广西北海市北海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(扫描版)
广西北海市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
北海市2019-2020学年度第一学期期末教学质量测查卷高一数学一、选择题：（每小题只有一个选项符合要求，每小题5分，共60分）1.设{0,1,2,4,5,7}A ，{1,3,5,8,9}B ，则A B I （）A. {1,5}B. {1}C. {5}D. {1,5,7}【答案】 A【解析】【分析】根据交集的运算求解即可.【详解】由题, A B I {1,5}.故选：A【点睛】本题主要考查了交集的基本运算,属于基础题型.2.下列哪组中的两个函数是同一函数（）A. 1f x x ，2()1x g x x B. 24(),()()f x x g x x C. 263(),()f x x g x x D. 0()1,()f x g x x 【答案】 C【解析】【分析】分析各选项函数的定义域及解析式，从而判断函数是否为同一函数，得解.【详解】解：对于选项A ，函数()y f x 的定义域为,，函数()y g x 的定义域为,00,，即两个函数不是同一函数；对于选项B ，函数()y f x 的定义域为,，函数()y g x 的定义域为0,，即两个函数不是同一函数；对于选项C ，362()g x x x ，函数与函数()y g x 的定义域，对应法则一致，即两个函数是同一函数；对于选项D ，函数()yf x 的定义域为,，函数()yg x 的定义域为,00,，即两个函数不是同一函数，故选 C. 【点睛】本题考查了同一函数的判定，重点考查了函数的定义域及对应法则，属基础题. 3.下列图形是函数2,0,1,0.x xy x x ，的图象的是( )A. B. C. D.【答案】 C【解析】解：∵x ≥０时，f （x ）=x ﹣1排除A,B,D.故选 C4.下列命题中正确的是( )A. 若a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B. 若直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行C. 平行于同一条直线的两个平面平行D. 若直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b 不在平面α内，则b ∥α【答案】 D【解析】【分析】由线面平行的判定定理，可以判断A 的真假；根据线面平行的定义及几何特征，可以判断B 与C 的真假；根据线面平行的判定定理，可以判断D 的真假；进而得到答案．【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误；如果直线a 和平面满足//a ，那么a 与内的任何直线平行或异面，故B 错误；。
2020年广西壮族自治区北海市市中学高一数学理期末试题含解析
2020年广西壮族自治区北海市市中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（）A．B．C．D．参考答案：D略2. 已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】由题意可得区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f（x）=sin（2ωx+）+，再根据2016π≥，求得ω的最小值．【解答】解：由题意可得，f（x0）是函数f（x）的最小值，f（x0+2016π）是函数f （x）的最大值．显然要使结论成立，只需保证区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可．又f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）=sin2ωx+=sin（2ωx+）+，故2016π≥，求得ω≥，故则ω的最小值为，故选：D．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．3. 函数的值域是（）A．R B．（-∞，0）C．（-∞，1）D．（0，+∞）参考答案：D略4. 若，则下列正确的是（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除。
【详解】A选项不正确，因为若，，则不成立；B选项不正确，若时就不成立；C选项不正确，同B，时就不成立；D选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D．【点睛】本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌握不等式的运算性质。
5. 已知△ABC中，三内角A，B，C依次成等差数列，三边a，b，c成等比数列，则△ABC 是( )A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形参考答案：A略6. 设向量，互相垂直，则实数的值为__________。
2020-2021学年北海市高一上学期期末数学试卷(附答案解析)
2020-2021学年北海市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={−1,0,1,2}，B={x|x2+2x−3<0}，则A∩B=()A. {−1}B. {−1,0}C. {−1,0,1}D. {−2,−1,0}2.下列各组函数表示同一个函数的是()A. f(x)=x2−1，g(x)=x+1x−1B. f(x)=√x+1⋅√x−1，g(x)=√x2−1C. f(x)=(√x−1)2，g(x)=|x−1|D. f(x)=2x−1，g(t)=2t−13.如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y=f(t)记为x，令y=sin2x2的图象大致为()A.B.C.D.4.命题“∃x∈R，x2+4x+5≤0”的否定是()A. ∃x ∈R ，x 2+4x +5>0B. ∃x ∈R ，x 2+4x +5≤0C. ∀x ∈R ，x 2+4x +5>0D. ∀x ∈R ，x 2+4x +5≤0 5. 若a =4是函数f(x)=|4x −x 2|−a 有3个零点的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 函数y =|x +1|+|x −1|的值域为( ) A. (0,+∞)B. (2,+∞)C. [0,+∞)D. [2,+∞) 7. 如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 4B. 2C. 43D. 238. 函数f(x)=log a (x +1)恒过定点( ) A. (0,−1)B. (0,0)C. (−1,−12)D. (−1,0) 9. 已知定义在R 上的函数f(x)，满足f(x)={x 2+1,x ∈[0,1)−x 2+1,x ∈[−1,0)，且f(x +1)=f(x −1)，若g(x)=x−1x−2，则方程g(x)=f(x)在区间[−1,5]上所有实根之和为( )A. 3B. 4C. 5D. 610. 下列命题正确的个数是( )(1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱(2)棱柱的底面一定是平行四边形(3)棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥(4)用平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，所得几何体叫做圆台．A. 0B. 1C. 2D. 311. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m ⊥α，n//α，则m ⊥n ；②若α⊥γ，β⊥γ则α//β；③若m//α，n//α，则m//n ；④若α//β，β//γ，m⊥α则m⊥γ．其中正确命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 312.三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2且AA1⊥平面ABC，△ABC是边长为√3的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为()A. 8πB. 8π3C. 8√2π3D. 8√2π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知f(x2)的定义域为[−2,2]，f(2x)+f(x+3)的定义域为______．14.球O为边长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，DP⊥BM，则点P的轨迹周长为______ ．15.函数y=3x−x5−1有______个零点．16.已知正三棱锥P−ABC，点P，A，B，C都在半径为4的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.例2：(1)设不等式2(log12x)2+9log12x+9≤0时，求f(x)=log2(x2)⋅(log2x8)的最大值和最小值．(2)设f(x)=|lgx|，a、b是满足f(a)=f(b)=2f(a+b2)的实数，其中0<a<b①求证：a<1<b；②求证：2<4b−b2<3．18.用定义证明函数f(x)=x2+2x−1在(0,1]上是减函数．19.已知函数f(x)=(x−1)|x−a|．(Ⅰ)若a=2，求f(x)在[0,52]上的最大值；(Ⅱ)已知函数g(x)=f(x)+|x−a|−x+a−m，若存在实数a∈(−1,2]，使得函数g(x)有三个零点，求实数m的取值范围．20.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=．(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(Ⅱ)求二面角A−PC−D的平面角的余弦值．21.在等腰梯形ABCD中，AD//BC，BC=4，AD=2，∠ABC=60°，将梯形ABCD沿着AB翻折至ABC1D1(如图)，使得平面ABCD与平面ABC1D1垂直．(Ⅰ)求BC1与AC所成的角的大小；(Ⅱ)求二面角B−CD1−D大小的正弦值．22.已知方程x2+bx+c=0的两实根为−1和3，(1)求b与c；(2)解不等式：x2+bx+c>0．参考答案及解析1.答案：B解析：本题考查交集的求法，注意交集定义的合理运用，是基础题．分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．解：∵集合A={−1,0,1,2}，B={x|x2+2x−3<0}={x|(x−1)(x+3)<0}={x|−3<x<1}，∴A∩B={−1,0}．故选：B．2.答案：D=x+1(x≠1)，与g(x)=x+1(x∈R)的定义域不同，解析：解：对于A，f(x)=x2−1x−1∴不是同一函数；对于B，f(x)=√x+1⋅√x−1=√x2−1(x≥1)，与g(x)=√x2−1(x≥1或x≤−1)的定义域不同，∴不是同一函数；对于C，f(x)=(√x−1)2=x−1(x≥1)，与g(x)=|x−1|(x∈R)的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一函数；对于D，f(x)=2x−1(x∈R)，与g(t)=2t−1(t∈R)的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数．故选：D．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．3.答案：B解析：解：因为当t=0时，x=0，对应y=0，所以选项C，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率先快后慢，又y=sin2x在[0,1]上是增函数，所以函数y=f(t)的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反，故选：B．通过t =0时y =0，排除选项C 、D ，利用x 的增加的变化率，说明y =sin 2x 的变化率，得到选项即可．本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力，属于中档题．4.答案：C解析：本题重点考查命题的否定，解题的关键是掌握命题的否定规则，属于基础题．根据命题的否定规则，将量词否定，结论否定，即可得到结论．解：易得命题“∃x ∈R ，x 2+4x +5≤0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2+4x +5>0”故选C ．5.答案：C解析：解：画出函数g(x)=|4x −x 2|与y =a 的图象，g(x)={x 2−4x,x ≤0或x ≥44x −x 2,0<x <4， 由图象可知：当且仅当a =4时，函数g(x)=|4x −x 2|与y =a的图象有3个交点，即函数f(x)=|4x −x 2|−a 有3个零点，因此a =4是函数f(x)=|4x −x 2|−a 有3个零点的充要条件．故选：C ．画出函数g(x)=|4x −x 2|与y =a 的图象，g(x)={x 2−4x,x ≤0或x ≥44x −x 2,0<x <4，由图象可知：当且仅当a =4时，函数g(x)=|4x −x 2|与y =a 的图象有3个交点，即可得出．本题考查了二次函数的图象与性质，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．6.答案：D解析：解：y =|x +1|−|x −1|={−2x,(x <−1)2,(−1≤x ≤1)2x,(x >1)，∴函数y =|x +1|+|x −1|的值域为：[2,+∞)． 故选：D ．去掉绝对值求解即可得答案．本题考查了函数的值域的求法，考查了绝对值不等式的解法，是基础题．7.答案：D解析：解：如图三棱锥A −BCD 是该几何体的直观图，三棱锥的高为2，底面三角形ABC 的底边长为1，高为2，则此几何体的体积为V =13×12×1×2×2=23，故选：D ．通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8.答案：B解析：解：由题意，令x +1=1可得x =0，带入可得y =0，可得恒过定点(0,0)．故选：B ．根据对数的性质，令x +1=1可得x =0，带入可得y =0，可得恒过定点．本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．9.答案：C解析：本题考查分段函数的运用，函数的周期性和函数图象平移，零点与方程根的关系，属于中档题． 把方程f(x)=g(x)在区间[−1,5]上的根转化为函数y =f(x)和y =g(x)的交点横坐标，画出函数图象，数形结合得答案．解：∵f(x)={x 2+1,x ∈[0,1)−x 2+1,x ∈[−1,0),f(x+1)=f(x−1)，即为f(x+2)=f(x)，函数f(x)的周期为2，∴y=f(x)将函数两次向右平移2个单位得到函数y=f(x)在[−1,5]上的图象，每段曲线不包含右端点(如右图)，又∵g(x)=x−1x−2=1+1x−2关于P(2,1)中心对称，故方程f(x)=g(x)在区间[−1,5]上的根就是函数y=f(x)和y=g(x)的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x1，x2，x3，其中x1和x3关于(2,1)中心对称，∴x1+x3=4，x2=1，故x1+x2+x3=5．故选：C．10.答案：A解析：解：(1)如图，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但是这个几何体不是棱柱，∴(1)不正确．(2)五棱柱的底面是五边形，六棱柱的底面是六边形，∴(2)不正确；(3)棱锥被过顶点的平面分成的两部分有可能都是棱锥，∴(3)不正确；(4)用平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台，∴(4)不正确．故选：A．根据多面体的性质和几何体的定义来判断，采用举反例的方法来以及对概念的理解进行否定．本题考查命题真假的判断，是基础题，准确理解几何体的定义，是真正把握几何体结构特征的关键．11.答案：C解析：解：①∵n//α，过n作平面β，有α∩β=b，则a//b，又m⊥α，∴m⊥n，正确．②若α⊥γ，β⊥γ则α//β，不正确，可能相交．③若m//α，n//α，则m与n可能平行，相交或异面，所以不正确；④若α//β，β//γ，m⊥α则m⊥γ.由面面平行的性质定理知，正确．故选：C．我们可借助正方体去观察理解，①由垂直于平行线中的一条也垂直另一条来判断．②由两平面的位置关系判断．③由两条直线的位置关系判断．④由面面平行的性质定理判断．本题主要考查了两直线，两平面的位置关系，面面平行，线面平行的性质定理，同时，说明特别对于不正确的命题，借助空间几何体更有效．12.答案：C解析：解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，因为△ABC是边长为√3的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：1；因为AA1=2且AA1⊥平面ABC，所以外接球的半径为：r=√1+1=√2．所以外接球的体积为：V=43πr3=43π×(√2)3=8√23π．故选：C．根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积．本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积．着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题．13.答案：[0,1]解析：解：∵f(x2)的定义域为[−2,2]∴0≤x2≤4，∴f(x)的定义域为[0,4]∴对于函数f(2x)，则有0≤2x≤4∴0≤x≤2．∴对于函数f(x+3)，则有0≤x+3≤4∴−3≤x≤1．∴f(2x)+f(x+3)的定义域为[0,1]故答案为[0,1]．通过f(x2)的定义域为[−2,2]，求出f(x)的定义域，进而求出2x和x+3的范围，最后得出答案．本题主要考查了函数自变量的取值范围构造重要不等式，求出函数的定义域．不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛，是数学解题的方法之一．14.答案：8√55π解析：解：根据题意，该正方体的内切球半径为r=2，由题意，取BB1的中点N，连接CN，则CN⊥BM，∵正方体ABCD−A1B1C1D1，∴CN为DP在平面B1C1CB中的射影，∴点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，∵正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为4，∴O到过D，C，N的平面的距离2√5，∴截面圆的半径为：4√5，∴点P的轨迹周长为：2π×4√5=8√55π．故答案为：8√55π．首先，求解其内切球的半径，然后，结合球面的性质求解点O到平面DCN的距离，然后，确定其周长．本题重点考查球面距离及相关计算，属于中档题．15.答案：4解析：解：函数y=3x−x5−1的零点个数即为方程3x−x5−1=0的根的个数，也就是函数f(x)=3x−1与g(x)=x5的交点个数．作出函数f(x)=3x−1与g(x)=x5的图象如图：由图可知已有3个交点，当x→+∞时，指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，故还有一交点，∴函数y=3x−x5−1有4个零点．故答案为：4．函数y=3x−x5−1的零点个数即函数f(x)=3x−1与g(x)=x5的交点个数，在同一坐标系内画出两函数的图象，结合图象得答案．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．16.答案：43解析：先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算．本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题．解：∵正三棱锥P−ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，∵球O的半径为4，∴正方体的边长为83√3，即PA=PB=PC=83√3，球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，设P到截面ABC的距离为ℎ，则正三棱锥P−ABC的体积V=13S△ABC×ℎ=13S△PAB×PC=13×12×8 3√3×83√3×83√3，△ABC为边长为83√6的正三角形，S△ABC=√34×(83√6)2=323√3，∴ℎ=83，∴球心(即正方体中心)O到截面ABC的距离为43．故答案为：43．17.答案：解：(1)、∵不等式2(log12x)2+9log12x+9≤0，∴−3≤log12x≤−32，∴2√2≤ x≤8.∴32≤log2x≤3．∴f(x)=log2(x2)⋅(log2x8)=(log2x−1)⋅(log2x−3)=(log2x)2−4log2x+3=(log2x−2)2−1．故当log2x=2时，f(x)=log2(x2)⋅(log2x8)的最小值是−1；当log2x=0时，f(x)=log2(x2)⋅(log2x8)的最大值是3．(2)、①证明：∵f(x)=|lgx|，f(a)=f(b)，∴|lga|=|lgb|．∵0<a<b，y=lgx是增函数，∴−lga=lgb，故a<1<b．②证明：∵−lga=lgb，∴lg1a=lgb，∴ab=1，∵0<a<b，∴a+b2>√ab=1．∵f(a)=f(b)=2f(a+b2)，∴lg1a=lgb=lg(a+b2)2，∴1a=b=(a+b)24．∴4b=(1b +b)2=1b2+b2+2，∴4b−b2= 1b2+2，∵b>1，∴2<4b−b2<3．解析：(1)、由不等式2(log12x)2+9log12x+9≤0，可知−3≤log12x≤−32，从而导出32≤log2x≤3.再由f(x)=log2(x2)⋅(log2x8)=(log2x−1)⋅(log2x−3)=(log2x)2−4log2x+3=(log2x−2)2−1可以导出f(x)最大值和最小值．(2)：①由f(x)=|lgx|，f(a)=f(b)可知|lga|=|lgb|.再由0<a<b，y=lgx是增函数，可知−lga= lgb，由此可证a<1<b．②由f(a)=f(b)=2f(a+b2)可知1a=b=(a+b)24，由此可证2<4b−b2<3．注意对数的性质运用及对数方程的解法．18.答案：证明见试题解析．解析：试题分析：证明一个函数为减函数，根据定义设为所给区间上的任意两个实数，且，然后作差，但一定要注意的是，对差，我们一般是进行因式分解，把它变成几个因式之积，实际上是要得到几个容易判断正负的因式之积，从而很快可以得出差是正是负．试题解析：证明：设且，则，，，∴．∴函数在上是减函数．考点：减函数的定义．19.答案：解：(Ⅰ)当a =2时，f(x)=(x −1)|x −2|={(x −1)(x −2),x ≥2−(x −1)(x −2),x <2，当x ∈[0,2)时，f(x)max =f(32)=14； 当x ∈[2,52]时，f(x)max =f(52)=34； 综上，f(x)在[0,52]上的最大值为34；(Ⅱ)g(x)=f(x)+|x −a|−x +a −m 有零点，等价于函数y =x|x −a|−x +a 与直线y =m 有3个不同的交点，令ℎ(x)=x|x −a|−x +a ，则ℎ(x)={x 2−(a +1)x +a,x ≥a−x 2+(a −1)x +a,x <a ，①当1≤a ≤2时，ℎ(x)在(−∞,a−12)上单调递增，在(a−12,a)上单调递减，在(a,+∞)单调递增，∴0<m <f(a−12)，即0<m <(a+1)24，∵a ∈[1,2]， ∴0<m <94；②当−1<a <1时，ℎ(x)在(−∞,a−12)上单调递增，在(a−12,a+12)上单调递减，在(a+12,+∞)上单调递增， ∴f(a+12)<m <f(a−12)，即−(a−1)24<m <(a+1)24，∵a ∈(−1,1)， ∴−1<m <1，综上，实数m 的取值范围为(−1,94)．解析：本题考查函数零点及函数最值，考查分段函数及二次函数的性质，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．(Ⅰ)将a =2代入，并把函数化为分段函数的形式，再根据二次函数的性质直接求解即可； (Ⅱ)依题意，函数y =x|x −a|−x +a 与直线y =m 有3个不同的交点，令ℎ(x)=x|x −a|−x +a ，则ℎ(x)={x 2−(a +1)x +a,x ≥a−x 2+(a −1)x +a,x <a ，然后分1≤a ≤2及−1<a <1讨论即可求得实数m 的取值范围．20.答案：(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)．解析：试题分析：(Ⅰ)要证面面垂直，需在其中一面内找一条直线与另一面垂直，此题在面PAB内过点P向AB作垂线，在三角形PCE中，再根据边长关系证PE⊥CE，从而得证；(Ⅱ)法一：先找二面角的平面角，在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连AF.过A作平面PCD的垂线，垂足为H，连FH，证是二面角A−PC−D的平面角，再证，在中，求的值，即得所求；法二：以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点空间坐标，设平面PAC与面PCD的法向量，根据条件找和法向量垂直的已知向量列方程组求法向量，再利用求法向量夹角的余弦值，即得所求．试题解析：(Ⅰ)如图1所示，取AB中点E，连PE、CE．则PE是等腰△PAB的底边上的中线，所以PE⊥AB.2分PE=1，CE=，PC=2，即．由勾股定理可得，PE⊥CE.4分又因为ABÌ平面ABCD，CEÌ平面ABCD，且AB∩CE=E，所以PE⊥平面ABCD.5分而PEÌ平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD.7分(Ⅱ)(方法1)如图1，在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连AF．过A作平面PCD的垂线，垂足为H，连FH．因为AE⊥EC，AE⊥PE，所以AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC．又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF．已有PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH．故∠AFH是二面角A−PC−D的平面角．10分由AB⊥平面PEC知EF⊥AB，又AB//CD，所以EF⊥CD．而已有EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD.又因为AH⊥平面PCD，所以AH//EF．由于AB//平面PCD，所以A、E两点到平面PCD的距离相等，故AH=EF．所以AEFH是矩形，∠AFH=∠EAF13分在Rt△AEF中，AE=1，EF=，AF=，所以．即二面角A−PC−D的平面角的余弦值是.14分(方法2)以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,−1,0)，C(，0，0)，D(，−2，0)，P(0,0,1)，=(，1，0)，=(，0，−1)，=(0,2,0).9分设是平面PAC的一个法向量，则，即．取，可得，.11分设是平面PCD的一个法向量，则，即．取，可得，. 13分故，即二面角A −PC −D 的平面角的余弦值是. 14分考点：1、面面垂直的判定定理；2、二面角的求法．21.答案：解：(1)在等腰梯形中过A 作BC 垂线交BC 于E ，由BC =2，AD =4， 则AE =√3，AC =2√3，AB =1cos60∘=2， 所以AB 2+AC 2=BC 2，所以AB ⊥AC ， 又因为平面ABCD 与平面ABC 1D 1垂直，所以AC ⊥平面ABC 1D 1，所以BC 1⊥AC ，BC 1与AC 所成的角为π2．(Ⅱ)以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AC 1为z 轴，建立如图空间直角坐标系A −xyz ． A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2√3,0)，D(−1,√3,0)，D 1(−1,0,√3)， 所以DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√3,√3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√3,0)， BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0,√3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3,0)， 设平面BCD 1的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则有{−2x +2√3y =0−3x +√3z =0，取n ⃗ =(√3,1,3)，设平面CDD 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则有{0−√3y 1+√3z 1=0−x 1−√3y 1=0，取m ⃗⃗⃗ =(−√3,1,1)，∴cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=−3+1+3√5⋅√13=−1√65，∴二面角B −CD 1−D 大小的正弦值为8√65．解析：(1)在等腰梯形中过A 作BC 垂线交BC 于E ，由BC =2，AD =4，推导出AB ⊥AC ，从而AC ⊥平面ABC 1D 1，BC 1⊥AC ，由此能求出BC 1与AC 所成的角．(Ⅱ)以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AC 1为z 轴，建立空间直角坐标系A −xyz.利用向量法能求出二面角B −CD 1−D 大小的正弦值．本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(1)由方程x 2+bx +c =0的两实根为−1和3，利用根与系数的关系得−b=−1+3，{c=−1×3解得b=−2，c=−3；(2)b=−2，c=−3时，原不等式为x2−2x−3>0，即(x+1)(x−3)>0，解得x<−1或x>3；所以不等式的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)．解析：(1)由题意，利用根与系数的关系即可求出b、c的值；(2)把b、c的值代入不等式，解一元二次不等式即可．本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题目．。
(9份试卷汇总)2019-2020学年广西省北海市数学高一(上)期末质量检测模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb+的值为（ ） A.24B.22C.1D.2 2．在中，内角所对的边分别为，若，且，则的形状是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.不确定3．已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ） A.B.C.D.4．已知实心铁球的半径为R ，将铁球熔成一个底面半径为R 、高为h 的圆柱，则hR=( ) A ．32B ．43C ．54D ．25．已知(,0)2απ∈- ，tan cos2-1αα=，则α=( ) A.-12πB.-6πC.-4πD.-3π6．函数的图象大致是( )A. B.C. D.7．若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13 B ．13-C ．79D ．79-8．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=o ，A D ，分别是BF CE ，上的点，AD BC ∥，且22AB DE BC AF ===（如图①）.将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE BF CE，，（如图②）.在折起的过程中，下列说法中错误的个数是（ ）①AC P 平面BEF ；②B C E F ，，，四点不可能共面；③若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； ④平面BCE 与平面BEF 可能垂直. A ．0B ．1C ．2D ．39．函数()1f x x x=-，若不等式()221x xt f ⋅≥-对(]0,1x ∈恒成立，则t 的取值范围是( ) A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 10．若变量x ，y 满足|x|﹣ln 1y=0，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是π，则其图象向右平移6π个单位长度后得到的函数的单调递减区间是 A ．(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦12．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题13．已知向量 OA u u u r 与OB uuu r 满足2OA =u u u r ，1OB =u u u v ．又OM tOA =u u u u v u u u v ，(1)ON t OB =-u u uv u u u v ，且MN u u u u r 在27t =时取到最小值，则向量 OA u u u r 与 OB uuu r 的夹角的值为____ 14．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图像关于点3(,0)4π对称，且在区间[0,]2π是单调函数，则ϕ=_______，ω=_________．15．两圆x 2+y 2+6x-4y+9=0和x 2+y 2-6x+12y-19=0的位置关系是___________________. 16．已知圆22:5O x y +=,则圆O 在点(2,1)A -处的切线的方程为________. 三、解答题17．设函数22()(sin cos )23sin 3f x x x x =++-. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）当5,46x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，求函数()f x 的值域. 18．已知函数()2sin 23sin 2x f x x =-． （1）求()f x 的最小正周期． （2）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值． 19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=o ，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD .（1）证明：PA BD ⊥；（2）设2PD AD ==，求点D 到面PBC 的距离.20．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1A OC ；（Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为362，求a 的值. 21．已知函数()f x 满足22()log log (1)f x x ax +=+． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()1f x >； （Ⅱ）若关于x 的方程12()2log f x x =的解集中有且只有一个元素，求a 的取值范围（Ⅲ）设0a >，若对13,22t ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[1]t t +，上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．22．在平面直角坐标系中，点(5,4),(1,0)M N ---,圆C 的半径为2，圆心在直线1:12l y x =--上 （1）若圆心C 也在圆22640x y x +-+=上，过点M 作圆C 的切线，求切线的方程。
2019-2020学年广西北海市高一上学期期末数学试题及答案解析
定义域为0, ，即两个函数不是同一函数；
对于选项 C， g(x) 3 x6 x2 ，函数与函数 y g(x) 的定义域，
对应法则一致，即两个函数是同一函数；
对于选项 D，函数 y f (x) 的定义域为 , ，函数 y g(x) 的
定义域为 ,00, ，即两个函数不是同一函数，
故选 C.
【点睛】
A． 0,1
B． 1, 2
C． 2,3
） D． 3,4
【答案】C
【解析】确定函数单调递增，再计算 f 2 0， f 3 0 得到
答案.
【详解】
f x ln x 2 单调递增，计算得到 f 2 ln 2 1 0 ，
x
f 3 ln 3 2 0 ，
3
故在 2,3有唯一零点.
故选： C
【点睛】
视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖 去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知 其侧视图为 B,故选 B 点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图 之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则， 其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯 视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是 几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步 骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何 体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、 后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进
若 ，则 在 上是增函数，
函数
图象开口向上，且对称轴 在 轴右侧，
因此 B 项不正确，只有选项 A 满足.
【点睛】
本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中
广西北海市2019-2020学年高一上学期期末数学复习卷(有解析)
广西北海市2019-2020学年高一上学期期末数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x≥1}，则A∩B=()．A. {x|−1≤x≤1}B. {x|x≥−1}C. {x|x>2}D. {x|1≤x<2}2.下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是()A. f(x)=|x|B. f(x)=x−|x|C. f(x)=x+1D. f(x)=−x3.函数y=x的大致图象是()1+xA. B.C. D.4.已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为()①若m//n，n⊂α，则m//α；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m则α⊥β③若l⊥n，m⊥n，则l//m④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥αA. 1B. 2C. 3D. 45.函数的零点所在的大致区间是()A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (e,+∞)6.设函数f(x)=2x+1的定义域为[1,5]，则函数f(2x−3)的定义域为()A. [1,5]B. [3,11]C. [3,7]D. [2,4]7.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，该几何体的侧视图为()A. B. C. D.8. 已知函数在[2,6]上单调，则a 的取值范围为( )A. (−∞,1]∪[3,+∞)B. (−∞,1]C. [3,+∞)D. [32,116] 9. 已知函数f(x)={log 13x,x >02x ,x ≤0，若f(a)>12，则实数a 的取值范围是( ) A. (0,√33) B. (−1,0] C. (−1,√33) D. (−1,0)∪(0,√33) 10. 在体积为15的斜三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，三棱锥S −ABC 的体积为3，则四棱锥S −A 1ABB 1的体积为( )A. 11B. 212C. 10D. 911. 空间四边形SABC 中，SB ⊥AC ，SB =AC =2，E 、F 分别是SC 、AB 的中点，那么EF =( )A. 1B. √2C. √22 D. 12 12. 已知三棱锥P −ABC 中，PA =√23，AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，PA ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为( )A. 16B. 28C. 64D. 96二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=lg(1−x)+√x+2的定义域为______ ．14.如图，正四棱锥P−ABCD中所有棱长均相等，则侧棱与底面所成角的大小为______15.设函数f(x)={x 2+bx+2,≤0|2−x|,x>0若f(−4)=f(0)，则函数y=f(x)−ln(x+2)的零点个数有_________个．16.在底面是菱形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BAD=120°，点E为棱PB的中点，点F在棱AD上，平面CEF与PA交于点K，且PA=AB=3，AF=2，则点K到平面PBD的距离为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|x2+2x−8≤0}，B={x|3x⩾13}.(1)求A∩B；(2)求(∁R A)∪B．18.已知函数f(x+1)=x2+2x+2x+1．(1)求函数f(x)的解析式；(2)根据函数单调性的定义证明f(x)在(0,1)上单调递减．19.为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y={168−x−1 , 0 ≤ x ≤ 4 5−12x , 4<x ≤ 10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：√2取1.4)．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，E，M分别是AD，PD中点，PE⊥BE，PA=PD=AD=2，AB=√2．(1)求证：PB//平面MAC；(2)求证：平面MAC⊥平面PBE．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD=3．(1)求异面直线PB与CD所成角的大小；(2)求点D到平面PBC的距离．22.已知m∈R，函数f(x)=lg(m+2)．x(1)若函数g(x)=f(x)+lg(x2)有且仅有一个零点，求实数m的值；(2)设m>0，任取x1，x2∈[t,t+2]，若不等式|f(x1)−f(x2)|≤1对任意恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题，由交集的运算法则直接可得．解：∵集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x<2}．故选D．2.答案：C解析：本题考查函数的解析式，属于简单题．解：对于A，f(2x)=|2x|=2|x|,2f(x)=2|x|,故f(2x)=2f(x)，正确；对于B，f(2x)=2x−|2x|=2(x−|x|),2f(x)=2(x−|x|),故f(2x)=2f(x)，正确；对于C，f(2x)=2x+1,2f(x)=2x+2，则f(2x)≠2f(x)，错误；对于D，f(2x)=−2x,2f(x)=2(−x)=−2x故f(2x)=2f(x)，正确．故选C．3.答案：A解析：本题考查了函数图象的作法，先化简得y=1−1x+1得出x≠−1，排除C，D，由x=0时，y=0，排除B，即可得出结论．解：函数y=x1+x =x+1−1x+1=1−1x+1，由x+1≠0，得x≠−1，排除C，D，由x=0时，y=0，排除B，故选A．解析：解：①若m//n，n⊂α，则m//α或m⊂α，因此不正确；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m，利用面面垂直的判定定理可得：α⊥β，正确；③若l⊥n，m⊥n，则l//m、相交或为异面直线，因此不正确；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，利用面面垂直的性质定理即可得出：n⊥α，因此正确．综上可知：只有②④正确．故选：B．①利用线面平行的判定定理即可得出；②利用面面垂直的判定定理即可判断出；③利用线线的位置关系即可得出；④利用面面垂直的性质定理即可得出．本题综合考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，熟练掌握判定定理及其性质定理是解决问题的关键，属于基础题．5.答案：B解析：解：∵函数f(x)=3x −lnx满足f(2)=32−ln2>0，f(3)=1−ln3<0，∴f(2)⋅f(3)<0，根据函数的零点的判定定理可得函数f(x)=3x−lnx的零点所在的大致区间是(2,3)．故选：B．解析：由函数的解析式可得f(2)⋅f(3)<0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f(x)=3x−lnx的零点所在的大致区间．本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6.答案：D解析：∵函数f(x)的定义域为[1,5]，∴1≤2x−3≤5，解得2≤x≤4，∴所求函数f(2x−3)的定义域是[2,4]．故选D．本题考查函数的定义域问题，注意解决此类问题的原则，属于易错题．解析：本题考查几何体的三视图，属基础题，根据正视图和俯视图，考查几何体的特征，进而得出侧视图，注意虚实线的区分．解：由正视图可知正试图方向是由D 向A 看，所以侧视图应由B 向A 看，底面ABCD 为正方形边长为4，PA 垂直底面，EB 也垂直BE =12PA =2， 由于侧视图从左侧看的，EC 是可见的，故而画成实线，故而排除D ，A ，C 明显不对，故选B ．8.答案：B解析：令t =x 2−4ax +8，则，由题意可得x ∈[2,6]时，t >0，且t 单调递减或单调递增，再利用指数函数、二次函数的性质，分类讨论，求得a 的范围．解：令t =x 2−4ax +8，则f(x)=log 12t ， 由题意可得x ∈[2,6]时，t >0，且t 单调递减或单调递增，所以，{2a ≥636−24a +8>0①， 或{2a ≤24−8a +8>0②， 解①求得a ∈ϕ;解②求得a ≤1，综上可得，a ≤1.故选B ．9.答案：C解析：解：由题意，得{log13x>12x>0或{2x>12x≤0，解得0<a<√33或−1<a≤0，即实数a的取值范围为(−1,√33)，故选C．利用分段函数，结合已知条件，列出不等式组，转化求解即可．本题考查分段函数的应用，不等式组的求解，考查计算能力．10.答案：C解析：本题考查的知识点是棱柱的体积，棱锥的体积，其中分析出三棱锥S−ABC的体积与三棱锥S−A1B1C1的体积和为13V(其中V为斜三棱柱ABC−A1B1C1的体积)，是解答本题的关键，属于基础题．由棱柱的体积与棱锥体积的关系，由于三棱锥S−ABC三棱锥S−A1B1C1的底面全等，高之和等于棱柱的高，我们可得三棱锥S−ABC的体积与三棱锥S−A1B1C1的体积和为13V(其中V为斜三棱柱ABC−A1B1C1的体积)，进而结合三棱柱ABC−A1B1C1的体积V=15，三棱锥S−ABC的体积为3，则可求得四棱锥S−A1ABB1的体积．解：∵三棱柱ABC−A1B1C1的体积V=15，三棱锥S−ABC的体积与三棱锥S−A1B1C1的体积和为13V=5，∵三棱锥S−ABC的体积为3，∴三棱锥S−A1B1C1的体积2，四棱锥S−A1ABB1的体积=15−3−2=10，故选C．11.答案：B解析：本题考查线段长的求法，考查空间中直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．取SA中点G，连接EG、FG、EF，推导出EG//AC，且GE=12AC=1，GF//SB，且GF=12SB=1，∠EGF=90°，由此能求出EF的长．解：取SA中点G，连接EG、FG、EF，如图所示，∵SB⊥AC，SB=AC=2，E、F分别是SC、AB的中点，AC=1，∴EG//AC，且GE=12SB=1，GF//SB，且GF=12∴GE⊥GF，∴∠EGF=90°，∴EF=√GE2+GF2=√2．故选B．12.答案：C解析：解：∵三棱锥P−ABC中，PA=√23，AB=3，AC=4，AB⊥AC，PA⊥面ABC，∴以AB，AC，AP为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P−ABC的外接球，∴三棱锥P−ABC的外接球的半径R=√23+9+16=2√3，2设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a，=2√3，解得a=4，则R=√3a2∴此三棱锥的外接球的内接正方体的体积V=a3=43=64．故选：C．以AB，AC，AP为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P−ABC的外接球，三棱锥P−ABC=2√3，解得的外接球的半径R=2√3，设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a，则R=√3a2a=4，由此能求出此三棱锥的外接球的内接正方体的体积．本题考查三棱锥的外接球的内接正方体的体积的求法，考查三棱锥及外接球、球的内接正方体等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.答案：(−2,1)解析：解：由{1−x >0x +2>0，解得：−2<x <1． ∴函数f(x)=lg(1−x)+√x+2的定义域为(−2,1)．故答案为：(−2,1)．由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题． 14.答案：π4解析：解：连结AC ，BD 交于点O ，连结PO则由正棱锥性质可知PO 是正四棱锥P −ABCD 底面上的高即PO ⊥底面ABCD所以∠PAC 就是侧棱与底面所成角设正四棱锥P −ABCD 的各条棱长均为a则在底面正方形中，对角线AC =(根号2)a又PA =PC =a ，则在△PAC 中：PA 2+PC 2=2a 2=AC 2，满足勾股定理所以△PAC 是等腰直角三角形，那么∠PAC =45°即侧棱与底面所成角的大小为45°．故答案为：45°．连结AC ，BD 交于点O ，连结PO ，PO ⊥底面ABCD ，所以∠PAC 就是侧棱与底面所成角，由此能求出侧棱与底面所成角的大小．本题考查侧棱与底面所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 15.答案：4解析：本题考查根的存在性及根的个数判断，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．先求出b ，再做出f(x)={x 2+4x +2,x ≤0|2−x|,x >0与y =ln(x +2)的图象，即可得出结论．解：如下图所示，∵函数f(x)={x 2+bx +2,x ≤0|2−x|,x >0，f(−4)=f(0)， ∴b =4，∴f(x)={x 2+4x +2,x ≤0|2−x|,x >0， f(x)={x 2+4x +2,x ≤0|2−x|,x >0与y =ln(x +2)的图象如图所示， ∴函数y =f(x)−ln(x +2)的零点个数有4个，故答案为4．16.答案：9√525解析：本题考查了空间位置关系、平面向量基本定理、法向量的应用、点到平面的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．以AP 为z 轴，AD 为y 轴，取BC 的中点M ，以AM 为x 轴，建立空间直角坐标系．设K(0,0，m)，则CK ⃗⃗⃗⃗⃗ =a CE ⃗⃗⃗⃗ +b CF ⃗⃗⃗⃗ ，可得K 坐标．设平面PBD 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，利用点K 到平面PBD 的距离d =|n ⃗⃗ ⋅KP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |即可得出．解：如图所示，以AP 为z 轴，AD 为y 轴，取BC 的中点M ，以AM 为x 轴，建立空间直角坐标系．则A(0,0，0)，P(0,0，3)，D(0,3，0)，F(0,2，0)，B(3√32,−32,0)，C(3√32,32,0)，E(3√34,−34,32)， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√34,−94,32),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√32,12,0). 设K(0,0，m)，则CK ⃗⃗⃗⃗⃗ =a CE ⃗⃗⃗⃗ +b CF⃗⃗⃗⃗ ， ∴(0,0，m)=(3√32−3√3a 4−3√3b 2,32−94a +12b,32a)， ∴3√32−3√34a −3√32b =0，32−94a +12b =0，32a =m ， 解得m =65，a =45，b =35．BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√32,92,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，−3)． 设平面PBD 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,{−3√32x +92y =03y −3z =0, 取n ⃗ =(√3,1，1)．KP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,95)． ∴点K 到平面PBD 的距离d =|n ⃗⃗ ⋅KP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=95√5=9√525． 故答案为：9√525．17.答案：解：(1)∵A ={x|x 2+2x −8≤0}=[−4,2]，B ={x|3x ⩾13}=[−1,+∞)，∴A ∩B =[−1,2]；(2)由(1)得，∁R A =(−∞,−4)∪(2,+∞)，∴(∁R A)∪B =(−∞,−4)∪[−1，+∞)．解析：本题考查集合的交并补运算，属于基础题．(1)解二次不等式得到集合A ，根据指数函数的性质得到集合B ，进而求出交集；(2)先求出集合A 的补集，再求与集合B 的并集．18.答案：解：(1)因为f(x +1)=x 2+2x+2x+1=(x+1)2+1x+1， 所以f(x)=x 2+1x =x +1x ． (2)证明：设∀x 1，x 2∈(0,1)，且x 1<x 2，有f(x1)−f(x2)=x1+1x1−(x2+1x2)=(x1−x2)(1−1x1x2)=(x1−x2)(x1x2−1)x1x2．因为x1，x2∈(0,1)，所以0<x1x2<1，x1x2−1<0，又由x1<x2，得x1−x2<0，于是(x1−x2)(x1x2−1)x1x2>0，即f(x1)−f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2).所以，函数f(x)=x+1x在(0,1)上单调递减．解析：本题考查函数解析式与函数的单调性，属于中档题．(1)已知函数f(x+1)=x2+2x+2x+1，将函数化简即可求得函数解析式．(2)本题利用定义证明函数单调性，先设∀x1，x2∈(0,1)，且x1<x2，然后令f(x1)与f(x2)相减，将f(x1)−f(x2)与0进行比较，得出f(x1)−f(x2)>0，从而可得函数f(x)在(0,1)上单调递减．19.答案：解：(1)∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度f(x)=4y={648−x −4 , 0 ≤ x ≤ 4 20−2x , 4<x ≤ 10 则当0≤x≤4时，由648−x−4 ≥ 4，解得x≥0，∴此时0≤x≤4．当4<x≤10时，由20−2x≥4，解得x≤8，∴此时4<x≤8．综合得0≤x≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，浓度g(x)=2(5−12x)+a[168−(x−6)−1]=10−x+16a14−x−a=(14−x)+16a14−x−a−4．∵14−x∈[4,8]，而1≤a≤4，∴4√a∈[4 , 8]，故当且仅当14−x=4√a时，y有最小值为8√a−a−4．令8√a−a−4 ≥ 4，解得24−16√2 ≤ a ≤ 4，∴a的最小值为24−16√2≈1.6．解析：(1)利用已知可得：一次喷洒4个单位的净化剂，浓度f(x)=4y={648−x −4 , 0 ≤ x ≤ 4 20−2x , 4<x ≤ 10 ，分类讨论解出f(x)≥4即可；(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，可得浓度g(x)=2(5−12x)+a[168−(x−6)−1]，变形利用基本不等式即可得出．本题考查了分段函数的意义与性质、基本不等式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决实际问题的能力，属于难题．20.答案：证明：(1)连接BD，交AC于O，连接OE，则OM//PB，∵PB⊄平面MAC，OM⊂平面MAC，∴PB//平面MAC；(2)∵PA=PD=AD=2，∴三角形PAD为等边三角形．又∵E为AD中点，∴PE⊥AD．∵PE⊥BE，BE∩AD=E，∴PE⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PE．∵AD=2，AB=√2，四边形ABCD是矩形，E是AD中点，∴△ABE∽△DAC，∴∠ABE=∠DAC，∴AC⊥BE．∵PE∩BE=E，∴AC⊥平面PBE．∵AC⊂平面MAC，∴平面MAC⊥平面PBE．解析：本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查面面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，则OM//PB ，利用线面平行的判定定理证明：PB//平面MAC ；(2)证明PE ⊥AD ，利用PE ⊥BE ，BE ∩AD =E ，证明：PE ⊥平面ABCD ；证明AC ⊥平面PBE ，即可证明：平面MAC ⊥平面PBE ．21.答案：解：(1)过点C 作CH 垂直AD 于点H ，由题意可得AB =CH =1，又∠ADC =45°，所以DH =1，即AH =2，因为PA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，因为底面ABCD 为直角梯形，所以AB ⊥AD ，即可以建立以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴的空间直角坐标系，如图所示：则P(0,0，1)，B(1,0，0)，C(1,2，0)，D(0,3，0)，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，0)，设异面直线PB 与CD 所成角为θ，则cosθ=|PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12， 所以结合异面直线所成角的范围可得异面直线PB 与CD 所成角为π3．(2)设平面PBC 的一个法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，0)，则{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −z =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0, 取x =1，得n⃗ =(1,0，1)， ∴点D 到平面PBC 的距离d =|n ⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√22．解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB 与CD 所成角的大小．(2)求出平面PBC 的一个法向量，利用向量法能求出点D 到平面PBC 的距离．22.答案：解：(1)g(x)=lg(m +2x )+lgx 2=lg(mx 2+2x)，由g(x)=0，可得mx 2+2x =1有且只有一个解，当m =0时，x =12成立；当m ≠0时，△=4+4m =0，即m =−1，x =1成立．综上可得m =0或−1．(2)当x >0，设u =m +2x ，可得函数u 在x >0递减，由m >0，可得u >0，y =lgu 递增，即f(x)在(0,+∞)递减，任取x 1，x 2∈[t,t +2]，若不等式|f(x 1)−f(x 2)|≤1对任意t ∈[19,1]恒成立，可得f(t)−f(t +2)=lg(m +2t )−lg(m +2t+2)≤1对任意t ∈[19,1]恒成立，即m +2t ≤10(m +2t+2)对任意t ∈[19,1]恒成立，整理可得9mt 2+18(m +1)t −4≥0对任意t ∈[19,1]恒成立，由m>0可得y=9mt2+18(m+1)t−4在t∈[19,1]递增，可得当t=19时，y的最小值为9m⋅181+18(m+1)⋅19−4≥0，解得m≥1819．解析：本题考查函数的零点个数问题，注意运用分类讨论思想和方程思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用复合函数的单调性，以及转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．(1)由对数的运算性质和方程解法，讨论m是否为0，结合二次函数的判别式即可得到所求值；(2)由题意可得m>0，x>0，f(x)递减，由题意可得m+2t ≤10(m+2t+2)对任意t∈[19,1]恒成立，整理可得9mt2+18(m+1)t−4≥0对任意t∈[19,1]恒成立，运用二次函数的单调性，解不等式即可得到所求范围．。
广西北海市2019-2020学年高一数学上学期期末教学质量检测试题(PDF)答案
北海市2019-2020学年度第一学期期末教学质量测查卷高一数学参考答案及评分标准说明：1．本参考答案提供一至二种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则；2．解答题右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分；3．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数.13.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-4321x x14. 6 15． 3 16. 12 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17解：(Ⅰ)∵3≤3x ≤27，即31≤3x ≤33，∴1≤x ≤3，∴A ＝{x |1≤x ≤3}． ……………………………………………(1分)∵log 2x >1，即log 2x >log 22，∴x >2，∴B ＝{x |x >2}． …………………………………………………(2分)∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}． ……………………………………………………(3分)∴∁R B ＝{x |x ≤2}， ………………………………………………………(4分)∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}． …………………………………………………(5分)(Ⅱ)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，由A C C ⋂=得C A ⊆， …………………………………………………(6分)可得1a a 13≤+≤且 ………………………………………………………(8分)解得12a ≤≤.综上所述：a 的取值范围是[]1,2 …………………………………………(10分)18解:(Ⅰ)由31)1(=f ，0)0(=f 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+⨯023131b b a ，……………………………………(3分) 解得0,1==b a ，………………………………………………………………(5分)所以2)(+=x x x f .………………………………………………………………(6分)(Ⅱ)证明：任设 x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 12122()(2)(2)x x x x -=++. ………………………(9分) ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，……………………………………………………(10分) ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ………………………………………………(11分) ∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． ……………………………………………(12分)19.解：(Ⅰ)由题意得当0<x ≤4时，()v x ＝2； ………………………………………(2分)当4<x ≤20时，设()v x ＝ax ＋b ， …………………………………………………(3分) 显然()v x ＝ax ＋b 在(4,20]内是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧ a ＝－18，b ＝52，………………………………………(4分)所以()v x ＝－18x ＋52.…………………………………………………………………(5分) 故函数**2,04,()15,420,82x x N v x x x x N ⎧<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩ …………………………………(6分) (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20，……………………………………………………(7分) 当0<x ≤4时，f (x )为增函数，………………………………………………………(8分) 故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；…………………………………………………………(9分)当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252， f (x )max ＝f (10)＝12.5…………………………………………………………………(11分) 所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.…………………………………………………………(12分)20.证明：(Ⅰ)因为平面P AD ⊥底面ABCD ，且P A 垂直于这两个平面的交线AD ，所以P A ⊥底面ABCD ………………………………………………………………(3分) (Ⅱ)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE ………………………(5分)所以平面ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD ……………………………………(6分)又因为BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以BE ∥平面P AD .……………………………(7分)(Ⅲ)因为AB ⊥AD ，而且平面ABED 为平行四边形，所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD .…………………………………………………………(8分) 由(1)知P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ………………………………………………………………………(9分) 又P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD .又PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥PD .………………………………………………(10分) 因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF .又EF ∩BE ＝E ，所以CD ⊥平面BEF …………………………………………(11分) 因为CD ⊂平面PCD ，所以平面BEF ⊥平面PCD .……………………………(12分)21.解:(Ⅰ)由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角 ………………………(1分)因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD.………………(2分)在Rt △PDA 中，由已知，得AP ＝22PD AD +＝2221+5=，………(3分)故sin ∠DAP ＝AP PD ＝552…………………………(5分) 所以异面直线AP 与BC 所成角的正弦值为552……………………………(6分)(Ⅱ)因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD.又因为BC ∥AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PBC.…………………………………………………(8分) 所以PD ⊥PC …………………………………………………………………………(9分) 在Rt △PDC 中，由CD ＝4，PD ＝2，可得PC ＝2………………………………(10分) 又因为AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，所以BC ⊥PC ，所以V D －PBC ＝BC S PCD ⋅⋅∆31BC PC PD ⋅⋅⨯⨯=2131BC ⨯⨯⨯⨯=32221312= 所以BC ＝3..……………………………………………………………………(12分) 22.解：(Ⅰ)∵因为函数()f x 的图象关于原点对称，∴函数()f x 为奇函数，…………………………………………………………（1分） ∴()()f x f x -=- 即111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----在定义域内恒成立 ∴1111ax x x ax+-=---， ……………………………………………………………（2分） 即22211a x x -=-在定义域内恒成立，∴21a = ………………………………………………………………………（3分） 解得：1a =- 或1a =（舍去）所以1a =- . …………………………………………………………………（4分）(Ⅱ)111122221()log (1)log log (1)log (1)1x f x x x x x ++-=+-=+- 当1x > 时，12log (1)1x +<- ………………………………………………（6分） ∵(1,)x ∈+∞ 时，12()log (1)f x x m +-<恒成立∴1m ≥- ………………………………………………………………………（8分）(Ⅲ) 12()log ()f x x k =+即11221log log ()1x x k x +=+- 即：11x x k x +=+-…………………………………………………………………（9分） 即12111x k x x x x +=-=-+--在[2,3] 上有解…………………………………（10分） 因为12()111x g x x x x x +=-=-+--在[2,3] 上单调递减……………………（11分） (2)1,(3)1g g ==-所以[1,1]k ∈-即k 的取值范围为[1,1]-…………………………………………………………（12分）。
广西北海市高一上学期期末数学试卷
广西北海市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共25分)1. （2分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A . 若m∥n ，m∥α ，则n∥αB . 若α⊥β ，m∥α ，则m⊥βC . 若α⊥β ，m⊥β ，则m∥αD . 若m⊥n ，m⊥α ，n⊥β ，则α⊥β2. （2分）向量，，且，则锐角的余弦值为（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二下·高青开学考) “α= +2kπ（k∈Z）”是“cos2α= ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）以下结论正确的是（）A . 终边相同的角一定相等B . 第一象限的角都是锐角C . 轴上的角均可表示为D . 是非奇非偶函数5. （2分）已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120°，则这个三角形的周长为（）A . 15B . 18C . 21D . 246. （2分） (2017高一下·台州期末) 在△ABC中，三个内角A，B，C依次成等差数列，若sin2B=sinAsinC，则△ABC形状是（）A . 锐角三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形7. （2分）若，，，如果有，，则的值为（）A . -1B . -C .D . 18. （2分） (2019高一下·上海月考) 在中，内角、、所对应的边分别为、、，则“ ”是“ 是以、为底角的等腰三角形”的（）.A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件9. （2分） (2019高一下·来宾期末) 函数的定义域是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一下·深圳期中) 在中，，那么这样的三角形有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个11. （1分）由曲线y= 和直线x+y=2，y=﹣ x围成的图形的面积为________．12. （1分） (2019高一下·上海期中) 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求，的长度大于1米，且比长0.5米，为了稳固广告牌，要求越短越好，则最短为________米13. （1分）(2017·朝阳模拟) 若平面向量 =（cosθ，sinθ）， =（1，﹣1），且⊥ ，则sin2θ的值是________．14. （1分） (2019高二下·奉化期末) 中，内角所对的边分别是，若边上的高，则的取值范围是________.15. （1分）中，角的对边分别为，且成等差数列，若，，则的面积为________．二、解答题 (共5题；共60分)16. （10分） (2020高二下·海安月考) 在△ABC中，角 A ， B ， C的对边分别是 a ， b ， c ，.（1）求cosC；（2）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为，求sin∠ADB.17. （15分） (2018高一下·葫芦岛期末) 已知函数（1）函数在上有两个不同的零点，求的取值范围；（2）当时，的最大值为，求的最小值；（3）函数，对于任意存在，使得，试求的取值范围．18. （10分） (2018高二上·湖南月考) 在中，角所对的边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若边长，求面积的最大值.19. （10分）计算下列各题（1）已知函数y=cos2α+sinα+3，求函数的最大值（2）求f（x）= + 的定义域．20. （15分） (2016高一上·杭州期末) 已知a，b是实数，函数f（x）=x|x﹣a|+b．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；（3）若存在a∈[﹣3，0]，使得函数f（x）在[﹣4，5]上恒有三个零点，求b的取值范围．参考答案一、选择题 (共15题；共25分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、解答题 (共5题；共60分)16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、第11 页共11 页。