概率论第五章：正态分布

求 P{X 0}.
解 P{2 X 4} P{0 (X 2) / 2 /}
随机变量 标准化
(2 / ) (0) 0.3, (2 / ) 0.3(0) 0.8
P{X 0} P{(X 2) / 2 /} (2 / ) 1 (2 / ) 1 0.8 0.2
例4 设随机变量 X ~ N (3,4),且常数C满足 P{X C} P{X C}, 求常数C.
独立重复测量中, 至少有三次测量的绝对值大于19.6
的概率,并利用泊松分布求出 的近似值.
解 先求每次测量误差的绝对值大于19.6的概率p
p P{ X 19.6} 1 P{ X 19.6} 1 P{19.6 X 19.6}
1 P{19.6 X 19.6 }
1 P{19.6 0 X 19.6 0}
(
x
1)dx
2
2
20
0.3 x
1
e
x2 2
dx
0.7
x
1
1 ( x1)2
e 2 2 dx
2
2 2
0 0.7
x
1
1 ( x1)2
e 2 2 dx
0.7
x
1
1 ( x1)2
e 2 2 dx
2 2
2 2
令 x 1 t,则dx 2dt , x 2t 1.代入上式得 2
0.7
图象见右上角
3
正态分布有两个特性：
(1) 单峰对称
f (x)
密度曲线关于直线x=对称
f()＝maxf(x)＝ 1 2
0
(2) 的大小直接影响概率的分布
越大,曲峻.
正态分布也称为
高斯(Gauss)分布
2 0
1
2
x
N(4,3/ 5)
N (4,1)
N(4,7 / 5)
进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量 独立的因素的影响(无主导因素),则它一般服从正态 分布,这是中心极限定理探讨的问题.
2
一. 一般正态分布
f (x)
1. 定义
若随机变量X的密度函数为
f (x)
1
e
(
x) 2 2
2
2
其中 x
0
x
式中 为实数, >0 .则称X服从参数为 ,2的正态分 布,亦称高斯分布.记为N(, 2).可表为X～N(, 2).
P{Z
x
}
( x )
/
1
t2
e 2 dt
2
( x ).
一般地,有
x
(x)
x
0
9
P{a X b} P{a X b }
P{a X b } P{a Z b }
P{Z b } P{Z a }
Z ~ N(0,1)
(b ) (a )
第 四
第一节 正态分布的密度函数
章
第二节 正态分布的数字特征
正
第三节 正态分布的线性性质
态
第四节 二维正态分布
分
第五节 中心极限定理
布
PLAY1
第一节 正态分布的密度函数
正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究 最多的分布之一,它在概率统计中占有特别重要的地 位.比如,考察一群人的身高,个体的身高作为一个随 机变量,其取值特点是:在平均身高附近的人较多,特 别高和特别矮的人较少.一个班的一次考试成绩、测 量误差等均有类似的特征.高斯在研究误差理论时曾 用它来刻画误差,因此很多文献中亦称之为高斯分布.
分析: EX
xf
(
x)dx,因此先求随机变量X的概率密度函数f
(
x).
解 f (x) F(x) [0.3(x) 0.7( x 1)] 2
0.3(x) 0.7 ( x 1)
22
于是 EX
xf (x)dx
x[0.3
(
x)
0.7
(
x
1)]dx
22
0.3 x(x)dx 0.7
x
24
6x
4
二. 标准正态分布
参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态
分布，记作X~N(0, 1)。
(x)
其密度函数为
(x)
1
x2
e2
2
( x )
4 2 0 2 4 x
5
分布函数为 (x) P{X x}
(1) (0)=0.5
(2) (+∞)＝1；
1
2
x
e
t2 2
dt
,
x
(3) (x)＝1－ (－x).
( A)
(B) 1
(C)
1
(D) 1
解
2
2
P{ X x}
2
(x)
P{x X x}
P{X x} 1
2
故 x 1
2
x
1
2
x
1
2 13
例5 一种电子元件的使用寿命Ｘ(小时)服从正态分 布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件,三个元件损 坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一 元件损坏的概率. 解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数, 则Y~B(3,p) 其中 p P{X 90} (90 100) (0.67) 0.2514
x
e
x2 2
dx
0(奇函数)
2
D( X ) E{[ X E( X )]2} [x E( X )]2 f (x)dx
x2
1
x2
e 2 dx 1
2
8
三. 一般正态分布概率的计算
若X～N(,2),>0,则有
f (x)
F (x) P{X x}
x
1
(t )2
e 2 2 dt
2
0
F(x) P{X x} P{X x }
10
10
1 P{1.96 X 1.96}1[(1.96) (1.96)]
例1 设随机变量 X ~ N (1, 22 ) , 求 P{1.6 X 2.4}
解 P{1.6 X 2.4} P{1.6 1 X 1 2.4 1}
P{2.6 X 1 1.4} P{2.6 / 2 (X 1) / 2 1.4 / 2}
P{1.3 (X 1) / 2 0.7} (0.7) (1.3)
15 故 P{Y 0} (1 p)3 0.4195
14
(2006 年)设随机变量X
~
N
(1
,
2 1
),
Y
~
N
(
2
,
2 2
),
且 P{ X 1 1} P{Y 2 1}, 则必有
( A) 1 2. (B) 1 2. (C) 1 2. (B) 1 2.
15
第二节 正态分布的数字特征
2
2
24
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉 、心、肺、肾等多脏器严重损害 的，全身性疾病，而且不少患者 同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表 现如下：
1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
解 设X — 考生的外语成绩,依题设知X ~ N (, 2),
其中 72,下求方差 2
由题设P{X 96} 0.023 P{ X 96 } 0.023
1 P{ X 96 } 0.023, 即 1 (96 ) 0.023
(96 ) 0.977,
查表得, 96 2 , 96 96 72 12
x2
e 2,
x
2
E( X ) xf (x)dx
x
e
x2 2
dx
0(奇函数)
2
D( X ) E{[ X E( X )]2} [x E( X )]2 f (x)dx
x2
1
x2
e 2 dx 1
2
17
例1 已知随机变量X的密度函数为
f (x) 1 ex2 2x1, x
求 E( X )、D ( X ).
X ~ f (x)
1
(x)2
e 2 2 , x
2
E( X ) xf (x)dx
x
(x)2
e 2 2 dx
2
t x
t
2
e
t2 2
dt
D( X ) (x )2 f (x)dx 2
7
(二)标准正态分布N(0, 1)
X ~ f (x)
1
x2
e 2,
x
2
E( X ) xf (x)dx
x
2
x2
e2
1
x2
e 2 dx 1
2
E( X 3) x3 f (x)dx
x3
x2
e 2 dx 0
2
19
2009年(数一) 设随机变量X的分布函数为F(x) 0.3(x) 0.7( x 1), 2
其中(x)为标准正态分布函数,则EX
(A)0. (B)0.3. (C)0.7. (D)1.
2
2
1 P{X z} 1 (z)
2
2
(2)当z
0时,FZ (z)
1 [P{X 2
0
z
P{X
z}]
1 [P() P{X z}] 1 [1 P{X z}]
2
2
1 [1 (z)] 2
所以, z 0为函数FZ (z)的间断点. (B)正确.
23
例 3 某地抽样调查结果表明, 考生的外语成绩 (百分制) 近似服从正态分布 ,平均成绩为72分,而96以上的考 生占总数的2.3%,求考生的外语成绩在 60分至84分 之间的概率.