复变函数课程教学纲要

《复变函数》课程教学纲要

一、课程概述

（一）课程学时与学分

课程代码：1302，开课专业：数学与应用数学（师范）专业，第5学期开课;

课程总学时68学时，4学分。

（二）课程性质

复变函数论是数学专业的一门重要的专业基础课。它是数学分析、高等代数等

课程的进一步延伸,又是近代分析学的基础。它的思想方法是许多后续课程得以展开

的保证。属于院专业必修课。

（三）教学目的

开设本课程的基本目的是使学生掌握复变函数的基本理论和方法，进一步培养

学生的逻辑思维能力，扩展学生视野，为掌握复变函数在自然科学中的广泛应用奠

定良好的数学基础。

（四）本课程与其他课程的联系与分工

本课程是在学生学习了数学分析、高等代数及其概率论与数理统计的基础上开

设的,并在之后开设离散数学,数值分析等进一步的数学课程的本科学习中起到基础

和工具的作用,是学习数学和应用数学专业的必备课程。

二、课程教学的基本内容与要求

（一）教学要求

复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使

学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数

学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有

比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。

（二）课程总学时数与课程学时分配

1、总学时: 174=68(学时)

2、学时分配表

章次内容学时

引言复变函数论的基本思想 1

第一章复数与复变函数8

第二章解析函数9

第三章复变函数的积分9

第四章解析函数的幂级数表示法9

第五章解析函数的洛朗展开与孤立奇点9

第六章留数理论及其应用7

第七章共形映射9

第八章解析延拓7

合计68

（三）教学内容

绪论复变函数论的基本思想

第一章复数与复变函数

（一）教学目的及要求

1、理解复数、区域、单连通区域、复连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。

2、理解复数的性质、会应用模和辐角的性质，会作点集的图形。

3、进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。

（二）教学重点与难点

重点: 复变函数及其极限与连续。

难点: 无穷远点及无穷远点邻域。

（三）教学方式

讲授, 练习。

（四）教学内容

1、复数发展史略；

2、复数的定义及运算。

复数的定义、复数的表示式及代数运算、复数的模和辐角、共轭复数。

3、复平面上的点集。

平面点集、邻域、聚点、孤立点、内点、外点、边界点、边界、开集、闭集、有界

集、曲线、连续曲线、简单曲线、简单闭曲线、光滑曲线、逐段光滑曲线、区域、

闭区域、单连通区域、复连通区域、聚点原理、有限复盖定理、闭区域套定理。

4、复变函数。

复变函数、单值函数、多值函数、极限、连续、一致连续、柯西收敛准则、复变函

数连续性与其实部和虚部连续性的关系，闭区域上连续函数的性质。

5、复球面与无穷远点。

复平面、复数的向量式、三角式与指数式、复数的乘冥与n次方根、无穷远点与复球面、扩充复平面无穷远点的邻域。

第二章解析函数

（一）教学目的及要求

1、理解导数、解析函数的定义、性质及充要条件。

2、理解函数在一点解析与函数在一点可导的区别。

3、熟练掌握利用C—R条件判别解析函数的方法。

4、熟练掌握已知解析函数的实部或虚部，求该解析函数的方法。

5、熟练求多值函数的交点、及满足条件的分交在指定点处的函数值。

6、联系中学教学、认识复变函数中各类基本初等函数与相应初等函数的异同。

（二）教学重点与难点

重点: 解析函数的定义，解析函数的充要条件及C—R条件、指数函数与指数

函数的定义及其主要性质。

难点: 交点的概念。

（三）教学方式

讲授, 练习。

（四）教学内容

1、解析函数的概念与柯西-黎曼方程。

复变函数的导数与微分、函数在一点解析的定义、函数在区域内解析的定义、C—R 条件、解析函数的充要条件。

2、初等解析函数

初等解析函数的定义、指数函数及其重要性质、三角函数与双曲函数。3、初等多值函数。

根式函数、对数函数、一般幂函数与一般指数函数、具有多个有限支点的情形、反

三角函数与反双曲函数。

第三章复变函数的积分

（一）教学目的及要求

1、理解复积分的概念。

2、理解柯西积分定理和柯西积分公式以及高阶导数公式，认识以上定理和公式的作用，知道证明方法。

3、理解刘维尔定理、摩勒拉定理和代数基本定理，知道证明方法。

4、熟练掌握利用柯西积分定理和积分公式计算函数的各种积分。

（二）教学重点与难点

重点: 柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式。

难点: 计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分。

（三）教学方式

讲授, 练习。

（四）教学内容

1、复积分的概念、性质和计算。

2、柯西积分定理。单连通区域的柯西积分定理、复连通区域的柯西积分定理。

3、柯西积分公式与高阶导数公式、柯西积分定理与积分公式的应用。

4、解析函数与调和函数的关系。

第四章解析函数的幂级数表示法

（一）教学目的及要求

1、理解一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、泰勒展式、收敛半径、收敛圆的概念。

2、理解复变函数项级数的逐项可导性，与微积分学的相应定理比较，认识其条件

结论的强弱。

3、熟练掌握幂级数收敛半径和收敛圆的求法。

4、熟练掌握将函数在指定点展成幂级数的方法。

5、数量掌握解析函数零点和级别的求法。

（二）教学重点与难点

重点: 1、幂级数的收敛圆及收敛半径的求法。

2、将函数在一点展成幂级数的方法。解析函数的唯一性定理。

难点：利用已知的基本初等函数的展式将函数在指定点展成泰勒级数。

（三）教学方式

讲授, 练习。