必修四第一章三角函数复习与小结(1)
必修四三角函数知识点经典总结
高一必修四：三角函数一 任意角的概念与弧度制 （一）角的概念的推广 1、角概念的推广：在平面，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。
按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。
习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。
射线旋转停止时对应的边叫角的终边。
2、特殊命名的角的定义：(1)正角，负角，零角：见上文。
(2)象限角：角的终边落在象限的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角终边在x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ (4)终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+ (5)与α终边反向的角：(21)x k απ=++终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ(6)若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 (7)成特殊关系的两角若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 注：(1)角的集合表示形式不唯一.(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同. 3、本节主要题型：1.表示终边位于指定区间的角.例1:写出在720-︒到720︒之间与1050-︒的终边相同的角. 例2:若α是第二象限的角,则2,2αα是第几象限的角?写出它们的一般表达形式.例3:①写出终边在y 轴上的集合.②写出终边和函数y x =-的图像重合,试写出角α的集合. ③α在第二象限角,试确定2,,23ααα所在的象限.④θ角终边与168︒角终边相同,求在[0,360)︒︒与3θ终边相同的角.（二）弧度制1、弧度制的定义：l Rα=2、角度与弧度的换算公式：360°=2π 180°=π1°=0.01745 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.一个式子中不能角度,弧度混用. 3、题型（1）角度与弧度的互化例:74315,330,,63ππ︒︒ （2）L R α=，211,22l r s lr r αα===的应用问题例1:已知扇形周长10cm ,面积24cm ,求中心角.例2:已知扇形弧度数为72︒,半径等于20cm ,求扇形的面积.例3:已知扇形周长40cm ,半径和圆心角取多大时,面积最大. 例4:121237570,750,,53ααβπβπ=-︒=︒==- a.求出12,αα弧度,象限.b.12,ββ用角度表示出,并在720~0-︒︒之间找出，他们有相同终边的所有角. 二 任意角三角函数 （一）三角函数的定义 1、任意角的三角函数定义正弦r y =αsin ，余弦r x=αcos ，正切xy =αtan 2、三角函数的定义域：三角函数 定义域=)(x f sin x {}R x x ∈| =)(x f cos x {}R x x ∈|=)(x f tan x⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且（二）单位圆与三角函数线1、单位圆的三角函数线定义如图(1)PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线。
必修四第一章第3节 三角函数的图象和性质(一)周期性与图象
年级高一学科数学版本苏教版课程标题必修四第一章第3节三角函数的图象和性质（一）周期性与图象编稿老师王东一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破1. 掌握正弦、余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象。
通过三角函数的图象研究其性质。
2. 注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用。
3. 掌握正弦型函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题。
高考命题趋势考查内容1. 对三角函数图象的考查多以选择题、填空题为主。
对数形结合思想的考查主要通过三角函数图象和单位圆中的三角函数线等来体现。
2. 三角函数的性质是考查的重点，这类题目概念性强，具有一定的综合性与难度。
能力要求熟练掌握基本技能与基本方法。
难度与赋分高考中以三基为主，多为基础题目，每年分值约为8分。
二、重难点提示重点：正弦、余弦、正切函数的周期性、图象及性质；函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象及参数对函数图象变化的影响。
难点：周期函数的概念；画三角函数的图象；函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象与正弦曲线的关系。
一、知识脉络图正弦函数y=sinx三角函数的图象余弦函数y=cosx正切函数y=tanxy=Asin（ωx+φ）作图象描点法（五点作图法）几何作图法性质定义域、值域单调性、奇偶性、周期性对称性最值二、知识点拨1. 正弦、余弦、正切函数的主要性质函数性质y＝sin x y＝cos x y＝tan x定义域R R{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1，1][－1，1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2（k∈Z）对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ（k∈Z）对称中心：)(0,2Zkk∈⎪⎭⎫⎝⎛+ππ无对称轴对称中心：⎝⎛⎭⎫kπ2，0（k∈Z）周期2π2ππ单调性单调增区间⎣⎡2kπ－π2，2kπ＋⎦⎤π2（k∈Z）；单调减区间⎣⎡2kπ＋π2，2kπ＋⎦⎤3π2（k∈Z）单调增区间[2kπ－π，kπ]（k∈Z）；单调减区间[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）单调增区间⎝⎛kπ－π2，kπ＋⎭⎫π2（k∈Z）奇偶性奇偶奇2. 函数y＝A sin（ωx＋φ）（1）用五点法画y＝A sin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找到五个特征点。
高中数学必修4第一章_三角函数知识复习
1第一章 三角函数知识点1、角的定义：⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角。
第一象限角的集合为22,2k k k παπαπ⎧⎫<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭第二象限角的集合为22,2k k k παπαππ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭第三象限角的集合为322,2k k k παππαπ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭第四象限角的集合为3222,2k k k παπαππ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭终边在x 轴上的角的集合为{},k k ααπ=∈Z 终边在y 轴上的角的集合为,2k k πααπ⎧⎫=+∈Z ⎨⎬⎩⎭终边在坐标轴上的角的集合为,2k k παα⎧⎫=∈Z ⎨⎬⎩⎭3、与角α终边相同的角的集合为{}2,k k ββπα=+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域。
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度。
6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=。
7、弧度制与角度制的换算公式：180********.3180πππ⎛⎫===≈ ⎪⎝⎭，，8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==。
9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin yrα=，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠。
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正。
高中数学必修四第一章《三角函数》学案 三角函数章节复习与小结(教师版)
三角函数章节复习与小结 总第 16课时学习目标：1、对本章知识系统化，网络化。
2、通过本章学习，感受三角函数与实际生活的紧密联系，感受数学的价值. 学习重点：三角函数的图象与性质. 学习难点：三角函数知识的综合运用. 学习过程：一、问题背景1、三角函数章节有关知识点：⑴三角函数的定义，符号，任意角三角函数 ⑵三角函数线，弧长公式，弧度与角度的互化 ⑶同角三角函数关系式 ⑷诱导公式⑸三角函数的性质，定义域，值域，周期性，奇偶性，最值，对称轴，对称中心（6） 本章内容结构图：二、探究研究1 .一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积是：A ． ))1sin(cos 2(212R - B ．)1sin(cos 212RＣ．221R Ｄ．221cos 1sin R R -解析：D 。
２.设θ是第二象限角，则必有： Ａ.2cot2tanθθ>；Ｂ.2cot2tanθθ<；Ｃ.2cos2sinθθ>；Ｄ.2cos2sinθθ<解析：A 。
3. 已知Ｐ（-4k,3k ）(0≠k )是角α终边上一点，则ααcos sin 2+ 的值等于：同角三角函数 基本关系式诱导公式任意角的三角函数任意角的概念 )sin(ϕω+=x A y 图象和性质 正弦、余弦、正切函数的图象和性质 已知三角函数值求角 三角函数式的计算与化简，证明三角恒等式 角度制 弧度制弧长及面积公式 应用应用应用Ａ.52±Ｂ. 52 Ｃ. 52- Ｄ.51±解析：A 。
４.将函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，再使图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的２倍，得到x y cos =的图象，则)(x f 可能是：Ａ.)62cos()(π+=x x f Ｂ. )62cos()(π-=x x fＣ. )32cos()(π+=x x f Ｄ. )32cos()(π-=x x f解析：D 。
必修4 第一章 三角函数 知识点详解
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按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.二: 象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
三: 终边相同的角的表示：= 1 \* GB3 ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：= 2 \* GB3 ②终边在x轴上的角的集合：= 3 \* GB3 ③终边在y轴上的角的集合：= 4 \* GB3 ④终边在坐标轴上的角的集合：= 5 \* GB3 ⑤终边在y=x轴上的角的集合：= 6 \* GB3 ⑥终边在轴上的角的集合：= 7 \* GB3 ⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：= 8 \* GB3 ⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：= 9 \* GB3 ⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：= 10 \* GB3 ⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：注意: (1) 终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2) 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3) 终边相同的角有无数多个，它们相差的360°整数倍.四: 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745, 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ．1°＝≈0.01745（rad）五: 弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad).任意角的三角函数一: 任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，，，，。
必修四第一章三角函数复习与小结(1)
年级高一学科数学版本苏教版课程标题必修四第一章三角函数复习与小结编稿老师王东一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破1. 三角函数的概念三角函数的概念多在选择题或填空题中出现，主要考查三角函数的意义、三角函数值符号的选取和终边相同的角的集合的运用。
2. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式此处主要考查公式在求三角函数值时的应用，考查利用公式进行恒等变形的技能，以及基本运算能力，特别突出算理、算法的考查。
3. 三角函数的图象与性质三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，要熟练掌握三角函数图象的变换和解析式的确定及通过图象的描绘、观察，讨论函数的有关性质。
4. 三角函数的应用主要考查由解析式作出图象并研究性质，由图象探求三角函数模型的解析式，利用三角函数模型解决最值问题。
三角函数来源于测量学和天文学。
在现代科学中，三角函数在物理学、天文学、测量学以及其他各种技术学科中有着广泛的应用。
三角函数是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础。
本章主要利用数形结合的思想。
在研究一些复杂的三角函数时要应用换元法的思想，还要注意化归的思想在三角函数式化简求值中的应用，主化归的思想要包括以下三个方面：化未知为已知；化特殊为一般；等价化归。
二、重难点提示重点：角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的图象与性质、“五点法”作图、诱导公式、函数y ＝（ωx＋φ）的图象与正弦函数y ＝的图象间的关系、同角三角函数的基本关系。
难点：三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由正弦函数到y ＝（ωx＋φ）的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求值、化简和证明等。
一、知识脉络图：二、知识点拨：1. x y sin =与x y cos =的周期是π。
2. )sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期为ωπ2=T 。
3. 2tan x y =的周期为2π。
4.)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x （Z k ∈），对称中心为（0,πk ）；)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心为（0,21ππ+k ）；)tan(ϕω+=x y 的对称中心为（0,2πk ）。
(完整word版)必修四第一章三角函数 知识点及练习 讲义
高一数学下必修四第一章三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=．P xyAOM T 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()220r r x y =+>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()m a x m i n 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域R R ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1- []1,1- R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期 性 2π 2π π 奇偶性奇函数 偶函数 奇函数 函数 性质单调性在2,222k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是增函数；在32,222k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是减函数．在[]()2,2k k kπππ-∈Z上是增函数；在[]2,2k kπππ+()k∈Z上是减函数．在,22k kππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k∈Z上是增函数．对称中心()(),0k kπ∈Z(),02k kππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭(),02kkπ⎛⎫∈Z⎪⎝⎭对称轴()2x k kππ=+∈Z()x k kπ=∈Z无对称轴第一章《三角函数》综合练习一、选择题1.已知角α的终边经过点0p （-3，-4），则)2cos(απ+的值为（ ）A.54-B.53C.54D.53-2.半径为πcm ，圆心角为120︒所对的弧长为（）A .3πcmB .23πcmC .23πcm D .223πcm 3.函数12sin[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是（）A .3π，2-，4πB .3π，2，12π C .6π，2，12π D .6π，2，4π 4.sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，然后把图象沿x 轴向右平移3π个单位，则表达式为（ ） A .1sin()26y x π=- B .2sin(2)3y x π=- C .sin(2)3y x π=- D .1sin()23y x π=-5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于点(π3，0)对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称6.如图，曲线对应的函数是 （ ） A ．y=|sin x | B ．y=sin|x |C ．y=－sin|x |D ．y=－|sin x |7．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（）A ．2B ．0C ．41 D ．68．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6(x ∈[0，π])的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，11π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，11π12 9.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象 如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（ ）A.4=AB.1ω=C.6πϕ= D.4=B10.已知1cos()63πα+=-，则sin()3πα-的值为（）A .13B .13-C .233D .233-11.已知α、β是第二象限的角，且βαcos cos >，则 （ ）A.βα<;B.βαsin sin >；C.βαtan tan >；D.以上都不对12.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于( )A. 1B.22C. 0D.22-二、填空题13．函数x x f cos 21)(-=的定义域是______________14．若sin α＋cos αsin α－cos α ＝2，则sin αcos α的值是_____________.15、函数])32,6[)(6cos(πππ∈+=x x y 的值域是 ． 16．函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是__________. 三、解答题17.已知α是第二象限角，sin()tan()()sin()cos(2)tan()f πααπαπαπαα---=+--．（1）化简()f α； （2）若31sin()23πα-=-，求()f α的值．18.已知tan 3α=，求下列各式的值： （1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+ ；（2）212sin cos cos ααα+．19．（1）画出函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x 在一个周期的函数图像；（2）求出函数的对称中心和对称轴方程．20．已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)判断其奇偶性．(2)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最大值，并求取得最大值时的x ；21．已知函数45)62sin(21++=πx y (1)求函数的单调递增区间； (2)写出y=sinx 图象如何变换到15sin(2)264y x π=++的图象第一章《三角函数》综合练习答案一、选择题1-5 CDCBB 6-10 CBBCA 11-12 BB 二、填空题13、5[2,2],33k k k Z ππππ++∈14、31015、31[,]22-16、13k << 17. 解析：（1）sin (tan )1()sin cos (tan )cos f ααααααα-==---；（2）若31sin()23πα-=-，则有1cos 3α=-，所以()f α=3。
(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳
三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。
高中数学必修4第一章三角函数知识点(学生版)
4、长度等于
的弧所对的
叫做 1 弧度． ．
第一章 三角函数
正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角
5、半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ，则角 的弧度数的绝对值是 6、弧度制与角度制的换算公式： 2
时原函数值的符号.
15、①函数 y sin x 的图象上所有点 再将函数 y sin x 的图象上所有点 再将函数 y sin x 的图象上所有点 ②函数 y sin x 的图象上所有点 再将函数 y sin x 的图象上所有点 再将函数 y sin x 的图象上所有点 16、函数 y sin x 0, 0 的性质： ①振幅： ；②周期： ；③频率： ；④相位：
；⑤初相：
．
函数 y sin x ，当 x x1 时，取得最小值为 ymin ；当 x x2 时，取得最大值为 ymax ，则
1 1 ymax ymin ， ymax ymin ， x2 x1 x1 x2 ． 2 2 2
第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
11、如图，设单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A ，角 的始边交于点 P （角 的始边与 x 轴的非负 半轴重合）.过点 P 作 x 轴的垂线 PM ,垂足为 M ，过点 A 作单位圆的切线交 OP 的延长线（或反 向延长线）于 T 点.
y P
T P A x
360
180 ， 180 ， 1 57.30 ．
2、角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则 称 为第几象限角． 与角 终边相同的角的集合为 3、相关角的集合
(新课程)2013高中数学 第1章《三角函数》教案 苏教版必修4
本章复习与小结三角函数一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广(1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+⋅=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量(1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1)(180'≈==ππ弧度弧度(3)弧长公式:r l ⋅=α 扇形面积公式:22121r lr S α== 3.任意角的三角函数yxx y x rr x y r r y ======ααααααcot tan sec cos csc sin注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式 （一）诱导公式：απ±⋅2k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号看象限”。
如：,27cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ ()⎪⎭⎫⎝⎛--απαπ25sin ;5tan 等。
（二）同角三角函数的基本关系式： ①平方关系1cos sin 22=+αα；αααα2222tan 11cos cos 1tan 1+=⇔=+②商式关系αααtan cos sin =；αααcot sin cos = ③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。
关于公式1cos sin 22=+αα的深化()2cos sin sin 1ααα±=±；αααcos sin sin 1±=±；2cos2sinsin 1ααα+=+如：4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=-注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数。
2、主要用途：a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的X 围，②用三角函数的定义求解会更方便）； b) 化简同角三角函数式； 三、三角函数的性质y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx图象定义域 x ∈R x ∈R x ≠k π+2π(k ∈Z ) x ≠k π(k ∈Z ) 值域 y ∈[－1,1] y ∈[－1,1] y ∈R y ∈R 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在区间[2k π－2π,2k π+2π]上都是增函数在区间[2k π+2π，2k π+23π]上都是减函数 在区间[2k π－2k π]上都是增函数 在区间[2k π，2k π+π]上都是减函数在每一个开区间 (k π－2π, k π+2π) 内都是增函数在每一个开区间（k π,k π+π）内都是减函数周期 T=2πT=2π T=πT=π 对称轴 2ππ+=k xπk x =无无对称 中心()0,πk⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2ππk ⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk ⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk基础题型归类1.运用诱导公式化简与求值：要求：掌握2k πα+,πα+,α-,πα-,2πα-,2πα+等诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 例1.求值：cos600练1 （1）若cos(π+α)=12-，32π<α<2π, 则sin(2π－α)等于.（2）若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为.（3）sin (176-π)的值为.2.运用同角关系化简与求值：要求：掌握同角二式（22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα=），并能灵活运用. 方法：平方法、切弦互化. 例2 （1）化简sin 1sin tan tan sin cos x x x x x x +--； （2）已知51cos sin =+x x , 且π<<x 0, 求x tan 的值.练2 （1）已知81cos sin =⋅αα，且4π＜α＜2π，则ααsin cos -的值为. （2）已知αtan =3, 计算：（i ）2212sin cos sin cos αααα+-； （ii ）αααα22cos 4cos sin 3sin +-. 3.运用单位圆及三角函数线：要求：掌握三角函数线，利用它解简单的三角方程与三角不等式. 方法：数形结合. 例5 （1）已知42ππθ<<，则sin θ、cos θ、tan θ的大小顺序为.（2）函数12()log (sin cos )f x x x =-的定义域为.练5 （1）若1cos 2α>-, 则角α的取值集合为____________.（2）在区间（0，2π）内，使x x cos sin <成立的x 的取值X 围 . 4.弧度制与扇形弧长、面积公式：要求：掌握扇形的弧长与面积计算公式，掌握弧度制. 方法：方程思想.例6 某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的弧度数为.练6 （1）终边在直线y =上的所有角的集合为，其中在－2π～2π间的角有. （2）若α为第三象限角，那么－α，2α、2α为第几象限的角? 5.三角函数的定义、定义域与值域：要求：掌握三角函数定义（单位圆、终边上点），能求定义域与值域. 方法：定义法、数形结合、整体.例7角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－54，则m 的值是.练7 （1）函数()tan(2)13f x x π=--+的定义域为____________.（2）把函数)32sin(π+=x y 的图像上各点的横坐标变为原来的13，再把所得图像向右平移8π，得到. 6.三角函数的图象与性质：要求：掌握五点法作图、给图求式，由图象研究性质. 方法：五点法、待定系数法、数形结合、整体.例8 （1）已知函数()tan(2)26f x x π=++.求()f x 的最小正周期、定义域、单调区间.（2）已知函数3sin(2)4y x π=+.（i ）求此函数的周期，用“五点法”作出其在长度为一个周期的闭区间上的简图. （ii ）求此函数的最小值及取最小值时相应的x 值的集合 练8 （1）函数sin()(0,0,)y A x A ωϕωϕπ=+>><最高点D 的坐标是(2,2)，由最高点运动到相邻的最低点时，函数图象与x 轴的交点坐标是(4，0)，则函数的表达式是 . （2）如图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象. 则其解析式为.（3）函数12log sin(2)4y x π=+的单调减区间为.（4）函数2cos ,[0,2]y x x π=∈的图象和直线y =2所围成的封闭图形的面积为. （5）画出函数3sin(2)3y x π=+，x ∈R 的简图. 并有图象研究单调区间、对称轴、对称中心.7.三角函数的应用（1）某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）函数，记为)(t f y =，下面是某日水深数据： t （时） 03691215182124y （米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经过长期观察，)(t f y =的曲线可以近似看成y=Asin ωt+b 的图象. （i ）根据以上数据求出)(t f y =的近似表达式；（ii ）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？（忽略进出时间）.（2）如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式sin()(0,0),I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.根据图象得到sin()I A t ωϕ=+的一个解析式是 .（3）已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，经过长期的观察，该函数的图象可以近似地看成sin()y A t b ωϕ=++.下表是测得的某日各时的浪高数据：依规定，当浪高不低于1米时浴场才开放，试安排白天内开放浴场的具体时间段.t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y （米） 1.51.00.51.01.51.00.50.991.5。
山东省高中数学《第一章 三角函数》归纳整合课件 新人教A版必修4
轴对称图形， 对 轴对称图形，对称轴方 称轴方程是 x＝ 中心对称图 π kπ，k∈Z；中心 形，对称中 程是 x＝kπ＋2，k∈Z； 对称性 kπ 对称图形， 对称 心 2 ，0(k 中心对称图形，对称中 π kπ＋ ，0 中心 心(kπ，0)k∈Z 2 ∈Z) k∈Z
π 2x＋ 的图象( 6
π 2x－ 的图象， 3
)． π B．向右平移 个长度单位 4 π D．向右平移 个长度单位 2
π A．向左平移 个长度单位 4 π C．向左平移 个长度单位 2
解析
π π y＝sin2x＋6＝sin2x＋12，
专题四
三角函数的性质
高考中三角函数的性质是必考内容之一，着重考查三角函数的 定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，特别是 复合函数的单调性问题应引起重视．
【例 5】 函数 f(x)＝3sin
π 2x－ 的图象为 3
C.
11 ①图象 C 关于直线 x＝ π 对称； 12 ②函数
专题一
任意角的三角函数的定义及三角函数线
掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利 用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函 数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
【例 1】 求函数 y＝ sin x＋ 解 由题意知
1 cos x－2的定义域．
sin x≥0， sin x≥0， 即 1 1 cos x－2≥0， cos x≥2， 如图，结合三角函数线知：
3π y＝sin2x－ 4 的单调递增区间是
π 5π [kπ＋8，kπ＋ 8 ](k∈Z)．
(3)由
3π y＝sin2x－ 4 ， 8
必修四第一章 三角函数解题技巧
必修四第一章 三角函数解题技巧1 例说弧度制中的扇形问题与扇形有关的问题是弧度制中的难点，我们可以应用弧长公式l ＝|α|r 和扇形面积公式S ＝12|α|r 2解决一些实际问题，这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性，又能帮助我们加深对弧度制概念的理解．下面通过几例帮助同学们分析、归纳弧度制下的扇形问题． 例1 已知扇形的圆心为60°，所在圆的半径为10，求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积．例2 扇形的半径为R ，其圆心角α(0＜α≤π)为多大时，扇形内切圆面积最大，其最大值是多少？例3 已知扇形的周长为30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？针对练习：1．扇形的周长C 一定时，它的圆心角θ取何值才能使扇形面积S 最大？最大值是多少？2．在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，弧AB 的长为l ，求此扇形内切圆的面积．3．已知扇形AOB 的周长是6 cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积．2 任意角三角函数问题错解辨析任意角三角函数是三角函数的基础，在学习这部分内容时，有的同学经常因为概念不清、考虑不周、观察代替推理等原因而错解题目，下面就解题中容易出现的错误进行分类讲解，供同学们参考．一、概念不清例1 已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α＋cos α的值．二、观察代替推理例2 当α∈(0，π2)时，求证：sin α＜tan α.三、估算能力差例3 若θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin θ＋cos θ的一个可能的值是( ) A.23B.27πC.4－22 D ．13 同角三角函数关系巧应用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系巧应用．一、知一求二型例1 已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝_________________________________.二、妙用“1”例2 证明：1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝32.三、齐次式型求值例3 已知tan α＝2，求值：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α＝________.4 单调不“单调”，应用很“奇妙”三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容．利用其可以方便地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等．下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，希望能对同学们的学习有所帮助．一、信心体验——比较大小例1 比较cos5π14，sin 2π7，－cos 8π7的大小．二、重拳出击——求解最值例2 已知f (x )＝2sin(2x －π4)，x ∈R .求函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．三、触类旁通——解不等式例3 若0≤α<2π，sin α>33cos α，求α的取值范围．5 善用数学思想——巧解题一、数形结合思想例1 在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．二、分类讨论思想例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．三、函数与方程的思想例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π3)的最大值是________．四、转化与化归思想例4 比较下列每组数的大小．(1)tan 1，tan 2，tan 3；(2)tan(－13 π4)与tan(－17 π5)．6 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”．要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象．下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会．一、定义域例1 函数y ＝ cos x －12的定义域为________．二、值域与最值例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________．三、单调性例3 已知函数f (x )＝sin(π3－2x )，求：(1)函数f (x )的单调递减区间；(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调递减区间．四、周期性与对称性例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝5π12D ．x ＝π3五、奇偶性例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π))是偶函数，则φ等于( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π37 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题．一、确定函数的值域例1 定义运算a ※b 为a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值域为( )A ．[－1,1]B.⎣⎡⎦⎤－22，1C.⎣⎡⎦⎤－1，22D.⎣⎡⎦⎤－1，－22二、确定零点个数例2 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为________．三、确定参数的值例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________________________________________________.四、判断函数单调性例4 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上是增函数 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，13π12上是增函数 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π4上是减函数 D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数五、确定参数范围例5 当0≤x ≤1时，不等式sinπx 2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________．六、研究方程的实根例6 已知方程2sin(2x ＋π3)－1＝a ，x ∈[－π6，13π12]有两解，求a 的取值范围．8 三角函数学习中的“小技巧、大突破”从近几年高考数学试卷统计情况看，三角函数是高考的六大板块之一，每年考一道大题和一道小题，而一道大题里面往往又隐含了若干个小问题．所以，高中生应该注意三角函数知识里面的容易被忽略的一些小问题、小技巧．一、“已知三角函数值求角”问题在学习过程中学生们通常存在这么几个困惑：1、给出一个三角函数值可能对应着多个或无数个角，不知道该先求哪个角？2、不能准确的写出已知要求的那个范围的角．下面以四个例题说明：例1 已知sin x ＝22且x ∈[－π2，π2]，求x 的取值集合． 例2 已知sin x ＝－22且x ∈[－π2，π2]，求x 的取值集合． 例3 已知sin x ＝－22且x ∈[0,2π]，求x 的取值集合． 例4 已知sin x ＝－22，求x 的取值集合．二、“利用三角函数的单调性比较大小”问题在教学中通常要求学生把三角函数化成同名且自变量落在一个单调区间内即可，但是学生在实际操作过程中容易混淆单调区间，不如我们把此问题中的自变量利用诱导公式负角化为正角，正角统一都化为锐角，这样就更简洁、明朗了，因为正弦、余弦、正切函数都在区间(0，π2)内的单调性依次为：单调递增、单调递减、单调递增。
高一下册数学必修四第一章 三角函数.知识点及同步练习
巩固练习
1、 在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的
关系一定是 （ ）
A．α=－β B．α+β=k·360°(k∈Z) C．α－β=k·360°(k∈Z)
D．以上答案都不对
2、圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是
（）
A．等于1弧度 B．大于1弧度 C．小于1弧度
D．无法
判断
（2） 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角
α终边相同的所有角． 例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 例5．写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式－ 360°≤β＜720°的元素β写出来． 思考题：已知α角是第三象限角，则α/2，α/3，α/4各是第 几象限角？
D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝
11、下列命题是真命题的是（ ）
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是
锐角
C．不相等的角终边一定不同
D．=
12、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、
C关系是（ ）
A．B=A∩C B．B∪C=C
度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
3．思考：
（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确
定的？与圆的半径大小有关吗？
弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为
②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是一个正数．
④负角的弧度数是一
个负数．
⑤零角的弧度数是零．
⑥角α的弧度数的绝
对值|α|=
始边 终边 顶点 A O B
2021年高中苏教版数学必修4名师导学：第1章 第10课时 三角函数的图象与性质（1）
第10课时三角函数的图象与性质(1)教学过程一、问题情境先观看一个物理试验:这个试验的名称叫做“砂摆试验”,就是将一个装满细砂的漏斗挂在一个铁架上做单摆运动时,沙子落在与单摆运动方向垂直的木板上,我们通过试验看看落在木板上的细砂轨迹是什么?二、数学建构这个曲线在实际生活中经常遇到,同时它也是我们平常所学习过的一个函数的图象,该曲线就是我们这阶段正在学习的正弦函数或余弦函数的图象,点明课题:正弦函数、余弦函数的图象及其画法.首先争辩一下正弦函数y=sin x的图象画法,问题1对于正弦函数y=sin x,在上节课我们已知道正弦函数是周期函数,那么这对作出正弦函数y=sin x的图象有没有挂念?(正弦函数y=sin x是周期函数,它的最小正周期为2π;由于正弦函数的周期为2π,因此我们只需画出一个周期的图象,然后依据周期性就可以得到整个函数的图象了)问题2假如请你画,你会选择怎样的区间?(选择最生疏的区间[0,2π])问题3作函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象最基本的方法是什么?其具体步骤又是什么?(描点法(列表、描点、连线))下面可以结合同学的预习,投影呈现利用描点法作出正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]上的图象.(1)列表:x0πππ…2πy010 0(2)描点;(3)连线.(如图1)(图1)问题4以上我们利用描点法作出了正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,在上面作图中,你觉得有不满足的地方吗?(描点越多,图象越精确,感觉描的点还不够多(等等))同学可能不会留意点的位置精确度不高,老师可作如下点评:在上面的作图中,我们只是借助于有限的几个特殊角进行描点,这样作出的图象精确度就会打折扣,假如图画得不精确,会影响后面更深化地争辩正弦函数的性质.问题5有没有方法精确地标出正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]上任意一点Q(x0, sin x0)呢?(同学可能会供应下面的方法1,在前面指、对数函数和幂函数中已经多次使用过:方法1:我们可以借助计算机计算出sin x0,从而接受描点法作出正弦函数的图象(如图2):x sin x x sin x0010.8414710.10.0998331.10.8912070.20.1986691.20.9320390.30.295521.30.9635580.40.3894181.40.985450.50.4794261.50.9974950.60.5646421.60.9995740.70.6442181.70.9916650.80.7173561.80.9738480.90.7833271.90.9463(图2)老师可以接着提问下面的问题:可不行以不借助电脑而直接利用尺规来描点作图呢?(换句话说就是能否利用几何图形表示出sin x0)方法2:借助正弦线描点作出正弦函数的图象.第一步:列表.首先在单位圆中画出0,,,,…,2π的正弦线,并在x轴上[0,2π]这一段相应的分成12等份.其次步:描点.把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点.第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线平移后的终点连接起来,就得到正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象(如图3).(图3)作法点评:相比较方法1,方法2作出的图象较为精确了,特殊对于利用正弦线作图,图象的变化一目了然:(老师可以再用动画演示一下)当自变量x由0渐渐增大时,图象在递增并且呈上凸外形,在处函数达到最大值,在递减且上凸,过了π点,在连续递减并且下凸,到π达到最小值,之后在递增且下凸……问题6以上作出了y=sin x,x∈[0,2π]的图象,那么y=sin x,x∈R的图象怎么作出呢?(先作出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,然后将作出的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sin x,x∈R的图象(如图4)).(图4)一般来说,我们将正弦函数的图象叫做正弦曲线.[3]问题7再观看y=sin x,x∈[0,2π]的图象,其图象变化有没有一些关键特征?观看正弦函数在[0,2π]内的图象,可以发觉起关键作用的点有以下五个:(0, 0),,(π, 0),,(2π, 0).事实上,描出这五点后,函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象外形就基本确定了.因此在精确度要求不高时,我们经常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就得到函数的简图.五点法的几点总结:(1)留意五点的特征:最高点(波峰)、最低点(波谷)、平衡点(使得sin x, cos x等于0的点),它们属于三种特殊的函数值(正弦值为1,-1, 0);(2)五点的横向间隔相等,其长度等于周期的;(3)五点是连续变化的五点.问题8能否以正弦曲线的画法为基础,作出余弦函数y=cos x,x∈R的图象呢?你现在有几种方法?用平移变换法作y=cos x,x∈R的图象(放手让同学独立思考,自主活动,通过自己的探究得出余弦函数的图象.实际上,只要同学能够想到正弦函数和余弦函数的内在联系,即cos x=sin,通过图象变换,由正弦函数图象得出余弦函数图象的方法是比较简洁想到的),由于cos x=sin,所以只需将y=sin x,x∈R 的图象向左平移个单位即得.课件演示:由于y=cos x=cos(-x)=sin=sin,所以余弦函数y=cos x,x∈R与函数y=sin,x∈R是同一个函数;这样,余弦函数的图象可由正弦函数的图象向左平移个单位得到,如图5所示.(图5)余弦函数的图象叫做余弦曲线.问题9对比正弦曲线、余弦曲线,这两类曲线有相像之处吗?(这两个曲线外形一模一样,只不过是在坐标轴上的位置不同而已)问题10能否也用五点快速作出余弦曲线的图象?(同正弦函数图象一样,打算余弦曲线图象的也是五个关键点:(0, 1),,(π,-1),,(2π, 1),假如精确度要求不高,也可以借助此五点作出余弦函数在一个周期内的图象,进而利用周期性作出整个图象)课件演示:“余弦函数图象的五点作法”(略)三、数学运用【例1】用“五点法”画出下列函数的简图:(1)y=2cos x,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R.(见同学用书P19)[处理建议]第(1)小题中,x分别取0,,π,,2π这五个值就可以找到关键的五个点;第(2)小题中,2π相当于正弦函数中的x,所以应当是2x分别取0,,π,,2π这五个值,然后得到x分别取的五个值.可让同学先尝试自己列表、作图,老师然后指出不足.[规范板书]解(1)先用“五点法”画一个周期的图象,列表:x0π2πcos x10-1012cos x20-202描点画图,然后由周期性得整个图象(如图(1)).(例1(1))(2)先用“五点法”画一个周期的图象,列表:x0π2x0π2πsin2x010-10描点画图,然后由周期性得整个图象(如图(2)).(例1(2))[题后反思]如何找到五点是解决本题的关键,应依据五点的图形特征来列表,即应当是图象上的最高、最低点,与x轴的交点.而描点的时候应当是x的取值和对应的y值组成一个点的坐标.思考函数y=2cos x与y=cos x的图象之间有何联系?函数y=sin2x与y=sin x的图象之间有何关系?(函数y=2cos x的图象应当是由函数y=cos x的图象上全部点的横坐标不变而纵坐标变为原来的2倍得到;函数y=sin2x的图象应当是由函数y=sin x 的图象上全部点的纵坐标不变而横坐标变为原来的得到)【例2】画出函数y=sin x+|sin x|的简图.(见同学用书P20)[处理建议]引导同学先求出三角函数的周期,然后作出在一个周期内的图象.要重视对函数解析式的变形.[规范板书]函数的周期为2π,在x∈[0,2π]时,y=作出函数图象如图:(例2)[题后反思]通过本例的学习,体会在数学解题中的等价转化思想,培育同学的分析、解决问题的力气.变式求函数y=sin x+|sin x|的值域.答案[0, 2].[题后反思]通过变题,让同学清楚画好函数图象是今后争辩函数的性质的基础.四、课堂练习1.用“五点法”画出函数y=2sin x的简图.解略.2.用“五点法”画出函数y=cos x-1的简图.解略.3.利用函数y=cos x的图象写出方程cos x=的解集.解.4.利用函数y=sin x的图象写出不等式sin x>的解集.解,k∈Z.五、课堂小结1.正弦函数图象的几何描点作图法(利用三角函数线来描点).2.正弦函数图象的五点作图法(留意五点的选取).3.由正弦函数的图象平移得到余弦函数的图象.4.重视利用正弦、余弦函数的图象来争辩函数的性质.。
高中数学必修4(人教A版)第一章三角函数1.6知识点总结含同步练习及答案
21 24 7.9 11.1
经长期观察，函数 y = f (t) 的图象可以近似地看成函数 y = k + A sin (ωt + φ) 的图象．下面的函数 中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ( A．y = 11 + 3 sin (
)
π π t + ) , t ∈ [0, 24] 12 2 π B．y = 11 + 3 sin ( t + π) , t ∈ [0, 24] 6 π C．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 12 π D．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 6
π π t + ) ， t ∈ [0, 24] 12 2 π B． y = 11 + 3 sin ( t + π) ， t ∈ [0, 24] 6 π C． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 6 π D． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 12
3. 某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y = a + A cos
π (x − 6) ( 6
x = 1, 2, 3, ⋯ , 12 ) 来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28∘ C ， 12 月份的月平均气温最
低，为 18∘ C ，则 10 月份的平均气温值为
B．[1, 7]
D．[0, 1] 和 [7, 12]
2π π π 弧度，从而经过 t 秒转了 = t 弧度． 12 6 6 1 √3 π 而 t = 0 时， 点 A ( , ．经过 t 秒后点 A 的纵坐标为 ) ，则 ∠xOA = 2 2 3
高一必修4第一章三角函数(预习)讲解
§1.1.1 任意角※ 学习探究1．角的定义：一条射线绕着＿＿＿＿＿＿，从＿＿位置OA 旋转到＿＿位置OB ，形成一个角α，点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的＿＿＿＿＿＿。
说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为α． 2．角的分类：正角：按＿＿＿方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按＿＿＿＿方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线＿＿＿＿＿旋转，我们称它为零角。
说明：零角的始边和终边重合。
3．象限角：在直角坐标系中，使角的＿＿＿与坐标原点重合，角的＿＿＿与x 轴的非负轴重合，则 ；（1）象限角：若角的＿＿＿（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
例如：30,390,330-都是第＿＿象限角；300,60-是第＿＿象限角。
（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如果角的终边在＿＿＿上，就认为这个角不属于任何象限。
例如：90,180,270等等。
4.终边相同的角所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成＿＿＿＿＿＿的形式；反之，所有形如30360k +⋅()k Z ∈的角都与30角的＿＿相同。
从而得出一般规律：。
新知：终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈， 小结：1、任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
2、终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
※ 典型例题例1．在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1）120- （2）640 （3）95012'-变式：写出与下列终边相同的角的集合，并写出－720°～360°间角. （1）120°；（2）－270°；（3）1020°. 例 2. 写出终边在下列位置上的角的集合： （1）y 轴； （2）直线y=x.变式：（1）终边落在x 轴正半轴上的角的集合如何表示？如终边落在x 轴上呢？（2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？小结：0°～360°是指 ；注意区分终边相同的角、象限角、区间角的表示.例3．若3601575,k k Z α=⋅-∈，试判断角α所在象限。
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hlh课标定位卩明确学习目标,1W（学习,有的狀】一、考点突破1. 三角函数的概念三角函数的概念多在选择题或填空题中出现，主要考查三角函数的意义、三角函数值符号的选取和终边相同的角的集合的运用。
2. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式此处主要考查公式在求三角函数值时的应用，考查利用公式进行恒等变形的技能，以及基本运算能力，特别突出算理、算法的考查。
3. 三角函数的图象与性质三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，要熟练掌握三角函数图象的变换和解析式的确定及通过图象的描绘、观察，讨论函数的有关性质。
4. 三角函数的应用主要考查由解析式作出图象并研究性质，由图象探求三角函数模型的解析式，利用三角函数模型解决最值问题。
三角函数来源于测量学和天文学。
在现代科学中，三角函数在物理学、天文学、测量学以及其他各种技术学科中有着广泛的应用。
三角函数是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础。
本章主要利用数形结合的思想。
在研究一些复杂的三角函数时要应用换元法的思想，还要注意化归的思想在三角函数式化简求值中的应用，主化归的思想要包括以下三个方面：化未知为已知；化特殊为一般；等价化归。
、重难点提示重点：角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的图象与性质、五点法”作图、诱导公式、函数y= Asin （3 x+0）的图象与正弦函数y= sinx的图象间的关系、同角三角函数的基本关系。
难点：三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由正弦函数到y= Asin（3 x+Q）的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求值、化简和证明等。
lift 【倾听名和点拨「夯实基sa ■提升勒】r__, 1―j y、知识脉络图：角的概念的推广:任意角的概念三角函数、知识点拨：y = sin x 与y =1. COSX的周期是兀。
2.2；i y =sin（ 'X •「）或y 二cos（）（• ■ = 0）的周期为T =3. y = tan°的周期为2兀。
24. y =sin（「x •「）的对称轴方程是x = k二■（k Z），对称中心为（k- ,0）；y = cos（x）的对称轴方程是1（k - ,0）；2x =k：：；；（k - Z ）,对称中心为y = tan（「x •）的对称中心为k-2，0八315. 当tan ：•an ：=1 时，，- -k （k Z）；2当tan : tan - - -1 时- 一（k Z）26. 函数y = tanx在R上为增函数。
（X）角的概念［只能在某个单调区间上单调递增。
若在整个定义域上，则y二tan x为增函数的说法同样也是错误的。
］7. y=si nx不是周期函数；y=s in x为周期函数(T =兀)；Y=cos|x| y =c°sx是周期函数(如图)；y=|cosx| y = cosx为周期函数(T =兀)；随堂练习：函数f (x)=sinx? ( cosx-sinx)的最小正周期是( ) n JIA. B. C. n D. 2 n4 2解：Tf (x) =sinx? ( cosx-sinx ) =sinxcosx-sin 2x1 z、12 / 二、1 = —(sin2x+cos2x ) - —=sin (2x+ —) ——2 2 2 4 2••• T= n故选C.Ub则0例题【佔硏典艸虬应用攻飢静松湘】, — ----- :_I ------ 1 ___ —/知识点一：三角函数的概念例题1 设角a属于第二象限，|COS |=—cos ,试判断角属于第几象限？2 2 2思路导航：首先应根据a所属象限确定出所属的象限，然后再由-cos > 0 ,2 2aCOS —W0确定最终答案，要点就是分类讨论。
2n答案：因为a属于第二象限，所以2k n + —VaV 2k n+lt€(Z),2a n• - k n 片V —V k n^-( k € Z )。
4 2 2当k = 2n (n € Z)时，JI a n2n n + — V — V 2n n^~(n € Z )。
4 2 25.••二是第一象限角;2当 k = 2n + 1 (n € Z )时，5仃 口 3仃2n n+— < — v 2n n 十 (n € Z )。
4 2 2.•.一是第三象限角。
2, a a a又由 |cos | = — cos >0 cos < 0 o2 2 2所以应为第二、三象限角或终边落在 x 轴的负半轴上。
综上所述，丄是第三象限2 2的角。
ot otOt■ 、点评：由a 所在象限，判断诸如—，—，—等角所在的象限时，一般有两种办法：234一种是利用终边相同的角的集合的几何意义，采用数形结合的办法确定 ，二，二所属2 3 4的象限；另一种办法就是将 k 进行分类讨论。
一般来说，分母是几就应分几类去讨论 。
知识点二：同角三角函数基本关系式及诱导公式3例题 2 (1)已知 nVaV 2 n,COS (a — 7n)=，求 sin ( 3 n + a)与 ta n (a — 5—)的值;2(2) 已知 2 + sinAcosA = 5cos 2A ，求 tanA 的值；1(3) 已知 sin a+ cos 乜,=且 a€(0， n)，求 sin 3 a —cos 3 a 的值。
5答案： (1 )T COS (a — 7 n)3 =—cos a=--5兀=‘2兀2 伪V V a 伪VV冗33一2n(又 二一一， ， 4L5 4 肝5sn7兀(a — ---- )2sin(： _ 7 二)' 2 cos z 7 -si na cos( )25 (2)将已知式化为•/ cosA 丰 0,2sin 2A + 2cos 2A + si nA 2-cos5cg A ,5• cos 3a=。
53o22(sin t 'cos ： ) -1 1225，••2tan 2A + tanA — 3 = 0, tanA = 1 或 tanA =(3) sin a cos aa€ 0,n),••• sin o0, cos a &, --------------------- 7「sin a — cos a1=- 2 si n : cos :5.• 337 z 12 81• si n a - os a= — X(1 )= ----- 。
5 25 125点评： 形女口 asin a + bcos a 禾口 asin 2 a+ bsin Sin a 、 co 的一次齐次式和二次齐次式，对它们涉及的三角式的变换常有如上的整体代入 方法可供使用。
知识点三：三角函数的图象与性质例题3对于函数f (x )= 2sin (2x + —),给出下列结论：3①图象关于原点成中心对称：②图象关于直线x =成轴对称；③图象可由函数y =122sin2x 的图象向左平移 一个单位得到；④图象向左平移一个单位，即得到函数y =3 122cos2x 的图象。
其中正确结论的个数为()个A. 0B. 1C. 2D. 3思路导航：十(x )是非奇非偶函数，•①错误。
•••f (x )是由y = 2sin2x 向左平移一个单位得到的，6•③错误。
把x = 一代入f (x )中使函数取得最值,12②正确。
■：■ 左移—•个单位二 二f (x ) = 2sin (2x + —) --------- 12' f (x )= 2sin : 2 (x + 一)+ — ]=3 12 32cos2x ,•④正确。
答案：C点评：利用排除法求解选择题，是一个简单、易行的办法。
在用排除法时，要注意函 数性质的应用。
例题 4 设函数 f (x )= sin3x + |sin3x| ,则 f (x )为()兀2兀/• sin a — CO© , a>a coccos 车a 的式子分别称为关于A.周期函数，最小正周期为一B.周期函数，最小正周期为——3 3C.周期函数，最小正周期为2 nD.非周期函数思路导航：本身可以直接把选项代入f(x T^ f (x)检验，也可化简f (x) = sin3x + sin3x。
答案：f (x)= sin3x + |sin3x|2k兀2kn n2sin 3x, ------ 兰x 兰---- + —,=』 3 3 32kx 兀2k 兀2n0, ————+——.、一 3 3 3 3•'B正确。
答案：B点评：遇到绝对值问题可进行分类讨论，将原函数写成分段函数。
本题也可以数形结合运用图象的叠加来考虑。
后者更简捷。
知识点四：三角函数的应用例题5 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。
若直角三角形中较小的锐角是0,大正方形的面1积是1 ,小正方形的面积是，则sin20—cos20的值等于25A. 1B. 2425思路导航=cos 0,由题意，设大正方形边长725D.7251AB = 1,小正方形的边长是一，贝U BE= sin 0AE5•cos 0—sin—。
=524 平方得2cos 0 sin0 —。
2549 ••( cos 0+ sin =0 沪2cos 0 sin 十257•cos 0+ sin—0 =5•'sin20—cos20=( sin 0—cos 0)(sin 0+ cos 0)1 7 7———————----------------5 5 25C.点评：三角函数的应用非常广泛 。
将实际问题转化成数学中的同角三角函数问题 ，再利用三角函数的性质是解此题的关键。
作单位圆如图所示，图中双阴影部分即为函数的定义域{x|2k nW x W 2k n 二，k € Z }。
3答案：{x|2k nW x W 2k n4, k € Z }3点评：解三角不等式基本上有两种方法:①利用三角函数线。
②利用三角函数图象的最大、最小值。
1 sin x cosx思路导航：利用三角函数中sin 2_：：，cos 2 -1和sin 「，COS J 与sin 二•c os -：：的关 系，转化成同一个量的关系式。
t 2 -1答案: 设 sinx + cosx = t ,贝U sinxcosx =, t € 2t 2 -122 t —1 t —1 y=--- = ---------- = --------1 t2 2t 2 'n 例题（全国大纲理5）设函数f （X ）二cos^xC >0）,将y=f （x ）的图像向右平移 一 3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（例题6函数y =剧x 5一；的定义域是思路导航由题意知，cosx —1 一 0 = I 2sin x _ 0i i cosx . I 2例题7 求函数f (x )=sinxcosx••当 t = 2 ,即 x = 2kJInF ( k € Z )时，f ( x )的最大值为4当 t = — 2 ,即 x = 2k 3 二n —— .2-1 ；2 72 +i — 。