傅里叶变换

利用欧拉公式可知: r = cos(2/M) - jsin(2/M). 所以, 当uK是M的倍数时, 就有ruK = 1(当然这时也有ru2K = 1 ), 从而 F(u) = 0. 如果图a中函数f(x)非零点的个数是K时, F(u) = 0的点数是n个, 那么, 当f(x)的非零点数是2K时, F(u) = 0的点数应该是2n个.
F(u)可以看作f(x)在谐波上的投影，即f(x)在频率为u的谐波 上占有的成份。
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4.2 傅里叶变换和频率域介绍
谱的概念:
注意到傅里叶变换后的函数是在复数域内, 也可以表示为
F(u) = R(u) + iI(u)
或极坐标的形式: F(u) = |F(u)|ej(u). 我们把量|F(u)| = [R2(u) + I2(u)]1/2称为傅里叶变换的幅度(Magnitude) 或者谱(Spectrum). 这是在图像处理中要经常用到的量. 谱可以表示原函 数(或图像)对某一频谱分量的贡献.
I (u) (u) arctan R(u)
称为变换的相角或者相位谱, 用来表示原函数中某一频谱分量的起 始位置*. 另外, 一个重要的量是功率谱(有时也叫能量谱、谱密度)
P(u) = |F(u)|2 = R2(u) + I2(u)
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4.2 傅里叶变换和频率域介绍
例4.1 两个简单一维函数的傅里叶谱
频率域的概念:
利用欧拉公式: ej = cos + jsin, 有
1 F (u ) M
M 1 x 0
f ( x)[cos(2 ux / M ) j sin(2 ux / M )]
其中u = 0, 1, 2, …, M-1.
变量u确定了变换的频率成分→ u的取值范围称为频率域(给定一个u 上述公式可以计算出离散信号中包含了“多少”这个频率的谐波 ).对每一 个u, F(u)称为变换的频率分量(也叫振幅).
1 ak f ( x) e T 0
T
2 jk T
x
dx
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4
4.1 背景
特别注意

傅氏级数中基底的物理意义非常明确, 每一个基函数都是一个单频谐 波, 而相应的系数(频谱)表明了原函数对这种频率成份贡献的大小(原 函数在这个谐波上的投影), 或者说原函数中某种频率成分的多少.
一维傅里叶变换及反变换
考虑定义在无穷区间连续函数的傅里叶变换公式(通常函数要满足一 定的条件才能保证傅里叶变换的存在性和收敛性):
F (u )
f ( x)



f ( x)e j 2ux dx
F (u )e j 2ux du

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连续情形的傅里叶变换比较方便用于公式推导和定理证明, 但在实际 应用中, 面临更多也更实际的是离散的情况. 定义离散情形的傅里叶变换 (DFT)公式: f(x)为离散函数, 其中x = 0, 1, …, M-1.
第二章 图像变换技术
要点：
1. 主要介绍图像处理重要的工具 — 傅里叶变换. 2. 傅立叶变换在图象处理中的意义是什么? 3. 什么是高频、中频和低频成分，它们分别对应空间域图像的哪些部分? 4. 什么是卷积定理，它在图象处理中的作用是什么? 5. 傅立叶变换的性质。
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4.1 背景

1822年，傅立叶（Fourier）发表了“热传导解析理论”，提出了傅 立叶变换。它本质上提出了一种与空间思维不同的频域思维方法。 傅立叶变换能使我们从空间域（或时域）与频率域两个不同的角度来 看待信号或图象的问题。有时在时域无法解决的问题，在频域却是显 而易见的。 傅立叶变换是十九世纪数学界和工程界最辉煌的成果之一。它一直是 信号处理领域中最完美、应用最广泛、效果最好的一种分析手段。它 也是线性系统分析的有利工具。
1 F (u ) M
M 1

x 0
f ( x)e j 2ux / M
u 0,1,, M 1
f ( x) F (u )e j 2ux / M
x 0
M 1Hale Waihona Puke Baidu
x 0,1,, M 1
离散傅里叶变换和它对应的反变换总是存在的, 不必特地关心分析 各项的意义.
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4.2 傅里叶变换和频率域介绍
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4.2 傅里叶变换和频率域介绍
关于变量的说明: 书中的记号 f(x)(x = 0, 1, …, M-1)表示从连续函数中取M个样点, 这些 点不一定选取为区间[0, M-1]中的整数点. 通常用x0(任意位置的)表示第一 个取样点, x是取样间隔. 所以, f(x)理解为


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傅里叶分析中最重要的结论就是几乎“所有”的函数(信号)都可以表
示为(分解成)简单的(加权)正弦波和余弦波之和。从而提供了一种具
有物理意义的函数表达方式。 设: f(x)是以T为周期的函数, 满足一定的条件, 例如绝对可积, 则有
f ( x)
k
ak e

2 jk x T

从图像(信号)处理的角度, 利用谐波的物理性质可以通过对系数的处理
达到对图像的处理, 如增强、压缩等等. f(x)傅氏系数ak的计算, 需要用到函数在整个空间(或时间)上的分布情 况.
2 jk x T

1 T ak f ( x) e T 0
dx
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4.2 傅里叶变换和频率域介绍
(r u ) x
(r e j 2 / M )
K 1 A AK 易见, 当u = 0时, ru = 1, 故而 F (u ) 1 M x 0 M
若u 0, 则ru 1, 对u = 1, 2, …, M-1,
A K 1 u x A 1 r uK F (u) (r ) M x 0 M 1 ru
特征: (1) 当曲线下的面积在x域加倍时, 频率谱的高度也加倍;
(2) 当函数的长度加倍时, 相同长度区域内的零点数量也加倍. 极限情况?
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4.2 傅里叶变换和频率域介绍
解释: 图a函数的傅里叶变换为:
1 F (u ) M

x 0
K 1
Ae
j 2ux / M
A M

x 0
K 1