复变函数课程教学纲要
复变函数 课程教学大纲
复变函教课程教学大纲一、课程的基本信息适应对象：信息与计算科学本科专业课程代码：15E01726学时分配：54学时赋予学分：3先修课程：数学分析，高等代数后续课程：毕业综合训练二、课程性质与任务复变函数是信息与计算科学专业的一门选修课程，主要研究复变函数的微分积分及映照。
这门学科在工程力学，物理以及数学其它分支中有许多应用。
开设本课程的任务就是使学生掌握复变函数基本内容，为进一步学习其它课程，并为从事教学、科研以及其它工作打好基础。
三、教学目的与要求通过本课程的教学,使学生掌握复变函数的微分积分及映照等有关的基本概念和基本方法, 并能应用本课程的理论知识和方法解决实际问题。
四、教学内容与安排第一章复数与复变函数（6学时）1.1复数复数域,复数的乘辕与方根.1.2复平面上的点集区域,集与集之间的距离，区域的连通性,约当曲线.1.3复变函数复变函数的定义，复变函数的极限、连续性.1.4复球面与无穷远点第二章解析函数（10学时）2.1解析函数的概念与柯西-黎曼条件复变函数的导数与微分，解析函数的概念，函数解析的充要条件：柯西-黎曼条件.2.2初等解析函数指数函数，三角函数，双曲函数。
2.3初等多值函数根式函数，对数函数，一般基函数，一般指数函数。
第三章复变函数积分（10学时）3.1复积分的概念及其简单性质复变函数积分的定义，复积分的变量代换公式，积分估值。
3.2柯西积分定理柯西积分定理及其推论，不定积分，柯西积分定理的推广，复围线。
3.3柯西积分公式及其推论柯西积分公式，柯西积分的定义，解析函数的无穷可微性，柯西不等式，LioUVilIe定理，Morera 定理。
3.4解析函数与调和函数的关系，解析函数的定义，调和函数的定义。
第四章解析函数的塞级数表示法（10学时）4.1复级数的基本性质，复数项级数的定义、收敛性，一致收敛的复函数项级数，柯西一致收敛准则，维尔斯特拉斯定理。
4.2'幕级数，Abel定理，和函数的解析性。
复变函数与积分变换课程教学大纲
复变函数与积分变换课程教学大纲1. 课程概述本课程旨在介绍复变函数与积分变换的基本理论和应用。
通过学习本课程，学生将掌握复变函数的性质、解析函数与调和函数的概念以及积分变换的原理与计算方法。
2. 知识要点及教学目标2.1 复变函数的基本概念与性质了解复变函数的定义、光滑性、奇点等基本概念，掌握复变函数的导数、积分、级数展开等性质。
2.2 解析函数与调和函数理解解析函数与调和函数的含义与性质，认识解析函数与调和函数的关系，学习利用调和函数解决实际问题。
2.3 积分变换的基本原理与方法理解积分变换的定义与基本原理，学习拉普拉斯变换、傅里叶变换等常用积分变换的计算方法与应用。
2.4 应用举例与综合训练通过具体实例，分析和解决实际问题，培养学生综合运用所学知识的能力。
3. 教学内容与教学方法3.1 复变函数的基本概念与性质3.1.1 复数与复平面3.1.2 复变函数的定义与性质3.1.3 复变函数的导数与积分3.1.4 复变函数的级数展开教学方法：通过数学示例和图示辅助，引导学生理解和掌握复变函数的基本概念与性质。
3.2 解析函数与调和函数3.2.1 解析函数的定义与性质3.2.2 调和函数的定义与性质3.2.3 解析函数与调和函数的关系3.2.4 应用：调和函数在电磁学中的应用教学方法：结合具体实例，引导学生理解和运用解析函数与调和函数的概念与性质。
3.3 积分变换的基本原理与方法3.3.1 积分变换的定义与性质3.3.2 拉普拉斯变换的定义与计算方法3.3.3 傅里叶变换的定义与计算方法3.3.4 应用：积分变换在信号处理中的应用教学方法：以具体应用场景为背景，引导学生理解积分变换的原理、计算方法及其在工程实践中的作用。
3.4 应用举例与综合训练通过一些典型案例和综合性题目，让学生运用所学知识分析和解决实际问题，培养学生的综合能力。
教学方法：通过解析与讨论，引导学生独立思考问题，并运用相关知识进行分析和求解。
复变函数教学大纲
复变函数教学大纲一、引言复变函数是数学中重要的概念和工具之一，它在多个学科领域中具有广泛的应用。
本教学大纲旨在介绍复变函数的基本概念、性质和相关定理，培养学生的复变函数思维和解题能力。
二、基础知识1. 复数的基本概念1.1 复数的定义和表示1.2 复数的运算规则1.3 复数平面2. 复数函数的基本性质2.1 复数函数的定义2.2 复数函数的分类2.3 复数函数的连续性三、解析函数与调和函数1. 解析函数的概念1.1 解析函数的定义1.2 拟解析函数1.3 解析函数的运算性质2. 调和函数的概念与性质2.1 调和函数的定义2.2 调和函数的性质2.3 调和函数的应用案例四、复变函数的微积分1. 复变函数的导数与全纯函数1.1 复变函数的导数定义1.2 全纯函数的性质1.3 Cauchy-Riemann方程2. 积分和级数2.1 线积分的定义2.2 级数收敛性与收敛域2.3 保形映射与调和函数的全纯性五、留数理论与积分计算1. 留数的概念与计算1.1 留数的定义1.2 计算留数的方法1.3 应用案例：圆周积分计算2. 积分计算与柯西公式2.1 柯西公式的概念与应用2.2 柯西积分定理与柯西奇点定理2.3 辐角原理与Rouché定理六、解析函数的应用1. 解析函数在物理学中的应用1.1 电磁场中的解析函数1.2 流体力学中的解析函数1.3 其他物理学领域的应用2. 解析函数在工程学中的应用2.1 线性系统与解析函数2.2 信号处理与解析函数2.3 通信系统与解析函数七、实际案例与综合应用1. 热区变换与应用1.1 极坐标变换1.2 电场中的热区变换2. 综合案例分析2.1 基于复变函数的工程问题求解2.2 基于复变函数的物理问题求解八、教学评估与提升1. 教学评估方式1.1 课堂表现评估1.2 作业和实验评估1.3 考试评估2. 教学内容提升2.1 添加实例和案例分析2.2 引入计算机辅助教学2.3 拓展教材资料和参考书目九、总结通过本次复变函数教学，学生将掌握复数的基本概念和运算规则，理解解析函数和调和函数的性质，学会应用留数理论和积分计算复变函数，了解复变函数在不同学科和领域的应用，并通过综合应用案例提升解题能力和综合分析能力。
复变函数教学大纲
复变函数教学大纲
一、前言
复变函数是数学中非常重要的一个分支，研究和应用广泛。
本教学大纲旨在介绍复变函数的基本概念、性质和应用，帮助学生掌握复变函数的理论和解题方法。
二、基本概念和初等函数
1. 复数的定义和运算规则
2. 复变函数的定义和性质
3. 初等函数概念及其在复变函数中的应用
三、解析函数
1. 解析函数的定义和性质
2. 函数的解析性与调和性的关系
3. 基本解析函数的引入和性质
四、级数展开
1. 幂级数的概念和性质
2. 基本初等函数的幂级数展开
3. 常用函数的级数展开
五、留数与留数定理
1. 解析函数的奇点及分类
2. 留数的定义和计算方法
3. 留数定理及其应用
六、辐角原理和主要定理
1. 辐角原理的引入和性质
2. 极大模原理的定义和应用
3. 唯一性定理和边界值问题的解决
七、复变函数的应用
1. 简单电路中的应用
2. 热传导方程中的应用
3. Laplace变换和傅里叶变换中的应用
八、论文写作与参考文献
1. 论文写作的基本要求和格式
2. 如何查找和引用相关文献
3. 导师指导与学术交流
结语
本教学大纲囊括了复变函数的基本理论和重要应用，并配有适当的例题和习题，以帮助学生巩固所学知识。
希望通过本课程的学习，学生能够对复变函数有一个深入的理解，并能够独立解决实际问题。
复变函数教学大纲(工科)(2)
课程编号：×××课程名称：复变函数(Complex Functions)《复变函数》教学大纲一、课程说明复变函数的理论和方法，对物理、力学、工程及数学的其他分支都有广泛的应用。
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数的基本理论和基本方法，培养学生具有较好的分析问题和解决问题的能力。
为了贯彻“少而精”的原则，本大纲在内容选取上注意了突出基本理论和基本方法，本大纲内容，重点放在单复变函数的微分、积分、解析函数的级数展开、残数定理等内容上。
对于初等多值解析函数和解析开拓，要求只作初步介绍。
本课程总时数为36学时左右，其中讲授时数与习题课时数之比大致是3:1。
二、学时分配表三、教学目的与要求教学目的：1、通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为其他实际工作打好基础。
2、通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。
基本要求：掌握解析函数的基本性质，并能初步地运用这些性质来证明或计算四、教学内容纲要第一章复数与复变函数主要内容：复数的有关概念，复数点集的概念，复数的运算。
要求：1、理解复数的下列概念：实部、虚部、模、幅角、共轭复数、乘幂与方根，熟练掌握相应的运算。
）2、理解平面点集(复数集)的下列概念：区域、单连通区域，边界、闭区域。
3、了解Jordan曲线概念，复变函数的极限与连续定义并能进行相应的运算，知道复球面与无穷远点的关系。
重点: 复变函数的概念，极限与连续性难点: 同上第二章解析函数主要内容：解析概念与初步运算性质，Cauchy——Riemann 条件，初等解析函数与初等多值函数。
要求：1、了解复函数的可导与微分的概念，理解解析的概念及其与Cauchy——Riemann 条件的关系。
2、熟练掌握初等解析函数的运算。
复变函数课程教学纲要
《复变函数》课程教学纲要一、课程概述（一）课程学时和学分课程代码：1302，开课专业：数学和使用数学（师范）专业，第5学期开课;课程总学时68学时，4学分。
（二）课程性质复变函数论是数学专业的一门重要的专业基础课。
它是数学分析、高等代数等课程的进一步延伸,又是近代分析学的基础。
它的思想方法是许多后续课程得以展开的保证。
属于院专业必修课。
（三）教学目的开设本课程的基本目的是使学生掌握复变函数的基本理论和方法，进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生视野，为掌握复变函数在自然科学中的广泛使用奠定良好的数学基础。
（四）本课程和其他课程的联系和分工本课程是在学生学习了数学分析、高等代数及其概率论和数理统计的基础上开设的,并在之后开设离散数学,数值分析等进一步的数学课程的本科学习中起到基础和工具的作用,是学习数学和使用数学专业的必备课程。
二、课程教学的基本内容和要求（一）教学要求复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解和认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
（二）课程总学时数和课程学时分配1、总学时: 17 4=68(学时)2、学时分配表（三）教学内容绪论复变函数论的基本思想第一章复数和复变函数（一）教学目的及要求1、理解复数、区域、单连通区域、复连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。
2、理解复数的性质、会使用模和辐角的性质，会作点集的图形。
3、进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。
（二）教学重点和难点重点: 复变函数及其极限和连续。
难点: 无穷远点及无穷远点邻域。
（三）教学方式讲授, 练习。
（四）教学内容1、复数发展史略；2、复数的定义及运算。
复数的定义、复数的表示式及代数运算、复数的模和辐角、共轭复数。
复变函数课程大纲
复变函数课程大纲一、课程简介复变函数是数学分析的重要分支，研究复数域上的函数及其性质。
本课程旨在介绍复变函数的基本理论和应用，使学生对复变函数的复杂性和美妙性有全面的了解。
二、课程目标1. 理解和掌握复数的基本概念和性质。
2. 掌握复变函数的连续性、可微性和解析性。
3. 熟悉复变函数的积分理论和Laurent级数展开。
4. 理解共形映射的概念和应用。
5. 学会应用复变函数分析解决实际问题。
三、课程大纲1. 复数与复平面1.1 复数的定义与运算规则1.2 复数的几何表示及其性质1.3 复平面上的点集与集合运算2. 复变函数的基础2.1 复变函数的定义2.2 复变函数的极限与连续性2.3 复变函数的导数与解析性2.4 初等函数的复变函数3. 全纯函数与解析函数3.1 全纯函数的定义与性质3.2 解析函数的概念与判定条件3.3 应用：调和函数与调和共轭函数4. 积分理论4.1 积分路径和积分曲线4.2 积分的独立性与积分路径的连通性 4.3 柯西黎曼积分定理及其应用4.4 柯西积分公式和柯西定理5. 级数展开与留数理论5.1 函数的Taylor展开5.2 Laurent级数的定义与性质5.3 留数与留数定理5.4 应用：计算复积分和求解微分方程6. 共形映射6.1 什么是共形映射6.2 平面区域的共形映射6.3 上半平面到单位圆盘的映射6.4 应用：边值问题与几何构造四、教学方法为达到课程目标和要求，将采用以下教学方法：1. 理论讲授：将重点突出的知识点进行全面而详细的讲解。
2. 示例演练：通过具体的例子和问题，在课堂上进行实际操作和计算，以加深学生对知识的理解。
3. 案例分析：引入一些真实的案例和应用，让学生将所学的复变函数理论应用于实际问题的求解。
4. 讨论互动：组织课堂讨论，鼓励学生积极参与，提出问题和思考，促进学习效果的提高。
五、考核方式1. 平时作业：布置课后习题和实践题，加深对知识的理解与应用能力。
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《复变函数》课程教学纲要一、课程概述（一）课程学时与学分课程代码：1302，开课专业：数学与应用数学（师范）专业，第5学期开课;课程总学时68学时，4学分。
（二）课程性质复变函数论是数学专业的一门重要的专业基础课。
它是数学分析、高等代数等课程的进一步延伸,又是近代分析学的基础。
它的思想方法是许多后续课程得以展开的保证。
属于院专业必修课。
（三）教学目的开设本课程的基本目的是使学生掌握复变函数的基本理论和方法，进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生视野，为掌握复变函数在自然科学中的广泛应用奠定良好的数学基础。
（四）本课程与其他课程的联系与分工本课程是在学生学习了数学分析、高等代数及其概率论与数理统计的基础上开设的,并在之后开设离散数学,数值分析等进一步的数学课程的本科学习中起到基础和工具的作用,是学习数学和应用数学专业的必备课程。
二、课程教学的基本内容与要求（一）教学要求复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
（二）课程总学时数与课程学时分配1、总学时: 174=68(学时)2、学时分配表章次内容学时引言复变函数论的基本思想 1第一章复数与复变函数8第二章解析函数9第三章复变函数的积分9第四章解析函数的幂级数表示法9第五章解析函数的洛朗展开与孤立奇点9第六章留数理论及其应用7第七章共形映射9第八章解析延拓7合计68（三）教学内容绪论复变函数论的基本思想第一章复数与复变函数（一）教学目的及要求1、理解复数、区域、单连通区域、复连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。
2、理解复数的性质、会应用模和辐角的性质，会作点集的图形。
3、进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。
（二）教学重点与难点重点: 复变函数及其极限与连续。
难点: 无穷远点及无穷远点邻域。
（三）教学方式讲授, 练习。
（四）教学内容1、复数发展史略；2、复数的定义及运算。
复数的定义、复数的表示式及代数运算、复数的模和辐角、共轭复数。
3、复平面上的点集。
平面点集、邻域、聚点、孤立点、内点、外点、边界点、边界、开集、闭集、有界集、曲线、连续曲线、简单曲线、简单闭曲线、光滑曲线、逐段光滑曲线、区域、闭区域、单连通区域、复连通区域、聚点原理、有限复盖定理、闭区域套定理。
4、复变函数。
复变函数、单值函数、多值函数、极限、连续、一致连续、柯西收敛准则、复变函数连续性与其实部和虚部连续性的关系，闭区域上连续函数的性质。
5、复球面与无穷远点。
复平面、复数的向量式、三角式与指数式、复数的乘冥与n次方根、无穷远点与复球面、扩充复平面无穷远点的邻域。
第二章解析函数（一）教学目的及要求1、理解导数、解析函数的定义、性质及充要条件。
2、理解函数在一点解析与函数在一点可导的区别。
3、熟练掌握利用C—R条件判别解析函数的方法。
4、熟练掌握已知解析函数的实部或虚部，求该解析函数的方法。
5、熟练求多值函数的交点、及满足条件的分交在指定点处的函数值。
6、联系中学教学、认识复变函数中各类基本初等函数与相应初等函数的异同。
（二）教学重点与难点重点: 解析函数的定义，解析函数的充要条件及C—R条件、指数函数与指数函数的定义及其主要性质。
难点: 交点的概念。
（三）教学方式讲授, 练习。
（四）教学内容1、解析函数的概念与柯西-黎曼方程。
复变函数的导数与微分、函数在一点解析的定义、函数在区域内解析的定义、C—R 条件、解析函数的充要条件。
2、初等解析函数初等解析函数的定义、指数函数及其重要性质、三角函数与双曲函数。
3、初等多值函数。
根式函数、对数函数、一般幂函数与一般指数函数、具有多个有限支点的情形、反三角函数与反双曲函数。
第三章复变函数的积分（一）教学目的及要求1、理解复积分的概念。
2、理解柯西积分定理和柯西积分公式以及高阶导数公式，认识以上定理和公式的作用，知道证明方法。
3、理解刘维尔定理、摩勒拉定理和代数基本定理，知道证明方法。
4、熟练掌握利用柯西积分定理和积分公式计算函数的各种积分。
（二）教学重点与难点重点: 柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式。
难点: 计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分。
（三）教学方式讲授, 练习。
（四）教学内容1、复积分的概念、性质和计算。
2、柯西积分定理。
单连通区域的柯西积分定理、复连通区域的柯西积分定理。
3、柯西积分公式与高阶导数公式、柯西积分定理与积分公式的应用。
4、解析函数与调和函数的关系。
第四章解析函数的幂级数表示法（一）教学目的及要求1、理解一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、泰勒展式、收敛半径、收敛圆的概念。
2、理解复变函数项级数的逐项可导性，与微积分学的相应定理比较，认识其条件结论的强弱。
3、熟练掌握幂级数收敛半径和收敛圆的求法。
4、熟练掌握将函数在指定点展成幂级数的方法。
5、数量掌握解析函数零点和级别的求法。
（二）教学重点与难点重点: 1、幂级数的收敛圆及收敛半径的求法。
2、将函数在一点展成幂级数的方法。
解析函数的唯一性定理。
难点：利用已知的基本初等函数的展式将函数在指定点展成泰勒级数。
（三）教学方式讲授, 练习。
（四）教学内容1、复级数的基本概念。
复数项级数、函数项级数、一致收敛的柯西判别法、维尔斯特拉斯判别法、和函数的连续性、逐项积分、逐项微分。
2、幂级数。
幂级数的定义、阿贝尔定理、收敛图、收敛半径、和函数在收敛圆内的解析性。
3、解析函数的泰勒展式。
泰勒定理、初等函数的泰勒展式、解析函数的另一个充要条件。
4、唯一性定理。
解析函数的零点的孤立性、解析函数的唯一性。
第五章解析函数的洛朗展开与孤立奇点（一）教学目的及要求1、理解罗朗级数、孤立奇点可去奇点、极点、本质奇点的概念。
2、熟练掌握求函数在孤立奇点去心邻域上的罗朗展式。
3、熟练掌握判断奇点类别的方法。
（二）教学重点与难点重点: 1、将函数展成罗朗级数的方法。
2、判别孤立奇点的方法。
3、解析函数在其孤立奇点去心邻域内的性质。
难点: 1、孤立奇点类别的识别。
2、将函数在其孤立奇点去心邻域内展成罗朗级数。
（三）教学方式讲授, 练习。
（四）教学内容1、解析函数的罗朗展式。
罗朗级数的概念、罗朗级数的收敛域及其函数的解析性、解析函数在圆环上展成罗朗级数。
2、解析函数的孤立奇点。
奇点、孤立奇点及其分类、函数在孤立奇点的去心邻域内的性质。
3、解析函数在无穷远点的去心邻域内的性质。
函数在无穷远点的罗朗级数、无穷远点为孤立奇点的分类。
4、整函数与亚纯函数的概念。
第六章留数理论及其应用（一）教学目的及要求1、理解留数的定义及留数定理、辐角原理及其应用。
2、熟练掌握留数的求法。
3、熟练掌握留数的应用（二）教学重点与难点重点: 留数的求法难点: 留数的定义及留数定理（三）教学方式讲授, 练习。
（四）教学内容1、留数留数的定义及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的留数。
2、用留数定理计算实积分3、辐角原理及其应用对数留数、辐角原理、儒歇定理第七章共形映射（一）教学目的及要求1、理解解析变换、分式线性变换的概念及其性质。
2、掌握某些初等函数所构成的共形映射。
3、了解共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理。
（二）教学重点与难点重点: 解析变换、分式线性变换的概念及其性质难点: 某些初等函数所构成的共形映射（三）教学方式讲授, 练习。
（四）教学内容1、解析变换的特性解析变换的保域性、保角性、单叶解析变换的共形性2、分式线性变换分式线性变换及其分解、分式线性变换的共形性、分式线性变换的保交比性、分式线性变换的保圆周性、分式线性变换的保对称点性、分式线性变换的应用3、某些初等函数所构成的共形映射幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的共形映射、由圆弧构成的两角形区域的共形映射、儒可夫斯基函数的单叶性区域。
4、关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理第八章解析延拓（一）教学目的及要求1、理解解析延拓、完全解析函数、黎曼面等概念。
2、掌握透弧解析延拓、对称原理及解析延拓的幂级数方法（二）教学重点与难点重点: 有关解析延拓的概念难点: 解析延拓的幂级数方法（三）教学方式讲授, 练习。
（四）教学内容1、解析延拓的概念与幂级数延拓解析延拓的概念、解析延拓的幂级数方法2、透弧解析延拓、对称原理透弧直接解析延拓、黎曼-施瓦茨对称原理3、完全解析函数及黎曼面的概念完全解析函数、单值性定理、黎曼面概念三、教学方式与方法以主题情境分析为基础,针对问题情境展开讨论。
保证整个学习过程整体思路的畅通。
将练习及习题分类，结合讲授内容进行讨论，完成。
选择几个专题由学生报告学习体会。
四、课程考核与要求考核方法：闭卷考试与平时成绩相结合，由教师掌握。
采取百分制。
五、课程纲要制定程序本课程纲要的制定是由师范学院院长梁晓俐教授、副院长牛平、数学系主任周毅、聂锡军、李艳红、于强、郑杰、于庆年共同研究初步定稿，由周毅老师具体执笔编写。
六、课程使用的教材与教学参考资料（一）教材名称：《复变函数论》（第三版）钟玉泉编高等教育出版社，2004年。
（二）参考资料：1、《复变函数》余家荣编人民教育出版社，1999年2、《复变函数教程》方企勤编北京：北京大学出版社，1996年3、《复变函数例题选讲》庹克平等编天津：天津科学技术出版社，1999年4、《复变函数引论》 N·N·普里瓦洛夫著人民教育出版社，1992（三）其他参考资料：1、《复变函数学习指导书》钟玉泉编高等教育出版社， 1996年。