浅解心脏线

浅解心脏线

作者：尹肃、孙康

200911181002、200911181028 摘要

本文通过查找文献资料并进行一定的分析，对心脏线的定义，方程，性质，快速画法以及应用进行简单介绍。

关键词

心脏线逐点算法Morley定理

引言

心脏线（Cardioid）是de Castillon 在1741年的《Philosophical Transactions of the Royal Society》发表的；意为“像心脏的”。心脏线是外摆线的一种，亦可作为圆的包络线，用逐点算法可快速生成心脏线。

1.心脏线的定义

1.圆上定点在动切线上射影的轨迹

2. 一个尖点的外摆线

3.两圆过某一交点的动割线两端处切线交点的轨迹

在笛卡儿坐标系中，心脏线的参数方程为：

其中r是圆的半径。曲线的尖点位于（r，0）。在极坐标系中的方程为：

这是四个朝着不同方向的心脏线。

1.三角形的内切心脏线的中心O，总位于其Morley三角形的边上，当且仅当心脏线与三角形某边双重相切时。如图，

注；Morley定理

一个三角形的六条内角三等分线,与每边相邻的两线各交于一点,这三点是一个正三角形的顶点

2. 心脏线可作为圆的包络线。

设一心脏线的歧点为A、基圆是圆O。对于此心脏线上任一点P，若Q点是P

点在基圆上的对应点，亦即: Q是的垂直平分线与基圆相切的切点，则

=而且此心脏线过P点的切线就是过P而与PQ垂直的线。以Q为圆心、

为半径作一圆，此圆必经过A点与P点，而且此圆过P点的切线也是过P

而与垂直的直线。由此可知:以Q为圆心、为半径的圆必与上述心脏

线相切于P点。

前段所提的性质，可以作如下的解释:给定一定圆O及其圆周上一点A，若对于

圆O上所有点Q，以Q点为圆心、为半径作一圆，则所有此种圆都与以A

为歧点、圆O为基圆的心脏线相切;或者说，以A为歧点、圆O为基圆的心脏线是上述所有圆的包络线(envelope，见图)。

3.心脏线是一种外摆线

对于以A为歧点且圆O为基圆的心脏线上每个点p都可在基圆上找到一个对应点Q，使得A点与P点对基圆O过Q的切线QN对称，或是说，P点就是A点对切线QN的对称点;如果我们进一步作出基圆O对切线QN的对称图形，则所得图形是一个圆，它通过P点而且与基圆O相切于Q点(见图四)。因

为此圆的半径与基圆的半径相等而且=，所以，此圆上弧PQ的长与基

圆上弧AQ的长相等。这些现象显示什么意义呢?我们说明如下。

图四

取一个大小与基圆相同的滚动圆，让它沿着基圆的外部作没有滑动的滚动，滚动圆上选定一个定点，此定点在滚动前的位置是A。图四表示:当滚动圆滚动到与固定圆(即基圆)相切于Q点时，滚动圆上的定点就到达P点。由此可知:所谓心脏线，乃是当滚动圆与固定圆的半径相等时，滚动圆上的定点所描绘的曲线，这是一外摆线。

将心脏线视为外摆线，还有另一种描述方法。在图五中，设P是以A为歧点而圆O为基圆的心脏线上一点，Q是基圆上一点且点A与点P对基圆过Q的切线成对称。设直线PQ与基圆交于另一点R，直线AP与基圆交于另一点M。以M为圆心、基圆的直经为半径画一圆，此圆必通过P点且与基圆相切于R 点，我们将证明:基圆O上的弧AQR的长与大圆M上的弧PR的长相等。为什么呢?

图五

因为与平行，所以，=。又因为大圆M的半径是基圆O的半径的两倍，所以，大圆M上的弧PR的长等于基圆O上的弧QR的长

的两倍。另一方面，因为直线QQ'通过等腰三角形的顶点O且平行其

底边，所以，直线QQ'平分的顶角的外角，亦即:

=。由此可得=。于是，在基圆O上，弧AQ与弧QR 的长相等。将上述二等式结合，即得:大圆M上的弧PR的长等于小圆O上的弧AQR。这个现象的意义可说明如下。

取一个半径为基圆O的直径的滚动圆，让它沿着基圆的外部作没有滑动的滚动(请注意:两圆内切)，滚动圆上选定一个定点，此定点在滚动前的位置是A。图四表示:当滚动圆滚动到与固定圆(即基圆)相切于R点时，滚动圆上的定点就到达P点。由此可知:前述的心脏线，就是此滚动圆上的定点所描绘出来的曲线。

4. 心脏线是一垂足曲线

在图六中，设有一个以A点为歧点的心脏线，是此心脏线上通过A点的一

弦，直线与基圆O交于另一点M。作基圆O 的一直径，使得

而且是圆O 的一个内接四边形。因为的一组

对边与平行且等长，所以，是平行四边形。于是，

。又因为是圆内接四边形，所以，

。由此可得故是等腰三角形，

。另一方面，因为基圆O 过Q 的切线必与及垂直，所

以，此切线与的交点N 乃是的中点。由此可知：点P 是点 A 对基圆O 过Q 之切线的对称点。

图六

同理，点P'是点A对基圆O过Q'之切线的对称点。

若以A点为伸缩中心将基圆O放大二倍，则放大圆的圆心是图二中的B点且

半径为2a。若直线AQ与放大圆交于另一点QO，则因为，所以，

放大圆过QO 的切线与基圆过Q 的切线QN平行。因为= ，

= ，所以，QN线与直线QOP平行。由此可知:直线QOP就是放大圆过QO

的切线。因为。由此可知:前述心脏线上每个点P都是点A至放大

圆的某一切线的垂足。

若S为一曲线而A为一定点，则由点A至曲线S的所有切线的垂足所成的图形，称为曲线S对点A的垂足曲线(pedal curve)。根据前段的说明。可知:心脏线是一圆对其圆周上一定点的垂足曲线。

5. 心脏线是一焦线

在图七中，P是以A为歧点、圆O为基圆的心脏线上一点，的垂直平分线

与基圆相切于Q。另一方面，有一个与基圆同样大小的滚动圆，沿着基圆的外部作没有滑动的滚动。当滚动圆与基圆的切点由A滚动到变成Q时，滚动圆上的定点也由A 移动至P，此时，滚动圆的圆心是J，而且直线OQ与滚动圆的另一交点为I。因为基圆与滚动圆的半径相等，而且分别在两圆上的弧AQ与弧

QP的长度相等，所以，可得。若在上选取一

点C 使得，则。由此得。这个

等式代表什么意义呢？我们说明如下。