矩阵的分块与应用
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因此 ， 任意 的正交 矩 阵 Ａ， 对
ｌ （ ｌ≤ ｆ （Ａ１ Ｉ Ｉ Ａ）Ｉ ｉ ｆ 中 ）ｌ
及 任意 的酉矩 阵 Ｖ
ｌ （ ｌ ｌ （ ｌ Ｉ Ｖ）ｌ≤ ｌ Ｄ ｌ
由例 ｌ西（ 。 （ ≤ 西 ｆ ）。 （Ａｆ —） ， Ａ） Ａ） ∑ ｌ Ｉ “ （Ａ 孙 。
（Ａ ＋ ） ≥ 以 吉＋ 亏； ａ 专
（Ａ＋ ） ≤ 以 。 ａ 。 ＋ 。 ．
以类推的方法得到阿达玛积的例子 ，
（ 。 ） （ 。 （ ・ ≤ （ Ａ Ｘ ｙ 。 Ａ Ｂ） Ｘ ｙ） Ｘ’ 一Ｘ）。（ Ｂ一 ． ｙ）
３ 正 线性 映射
设Ａ是 矩阵， 有谱 正规 且 分解Ａ一∑． ，其中 ＝ （ 是Ａ的 征值， 应 Ｉ 特 ｌ ‘ 是对 的 征向 ， 特 量） 则
（ＡＩ ） 西（ ） （Ａｌ） （ ） Ｉ ｎ ’ ≥ 。 Ａ 。 １ 。 。 Ａ
进 而
１０ ６
辽 宁 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
第３ ４卷
（Ａ Ｉ ≥ （ （Ａ １ （ ） Ｉ Ａ） Ｉ Ａ） ）
由定 理
ｌ （ ）ｌ ≤ Ｉ （ Ａｌ ）Ｉｌ （ ＡＪ ） １ Ａ １ Ｉ １ 。 １ １ Ｉ ｎ 。
这样 ， 对任 何 酉不变 范数 ｆ Ｉ ， Ｉ・ ｌ 叫
Ｉ ； ≤ Ｉ ［ ∑ ＢＢ ｝ Ｉ ∑Ａ Ｂ ｌ ｌ Ｊ ∑Ａ Ａ ｉ ＂ Ｊ
当 ｋ一 １时 ， 就是 Ｃ ｕ ｈ － ｃ ｗａｚ 数不 等式 ａ ｃ ｙＳ ｈ ｒ 范 ≥ Ｂ Ｉ ≤ Ｉ Ａ Ｉｌ ｌ Ｉ ｌ Ａ， ｌ ｌ Ａ ｌＩ Ｂ １ Ｂ
应 用 ８ 设 Ａ ，×，正半定 矩 阵 ， 是 ×，矩阵 ， 得 Ｘ 的列分解 是 由 构 成的 ，＝ １２ ． ， 是 ｌ ｌ Ｘ ｌ 使 ｉ ， ＇・ ．
，
∑
Ｍ
Ｉ Ｉ
Ａ 示 矩阵 Ａ 的 Ｍ０ ｒ－ ｅ ｒ ｓ 逆 ， 得 表 ０ｅＰ ｎ０ ｅ 使
Ｍ 一
（
．
［ Ａ［ ］‘ 。 Ａ ］ 。 ＝ 。 。 ｏ 警 ［ Ｂ
这 个积 对 Ｈａｍｉａｎ矩 阵 Ａ 和 Ｂ ｒ ｔｒ ｉ
Ａ 。Ｂ。≥ （ 。Ｂ） Ａ 。
应 用 ７ 对任 意 的矩 阵 Ａ， 的奇 异 值分 解 Ａ ＝ Ｕ 它 ＤＶ（ 中 Ｕ， 是 酉 阵 ， 是 ｉ 半 定 的对 角 阵 ， 其 Ｖ Ｄ Ｆ ＿
收 稿 日期 ：０ １０ －０ ２ １ －２１
作者简介 ： 高振兴（ ９ ９ ， ， １ ５一） 男 辽宁锦州人 ， 渤海船舶 职业学 院副教授．
１８ ５
辽 宁 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
第３ ４卷
（ ＋ ｚ ｚ）（ Ａ （ Ｂ ＝ ） Ｂ Ｂ
对 任 意的酉 不变 范数 Ｉ Ｉ有 Ｉ・ Ｉ
。
Ｉ Ｉ≤ Ｉ ｌ Ａ＋ ｌ ｌ ｌ Ａ＋ ｌ ｌ ｚＢ ｌ
应 用 ３ 设 ∈ Ｃ， ≥ ０ （ Ａ ， 一 １ ２ …忌 ， 由［ ， ］ ， ， ）则 １Ｐ ，
Ｉｅ（ Ａ ＋ Ａ ＋…＋ ｔ ２２ ｄ ２ Ａ１ Ｉ ｄｔ １ Ｉ。 ｌ ： ）≤ ｅ（ ＋ ｌ ＋…＋ ｆ Ｉ Ａ ２Ａ Ａ）
Ｊ ｎ ２ １ ｕ． ０１
文 章 编 号 ：００１ ３ （０ １０ －１ ７０ １０ —７５ ２ １ ）２０ ５ —４
矩阵的分块与应用
高振 兴
（ 海 船舶 职业 学 院 基 础 部 ， 宁 葫 芦 岛 １ ５０ ） 渤 辽 ２ ０ ０
摘 要 ： 针对矩阵的分块技巧在实际计算中的应用 ， 运用矩阵的和与积 的计算结果 ， 分析讨 论了若 干半正定矩阵 的线
关 键 词 ： 块 矩 阵 ； 半 定 矩 阵 ； 数 ； 阵 不 等 式 分 正 范 矩
中 图分 类 号 ： ５ ． １ ０１ １ ２ 文献标识码 ： Ａ
１ 导 言
分块 矩阵 在矩 阵分 析 中起 着工具 的作 用 ， 而正 半定 矩 阵 的阿达 玛 积 与 和 的定 义在 矩 阵分 析 的诸 多 问题 中 ， 演着基 础 的 、 扮 重要 的角色． 本文 是通 过具 体 的实例 ， 示矩 阵 的分块 技巧 及在矩 阵不 等式 中 的 展
Ａ 一 （ Ａ） Ｊ Ａ。 Ｔ １
（ ） 暑 ）［ ： 。 吕 ） ＝ 。 ． （ （ ．］ ≥
第 ２期
高振 兴 ： 矩 阵的 分块 与 应 用
１９ ５
对任 意 的矩阵 Ａ 和相应 大小 的 Ｂ， 由和 的结论 ， 我们 有
［ ： ｃ 。］ ｆ 三 ＝ ：。 Ａ ］耋 ： ［ ＋‘
性合行式性，明Ｌ李函 ，意，， ） （。（（ Ｌ的 组的 的质证了是双 类 任的 Ｌ ≥ Ｉ） ，，类中 列 这 数 对 ∈（ 。， ｌ Ａｃ ： Ｂ ≤ ））
元 素 是 行 列 式 、 、 不 变 范数 ． 迹 酉 以此 定 理 为 工 具 ， 出 了一 些 矩 阵 的 分 块方 法 在 矩 阵 不 等 式 及 线 性 映 射 中 的应 用 ． 给
【 … ［Ｂ Ｂ。 ｝ ‘ ｎＪ 一 ≥
因为 是 正的线 性 的 ， 由和 的结论
： （） 卜 ）［Ａ 西 ）。 ｚ Ｉ‘ Ｊ ） （Ｊ Ｊ 【‘ ｌ 。 （ １ 【 ’ ｒ Ａ ／
Ｏ（ ｉ Ｕ ｕ 一
由 Ｓｈｒ ｃ ｕ 补得
、，
Ｐｒ ｖ ｄ ｎ ｅ ＲＩ １ ６ ４ ８ － ６ ｏ ｉ ｅ ｃ ， ９ ０， ０： ７ １ ９；
类 似地 ， ＡＡ 一 由
＿＿
＼ ） Ａ ） 。（Ｄ ） （Ａ （Ａ 和西 （ 。 和 ’／ ’ （ Ａ ， 西 。 （ ＼ ２
Ａ 一 设 西是正 规 的 ， 即 （ ＝ Ｉ Ｄ ，
一
西（ ’ ）≥ （ ） Ａ Ａ Ａ
（ ） Ａ
特别 的 ， 如果 Ａ 是 Ｈｅｍｔ ｎ的 ， ｒ ｉ ａ
【 ， ］ ∑ Ｘ ＸＡＸ ４ ， Ｊ
口
且 设 口 ＋口 ＋ … ＋ ： ｔ一 １ 其 中每个 口 ≥ ０ 应 用和 的结论 ， ， ， 有
Ａ
（
。
∑ ｝ ａＪ ≥ 。
口
∑
Ｘ
、
∑ ； ￣ Ｘ ＡＸ
由 Ｓ ｈ ｒ 得 ｃｕ 补
上 ＾
≤
（ ∑ａ ） Ｘ
∑ｔ ＝Ｉ ｔ 铭 ． ＩＩ Ａ。 ＝∑ ｌ （ 任意 数ａ设 砧 对 的实 ） 是一 线 射， 果Ａ ｅ ｔｎ 则 Ａ ） ｔ， ‘ 个正 性映 如 是Ｈｒ ｉ ， （ ｍａ
＝ （ 。 Ａ） ．
注意到， 对任意的 ．∈ Ｃ 口∈ ｒ ，］ Ｂ≥ ０ ＝ Ｉ ， Ｏ１ 和
下 面 的定理 是我 们讨论 问题 的 主要工 具 ： ．
定 理 设 Ｌ是 李 双 函数 类 ， 任意 的 ，∈ Ｌ 对
（
２ 应 用 实 例
。Ｉ ｆ Ｃ ｆ （ （ ） Ｂ Ａ
类 Ｌ中 的元素 是行 列式 、 、 不变 范数 ． 迹 酉
我们 应用 和 与积 的 结 论 ， 展 示 某 些 矩 阵 不 等 式 的实 例 ， 和 ， 达 玛 积 ， 列 式 ， 不 变 范 数 ， 来 （ 阿 行 酉 Ｃ ｕ ｈ － ｃ ｗａｚ ａ ｃ ｙＳ ｈ ｒ 不等 式等 ） 这 些例子 和结 论散 落在 许多 文献 中 ， 用这 些 结果 的作者 推 进 了不 等式 的 ， 使
发展 ．
应用 １ 设 Ａ， Ｃ是 阶复ｃ≥０ Ｂ Ｊ
则 有
（ ） ＋ Ｃ ≥± （ ＋ Ｂ） １Ａ Ｂ
（ ） ｏＣ≥ 士 （ ２ Ａ Ｂ －Ｂ）
应 用结 论 （）和 （） 可 以完成 证 明． １ ２就
应 用 ２ 设 Ａ， Ｂ≥ ０ 则对 任意 ∈ Ｃ， ， 由和 的结论
应用． 本 文 我们要 反 复用到 下 面 ２个结 论 ：
（）和 的结论 ： ≥ ０ Ｂ≥ ０ １ Ａ ， Ａ ＋ Ｂ≥ ０ ；
（ ）积 的结论 ： ≥ ０ Ｂ≥ Ｏ Ａ 。 ２ Ａ ， Ｂ≥ ０ ． 其 中 Ａ ≥ ０表 示矩 阵 Ａ 是 正半定 的 ， 。 Ａ Ｂ＝ （ 。 是 矩阵 Ａ 与 Ｂ 的阿 达玛 积． 口 ｂ）
它 的酉 不变 范数及 × ，矩 阵 Ａ、 ｌ Ｂ
。。 ， ］ ≥
ｌ － ≤ ｌＩ Ｉ Ｉ ＩＡ。 ＋ Ｉ 。 ｌ Ｉ ４ＢＩ Ａ Ｊ ｌＡＩ ｌ 专ＩＩ Ｉ ｌ 古 ＋ Ｂ Ｂ ｌ
≤－（ｌＡｆ Ｉ －ＩＡ ＋ Ｉ。 ） 去 Ｉ Ｂｌ Ｉ Ｉ … － ＋Ｉ ４ Ｉ Ｉ Ｂ
由和 的相关 结果
，
￣］ ｉ一 Ａ ｉ
应 用 ４ 设 Ａ Ｂ 是 ｍ 矩 阵 ， ＝ １ ２ … ， 和 × ｉ ， ， 则
［ｃ ［：；≥ Ａ 一； 三 。 ； 会 盏 ］， ］ Ｂ
由和 的结论 ， 有
ｌＡ Ｂ≥ 【 三 ∑ 至 蔓 。 ∑］ Ａ ； Ｂ 兰 ： Ｂ Ｊ
∑
一
● ． Ｉ
西（ ）≥ （ 。 Ａ Ａ）
（ ）≥ （ １ Ａ）
（） ２
如果 Ａ是 正定 的
（
（ ）是 Ｋａ ｉ ｎ 在 Ｃ。代 数 中 的推 广 ． ２ ｄｓ ［ ｏ 当
Ａ
参考 文献 ：
是 非
奇
［３ Ｈ Ｔ Ａ Ｒ Ｍ ｔｘａ ａ ｓ ［ ］ ｅ Ｙ ｒ ： ｐｉ ｅ－ ｅ ａ ，９ ７ ２ ０ １ Ｂ Ａ Ｉ ． ａｒ ｎｌ ｉ Ｍ＇ Ｎ ｗ ｏｋ Ｓ ｒ ｇ ｒ ｒ ｇ １ ９ ：７ ． ｉ ｙ ｓ ． 异 ｎ Ｖ ｌ ［ ３ Ｈ Ｒ ． ｈ ｒａｍ ｒ ｒｄ ｃ Ｐ ｏ ｅ ｉｇ ｆ ｙ ｏｉ ｉ Ａ ｐ ｅ ｔｅ ａ ｃ ［ ］ Ｊ Ｈ Ｓ Ｎ Ｃ Ｒ Ａ ｅ Ｍａ Ｏ ２ Ｏ Ｎ Ｒ Ａ Ｔ ｅＨａ ｒ ａｄＰ ｏ ｕｔ ｒｃｅ ｎ ｓ ｍｐ ｓ ｐ ｌ ｄＭａｈ ｍ ｔ ｓ Ｒ ． Ｏ Ｎ Ｏ ． ｍ ｒ ｔ Ｓ Ｃ ｄ ａｎ ｉ ｉ ｈ 时 ｄ ｏ Ｓ
第３ ４卷 第 ２期
２１ ０ １年 ５月
辽 宁 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＬ ａ ｎｎ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｏ ｒ ａ ｉｏ ｉｇＮｏ ｍａ ｉｅｓｔ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｙ ｉ
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ ２ １３ ．
∑
Ａ
应５由 Ａ） 对意＞， 积结是 用 （ Ｉ 。任Ａ。乘的果 ｛一 ≥ 其 （ ）； ）（Ｂ Ｉ。 ， Ａ （ 一
对 Ａ ＞ ０ Ｂ ＞ ０ 应 用 Ｓ ｈ ｒ 给 出的逆 不等 式 ， ， ， ｃｕ 补
Ａ 。Ｂ ≥ （ 。 １ Ａ Ｂ）
。 ，
进 而
Ａ 。Ａ ≥ 工
应 用 ６ 注意 到对任 意矩 阵 Ａ，
（（’（ｃ ｛ 一 ） ））
由乘 积 的相应结 论 ， 我们 有对 任意 Ａ 和 Ｂ，
应 用 （ ． ） 块 的 Ｓ ｈ ｒ 的结果 ． ２２ 分 ｃｕ 补
（ 。 ＡＡ ）。（ Ｂ ）≥ （ 。Ｂ） Ａ 。Ｂ ） Ｂ Ａ （
。
ｉ １ 一
∑ ；￣ ； Ｘ ＡＸ
ｉ １ ＿
（） １
由 （ ）可 以推 出下 面的结 论 ： １
（ ＋ｙ） （ ＋ Ｂ （ ＋ｙ） Ｘ。 Ｘ Ａ ） Ｘ ≤ Ａ Ｘ＋ ｙ
（ ＋ ） （ ＋ ）≤ ’ 。 ＋ 。 Ｘ Ｙ；
ｙ；
（Ａ ＋ ） ≤ ａ ＋ ｑ； ａ Ａ
ｌ （ ｌ≤ ｆ （Ａ１ Ｉ Ｉ Ａ）Ｉ ｉ ｆ 中 ）ｌ
及 任意 的酉矩 阵 Ｖ
ｌ （ ｌ ｌ （ ｌ Ｉ Ｖ）ｌ≤ ｌ Ｄ ｌ
由例 ｌ西（ 。 （ ≤ 西 ｆ ）。 （Ａｆ —） ， Ａ） Ａ） ∑ ｌ Ｉ “ （Ａ 孙 。
（Ａ ＋ ） ≥ 以 吉＋ 亏； ａ 专
（Ａ＋ ） ≤ 以 。 ａ 。 ＋ 。 ．
以类推的方法得到阿达玛积的例子 ，
（ 。 ） （ 。 （ ・ ≤ （ Ａ Ｘ ｙ 。 Ａ Ｂ） Ｘ ｙ） Ｘ’ 一Ｘ）。（ Ｂ一 ． ｙ）
３ 正 线性 映射
设Ａ是 矩阵， 有谱 正规 且 分解Ａ一∑． ，其中 ＝ （ 是Ａ的 征值， 应 Ｉ 特 ｌ ‘ 是对 的 征向 ， 特 量） 则
（ＡＩ ） 西（ ） （Ａｌ） （ ） Ｉ ｎ ’ ≥ 。 Ａ 。 １ 。 。 Ａ
进 而
１０ ６
辽 宁 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
第３ ４卷
（Ａ Ｉ ≥ （ （Ａ １ （ ） Ｉ Ａ） Ｉ Ａ） ）
由定 理
ｌ （ ）ｌ ≤ Ｉ （ Ａｌ ）Ｉｌ （ ＡＪ ） １ Ａ １ Ｉ １ 。 １ １ Ｉ ｎ 。
这样 ， 对任 何 酉不变 范数 ｆ Ｉ ， Ｉ・ ｌ 叫
Ｉ ； ≤ Ｉ ［ ∑ ＢＢ ｝ Ｉ ∑Ａ Ｂ ｌ ｌ Ｊ ∑Ａ Ａ ｉ ＂ Ｊ
当 ｋ一 １时 ， 就是 Ｃ ｕ ｈ － ｃ ｗａｚ 数不 等式 ａ ｃ ｙＳ ｈ ｒ 范 ≥ Ｂ Ｉ ≤ Ｉ Ａ Ｉｌ ｌ Ｉ ｌ Ａ， ｌ ｌ Ａ ｌＩ Ｂ １ Ｂ
应 用 ８ 设 Ａ ，×，正半定 矩 阵 ， 是 ×，矩阵 ， 得 Ｘ 的列分解 是 由 构 成的 ，＝ １２ ． ， 是 ｌ ｌ Ｘ ｌ 使 ｉ ， ＇・ ．
，
∑
Ｍ
Ｉ Ｉ
Ａ 示 矩阵 Ａ 的 Ｍ０ ｒ－ ｅ ｒ ｓ 逆 ， 得 表 ０ｅＰ ｎ０ ｅ 使
Ｍ 一
（
．
［ Ａ［ ］‘ 。 Ａ ］ 。 ＝ 。 。 ｏ 警 ［ Ｂ
这 个积 对 Ｈａｍｉａｎ矩 阵 Ａ 和 Ｂ ｒ ｔｒ ｉ
Ａ 。Ｂ。≥ （ 。Ｂ） Ａ 。
应 用 ７ 对任 意 的矩 阵 Ａ， 的奇 异 值分 解 Ａ ＝ Ｕ 它 ＤＶ（ 中 Ｕ， 是 酉 阵 ， 是 ｉ 半 定 的对 角 阵 ， 其 Ｖ Ｄ Ｆ ＿
收 稿 日期 ：０ １０ －０ ２ １ －２１
作者简介 ： 高振兴（ ９ ９ ， ， １ ５一） 男 辽宁锦州人 ， 渤海船舶 职业学 院副教授．
１８ ５
辽 宁 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
第３ ４卷
（ ＋ ｚ ｚ）（ Ａ （ Ｂ ＝ ） Ｂ Ｂ
对 任 意的酉 不变 范数 Ｉ Ｉ有 Ｉ・ Ｉ
。
Ｉ Ｉ≤ Ｉ ｌ Ａ＋ ｌ ｌ ｌ Ａ＋ ｌ ｌ ｚＢ ｌ
应 用 ３ 设 ∈ Ｃ， ≥ ０ （ Ａ ， 一 １ ２ …忌 ， 由［ ， ］ ， ， ）则 １Ｐ ，
Ｉｅ（ Ａ ＋ Ａ ＋…＋ ｔ ２２ ｄ ２ Ａ１ Ｉ ｄｔ １ Ｉ。 ｌ ： ）≤ ｅ（ ＋ ｌ ＋…＋ ｆ Ｉ Ａ ２Ａ Ａ）
Ｊ ｎ ２ １ ｕ． ０１
文 章 编 号 ：００１ ３ （０ １０ －１ ７０ １０ —７５ ２ １ ）２０ ５ —４
矩阵的分块与应用
高振 兴
（ 海 船舶 职业 学 院 基 础 部 ， 宁 葫 芦 岛 １ ５０ ） 渤 辽 ２ ０ ０
摘 要 ： 针对矩阵的分块技巧在实际计算中的应用 ， 运用矩阵的和与积 的计算结果 ， 分析讨 论了若 干半正定矩阵 的线
关 键 词 ： 块 矩 阵 ； 半 定 矩 阵 ； 数 ； 阵 不 等 式 分 正 范 矩
中 图分 类 号 ： ５ ． １ ０１ １ ２ 文献标识码 ： Ａ
１ 导 言
分块 矩阵 在矩 阵分 析 中起 着工具 的作 用 ， 而正 半定 矩 阵 的阿达 玛 积 与 和 的定 义在 矩 阵分 析 的诸 多 问题 中 ， 演着基 础 的 、 扮 重要 的角色． 本文 是通 过具 体 的实例 ， 示矩 阵 的分块 技巧 及在矩 阵不 等式 中 的 展
Ａ 一 （ Ａ） Ｊ Ａ。 Ｔ １
（ ） 暑 ）［ ： 。 吕 ） ＝ 。 ． （ （ ．］ ≥
第 ２期
高振 兴 ： 矩 阵的 分块 与 应 用
１９ ５
对任 意 的矩阵 Ａ 和相应 大小 的 Ｂ， 由和 的结论 ， 我们 有
［ ： ｃ 。］ ｆ 三 ＝ ：。 Ａ ］耋 ： ［ ＋‘
性合行式性，明Ｌ李函 ，意，， ） （。（（ Ｌ的 组的 的质证了是双 类 任的 Ｌ ≥ Ｉ） ，，类中 列 这 数 对 ∈（ 。， ｌ Ａｃ ： Ｂ ≤ ））
元 素 是 行 列 式 、 、 不 变 范数 ． 迹 酉 以此 定 理 为 工 具 ， 出 了一 些 矩 阵 的 分 块方 法 在 矩 阵 不 等 式 及 线 性 映 射 中 的应 用 ． 给
【 … ［Ｂ Ｂ。 ｝ ‘ ｎＪ 一 ≥
因为 是 正的线 性 的 ， 由和 的结论
： （） 卜 ）［Ａ 西 ）。 ｚ Ｉ‘ Ｊ ） （Ｊ Ｊ 【‘ ｌ 。 （ １ 【 ’ ｒ Ａ ／
Ｏ（ ｉ Ｕ ｕ 一
由 Ｓｈｒ ｃ ｕ 补得
、，
Ｐｒ ｖ ｄ ｎ ｅ ＲＩ １ ６ ４ ８ － ６ ｏ ｉ ｅ ｃ ， ９ ０， ０： ７ １ ９；
类 似地 ， ＡＡ 一 由
＿＿
＼ ） Ａ ） 。（Ｄ ） （Ａ （Ａ 和西 （ 。 和 ’／ ’ （ Ａ ， 西 。 （ ＼ ２
Ａ 一 设 西是正 规 的 ， 即 （ ＝ Ｉ Ｄ ，
一
西（ ’ ）≥ （ ） Ａ Ａ Ａ
（ ） Ａ
特别 的 ， 如果 Ａ 是 Ｈｅｍｔ ｎ的 ， ｒ ｉ ａ
【 ， ］ ∑ Ｘ ＸＡＸ ４ ， Ｊ
口
且 设 口 ＋口 ＋ … ＋ ： ｔ一 １ 其 中每个 口 ≥ ０ 应 用和 的结论 ， ， ， 有
Ａ
（
。
∑ ｝ ａＪ ≥ 。
口
∑
Ｘ
、
∑ ； ￣ Ｘ ＡＸ
由 Ｓ ｈ ｒ 得 ｃｕ 补
上 ＾
≤
（ ∑ａ ） Ｘ
∑ｔ ＝Ｉ ｔ 铭 ． ＩＩ Ａ。 ＝∑ ｌ （ 任意 数ａ设 砧 对 的实 ） 是一 线 射， 果Ａ ｅ ｔｎ 则 Ａ ） ｔ， ‘ 个正 性映 如 是Ｈｒ ｉ ， （ ｍａ
＝ （ 。 Ａ） ．
注意到， 对任意的 ．∈ Ｃ 口∈ ｒ ，］ Ｂ≥ ０ ＝ Ｉ ， Ｏ１ 和
下 面 的定理 是我 们讨论 问题 的 主要工 具 ： ．
定 理 设 Ｌ是 李 双 函数 类 ， 任意 的 ，∈ Ｌ 对
（
２ 应 用 实 例
。Ｉ ｆ Ｃ ｆ （ （ ） Ｂ Ａ
类 Ｌ中 的元素 是行 列式 、 、 不变 范数 ． 迹 酉
我们 应用 和 与积 的 结 论 ， 展 示 某 些 矩 阵 不 等 式 的实 例 ， 和 ， 达 玛 积 ， 列 式 ， 不 变 范 数 ， 来 （ 阿 行 酉 Ｃ ｕ ｈ － ｃ ｗａｚ ａ ｃ ｙＳ ｈ ｒ 不等 式等 ） 这 些例子 和结 论散 落在 许多 文献 中 ， 用这 些 结果 的作者 推 进 了不 等式 的 ， 使
发展 ．
应用 １ 设 Ａ， Ｃ是 阶复ｃ≥０ Ｂ Ｊ
则 有
（ ） ＋ Ｃ ≥± （ ＋ Ｂ） １Ａ Ｂ
（ ） ｏＣ≥ 士 （ ２ Ａ Ｂ －Ｂ）
应 用结 论 （）和 （） 可 以完成 证 明． １ ２就
应 用 ２ 设 Ａ， Ｂ≥ ０ 则对 任意 ∈ Ｃ， ， 由和 的结论
应用． 本 文 我们要 反 复用到 下 面 ２个结 论 ：
（）和 的结论 ： ≥ ０ Ｂ≥ ０ １ Ａ ， Ａ ＋ Ｂ≥ ０ ；
（ ）积 的结论 ： ≥ ０ Ｂ≥ Ｏ Ａ 。 ２ Ａ ， Ｂ≥ ０ ． 其 中 Ａ ≥ ０表 示矩 阵 Ａ 是 正半定 的 ， 。 Ａ Ｂ＝ （ 。 是 矩阵 Ａ 与 Ｂ 的阿 达玛 积． 口 ｂ）
它 的酉 不变 范数及 × ，矩 阵 Ａ、 ｌ Ｂ
。。 ， ］ ≥
ｌ － ≤ ｌＩ Ｉ Ｉ ＩＡ。 ＋ Ｉ 。 ｌ Ｉ ４ＢＩ Ａ Ｊ ｌＡＩ ｌ 专ＩＩ Ｉ ｌ 古 ＋ Ｂ Ｂ ｌ
≤－（ｌＡｆ Ｉ －ＩＡ ＋ Ｉ。 ） 去 Ｉ Ｂｌ Ｉ Ｉ … － ＋Ｉ ４ Ｉ Ｉ Ｂ
由和 的相关 结果
，
￣］ ｉ一 Ａ ｉ
应 用 ４ 设 Ａ Ｂ 是 ｍ 矩 阵 ， ＝ １ ２ … ， 和 × ｉ ， ， 则
［ｃ ［：；≥ Ａ 一； 三 。 ； 会 盏 ］， ］ Ｂ
由和 的结论 ， 有
ｌＡ Ｂ≥ 【 三 ∑ 至 蔓 。 ∑］ Ａ ； Ｂ 兰 ： Ｂ Ｊ
∑
一
● ． Ｉ
西（ ）≥ （ 。 Ａ Ａ）
（ ）≥ （ １ Ａ）
（） ２
如果 Ａ是 正定 的
（
（ ）是 Ｋａ ｉ ｎ 在 Ｃ。代 数 中 的推 广 ． ２ ｄｓ ［ ｏ 当
Ａ
参考 文献 ：
是 非
奇
［３ Ｈ Ｔ Ａ Ｒ Ｍ ｔｘａ ａ ｓ ［ ］ ｅ Ｙ ｒ ： ｐｉ ｅ－ ｅ ａ ，９ ７ ２ ０ １ Ｂ Ａ Ｉ ． ａｒ ｎｌ ｉ Ｍ＇ Ｎ ｗ ｏｋ Ｓ ｒ ｇ ｒ ｒ ｇ １ ９ ：７ ． ｉ ｙ ｓ ． 异 ｎ Ｖ ｌ ［ ３ Ｈ Ｒ ． ｈ ｒａｍ ｒ ｒｄ ｃ Ｐ ｏ ｅ ｉｇ ｆ ｙ ｏｉ ｉ Ａ ｐ ｅ ｔｅ ａ ｃ ［ ］ Ｊ Ｈ Ｓ Ｎ Ｃ Ｒ Ａ ｅ Ｍａ Ｏ ２ Ｏ Ｎ Ｒ Ａ Ｔ ｅＨａ ｒ ａｄＰ ｏ ｕｔ ｒｃｅ ｎ ｓ ｍｐ ｓ ｐ ｌ ｄＭａｈ ｍ ｔ ｓ Ｒ ． Ｏ Ｎ Ｏ ． ｍ ｒ ｔ Ｓ Ｃ ｄ ａｎ ｉ ｉ ｈ 时 ｄ ｏ Ｓ
第３ ４卷 第 ２期
２１ ０ １年 ５月
辽 宁 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＬ ａ ｎｎ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｏ ｒ ａ ｉｏ ｉｇＮｏ ｍａ ｉｅｓｔ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｙ ｉ
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ ２ １３ ．
∑
Ａ
应５由 Ａ） 对意＞， 积结是 用 （ Ｉ 。任Ａ。乘的果 ｛一 ≥ 其 （ ）； ）（Ｂ Ｉ。 ， Ａ （ 一
对 Ａ ＞ ０ Ｂ ＞ ０ 应 用 Ｓ ｈ ｒ 给 出的逆 不等 式 ， ， ， ｃｕ 补
Ａ 。Ｂ ≥ （ 。 １ Ａ Ｂ）
。 ，
进 而
Ａ 。Ａ ≥ 工
应 用 ６ 注意 到对任 意矩 阵 Ａ，
（（’（ｃ ｛ 一 ） ））
由乘 积 的相应结 论 ， 我们 有对 任意 Ａ 和 Ｂ，
应 用 （ ． ） 块 的 Ｓ ｈ ｒ 的结果 ． ２２ 分 ｃｕ 补
（ 。 ＡＡ ）。（ Ｂ ）≥ （ 。Ｂ） Ａ 。Ｂ ） Ｂ Ａ （
。
ｉ １ 一
∑ ；￣ ； Ｘ ＡＸ
ｉ １ ＿
（） １
由 （ ）可 以推 出下 面的结 论 ： １
（ ＋ｙ） （ ＋ Ｂ （ ＋ｙ） Ｘ。 Ｘ Ａ ） Ｘ ≤ Ａ Ｘ＋ ｙ
（ ＋ ） （ ＋ ）≤ ’ 。 ＋ 。 Ｘ Ｙ；
ｙ；
（Ａ ＋ ） ≤ ａ ＋ ｑ； ａ Ａ