
1
1
知 u 0,
取 u( x) x,
则
y2
xe , r1x
得齐次方程的通解为 y (C 1 C 2x )e r1x ;
有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 j, r2 j,
y e (j)x 1
,
y e (j)x 2
,
重新组合
y1
1( 2
y1
y2 )
ex
大学数学_6_6 二阶常系数齐次线性微分方程
当系数 P( x), Q( x) 分别为常数 p , q 时，方程 y py qy 0 （3） 称为二阶常系数齐次线性微分方程. 类似的，方程 y py qy f ( x) ( f ( x) 0) （4） 称为二阶常系数非齐次线性微分方程. 为了求解二阶常系数齐次线性微分方程， 我们先对二 阶齐次线性微分方程解的性质和通解结构作一些讨论.
1 x
1 x
1 x
所以 y2 e 2 x , y3 e1 x 也是原微分方程的解.
由定理 1 可得，C1 y1 C2 y2 （C1 , C2 是任意常数）是原 方程的解.又因两个任意常数C1 , C2 不可能合并为一个任意 常 数 ， 而 所 给 方 程 是 二 阶 的 ， 因 此 C1 y1 C2 y2 是 y y 2 y 0 的通解. 而 C1 y1 C3 y3 e x (C1 C3e) Cy1 ( 其中C C1 C3e) 实 质上只含有一个任意常数 , 故C1 y1 C3 y3 是原微分方程的 解，但不是原微分方程的通解. y1 e x 由例 1 可见， 2 x e 3 x 常数 （称 y1 e x , y2 e 2 x y2 e 是线性无关的） ，所以 C1 y1 C2 y2 是 y y 2 y 0 的通解. y3 e1 x 而 x e 常数（称 y1 e x , y3 e1 x 是线性相关的） ， y1 e 这就使得 C1 y1 C3 y3 中的常数可以合并成一个常数，从而 它不能构成原方程的通解.
ds 满足初始条件 s t 0 1, t 0 3 的特解. dt 2 2 解 特征方程 4r 4r 1 0 ，即 2r 1 0 , 1 特征根为 r1 r2 ，因此，所给方程的通解为 2
4-11-常系数高阶线性齐次方程的解法
4.2 常系数高阶线性方程基本解组求法(How to Solve higher order Linear ODE with constant coefficients)[教学内容] 1. 介绍常系数高阶齐次线性微分方程特征方程的概念; 2.介绍如何由常系数高阶齐次线性微分方程特征方程的根来获得原微分方程基本解组; 3. 介绍如何说明常系数齐次线性微分方程一组解能否构成基本解组;4. 介绍欧拉方程及其解法.[教学重难点] 重点是知道并会常系数高阶齐次线性微分方程（或 欧拉方程）特征方程来获得原微分方程基本解组； 难点是如何由特征方程的特征根来写出原微分方程的基本解组.[教学方法] 预习1、2；讲授3[考核目标]1. 能写出常系数高阶齐次线性微分方程或欧拉方程的特征方程的形式2. 能由常系数高阶齐次线性微分方程或欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组; 3. 知道试解法以及微分方程复函数解概念以及其与实函数解关系.1. 认识常系数高阶齐次线性微分方程的试解法.例45. 考察微分方程 x λdtdx =，由分离变量法可得其通解为λt Ce x =. 现考察常系数齐次线性微分方程06x dtdx dt x d 22=--. 大胆假定方程具有形如λt e x =的解，将其代入原方程得到，06)λ(λ e 2λt =--.注意到0e λt ≠，因此λt e x =是方程的解⇔ 06λλ2=--. 我们称代数方程06λλ2=--为微分方程06x dt dx dt x d 22=--的特征方程. ( 如何由常系数齐次线性微分方程来写出其特征方程 ？)由特征方程06λλ2=-- 解出3λ 2,λ21=-=，相应地得到原微分方程的两个解-2t 1e (t )x =，3t 2e x =.下面验证(t) x (t),x 21线性无关：21212)t (33t2t -3t -2t21λλ ,0λλ11e 3e 2e -e e (t)]x (t),W[x ≠≠==-（这里行列式叫做范德蒙行列式，参见《高等代数》 P79例2）因此，(t ) x (t ),x 21构成了原微分方程一个基本解组，原方程的通解为R C ,C ,e C e C x 213t 22t 1∈+=-.例46. Solve the differential equation 02y dtdy 6dt y d 222=++. Solution The associated characteristic equation is 026λ2λ2=++. By applying the quadratic formula, we get two different roots:2532216366λ±-=⋅-±-=。
n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法
n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法是一种常用的求解常微分方程的方法。
一般情况下，n阶常系数齐次线性常微分方程可以表示为：$$a_n\frac{d^nx}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1\frac{dx}{dt}+a_0x=f(t)$$其中，$a_n$、$a_{n-1}$、$\cdots$、$a_0$是常数，$f(t)$是右端函数。
首先，我们计算特征方程的根，即求解：$$a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=0$$当特征方程的根有重根时，求解该常微分方程的通解可以通过以下变换得到：$$x=C_1e^{\lambda_1t}+C_2te^{\lambda_1t}+\cdots+C_{m-1}t^{m-1}e^{\lambda_1t}+C_me^{\lambda_2t}+C_{m+1}te^{\lambda_2t}+\cd ots+C_{n-1}t^{n-1}e^{\lambda_2t}+C_nt^ne^{\lambda_2t}$$这里，$C_1$、$C_2$、$\cdots$、$C_n$是常数，而$\lambda_1$、$\lambda_2$是特征方程的根，其中$\lambda_1$可能与$\lambda_2$相等。
当特征方程的根没有重根时，求解该常微分方程的通解可以通过以下变换得到：$$x=C_1e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t}+\cdots+C_ne^{\lambda_ nt}$$这里，$C_1$、$C_2$、$\cdots$、$C_n$是常数，而$\lambda_1$、$\lambda_2$、$\cdots$、$\lambda_n$是特征方程的根。
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dp 代入原方程, 得 P f ( y , P ). dy
４、线性微分方程解的结构
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
5-习题课（57）
5
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y )dy f ( x )dx
解法
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
dy y (2) 齐次方程 形如 f( ) dx x y 解法 作变量代换 u x
特点 不显含未知函数y. 解法
令 y P ( x ),
y P ,
代入原方程, 得 P f ( x , P ( x )).
5-习题课（57） 15
( 3)
特点 解法
y f ( y , y ) 型
不显含自变量x .
பைடு நூலகம்
令 y P ( x ),
dp y P , dy
其中 du( x , y ) P ( x , y )dx Q( x , y )dy
5-习题课（57） 10
注意： 全微分方程
P Q y x
解法 应用曲线积分与路径无关.
u( x , y ) x P ( x , y )d x y Q( x0 , y )dy
0 0
5-习题课（57） 6
(3) 可化为齐次的方程
dy ax by c 形如 f( ) dx a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 齐次方程． 否则为非齐次方程．
解法
令
x X h, y Y k，
化为齐次方程．
（其中h和k是待定的常数）
5-习题课（57） 7
1 1 1 1 x y 可选用积分因子 , 2, 2 2, 2 , 2 , 2 等. 2 x y x x y x y y x
5-习题课（57） 14
3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y
( n)
f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
( 2)
y f ( x , y ) 型
x
y
Q( x , y )dy P ( x , y0 )d x ,
y0 x0
y
x
通解为
u( x , y ) c .
用直接凑全微分的方法.
5-习题课（57） 11
(7) 可化为全微分方程
形如
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
P Q 非全微分方程 ( ). y x
若 ( x , y ) 0 连续可微函数，且可使方程
( x , y ) P ( x , y )dx ( x , y )Q( x , y )dy 0 成为全 微分方程.则称 ( x , y ) 为方程的积分因子.
5-习题课（57）
12
公式法:
1 P Q 若 ( ) f ( x) Q y x 1 Q P 若 ( ) g( y ) P x y
P ( x ) dx P ( x ) dx y [ Q( x )e dx C ]e
（常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程
dy n 形如 P ( x ) y Q( x ) y dx
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
5-习题课（57）
4
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解． 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解． 初始条件 用来确定任意常数的条件.
xdy ydx y d arctg 2 2 x x y
xdy ydx d ln xy xy
xdx ydy 1 2 2 d ln( x y ) 2 2 x y 2
xdy ydx 1 x y d ln 2 2 x y 2 x y
一、主要内容
一阶方程 类 型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程
待 特征方程的根 定 及其对应项 系 数 法 f(x)的形式及其
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
观察法:
f ( x ) dx 则 ( x) e ;
g ( y ) dy 则 ( y) e .
熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出 积分因子．
5-习题课（57）
13
常见的全微分表达式
x2 y2 xdx ydy d 2
xdy ydx y d 2 x x
(4) 一阶线性微分方程
形如
dy P ( x ) y Q( x ) dx
上方程称为齐次的． 上方程称为非齐次的.
P ( x ) dx
当Q( x ) 0,
当Q( x ) 0,
解法 齐次方程的通解为 y Ce
.
（使用分离变量法）
5-习题课（57） 8
非齐次微分方程的通解为
5-习题课（57） 9
解法
需经过变量代换化为线性微分方程．
令z y
y 1 n z e
1 n
,
( 1 n ) P ( x ) dx
( 1 n ) P ( x ) dx ( Q( x )(1 n)e dx c ).
(6) 全微分方程 形如
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
7.伯努利方程
特解形式
5-习题课（57）
欧拉方程
2
微分方程解题思路
分离变量法
一阶方程
作 降 变 阶 换
作变换
非非 变全 全微分方程 量微 积分因子 可 分 分方 常数变易法 离程
高阶方程
特征方程法 幂级数解法 待定系数法
5-习题课（57） 3
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最