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高中数学新高考填空题训练(二)共五套(附答案)

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新高考高二数学试卷答案

新高考高二数学试卷答案

1. 下列各数中，有理数是（）A. √3B. πC. -2D. 2√2答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数比的数，因此-2是有理数。

2. 函数y=2x+1在定义域内（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增答案：A解析：函数y=2x+1的斜率为2，大于0，因此函数在定义域内单调递增。

3. 已知等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：等差数列的公差是相邻两项之差，因此公差为5-2=3。

4. 若复数z满足|z+1|=2，则复数z的实部a的取值范围是（）A. -1≤a≤1B. a≥1C. a≤1D. a≤-1答案：A解析：复数z可以表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部。

由|z+1|=2，得|a+bi+1|=2，即|a+1+bi|=2。

根据复数的模的定义，得到(a+1)²+b²=4。

因为b²≥0，所以(a+1)²≤4，即-2≤a+1≤2，解得-1≤a≤1。

5. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，角BAC=60°，则三角形ABC的面积是（）A. 2√3B. 3√3C. 4√3D. 6√3答案：C解析：由等腰三角形的性质知，BC=AB=AC。

在等腰三角形中，底边上的高也是中线，因此高将底边BC平分。

设BC的中点为D，则AD⊥BC，且AD=√3。

三角形ABC的面积为1/2×BC×AD=1/2×AB×√3=4√3。

6. 函数y=x²-4x+3的顶点坐标是（）答案：（2，-1）解析：函数y=x²-4x+3可以写成y=(x-2)²-1的形式，因此顶点坐标为（2，-1）。

7. 已知等比数列{an}的首项a1=3，公比q=2，则第n项an=（）答案：3×2^(n-1)解析：等比数列的通项公式为an=a1×q^(n-1)，代入a1=3和q=2，得到an=3×2^(n-1)。

2022(新高考2卷)数学-附答案

2022(新高考2卷)数学-附答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考2卷）数学一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={−1,1,2,4}，B ={x||x −1|≤1}，则A ∩B =( )A. {−1,2}B. {1,2}C. {1,4}D. {−1,4}2. (2+ 2i)(1−2i)=( )A. −2+4iB. −2−4iC. 6+2iD. 6−2i3. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是脊，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的脊步的比分别为DD 1OD 1=0.5，CC 1DC 1=k 1，BB 1CB 1=k 2，AA1BA 1=k 3，若k 1，k 2，k 3是公差为0.1的等差数列，直线OA 的斜率为0.725，则k 3=( )A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.94. 已知向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(1,0)，c ⃗ =a ⃗ +t b ⃗ ，若<a ⃗ ,c ⃗ >=<b ⃗ ,c ⃗ >，则实数t =( )A. −6B. −5C. 5D. 65. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( )A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种6. 若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则( )A. tan(α+β)=−1B. tan(α+β)=1C. tan(α−β)=−1D. tan(α−β)=17. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为3√3和4√3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π8. 若函数f(x)的定义域为R ，且f(x +y)+f(x −y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则∑f 22k=1(k)=( )A. −3B. −2C. 0D. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3,0)对称，则( )A. f(x)在(0,5π12)单调递减 B. f(x)在(−π12,11π12)有两个极值点C. 直线x =7π6是曲线y =f(x)的一条对称轴D. 直线y =√32−x 是曲线y =f(x)的一条切线10. 已知O 为坐标原点，过抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则( )A. 直线AB 的斜率为2√6B. |OB|=|OF|C. |AB|>4|OF|D. ∠OAM +∠OBM <180∘11. 如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB//ED ，AB =ED =2FB ，记三棱锥E −ABC ，E −ACF ，F −ABC 的体积分别为V 1，V 2，V 3，则( )A. V 3=2V 2B. V 3=2V 1C. V 3=V 1+V 2D. 2V 3=3V 112. 若实数x ，y 满足x 2+y 2−xy =1，则( )A. x +y ≤1B. x +y ≥−2C. x 2+y 2≥1D. x 2+y 2≤2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 随机变量X 服从正态分布N(2,σ2)，若P(2<x ≤2.5)=0.36，则P(X >2.5)= ． 14. 曲线y =ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为 ， ．15. 设点A(−2,3)，B(0,a)，直线AB 关于直线y =a 的对称直线为l ，已知l 与圆C:(x +3)2+(y +2)2=1有公共点，则a 的取值范围为 ．16.已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴y轴分别相交于M，N两点，且|MA|=|NB|，|MN|=2√3，则直线l的方程为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知{a n}为等差数列，{b n}为公比为2的等比数列，且a2−b2=a3−b3=b4−a4．(1)证明：a1=b1;(2)求集合{k|b k=a m+a1,1≤m≤500}中元素个数．18.记△ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，且S1−S2+S3=√32，sinB=13．(1)求△ABC的面积;(2)若sinAsinC=√23，求b．19.在某地区进行某种疾病调查，随机调查了100位这种疾病患者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图．(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;(同一组数据用该区间的中点值作代表)(2)估计该地区以为这种疾病患者年龄位于区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口数占该地区总人口数的16%，从该地区选出1人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率(精确到0.0001)．20.如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．(1)证明：OE//平面PAC;(2)若∠ABO=∠CBO=30∘，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B正弦值．21.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±√3x.(1)求C的方程;(2)经过F的直线与C的渐近线分别交于A，B两点，点P(x1,y1)，Q(x2,y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为−√3的直线与过Q且斜率为√3的直线交于点M，从下面三个条件 ① ② ③中选择两个条件，证明另一个条件成立： ①M在AB上; ②PQ//AB; ③|AM|=|BM|．已知函数f(x)=xe ax−e x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)当x>0时，f(x)<−1，求实数a的取值范围;(3)设n∈N∗，证明：√12+1√22+2+⋯√n2+n>ln(n+1)．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了集合的交集运算．【解答】解：方法一：通过解不等式可得集合B={x|0≤x≤2}，则A∩B={1,2}，故B正确．法二：代入排除法.x=−1代入集合B={x||x−1|≤1}，可得|x−1|=|−1−1|= 2>1，x=−1，不满足，排除A、D;x=4代入集合B={x||x−1|≤1}，可得|x−1|=|4−1|=3>1，x=4，不满足，排除C，故B正确．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，为基础题．【解答】解：(2+2i)(1−2i)=2−4i+2i−4i2=2−2i+4=6−2i．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查等差数列、直线的斜率与倾斜角的关系，比例的性质，属于中档题．【解答】解：设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3′由题意得k3=k1+0.2，k3=k2+0.1，且DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725，解得k3=0.9．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的坐标运算和夹角运算，属于基础题。

高中数学新高考试题及答案

高中数学新高考试题及答案

高中数学新高考试题及答案随着教育改革的不断深入，高中数学的考试形式和内容也在不断更新。

新高考试题更加注重学生的综合素质和创新能力，力求通过考试选拔出真正具备数学思维和解决问题能力的学生。

以下是一份高中数学新高考试题的样例及参考答案。

试题部分一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D. 圆2. 已知函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 4B. 2C. -2D. 03. 如果\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，那么\( a + b \)的值是多少？A. -3B. -5C. -6D. -14. 以下哪个不等式是正确的？A. \( \frac{1}{3} > \frac{1}{2} \)B. \( 2^3 < 3^2 \)C. \( \sqrt{4} = 4 \)D. \( \pi \)是一个无理数二、填空题（每题5分，共20分）5. 圆的周长公式是________。

6. 函数\( y = \log_{10}x \)的定义域是________。

7. 已知\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)，求\( \cos 30^\circ \)的值。

8. 如果一个数的平方根是4，那么这个数是________。

三、解答题（每题15分，共30分）9. 解不等式\( |x - 3| < 2 \)，并用区间表示解集。

10. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证三角形ABC是直角三角形。

答案部分一、选择题1. 正确答案：B（抛物线）2. 正确答案：A（将-1代入\( f(x) \)得到\( f(-1) = 3(-1)^2 -2(-1) + 1 = 4 \)）3. 正确答案：B（根据韦达定理，\( a + b = -5 \)）4. 正确答案：D（\( \pi \)是一个无理数）二、填空题5. 圆的周长公式是\( C = 2\pi r \)。

新高考数学试卷全国二卷

新高考数学试卷全国二卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)在区间[1, 3]上的最大值为M，最小值为m，则M + m的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 72. 下列各式中，能表示向量a与向量b的夹角余弦的是（）A. a·bB. |a||b|C. |a|^2 + |b|^2D. a^2b^23. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面内的对应点位于（）A. 虚轴B. 实轴C. 第一象限D. 第二象限4. 已知数列{an}满足an = an-1 + 2an-2，且a1 = 1，a2 = 2，则数列{an}的前n项和Sn =（）A. 2n - 1B. n(n + 1)C. 2^n - 1D. 2^n + 15. 在平面直角坐标系中，抛物线y = x^2 - 2x + 1的焦点坐标为（）A. (1, 0)B. (2, 0)C. (0, 1)D. (0, -1)6. 已知函数f(x) = log2(x - 1) + log2(x + 1)，若f(x)的定义域为（）A. (-1, 1)B. (0, 1)C. (1, +∞)D. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)7. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值为（）A. √3/2B. √2/2C. 1/2D. 1/√28. 已知数列{an}满足an = 2an-1 + 1，且a1 = 1，则数列{an + 1}的通项公式为（）A. 2^n - 1B. 2^n + 1C. 2^nD. 2^n - 29. 在△ABC中，若a^2 + b^2 = 4c^2，则△ABC为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 梯形10. 已知数列{an}满足an = 3an-1 + 2，且a1 = 1，则数列{an + 1}的通项公式为（）A. 3^n - 1B. 3^n + 1C. 3^nD. 3^n - 211. 在平面直角坐标系中，动点P的轨迹方程为x^2 + y^2 = 1，则动点P的轨迹面积为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π12. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若f(x)在区间[0, 2]上的零点个数为n，则n的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 已知复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面内的对应点位于（）14. 已知数列{an}满足an = an-1 + 2an-2，且a1 = 1，a2 = 2，则数列{an}的前n项和Sn =（）15. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值为（）16. 已知函数f(x) = log2(x - 1) + log2(x + 1)，若f(x)的定义域为（）17. 在平面直角坐标系中，抛物线y = x^2 - 2x + 1的焦点坐标为（）18. 已知数列{an}满足an = 3an-1 + 2，且a1 = 1，则数列{an + 1}的通项公式为（）三、解答题（本大题共6小题，共70分）19. （本题共10分）已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f(x)的极值。

新高考二数学试卷加答案

新高考二数学试卷加答案

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1，则f'(x) = （）A. 6x^2 - 6xB. 6x^2 - 3xC. 6x^2 + 3xD. 6x^2 + 6x2. 下列函数中，有最小值的是（）A. y = x^2B. y = -x^2C. y = x^2 + 1D. y = -x^2 - 13. 在等差数列{an}中，a1 = 3，d = 2，则第10项an = （）A. 19B. 21C. 23D. 254. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的取值范围是（）A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限5. 下列各式中，能表示圆x^2 + y^2 = 1的方程是（）A. x^2 + y^2 - 1 = 0B. x^2 + y^2 + 1 = 0C. x^2 - y^2 = 1D. x^2 + y^2 = 06. 已知等比数列{an}的公比q = 2，且a1 + a2 + a3 = 12，则a1 = （）A. 2B. 3C. 4D. 67. 在三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC = （）A. √3/2B. √2/2C. 1/2D. 1/√28. 若不等式|a - b| < c成立，则a的取值范围是（）A. b - c < a < b + cB. b + c < a < b - cC. b - c < a < bD. b < a < b + c9. 下列各式中，能表示对数函数y = log2x的定义域是（）A. x > 0B. x ≠ 0C. x > 1D. x ≠ 110. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1在区间[0, 1]上的最大值为3，则f'(x) = 0的解为（）A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = 3二、填空题（本题共5小题，每小题10分，共50分。

2022年高考真题：数学(新高考II卷)【含答案及解析】

2022年高考真题：数学(新高考II卷)【含答案及解析】

2022年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（新⾼考全国Ⅱ卷）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-£，则A B =I （ ）A.{1,2}- B.{1,2}C.{1,4}D.{1,4}-2.(22i)(12i)+-=（ ）A.24i-+ B.24i-- C.62i+ D.62i-3.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====，若123,,k k k 是公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.94.已知(3,4),(1,0),t ===+r r r r r a b c a b ，若,,<>=<>r r r ra cbc ，则t =（ ）A.6- B.5- C. 5D. 65.有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（ ）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种6.角,a b 满足sin()cos()sin 4p a b a b a b æö+++=+ç÷èø，则（ ）A .tan()1a b += B.tan()1a b +=-C.tan()1a b -= D.tan()1a b -=-7.正三棱台高为1，上下底边长分别为，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（ ）A.100πB.128πC.144πD.192π8.若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==å（ ）A.3- B.2- C. 0D. 1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.函数()sin(2)(0π)f x x j j =+<<的图象以2π,03æöç÷èø中心对称，则（）A.y =()f x 在5π0,12æöç÷èø单调递减B.y =()f x 在π11π,1212æö-ç÷èø有2个极值点C.直线7π6x =是一条对称轴D.直线2y x =-是一条切线10.已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A. 直线AB 的斜率为B.||||OB OF =C.||4||AB OF > D.180OAM OBM Ð+Ð<°11.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ^平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.312V V =C.312V V V =+ D.3123V V =12.对任意x ，y ，221+-=x y xy ，则（）A.1x y +£ B.2x y +³-C.222x y +£D.221x y +³三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量X 服从正态分布()22,N s，且(2 2.5)0.36P X <£=，则( 2.5)P X >=____________．14.写出曲线ln ||y x =过坐标原点的切线方程：____________，____________．15.已知点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =的对称直线与圆22(3)(2)1x y +++=存在公共点，则实数a 的取值范围为________．16.已知椭圆22163x y +=，直线l 与椭圆在第一象限交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．（1）证明：11a b =；（2）求集合{}1,1500k m k b a a m =+££中元素个数．18.记ABC V 的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知1231,sin 23S S S B -+==．（1）求ABC V 的面积；（2）若sin sin 3A C =，求b ．19.在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20,70)的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[40,50)，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）20.如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ^，E 是PB 的中点．（1）求证：//OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO Ð=Ð=°，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．21.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M ，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.22.已知函数()e e ax x f x x =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设n *ÎNln(1)n ++>+L ．答案及解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-£，则A B =I （）A.{1,2}- B.{1,2}C.{1,4}D.{1,4}-【答案】B 【解析】【分析】求出集合B 后可求A B I .【详解】{}|02B x x =££，故{}1,2A B =I ，故选：B.2.(22i)(12i)+-=（）A.24i -+ B.24i-- C.62i+ D.62i-【答案】D 【解析】【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-.【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.3.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====，若123,,k k k 是公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9【答案】D 【解析】【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D4.已知(3,4),(1,0),t ===+rrrrra b c a b ，若,,<>=<>r rr ra cbc ，则t =（）A.6- B.5- C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：()3,4c t =+r ,cos ,cos ,a c b c =r r r,即931635t t c c+++=r r ,解得5t =,故选：C5.有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（）A. 12种 B. 24种C. 36种D. 48种【答案】B 【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224´´=种不同的排列方式，故选：B6.角,a b 满足sin()cos()sin 4p a b a b a b æö+++=+ç÷èø，则（）A.tan()1a b += B.tan()1a b +=-C.tan()1a b -= D.tan()1a b -=-【答案】D 【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin a b a b a b a b a a b ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0a b a b a b a b -++=，即：()()sin cos 0a b a b -+-=,所以()tan 1a b -=-,故选：D7.正三棱台高为1，上下底边长分别为，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（）A.100πB.128πC.144πD.192π【答案】A 【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以122,2sin 60sin 60r r ==o o，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =2d =121d d -=或121d d +=1=或1+=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选：A ．8.若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==å（）A.3-B.2-C.0D.1【答案】A 【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f L 的值，即可解出．【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=L ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-å．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.函数()sin(2)(0π)f x x j j =+<<的图象以2π,03æöç÷èø中心对称，则（）A.y =()f x 在5π0,12æöç÷èø单调递减B.y =()f x 在π11π,1212æö-ç÷èø有2个极值点C. 直线7π6x =是一条对称轴D. 直线2y x =-是一条切线【答案】AD 【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin 033f j æöæö=+=ç÷ç÷èøèø，所以4ππ3k j +=，k ÎZ ，即4ππ,3k k j =-+ÎZ ，又0πj <<，所以2k =时，2π3j =，故2π()sin 23f x x æö=+ç÷èø．对A ，当5π0,12x æöÎç÷èø时，2π2π3π2,332x æö+Îç÷èø，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12æöç÷èø上是单调递减；对B ，当π11π,1212x æöÎ-ç÷èø时，2ππ5π2,322x æö+Îç÷èø，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点；对C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，7π()06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y x æö¢=+=-ç÷èø得：2π1cos 232x æö+=-ç÷èø，解得2π2π22π33x k +=+或2π4π22π,33x k k +=+ÎZ ,从而得：πx k =或ππ,3x k k =+ÎZ ,所以函数()y f x =在点0,2æöç÷ç÷èø处的切线斜率为02π2cos 13x k y ==¢==-，切线方程为：(0)2y x -=--即2y x =-．故选：AD ．10.已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A. 直线AB的斜率为 B.||||OB OF =C.||4||AB OF > D.180OAM OBM Ð+Ð<°【答案】ACD 【解析】【分析】由AF AM =及抛物线方程求得3(,)42p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得(,)33p B -，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512pAB =即可判断C 选项；由0OA OB ×<u u u r u u u r ，0MA MB ×<u u u r u u u r 求得AOB Ð，AMB Ð为钝角即可判断D 选项.【详解】对于A ，易得(,0)2pF ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224p pp +=，代入抛物线可得2233242p y p p =×=，则3(,)42p A ，则直线AB的斜率为2342p p =-，A 正确；对于B，由斜率为可得直线AB的方程为x =，联立抛物线方程得220y py p -=，设11(,)B x y，则126p y p +=，则13y =-，代入抛物线得2123p x æö-=×ç÷ç÷èø，解得13p x =，则(,)33p B -，则=，B 错误；对于C ，由抛物线定义知：325244312p p p AB p p OF =++=>=，C 正确；对于D，2333(,)(,)0423343234p p p p p OA OB æö×=×-=×+×-=-<ç÷ç÷èøuu u r u u u r ，则AOB Ð为钝角，又2225(,)(,)0423343236p p p p p MA MB æöæö×=-×--=-×-+×-=-<ç÷ç÷ç÷èøèøuu u r uu u r ，则AMB Ð为钝角，又360AOB AMB OAM OBM Ð+Ð+Ð+Ð=o ，则180OAM OBM Ð+Ð<o ，D 正确.故选：ACD.11.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ^平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V，则（）A.322V V = B.312V V =C.312V V V =+D.3123V V =【答案】CD 【解析】【分析】直接由体积公式计算12,V V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，由3A EFM C EFM V V V --=+计算出3V ，依次判断选项即可.【详解】设22AB ED FB a ===，因为ED ^平面ABCD ，FB ED P ，则()2311114223323ACD V ED S a a a =××=×××=V ，()232111223323ABC V FB S a a a =××=×××=V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易得BD AC ^，又ED ^平面ABCD ，AC Ì平面ABCD ，则ED AC ^，又ED BD D =I ，,ED BD Ì平面BDEF ，则AC ^平面BDEF ，又12BM DM BD ===，过F 作FG DE ^于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则,FG BD EG a ===，则,EM FM ====，3EF a ==，222EM FM EF +=，则EM FM ^，2122EFM S EM FM a =×=V ，AC =，则33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=×=V ，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A 、B 错误；C 、D 正确.故选：CD.12.对任意x ，y ，221+-=x y xy ，则（）A.1x y +£B.2x y +³-C.222x y +£D.221x y +³【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为22222a b a b ab ++æö££ç÷èø（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +æö+-=£ç÷èø，解得22x y -£+£，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=£，解得222x y +£，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y æö-+=ç÷èø，设cos ,sin 22y x y q q -==，所以cos ,x y q q q ==，因此22225cos sin cos 13x y q q q q =+=+++42π2sin 2,23363q æöéù=+-Îç÷êúèøëû，所以当,33x y ==-时满足等式，但是221x y +³不成立，所以D 错误．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量X 服从正态分布()22,N s，且(2 2.5)0.36P X <£=，则( 2.5)P X >=____________．【答案】0.14##750．【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为()22,X N s:，所以()()220.5P X P X <=>=，因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<£=-=．故答案为：0.14．14.写出曲线ln ||y x =过坐标原点的切线方程：____________，____________．【答案】①.1ey x =②.1ey x =-【解析】【分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；【详解】解：因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x¢=，所以001|x x y x =¢=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x¢=，所以111|x x y x =¢=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-，又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e e y x -=+-，即1ey x =-；故答案为：1e y x =；1ey x =-15.已知点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =的对称直线与圆22(3)(2)1x y +++=存在公共点，则实数a 的取值范围为________．【答案】13,32éùêúëû【解析】【分析】首先求出点A 关于y a =对称点A ¢的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a ¢--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B ¢所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =£，即()()2225532a a -£-+，解得1332a ££，即13,32a éùÎêúëû；故答案为：13,32éùêúëû16.已知椭圆22163x y +=，直线l 与椭圆在第一象限交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．【答案】0x +-=【解析】【分析】令AB 的中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ×=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；【详解】解：令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222631x y +=，所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+=所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ×=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得m x k =-，即,0m M k æö-ç÷èø，()0,N m ，所以,22m m E k æö-ç÷èø，即1222mk m k´=--，解得2k =-或2k =（舍去），又MN =，即MN ==，解得2m =或2m =-（舍去），所以直线:22AB y x =-+，即0x +-=；故答案为：0x -=四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．（1）证明：11a b =；（2）求集合{}1,1500k m k b a a m =+££中元素个数．【答案】（1）证明见解析；（2）9．【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出．【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-ìí+-=-+î，即可解得，112db a ==，所以原命题得证．【小问2详解】由（1）知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+Û´=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=Î，解得210k ££，所以满足等式的解2,3,4,,10k =L ，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+££中的元素个数为10219-+=．18.记ABC V 的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知1231,sin 23S S S B -+==．（1）求ABC V 的面积；（2）若sin sin 3A C =，求b ．【答案】（1）8（2）12【解析】【分析】（1）先表示出123,,S S S，再由1232S S S -+=求得2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB A C=，即可求解.【小问1详解】由题意得22221231,,22444S a a S b S c =××===，则2221234442S S S a c -+=-+=，即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos 3B ==，1cos 4ac B ==，则1sin 28ABC S ac B ==V ；【小问2详解】由正弦定理得：sin sin sin b a cB A C==，则22sin sin sin sin sin 3b ac ac B A C A C =×==，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==.19.在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20,70)的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[40,50)，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）【答案】（1）44.65岁；（2）0.89；（3）0.0014．【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式()1()P A P A =-即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．【小问1详解】平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =´+´+´+´+´550.020650.012750.006850.002)1044.65+´+´+´+´´=（岁）．【小问2详解】设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++´=-=．【小问3详解】设{B =任选一人年龄位于区间}[40,50)，{C =任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式可得()0.1%0.023100.0010.23(|)0.00143750.0014()16%0.16P BC P C B P B ´´´====»．20.如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ^，E 是PB 的中点．（1）求证：//OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO Ð=Ð=°，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1113【解析】【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB =，再根据直角三角形的性质得到AO DO =，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；（2）过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；【小问1详解】证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥P ABC -的高，所以PO ^平面ABC ，,AO BO Ì平面ABC ，所以PO AO ^、PO BO ^，又PA PB =，所以POA POB @△△，即OA OB =，所以OAB OBA Ð=Ð，又AB AC ^，即90BAC Ð=°，所以90OAB OAD Ð+Ð=°，90OBA ODA Ð+Ð=°，所以ODA OADÐ=Ð所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE Ë平面PAC ，PD Ì平面PAC ，所以//OE 平面PAC【小问2详解】解：过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以4OA ==，又30OBA OBC Ð=Ð=°，所以28BD OA ==，则4=AD，AB =，所以12AC =，所以()2,0O，()B，()2,3P ，()0,12,0C，所以32E æöç÷èø，则32AE æö=ç÷èøuu u r，()AB =u u ur ，()0,12,0AC =uu u r ，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z =r，则3020n AE y z nAB ì×=++=ïíï×==îu u uv v u u u v v ，令2z =，则3y =-，0x =，所以()0,3,2n =-r；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =u r，则302120m AE b c m AC b ì×=++=ïíï×==îuu u v v uu u v v，令a =6c =-，0b =，所以)6m =-u r；所以cos ,13n m n m n m×===-r u rr u r r u r 设二面角C AE B --为q ，由图可知二面角C AE B --为钝二面角，所以cos 13q =-，所以11sin 13q ==故二面角C AE B --的正弦值为1113；21.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为y =．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P且斜率为QM ，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）2213y x -=（2）见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k , M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k +=-；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y =，由②//PQ AB 等价转化为003ky x =，由①M 在直线AB 上等价于()2002ky k x =-，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.【小问1详解】右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=b =，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =∴C 的方程为：2213y x -=；【小问2详解】由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-Û=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y éùéù--++--+=ëûëû，()()3403403434220y y x x x y y y x x -éùéù-++-+=ëûëû-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM的斜率为, 直线QM∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==---,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y éù+-=ëû,解得P的横坐标：100x y æö=++÷÷ø,同理：200x y æö=+÷÷ø，∴120,x x x æö-=∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =Û=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky kx =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283k x ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =\+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky kx =-，∴①成立.22.已知函数()e e ax x f x x =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设n *ÎNln(1)n ++>+L ．【答案】（1）()f x 的减区间为(),0-¥，增区间为()0,+¥.（2）12a £（3）见解析【解析】【分析】（1）求出()f x ¢，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1axxh x x =-+，求出()h x ¢¢，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <£结合放缩法讨论()h x ¢符号，最后就0a £结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t tt<-对任意的1t >恒成立，从而可得()ln 1ln n n +-<任意的*n N Î恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【小问1详解】当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x ¢=，当0x <时，()0f x ¢<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0-¥，增区间为()0,+¥.【小问2详解】设()e e 1axxh x x =-+，则()00h =，又()()1e e axxh x ax ¢=+-，设()()1e e axxg x ax =+-，则()()22e e axxg x a a x ¢=+-，若12a >，则()0210g a ¢=->，因为()g x ¢为连续不间断函数，故存在()00,x Î+¥，使得()00,x x "Î，总有()0g x ¢>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <£，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++¢=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-¢=-=<++，故()S x 在()0,+¥上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-£，故()0h x ¢£总成立，即()h x 在()0,+¥上为减函数，所以()()01h x h <=-.当0a £时，有()e e e1100axxaxh x ax ¢=-+<-+=，所以()h x 在()0,+¥上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12a £.【小问3详解】取12a =，则0x ">，总有12e e 10xx x -+<成立，令12ex t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N Î，有2ln<整理得到：()ln 1ln n n +-<，()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n+>-+-+++-L L ()ln 1n =+，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.。

2024年新高考天津数学高考真题(含答案)

2024年新高考天津数学高考真题(含答案)

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径． ·圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}12．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x xy +=5．若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6．若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则m n ⊥B ．若//,//m n αα，则//m nC ．若//,αα⊥m n ，则m n ⊥D ．若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交7．已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最小正周期为π．则()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（ ）A ．B ．32-C ．0D ．328．双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ） A ．22182y x -=B ．22184x y -= C ．22128x y -= D ．22148x y -=9．一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（ ）A B 12C D 12第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10．已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅= ．11．在63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 ．12．圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ． 13．,,,,ABCDE 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为 ；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为 ．14．在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+λμ，则λμ+= ；F 为线段BE 上的动点，G 为AF中点，则AF DG ⋅的最小值为 ．15．若函数()21f x ax =-+恰有一个零点，则a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．17．已知四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M是1DD 的中点．(1)求证1//D N 平面1CB M ；(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；(3)求点B 到平面1CB M 的距离．18．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB的中点，其中ABCS △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19．已知数列{}na 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为nS ．若1231,1a S a ==-．(1)求数列{}na 前n 项和nS ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，*,2k k ∈≥N ．（ⅰ）当12,k k n a +≥=时，求证：1n k n ba b -≥⋅；（ⅱ）求1nS i i b =∑．20．设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∈+∞时恒成立，求a 的值；(3)若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x -≤-．1．B【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =， 所以{}2,3,4AB =，故选：B 2．C【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选：C. 3．A【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1. 故选：A 4．B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误； 对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R ，因为()sin141eϕ+=，()sin141eϕ---=， 则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误. 故选：B. 5．B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为 4.2xy =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.24.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.24.2log0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>， 故选：B 6．C【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 平行或异面或相交，故A 错误.对于B ，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα=，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，故C 正确. 对于D ，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误. 故选：C. 7．A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =-，再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=-⎪⎝⎭，由2ππ3T ω==得23ω=， 即()sin2f x x =-，当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A 8．C【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PFm =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PFm =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin θ=，因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin θ=由正弦定理可得：121212::sin :sin :sin 902PF PF F F θθ=︒= 则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F SPF PF m m =⋅=⋅=得m = 则21122PFPF F F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=. 故选：C 9．C【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF-一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===， 则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯=. 故选：C.10．7【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527⋅=-+=.故答案为：7.11．20【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()630r -=，可得3r =， 所以常数项为0363C20=.故答案为：20.12．45##0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =， 由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍）， 故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=， 故原点到直线AF 的距离为4455d ==， 故答案为：45 13．3512【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率. 【详解】解法一：列举法 从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ， 则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ， 其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ， 故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214． 43518-【分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE ，即可得λμ+，设BF BE k =，求,AF DG ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值. 【详解】解法一：因为12CE DE =，即13C E B A =，则13BE B C C E B A B C =+=+，可得1,13λμ==，所以43λμ+=； 由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=， 因为F为线段BE上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈， 则113AF AB BF AB kBE k BA kBC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭， 又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅取到最小值518-； 解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫---⎪⎝⎭， 可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭， 因为(),BE BA BC λμλμ=+=-，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=； 因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫- ⎪⎝⎭， 可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭， 则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅取到最小值为518-； 故答案为：43；518-. 15．()(11-⋃【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a≥或0x ≤，计算可得(]0,2a ∈时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a ∈时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20xax -≥，当0a =时，x ∈R，有211=--=，则x =去；当0a >时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪--=⎨⎪-<⎪⎩， 即函数()g x =()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点， 由20xax -≥，可得x a ≥或0x ≤，当0x ≤时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441xax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =时，即410x +=，即14x =-， 当()0,2a ∈，12x a=-+或102x a =>-（正值舍去）， 当()2,a ∈+∞时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去， 即当(]0,2a ∈时，210ax -+=在0x ≤时有唯一解， 则当(]0,2a ∈时，210ax -+=在x a ≥时需无解，当(]0,2a ∈，且x a ≥时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =， 且函数()h x 在12,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在23,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 令()g x y ==2222142a x y a a ⎛⎫- ⎪-⎭=⎝，故x a ≥时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a-=右支的x 轴上方部分向右平移2a所得，由()222214y x a a -=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其斜率为2， 又(]0,2a ∈，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈， 令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +∞上单调递增，故有13a aa a⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1a <1a <当a<0时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩，即函数()g x =()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点， 由20xax -≥，可得0x ≥或x a ≤，当0x ≥时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441xax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =-时，即410x -=，即14x =， 当()2,0a ∈-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a=-， 当(),2a ∈-∞时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去， 即当[)2,0a ∈-时，210ax -+=在0x ≥时有唯一解，则当[)2,0a ∈-时，210ax -+=在x a ≤时需无解，当[)2,0a ∈-，且x a ≤时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在32,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 同理可得：x a ≤时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a-=左支的x 轴上方部分向左平移2a所得，()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其斜率为2-， 又[)2,0a ∈-，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-， 令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a -∞上单调递减，故有13a aa a⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1a <-，故1a <-符合要求；综上所述，()()11,3a ∈-.故答案为：()(11-⋃.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的交点问题，从而可将其分成两个函数研究. 16．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）； 则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin B =再根据正弦定理得sin sin a bA B =，即4sin A ，解得sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin B ===，所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯= 17．(1)证明见解析(3)11【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【详解】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ， 则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；（2）以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =-、()1,0,1CM =-、()10,0,2BB =，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =、()222,,n x y z =，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，分别取121xx ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m =、()1,1,0n =，则cos ,19m n m n m n ⋅==⋅+故平面1CB M 与平面11BB CC ；（3）由()10,0,2BB=，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =，则有11BB m m⋅=+即点B 到平面1CB M . 18．(1)221129x y +=(2)存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ⋅，再根据0TP TQ ⋅≤可求t 的范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b ，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,A c B C ⎛- ⎝⎭，故122ABC S c =⨯△ 故c =a =3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.（2）若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-， 设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx +--=， 故()222Δ144108343245760kk k =++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++ 而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-，故()()121212123322TP TQ x x y t yt x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22121233122k x x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k k k t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+()22223321245327234t t k t k⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+， 因为0TP TQ ⋅≤恒成立，故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -≤≤，两者结合可得332t -≤≤.综上，存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 19．(1)21n nS=-(2)①证明见详解；②()131419nn S ii n b=-+=∑【分析】（1）设等比数列{}na 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解； （2）①根据题意分析可知12,1k kn ab k -==+，()121n kk b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑，再结合裂项相消法分析求解. 【详解】（1）设等比数列{}na 的公比为0q >， 因为1231,1aS a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q 或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.（2）（i ）由（1）可知12n na-=，且N*,2k k ∈≥，当124kk n a +=≥=时，则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩，即11k k a n a +<-<可知12,1k kn ab k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-，可得()()()()1112112122120k n k n k k k k k k k k bk a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-，当且仅当2k =时，等号成立， 所以1n k n ba b -≥⋅；（ii ）由（1）可知：1211n nn S a +=-=-，若1n =，则111,1Sb ==； 若2n ≥，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k ii b k kk k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑， 所以()()()232113141115424845431434499nn S nn i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b=-+=∑.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}ib 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k kk ii b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑.20．(1)1y x =- (2)2(3)证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足； （3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【详解】（1）由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x '=+.所以()10f =，()11f '=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.（2）设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t-'=-=，从而当01t <<时()0h t '<，当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增，这就说明()()1h t h ≥，即1ln t t -≥，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 1f x a x x x a x x a x g ⎛⎫-=-=-=⋅ ⎪⎭⎝. 当()0,x ∈+∞()0,∞+，所以命题等价于对任意()0,t ∈+∞，都有()0g t ≥.一方面，若对任意()0,t ∈+∞，都有()0g t ≥，则对()0,t ∈+∞有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭，取2t =，得01a ≤-，故10a ≥>.再取t =2022a a a ≤-=-=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ∈+∞都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥，满足条件.综合以上两个方面，知a 的值是2. （3）先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-. 证明：前面已经证明不等式1ln t t -≥，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1b b b a a a b a aa b b b b b a b a a--=+=+<+---， 且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a ab b a a b b b a b b a a a aaab a b a bb⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>+=+----， 所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-. 由()ln 1f x x '=+，可知当10e x <<时()0f x '<，当1e x >时0f x.所以()f x 在10,e ⎛⎤⎥⎝⎦上递减，在1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上递增. 不妨设12x x ≤，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211e x x ≤≤<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<，结论成立；情况二：当1210ex x <≤≤时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-. 对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，设()ln ln x x x c c ϕ=-()ln 1x x ϕ'=+由于()x ϕ'单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c ϕ⎛⎫⎪'=+<+=-= ⎪⎝⎭，且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2cx >2ln 1c ≥-可知 ()2ln 1ln 1ln 102c x x c ϕ⎛⎫=+>+=-≥ ⎪⎝⎭'.所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x ϕ'单调递增，即知00x x <<时()0x ϕ'<，0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0xx c ≤≤时，有()()0x c ϕϕ≤=；②当00x x <<112221e eff c⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭，故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201cx q <<->()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cϕ⎫=----=-<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x ϕ<；综合①②可知对任意0x c <≤，都有()0x ϕ≤，即()ln ln 0x x x c c ϕ=-.根据10,e c ⎛⎤∈⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x xx -=-=-情况三：当12101ex x <≤≤<时，根据情况一和情况二的讨论，可得()11e f x f ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭()21e f f x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.。

新高考高二数学试卷及答案

新高考高二数学试卷及答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若函数f(x) = 2x + 1，则f(3)的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 102. 已知等差数列{an}中，a1 = 2，公差d = 3，则a10的值为（）A. 29B. 30C. 31D. 323. 若函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的对称轴为（）A. x = 1B. x = -1C. y = 1D. y = -14. 已知复数z = 2 + 3i，则|z|的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 85. 若不等式x^2 - 4x + 3 > 0，则x的取值范围为（）A. x < 1 或 x > 3B. x < 3 或 x > 1C. x < 2 或 x > 2D. x < 1 或 x < 36. 已知等比数列{bn}中，b1 = 2，公比q = 3，则b5的值为（）A. 162B. 243C. 216D. 817. 若函数f(x) = |x| + 1，则f(-2)的值为（）A. 3B. 1C. -3D. -18. 已知复数z = 4 - 3i，则z的共轭复数为（）A. 4 + 3iB. 4 - 3iC. -4 + 3iD. -4 - 3i9. 若不等式2x - 3 < 5，则x的取值范围为（）A. x < 4B. x < 2C. x > 4D. x > 210. 已知等差数列{an}中，a1 = 5，公差d = -2，则a6的值为（）A. -7B. -8C. -9D. -1011. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，则f(1)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 212. 已知复数z = 3 + 4i，则z的模长为（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 已知等差数列{an}中，a1 = 3，公差d = 2，则a10的值为______。

2022年高考数学填空题专项训练2

2022年高考数学填空题专项训练2

i =1WHILE i <8 i =i +2 s=2i +3 END WHILE PRINT s END (第8题)2022年高考数学填空题专项训练2填空题1． 已知集合A ={—1，3，m }，B ={3，4}，若B ⊆A ，则实数m 的值是 ． 2． 如图，有一边长为1的正方形ABCD ，设,a AB =,b BC =,c AC = 则|c b a +-|＝ ． 3．已知复数z=x+yi,且23z -=，则yx的最大值 。

4. 数列{}{}111,21,+c n n n n a a a a a +==+满足若数列恰为等比数列，则c 的值为 5．已知命题:,sin 1p x R x ∀∈<，则p ⌝： 6．已知双曲线的两条渐近线的夹角为60，则其离心率为7．某地教育部门为了了解学生在数学答卷中的有关信息，从上次考试的10000名考生的数学试卷中，用分层抽样的方法抽取500人，并根据这500人的数学成绩画出样本的频率分布直方图（如图）. 则这10000人中数学成绩在[140，150]段的约是 人.（第7题）8．右边程序运行后的输出结果为 9．在坐标平面上，不等式组101y y x +≥⎧⎪⎨≤-+⎪⎩所表示的平面区域的周长为10．某海域上有A ，B ，C 三个小岛，已知A ，B 之间相距8 n mile ，A ，C 之间相距5 n mile ，在A 岛测得∠BAC 为60°，则B 岛与C 岛相距 n mile ．11．若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+ 的最小值为 . A D12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y = f (x )的图像关于直线x =12对称，则f (1)+ f (2)+f (3)+ f (4) +f (5)= 。

13． 若数列{a n }的通项公式a n ＝21(1)n +，记12()2(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1)f ，(2)f ，(3)f 的值，推测出()f n ＝ ．14．二面角α—a —β的平面角为120°，在面α内，AB ⊥a 于B ，AB=2在平面β内，CD ⊥a 于D ，CD=3，BD=1，M 是棱a 上的一个动点，则AM+CM 的最小值为 。

2021年新高考数学选择填空专项练习题二(附答案解析)

2021年新高考数学选择填空专项练习题二(附答案解析)

2021年新高考数学选择填空专项练习题二一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，若复数z ＝2＋a i2－i(a ∈R)的实部与虚部相等，则a 的值为( )A ．2 B.32 C.23 D ．－2C [∵z ＝2＋a i 2－i ＝(2＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝4－a 5＋2a ＋25i 的实部与虚部相等，∴4－a ＝2a ＋2，即a ＝23.故选C.]2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆BB [A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，所以A ∩B ＝{x |－2＜x ＜0或2＜x ＜3}，A ∪B ＝R ，故选项B 正确．]3．已知矩形ABCD 中，BC ＝2AB ＝4，现向矩形ABCD 内随机投掷质点M ，则满足MB →·MC→≥0的概率是( )A.π4 B.4－π4 C.π2D.π－24B [建立如图所示的直角坐标系，则B (0,0)，C (4,0)，A (0,2)，D (4,2)．设M (x ，y )，则MB →＝(－x ，－y )，MC →＝(4－x ，－y )，由MB →·MC→≥0得(x －2)2＋y 2≥4，由几何概型概率公式得：p ＝S 阴S 矩＝1－2π8＝4－π4，故选B.] 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 3＝6，S 10＝100，则a 5＝( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11B [设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＋a 3＝6，S 10＝100，∴2a 1＋2d ＝6 ,10a 1＋10×92d ＝100，联立解得a 1＝1，d ＝2.则a 5＝1＋2×4＝9.故选B.] 5．根据如下样本数据得到的回归方程为y ＝b x ＋a .若a ＝7.9，则x 每增加1个单位，y 就( ) A ．增加1.4个单位 B ．减少1.4个单位C ．增加1.2个单位D ．减少1.2个单位B [设变量x ，y 的平均值为：x ，y ， ∴x ＝15(3＋4＋5＋6＋7)＝5， y ＝15(4.0＋2.5－0.5＋0.5－2.0)＝0.9， ∴样本中心点(5,0.9)，∴0.9＝5×b ＋7.9，∴b^＝－1.4，∴x 每增加1个单位，y 就减少1.4个单位．故选B.] 6．(2019·泰安二模)如图，在下列四个正方体中，P ，R ，Q ，M ，N ，G ，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ 所在平面平行的是( )D [由题意可知经过P 、Q 、R 三点的平面如图，可知N 在经过P 、Q 、R 三点的平面上，所以B 、C 错误；MC 1与QE 是相交直线，所以A 不正确；故选D.]7．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B.⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，3－12 B [设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m ＞c ，又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1≥c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，e 4－3e 2＋1≥0，e 2≤3－52＝⎝⎛⎭⎪⎫5－122，∴0＜e ＜5－12，故选B.] 8．下列函数既是奇函数，又在[－1,1]上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|sin x | B ．f (x )＝lne －xe ＋xC ．f (x )＝12(e x －e －x ) D ．f (x )＝ln(x 2＋1－x )C [f (x )＝|sin x |为偶函数，故A 不符合题意；对于B ，f (x )＝lne －x e ＋x ，其定义域为(－e ，e)，有f (－x )＝ln e ＋x e －x ＝－ln e －xe ＋x＝－f (x )，为奇函数，设t ＝e －x e ＋x ＝－1＋2ex ＋e，在(－e ，e)上为减函数，而y ＝ln t 为增函数，则f (x )＝lne －x e ＋x在(－e ，e)上为减函数，不符合题意；对于C ，f (x )＝12(e x －e －x )，有f (－x )＝12(e －x －e x )＝－12(e x －e －x )＝－f (x )，为奇函数，且f ′(x )＝12(e x ＋e －x )＞0，在R 上为增函数，符合题意； 对于D ，f (x )＝ln(x 2＋1－x )，其定义域为R ，f (－x )＝ln(x 2＋1＋x )＝－ln(x 2＋1－x )＝－f (x ) ，为奇函数，设t ＝x 2＋1－x ＝1x 2＋1＋x，y ＝ln t ，t 在R 上为减函数，而y ＝ln t 为增函数，则f (x )＝ln(x 2＋1－x )在R 上为减函数，不符合题意．故选C.]9．若函数f (x )＝12cos 2x －2a (sin x ＋cos x )＋(4a －3)x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≥32 B.32＜a ＜3 C ．a ≥1D ．1＜a ＜3A [∵f (x )＝12cos 2x －2a (sin x ＋cos x )＋(4a －3)x ， ∴f ′(x )＝－sin 2x －2a (cos x －sin x )＋4a －3. ∵函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，可得f ′(0)≥0，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin 0－2a (cos 0－sin 0)＋4a －3≥0，－sin π－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2－sin π2＋4a －3≥0， 解得a ≥32.∴实数a 的取值范围为a ≥32.故选A.]10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－3x ＋2，x ≤1ln x ，x ＞1，g (x )＝f (x )－ax ＋a ，若g (x )恰有1个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0,1]C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)A [由g (x )＝f (x )－ax ＋a ＝0得f (x )＝a (x －1)， ∵f (1)＝1－3＋2＝0， ∴g (1)＝f (1)－a ＋a ＝0，即x ＝1是g (x )的一个零点，若g (x )恰有1个零点， 则当x ≠1时，函数f (x )＝a (x －1)，没有其他根， 即a ＝f (x )x －1没有根， 当x ＜1时，设h (x )＝f (x )x －1＝x 2－3x ＋2x －1＝(x －1)(x －2)x －1＝x －2，此时函数h (x )为增函数，则 h (1)→－1，即此时h (x )＜－1，当＞1时，h (x )＝f (x )x －1＝ln xx －1，h ′(x )＝1x ·(x －1)－ln x (x －1)2＜0，此时h (x )为减函数， 此时h (x )＞0，且h (1)→1， 即0＜h (x )＜1，作出函数h (x )的图象如图： 则要使a ＝f (x )x －1没有根，则a ≥1或－1≤a ≤0， 即实数a 的取值范围是[－1,0]∪[1，＋∞)，故选A.]二、多选题：本题共3个小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有错选的得0分，部分选对的得2分．11．已知圆M 的一般方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，则下列说法中正确的是( )A ．圆M 的圆心为(4，－3)B ．圆M 被x 轴截得的弦长为8C ．圆M 的半径为25D ．圆M 被y 轴截得的弦长为6ABD [圆M 的一般方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0， 则圆M 的标准方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 圆M 的圆心坐标(4，－3)，半径为5.显然选项C 不正确，ABD 均正确．故选ABD.]12．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有( )A ．C 13C 12C 11C 13 B ．C 24A 33C ．C 13C 24A 22D ．18BC [根据题意，三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个．有2种解法：法一：(先分组，再排列)：先将四个不同的小球分成3组，有C 24种分组方法，再将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A 33种放法，则没有空盒的放法有C 24A 33种．法二：(先选，再排列)：在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有C 13C 24种情况，将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A 22种放法，则没有空盒的放法有C 13C 24A 22种，故选BC.]13．已知数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)且满足a n ＋4S n －1S n ＝0(n ≥2)，a 1＝14，则下列说法错误的是( )A ．数列{a n }的前n 项和为S n ＝4nB ．数列{a n }的通项公式为a n ＝14n (n ＋1)C ．数列{a n }为递增数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为递增数列ABC [由a n ＋4S n －1S n ＝0(n ≥2)，得S n －S n －1＝－4S n －1S n ，∴1S n －1S n －1＝4(n ≥2)，∵a 1＝14，∴1S 1＝4，则1S n＝4＋4(n －1)＝4n ，则S n ＝14n ，S 1＝a 1＝14成立，∴S n ＝14n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14，n ＝1－14n (n －1)，n ≥2.故选ABC.]三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．14．(2019·全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝____________.23 [设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则c ＝(2，－5)，所以cos 〈a ，c 〉＝21×4＋5＝23.]15．在△ABC 中，三边长分别为a ，a ＋2，a ＋4，最小角的余弦值为1314，则a ＝________；这个三角形的面积为________．31534 [设最小角为α，故α对应的边长为a ，则cos α＝(a ＋4)2＋(a ＋2)2－a 22(a ＋4)(a ＋2)＝a 2＋12a ＋202a 2＋12a ＋16＝1314，解得a ＝3.∵最小角α的余弦值为1314， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.∴S △ABC ＝12×(a ＋4)(a ＋2)sin α＝12×35×3314＝1534.]16．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 为棱AA 1上任意一点，则四棱锥P -BDD 1B 1的体积为________．13 [VABD -A 1B 1D 1＝12V 正方体＝12， VP -BDD 1B 1＝23VABD -A 1B 1D 1＝13.]17．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1且与双曲线C 的一条渐近线垂直的直线l 与C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，若|NF 1|＝2|MF 1|，则双曲线C 的渐近线方程为________．y ＝±3x [如图： ∵|NF 1|＝2|MF 1|， ∴M 为NF 1的中点． 又OM ⊥F 1N ， ∴∠F 1OM ＝∠NOM . 又∠F 1OM ＝∠F 2ON ， ∴∠F 2ON ＝60°，∴双曲线的渐近线斜率为k ＝tan 60°＝3，故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x .]。

2022年新高考全国Ⅱ卷数学真题及参考答案

2022年新高考全国Ⅱ卷数学真题及参考答案

一、选择题1. 已知函数f(x) = x^2 2x + 1，求f(x)的极值。

答案：f(x)的极值为0。

2. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = 2n^2 3n，求公差d。

答案：d = 4。

3. 设圆C的方程为(x 1)^2 + (y 2)^2 = 4，求圆C的半径。

答案：半径为2。

4. 若随机变量X服从正态分布N(0, 1)，求P(X < 0)。

答案：P(X < 0) = 0.5。

5. 已知等比数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn = 2^n 1，求公比q。

答案：q = 2。

二、填空题1. 已知函数g(x) = x^3 3x，求g(x)的导数。

答案：g'(x) = 3x^2 3。

2. 若等差数列{cn}的前n项和为Sn，且Sn = 3n^2 + 2n，求首项c1。

答案：c1 = 5。

3. 已知圆C的方程为(x 1)^2 + (y 2)^2 = 4，求圆心坐标。

答案：圆心坐标为(1, 2)。

4. 若随机变量Y服从二项分布B(n, p)，且P(Y = 2) = 3P(Y = 1)，求n和p。

答案：n = 3，p = 1/2。

5. 已知等比数列{dn}的前n项和为Tn，且Tn = 2^n 1，求首项d1。

答案：d1 = 1。

三、解答题1. 已知函数h(x) = (x 1)^2，求h(x)的单调区间。

答案：h(x)的单调递增区间为(∞, 1)，单调递减区间为(1, +∞)。

2. 若等差数列{en}的前n项和为Sn，且Sn = 3n^2 2n，求公差d。

答案：d = 6。

3. 已知圆C的方程为(x 1)^2 + (y 2)^2 = 4，求圆C与x轴的交点坐标。

答案：交点坐标为(1, 0)。

4. 若随机变量Z服从泊松分布P(λ)，且P(Z = 1) = P(Z = 2)，求λ。

答案：λ = 2。

5. 已知等比数列{fn}的前n项和为Tn，且Tn = 2^n 1，求公比q。

答案：q = 2。

高中数学新高考试题及答案

高中数学新高考试题及答案

高中数学新高考试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个选项不是实数集合R的子集？A. 有理数QB. 整数ZC. 自然数ND. 复数C2. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(2)的值。

A. 3B. 4C. 5D. 63. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求第5项a5的值。

A. 11B. 13C. 15D. 175. 根据三角函数的和角公式，sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB。

若A=30°，B=45°，求sin(A+B)的值。

A. 1B. √2/2C. √3/2D. √6/26. 已知向量\( \vec{a} = (3, 4) \)，\( \vec{b} = (-1, 2) \)，求向量\( \vec{a} \)与\( \vec{b} \)的数量积。

A. 10B. 8C. 6D. 47. 一个等腰三角形的底边长为6，两腰长均为5，求其面积。

A. 12B. 15C. 18D. 208. 已知二次方程x^2 - 4x + 4 = 0，求其判别式Δ的值。

A. 0B. 4C. 8D. 169. 若函数g(x) = |x| + 2，求g(-3)的值。

A. 5B. 1C. -1D. -310. 已知集合M = {1, 2, 3}，N = {2, 3, 4}，求M∩N的元素。

A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3}二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数h(x) = x^2 - 6x + 5，求h(x)的顶点坐标。

顶点坐标为（__，__）。

12. 若一个正方体的棱长为a，求其对角线的长度。

对角线的长度为__。

13. 已知数列{bn}是公比为1/2的等比数列，且b1=8，求b3的值。

b3的值为__。

14. 若直线l1：2x - 3y + 6 = 0与直线l2：x + y - 5 = 0平行，求直线l3：ax - by + c = 0，使得l3与l1、l2都平行。

2023年全国新高考II卷数学真题试卷及答案

2023年全国新高考II卷数学真题试卷及答案

2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题一、单选题1．在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （ ）．A ．2B ．1C ．23D ．1-3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．A ．4515400200C C ⋅种B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种4．若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）．A ．1-B ．0C ．12D ．15．已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △面积是2F AB △面积的2倍，则m =（ ）．A ．23B C ．D ．23-6．已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（ ）．A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -7．已知α为锐角，cos α=sin 2α=（ ）．A B C D 8．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（ ）．A ．120B ．85C ．85-D ．120-二、多选题9．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为45°，则（ ）．A ．该圆锥的体积为πB ．该圆锥的侧面积为C ．AC =D ．PAC △10．设O 为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）．A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN 为等腰三角形11．若函数()()2ln 0b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（ ）．A ．0bc >B ．0ab >C ．280b ac +>D ．0ac <12．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A ．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B ．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C ．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D ．当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三、填空题13．已知向量a ，b满足a b -= ，2a b a b +=- ，则b = ______．14．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．15．已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 面积为85”的m 的一个值______．16．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π6AB =，则()πf =______．四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABCD 为BC 中点，且1AD =．(1)若π3ADC ∠=，求tan B ；(2)若228b c +=，求,b c ．18．已知{}n a 为等差数列，6,2,n n n a n b a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：当5n >时，n n T S >．19．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率()0.5p c =％时，求临界值c 和误诊率()q c ；(2)设函数()()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[]95,105的最小值．20．如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，60ADB ADC ∠=∠= ，E 为BC的中点．(1)证明：BC DA ⊥；(2)点F 满足EF DA =，求二面角D AB F --的正弦值．21．已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为()-(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.22．（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<；（2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．新高考二卷参考答案1．（2023·新高考Ⅱ卷·1·★）在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限答案：A解析：2(13i)(3i)3i 9i 3i 68i +-=-+-=+，所以该复数对应的点为(6,8)，位于第一象限.2．（2023·新高考Ⅱ卷·2·★）设集合{0,}A a =-，{1,2,22}B a a =--，若A B ⊆，则a =（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）23（D ）1-答案：B解析：观察发现集合A 中有元素0，故只需考虑B 中的哪个元素是0，因为0A ∈，A B ⊆，所以0B ∈，故20a -=或220a -=，解得：2a =或1，注意0B ∈不能保证A B ⊆，故还需代回集合检验，若2a =，则{0,2}A =-，{1,0,2}B =，不满足A B ⊆，不合题意；若1a =，则{0,1}A =-，{1,1,0}B =-，满足A B ⊆. 故选B.3．（2023·新高考Ⅱ卷·3·★）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）（A ）4515400200C C ⋅种 （B ）2040400200C C ⋅种 （C ）3030400200C C ⋅种 （D ）4020400200C C ⋅种答案：D 解析：应先找到两层中各抽多少人，因为是比例分配的分层抽取，故各层的抽取率都等于总体的抽取率，设初中部抽取x 人，则60400400200x =+，解得：40x =，所以初中部抽40人，高中部抽20人，故不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种.4．（2023·新高考Ⅱ卷·4·★★）若21()()ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则a =（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）12（D ）1答案：B解法1：偶函数可抓住定义()()f x f x -=来建立方程求参，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，即2121()ln ()ln 2121x x x a x a x x ----+=+-++ ①，而121212121ln ln ln(ln 21212121x x x x x x x x ---+--===--+-++，代入①得：2121()(ln )()ln 2121x x x a x a x x ---+-=+++，化简得：x a x a -=+，所以0a =.解法2：也可在定义域内取个特值快速求出答案，210(21)(21)021x x x x ->⇔+->+，所以12x <-或12x >，因为()f x 为偶函数，所以(1)(1)f f -=，故1(1)ln 3(1)ln 3a a -+=+ ①，而11ln ln 3ln 33-==-，代入①得：(1)ln 3(1)ln 3a a -+=-+，解得：0a =.5．（2023·新高考Ⅱ卷·5·★★★）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB ∆的面积是2F AB ∆面积的2倍，则m =（ ）（A ）23 （B（C） （D ）23-答案：C解析：如图，观察发现两个三角形有公共的底边AB ，故只需分析高的关系，作1F G AB ⊥于点G ，2F I AB ⊥于点I ，设AB 与x 轴交于点K ，由题意，121212212F AB F AB AB F GS S AB F I∆∆⋅==⋅，所以122F GF I =，由图可知12F KG F KI ∆∆∽，所以11222F K F G F K F I ==，故122F K F K =，又椭圆的半焦距c ==，所以122F F c ==，从而21213F K F F ==故11OK OF F K =-=，所以K ，代入y x m =+可得0m =+，解得：m =6．（2023·新高考Ⅱ卷·6·★★★）已知函数()e ln x f x a x =-在区间(1,2)单调递增，则a 的最小值为（ ）（A ）2e （B ）e （C ）1e - （D ）2e -答案：C解析：()f x 的解析式较复杂，不易直接分析单调性，故求导，由题意，1()e x f x a x'=-，因为()f x 在(1,2)上 ，所以()0f x '≥在(1,2)上恒成立，即1e 0x a x-≥ ①，观察发现参数a 容易全分离，故将其分离出来再看，不等式①等价于1ex a x ≥，令()e (12)x g x x x =<<，则()(1)e 0x g x x '=+>，所以()g x 在(1,2)上 ，又(1)e g =，2(2)2e g =，所以2()(e,2e )g x ∈，故21111(,)()e 2e ex g x x =∈，因为1e x a x ≥在(1,2)上恒成立，所以11e e a -≥=，故a 的最小值为1e -.7．（2023·新高考Ⅱ卷·7·★★）已知α为锐角，cos α=sin 2α=（ ）（A （B （C （D 答案：D解析：22cos 12sin sin 22ααα=-=⇒=，此式要开根号，不妨上下同乘以2，将分母化为24，所以2sin 2α==，故sin 2α=，又α为锐角，所以(0,)24απ∈，故sin 2α=8．（2023·新高考Ⅱ卷·8·★★★）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（ ）（A ）120 （B ）85 （C ）85- （D ）120-答案：C 解法1：观察发现2S ，4S ，6S ，8S 的下标都是2的整数倍，故可考虑片段和性质，先考虑q 是否为1-，若{}n a 的公比1q =-，则414[1(1)]01(1)a S --==--，与题意不符，所以1q ≠-，故2S ，42S S -，64S S -，86S S -成等比数列 ①，条件中有6221S S =，不妨由此设个未知数，设2S m =，则621S m =，所以425S S m -=--，64215S S m -=+，由①可得242262()()S S S S S -=-，所以2(5)(215)m m m --=+，解得：1m =-或54，若1m =-，则21S =-，424S S -=-，6416S S -=-，所以8664S S -=-，故8664216485S S m =-=-=-；到此结合选项已可确定选C ，另一种情况我也算一下，若54m =，则2504S =>，而2222412341212122()(1)(1)S a a a a a a a q a q a a q S q =+++=+++=++=+，所以4S 与2S 同号，故40S >，与题意不符；综上所述，m 只能取1-，此时885S =-.解法2：已知和要求的都只涉及前n 项和，故也可直接代公式翻译，先看公比是否为1，若{}n a 的公比1q =，则612162142S a S a =≠=，不合题意，所以1q ≠，故414(1)51a q S q-==--①，又6221S S =，所以6211(1)(1)2111a q a q q q --=⋅--，化简得：62121(1)q q -=- ②，又62322411()(1)(1)q q q q q -=-=-++，代入②可得：2242(1)(1)21(1)q q q q -++=- ③，两端有公因式可约，但需分析21q -是否可能为0，已经有1q ≠了，只需再看q 是否可能等于1-，若1q =-，则414[1(1)]01(1)a S --==--，与题意不符，所以1q ≠-，故式③可化为24121q q ++=，整理得：42200q q +-=，所以24q =或5-（舍去），故要求的8241118(1)[1()]255111a q a q a S q q q --===-⋅--- ④，只差11aq-了，该结构式①中也有，可由24q =整体计算它，将24q =代入①可得21(14)51a q-=--，所以1113a q =-，代入④得81255853S =-⨯=-.9．（2023·新高考Ⅱ卷·9·★★★）（多选）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，o120APB ∠=，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为o 45，则（ ）（A ）该圆锥的体积为π（B ）该圆锥的侧面积为（C ）AC =（D ）PAC ∆答案：AC解析：A 项，因为2PA =，o 120APB ∠=，所以o 60APO ∠=，cos 1OP AP APO =⋅∠=，sin OA AP APO =⋅∠=，从而圆锥的体积211133V Sh ππ==⨯⨯⨯=，故A 项正确；B 项，圆锥的侧面积2S rl ππ===，故B 项错误；C 项，要求AC 的长，条件中的二面角P AC O --还没用，观察发现PAC ∆和OAC ∆都是等腰三角形，故取底边中点即可构造棱的垂线，作出二面角的平面角，取AC 中点Q ，连接PQ ，OQ ，因为OA OC =，PA PC =，所以AC OQ ⊥，AC PQ ⊥，故PQO ∠即为二面角P AC O --的平面角，由题意，o 45PQO ∠=，所以1OQ OP ==，故AQ ==，所以2AC AQ ==，故C 项正确；D 项，PQ ==，所以11222PAC S AC PQ ∆=⋅=⨯=，故D 项错误.POCABQ10．（2023·新高考Ⅱ卷·10·★★★）（多选）设O 为坐标原点，直线1)y x =-过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）（A ）2p = （B ）83MN = （C ）以MN 为直径的圆与l 相切 （D ）OMN ∆为等腰三角形答案：AC解析：A 项，在1)y x =-中令0y =可得1x =，由题意，抛物线的焦点为(1,0)F ，所以12p=，从而2p =，故A 项正确；B 项，此处可以由直线MN 的斜率求得MFO ∠，再代角版焦点弦公式22sin pMN α=求MN ，但观察发现后续选项可能需要用M ，N 的坐标，所以直接联立直线与抛物线，用坐标版焦点弦公式来算，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1)y x =-代入24y x =消去y 整理得：231030x x -+=，解得：13x =或3，对应的y 分别为-所以图中(3,M -，1(3N ，从而121163233MN x x p =++=++=，故B 项错误；C 项，判断直线与圆的位置关系，只需将圆心到直线的距离d 和半径比较，12523x x MN +=⇒的中点Q 到准线:1l x =-的距离8132d MN ==，从而以MN 为直径的圆与准线l 相切，故C 项正确；D 项，M ，N 的坐标都有了，算出OM ，ON即可判断，OM ==ON ==，所以OM ，ON ，MN 均不相等，故D 项错误.11．（2023·新高考Ⅱ卷·11·★★★）（多选）若函数2()ln (0)b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（ ）（A ）0bc > （B ） 0ab > （C ）280b ac +> （D ）0ac <答案：BCD解析：由题意，223322()(0)a b c ax bx cf x x x x x x --'=--=>，函数()f x 既有极大值，又有极小值，所以()f x '在(0,)+∞上有2个变号零点，故方程220ax bx c --=在(0,)+∞上有两个不相等实根，所以212120()(()4(2)020)()b a c c x x a b x x a ⎧⎪∆=--->⎪⎪=->⎨⎪⎪+=>⎪⎩保证有两根保证两根同号保证两根只能同③正①②，由①可得280b ac +>，故C 项正确；由②可得0ca<，所以a ，c 异号，从而0ac <，故D 项正确；由③可得a ，b 同号，所以0ab >，故B 项正确；因为a ，c 异号，a ，b 同号，所以b ，c 异号，从而0bc <，故A 项错误.12．（2023·新高考Ⅱ卷·12·★★★★）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立. 发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输. 单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次. 收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.（ ）（A ）采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)αβ--（B ）采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-（C ）采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-（D ）当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率答案：ABD 解析：A 项，由题意，若采用单次传输方案，则发送1收到1的概率为1β-，发送0收到0的概率为1α-，所以依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)(1)(1)(1)βαβαβ---=--，故A 项正确；B 项，采用三次传输方案，若发送1，则需独立重复发送3次1，依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)(1)βββββ--=-，故B 项正确；C 项，采用三次传输方案，由B 项的分析过程可知若发送1，则收到1的个数~(3,1)X B β-，而译码为1需收2个1，或3个1，所以译码为1的概率为22332333(2)(3)C (1)C (1)3(1)(1)P X P X ββββββ=+==-+-=-+-，故C 项错误；D 项，若采用单次传输方案，则发送0译码为0的概率为1α-；若采用三次传输方案，则发送0等同于发3个0，收到0的个数~(3,1)Y B α-，且译码为0的概率为22332333(2)(3)C (1)C (1)3(1)(1)P Y P Y αααααα=+==-+-=-+-，要比较上述两个概率的大小，可作差来看，2323(1)(1)(1)(1)[3(1)(1)1](1)(12)ααααααααααα-+---=--+--=--，因为00.5α<<，所以233(1)(1)(1)(1)(12)0ααααααα-+---=-->，从而233(1)(1)1αααα-+->-，故D 项正确.13．（2023·新高考Ⅱ卷·13·★★）已知向量a ，b满足-=a b ，2+=-a b a b ，则=b _____.解析：条件涉及两个模的等式，想到把它们平方来看，由题意，22223-=+-⋅=a b a b a b ①，又2+=-a b a b ，所以222+=-a b a b ，故2222244++⋅=+-⋅a b a b a b a b ，整理得：220-⋅=a a b ，代入①可得23=b ，即23=b，所以=b .14．（2023·新高考Ⅱ卷·14·★★）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为_____.答案：28解析：如图，四棱锥1111P A B C D -与P ABCD -相似，它们的体积之比等于边长之比的立方，故只需求四棱锥1111P A B C D -的体积，11113112111(4228P A B C D P ABCD V A B AB V --==⇒==，所以11118P ABCD P A B C D V V --=，故所求四棱台的体积11117P A B C D V V -=，由题意，1111212343P A B C D V -=⨯⨯=，所以7428V =⨯=.P 1D 1A 1B 1CD AB CO423【反思】相似图形的面积之比等于边长之比的平方，体积之比等于边长之比的立方.15．（2023·新高考Ⅱ卷·15·★★★）已知直线10x my -+=与⊙22:(1)4C x y -+=交于A ，B 两点，写出满足“ABC ∆的面积为85”的m 的一个值_____.答案：2（答案不唯一，也可填2-或12或12-）解析：如图，设圆心(1,0)C 到直线AB 的距离为(0)d d >，则12ABC S AB d ∆=⋅，注意到AB 也可用d 表示，故先由85ABC S ∆=求d ，再将d 用m 表示，建立关于m 的方程，又AB ==12ABC S d ∆=⨯=，由题意，85ABC S ∆=85=，结合0d >解得：d =又d ====，解得：2m =±或12±.16．（2023·新高考Ⅱ卷·16·★★★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若6AB π=，则()f π=_____.答案：解法1：6AB π=这个条件怎么翻译？可用12y =求A ，B 横坐标的通解，得到AB ，从而建立方程求ω，不妨设0ω>，令1sin()2x ωϕ+=可得26x k πωϕπ+=+或526k ππ+，其中k ∈Z ，由图知26A x k πωϕπ+=+，526B x k πωϕπ+=+，两式作差得：2()3B A x x πω-=，故23B A x x πω-=，又6B A AB x x π=-=，所以336ππω=，解得：4ω=，则()sin(4)f x x ϕ=+，再求ϕ，由图知23π是零点，可代入解析式，注意，23π是增区间上的零点，且sin y x =的增区间上的零点是2n π，故应按它来求ϕ的通解，所以82()3n n πϕπ+=∈Z ，从而823n πϕπ=-，故82()sin(42)sin(4)33f x x n x πππ=+-=-，所以222()sin(4sin(sin 333f πππππ=-=-=-=.解法2：若注意横向伸缩虽会改变图象在水平方向上的线段长度，但不改变长度比例，则可先分析sin y x =与12y =交点的情况，再按比例对应到本题的图中来，如图1，直线12y =与函数sin y x =在y 轴右侧的三个I ，J ，K 的横坐标分别为6π，56π，136π，所以52663IJ πππ=-=，1354663JK πππ=-=，:1:2IJ JK =，故在图2中:1:2AB BC =，因为6AB π=，所以3BC π=，故2AC AB BC π=+=，又由图2可知AC T =，所以2T π=，故24Tπω==，接下来同解法1.2图【反思】①对于函数sin()(0)y x ωϕω=+>，若只能用零点来求解析式，则需尽量确定零点是在增区间还是减区间. “上升零点”用2xn ωϕπ+=来求，“下降零点”用2x n ωϕππ+=+来求；②对图象进行横向伸缩时，水平方向的线段长度比例关系不变，当涉及水平线与图象交点的距离时，我们常抓住这一特征来求周期.17．（2023··17·★★★）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆D 为BC 的中点，且1AD =.（1）若3ADC π∠=，求tan B ；（2）若228b c +=，求b ，c .解：（1）如图，因为3ADC π∠=，所以23ADB π∠=，（要求tan B ，可到ABD ∆中来分析，所给面积怎么用？可以用它求出ABD S ∆，从而得到BD ）因为D 是BC 中点，所以2ABC ABD S S ∆∆=，又ABC S ∆=ABD S ∆=由图可知112sin 1sin 223ABD S AD BD ADB BD π∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=，所以=2BD =，（此时ABD ∆已知两边及夹角，可先用余弦定理求第三边AB ，再用正弦定理求角B ）在ABD ∆中，由余弦定理，2222212cos 12212()72AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，所以AB =由正弦定理，sin sin AB AD ADB B =∠，所以1sin sin AD ADB B AB ⋅∠===，由23ADB π∠=可知B为锐角，从而cos B ==，故sin tan cos B B B ==.（2）（已有关于bc 的一个方程，若再建立一个方程，就能求b 和c ，故把面积和中线都用b ，c 表示）由题意，1sin 2ABC S bc A ∆==，所以sin bc A =①，（中线AD 怎样用b ，c 表示？可用向量处理）因为D 为BC 中点，所以1()2AD AB AC =+，从而2AD AB AC =+ ，故22242AD AB AC AB AC =++⋅ ，所以222cos 4c b cb A ++=，将228b c +=代入上式化简得cos 2bc A =- ②，（我们希望找的是b ，c 的方程，故由①②消去A ，平方相加即可）由①②得222222sin cos 16b c A b c A +=，所以4bc = ③，由228b c +=可得2()28b c bc +-=，所以4b c +==，结合式③可得2b c ==.ADBC118．（2023·新高考Ⅱ卷·18·★★★★）已知{}n a 为等差数列，6,2,n n n a n b a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：当5n >时，n n T S >.解：（1）（给出了两个条件，把它们用1a 和d 翻译出来，即可建立方程组求解1a 和d ）由题意，414632S a d =+= ①，31231231111(6)2(6)62()26441216T b b b a a a a a d a d a d =++=-++-=-++++-=+-= ②，由①②解得：15a =，2d =，所以1(1)23n a a n d n =+-=+.（2）由（1）可得21()(523)422n n n a a n n S n n +++===+，（要证结论，还需求n T ，由于n b 按奇偶分段，故求n T 也应分奇偶讨论，先考虑n 为偶数的情形）当(5)n n >为偶数时，12n nT b b b =++⋅⋅⋅+12341(6)2(6)2(6)2n na a a a a a -=-++-++⋅⋅⋅+-+13124()62()2n n na a a a a a -=++⋅⋅⋅+-⨯+++⋅⋅⋅+ ③，因为131,,,n a a a -⋅⋅⋅和24,,,n a a a ⋅⋅⋅分别也构成等差数列，所以211131()(521)32242n n na a n n n n a a a --++++++⋅⋅⋅+===，2224()(723)52242n n na a n n n n a a a ++++++⋅⋅⋅+===，代入③化简得：222353732222n n n n n n nT n +++=-+⨯=，（要由此证n n T S >，可作差比较）所以2237(4)022n n n n n n T S n n 2+--=-+=>，故n n T S >；（对于n 为奇数的情形，可以重复上述计算过程，但更简单的做法是补1项凑成偶数项，再减掉补的那项）当(5)n n >为奇数时，2113(1)7(1)2n n n n n T T b +++++=-=-2213(1)7(1)351022(25)22n n n n n a n +++++-=-+=，所以223510(4)2n n n n T S n n +--=-+2310(2)(5)022n n n n --+-==>，故n n T S >；综上所述，当5n >时，总有n n T S >.19．（2023·新高考Ⅱ卷·19·★★★）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：患病者未患病者利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c . 假设数据在组内均匀分布. 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.（1）当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；（2）设函数()()()f c p c q c =+. 当[95,105]c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[95,105]的最小值.解：（1）（给的是漏诊率，故先看患病者的图，漏诊率为0.5%即小于或等于c 的频率为0.5%，可由此求c ）由患病者的图可知，[95,100)这组的频率为50.0020.010.005⨯=>，所以c 在[95,100)内，且(95)0.0020.005c -⨯=，解得：97.5c =；（要求()q c ，再来看未患病者的图，()q c 是误诊率，也即未患病者判定为阳性（指标大于c ）的概率）由未患病者的图可知指标大于97.5的概率为(10097.5)0.0150.0020.035-⨯+⨯=，所以() 3.5%q c =.（2）（[95,105]包含两个分组，故应分类讨论）当95100c ≤<时，()(95)0.002p c c =-⨯，()(100)0.0150.002q c c =-⨯+⨯，所以()()()0.0080.82f c p c q c c =+=-+，故()0.0081000.820.02f c >-⨯+= ①；当100105c ≤≤时，()50.002(100)0.012p c c =⨯+-⨯，()(105)0.002q c c =-⨯，所以()()()0.010.98f c p c q c c =+=-，故()(100)0.011000.980.02f c f ≥=⨯-= ②；所以0.0080.82,95100()0.010.98,100105c c f c c c -+≤<⎧=⎨-≤≤⎩，且由①②可得min ()0.02f c =.20．（2023·新高考Ⅱ卷·20·★★★）如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，o 60ADB ADC ∠=∠=，E 为BC 的中点.（1）证明：BC DA ⊥；（2）点F 满足EF DA =，求二面角D AB F --的正弦值.CDABEF解：（1）（BC 和DA 是异面直线，要证垂直，需找线面垂直，可用逆推法，假设BC DA ⊥，注意到条件中还有DB DC =，所以BC DE ⊥，二者结合可得到BC ⊥面ADE ，故可通过证此线面垂直来证BC DA ⊥）因为DA DB DC ==，o 60ADB ADC ∠=∠=，所以ADB ∆和ADC ∆是全等的正三角形，故AB AC =，又E 为BC 中点，所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，因为AE ，DE ⊂平面ADE ，AE DE E = ，所以BC ⊥平面ADE ，又DA ⊂平面ADE ，所以BC DA ⊥.（2）（由图可猜想AE ⊥面BCD ，若能证出这一结果，就能建系处理，故先尝试证明）不妨设2DA DB DC ===，则2AB AC ==，因为BDCD ⊥，所以BC ==，故12DE CE BE BC ===，AE ==所以2224AE DE AD +==，故AE DE ⊥，所以EA ，EB ，ED 两两垂直，以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A ，D ，B，所以(DA =，AB =，由EF DA = 可知四边形ADEF是平行四边形，所以FA ED == ，设平面DAB 和平面ABF 的法向量分别为111(,,)x y z =m ，222(,,)x y z =n，则111100DA AB ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩m m ，令11x =，则1111y z =⎧⎨=⎩，所以(1,1,1)=m 是平面DAB 的一个法向量，22200AB FA ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ，令21y =，则2201x z =⎧⎨=⎩，所以(0,1,1)=n 是平面ABF 的一个法向量，从而cos ,⋅<>===⋅m n m n m n 故二面角D AB F --=.21．（2023··21·★★★★）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(-.（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0)-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，证明：点P 在定直线上.解：（1）设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由焦点坐标可知c =则由ce a ==可得2a =，4b ==，双曲线方程为221416x y -=.（2）由(1)可得()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN 的方程为4x my =-，且1122m -<<，与221416x y -=联立可得()224132480m y my --+=，且264(43)0m ∆=+>，则1212223248,4141m y y y y m m +==--，直线1MA 的方程为()1122y y x x =++，直线2NA 的方程为()2222yy x x =--，联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：()()()()()2121121211212121222222266y x y my my y y y y x x y x y my my y y +--+++==--=--112221122483216222141414148483664141m mm y y m m m m m y y m m -⋅-⋅++---===-⨯----，由2123x x +=--可得=1x -，即1P x =-，据此可得点P 在定直线=1x -上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.22．（2023·新高考Ⅱ卷·22·★★★★）（1）证明：当01x <<时，2sin x x x x -<<；（2）已知函数2()cos ln(1)f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围.解：（1）构建()()sin ,0,1F x x x x =-∈，则()1cos 0F x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立，则()F x 在()0,1上单调递增，可得()()00F x F >=，所以()sin ,0,1x x x >∈；构建()()()22sin sin ,0,1G x x x x x x x x =--=-+∈，则()()21cos ,0,1G x x x x '=-+∈，构建()()(),0,1g x G x x '=∈，则()2sin 0g x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立，则()g x 在()0,1上单调递增，可得()()00g x g >=，即()0G x '>对()0,1x ∀∈恒成立，则()G x 在()0,1上单调递增，可得()()00G x G >=，所以()2sin ,0,1x x x x >-∈；综上所述：sin x x x x 2-<<.（2）令210x ->，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为()1,1-，若0a =，则()()()2ln 1,1,1f x x x =--∈-，因为ln y u =-在定义域内单调递减，21y x =-在()1,0-上单调递增，在()0,1上单调递减，则()()2ln 1f x x =--在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，故0x =是()f x 的极小值点，不合题意，所以0a ≠.当0a ≠时，令0b a =>因为()()()()()222cos ln 1cos ln 1cos ln 1f x ax x a x x bx x =--=--=--，且()()()()()22cos ln 1cos ln 1f x bx x bx x f x ⎡⎤-=----=--=⎣⎦，所以函数()f x 在定义域内为偶函数，由题意可得：()()22sin ,1,11xf x b bx x x =--∈'--，（i ）当202b <≤时，取1min ,1m b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，()0,x m ∈，则()0,1bx ∈，由（1）可得()()()2222222222sin 111x b x b x x f x b bx b x x x x +-'=-->--=---，且22220,20,10b x b x >-≥->，所以()()2222201x b x b f x x+-'>>-，即当()()0,0,1x m ∈⊆时，()0f x ¢>，则()f x 在()0,m 上单调递增，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0m -上单调递减，所以0x =是()f x 的极小值点，不合题意；（ⅱ）当22b >时，取()10,0,1x b ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，则()0,1bx ∈，由（1）可得()()()2233223222222sin 2111x x xf x b bx b bx b x b x b x b x b x x x'=--<---=-+++----，构建()33223212,0,h x b x b x b x b x b ⎛⎫=-+++-∈ ⎪⎝⎭，则()3223132,0,h x b x b x b x b ⎛⎫'=-++∈ ⎪⎝⎭，且()33100,0h b h b b b ⎛⎫''=>=-> ⎪⎝⎭，则()0h x '>对10,x b ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，可知()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且()21020,20h b h b ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点10,n b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当()0,x n ∈时，则()0h x <，且20,10x x >->，则()()3322322201x f x b x b x b x b x '<-+++-<-，即当()()0,0,1x n ∈⊆时，()0f x '<，则()f x 在()0,n 上单调递减，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0n -上单调递增，所以0x =是()f x 的极大值点，符合题意；综上所述：22b >，即22a >，解得a a <故a 的取值范围为(),-∞+∞.。

新高考二卷数学试卷

新高考二卷数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是：A. \( f(x) = \sqrt{x^2 - 1} \)B. \( f(x) = \frac{1}{x} \)C. \( f(x) = \log_2(x + 1) \)D. \( f(x) = \sqrt[3]{x} \)2. 已知向量 \( \vec{a} = (1, 2) \)，\( \vec{b} = (3, 4) \)，则 \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) 的值为：A. 5B. 7C. 9D. 113. 函数 \( y = x^3 - 3x \) 的图像在下列哪个区间内单调递增：A. (-∞, 0)B. (0, 1)C. (1, +∞)D. (-1, +∞)4. 在△ABC中，已知 \( a = 3 \)，\( b = 4 \)，\( c = 5 \)，则△ABC的面积为：A. 6B. 8C. 10D. 125. 若 \( \sin A + \cos A = \sqrt{2} \)，则 \( \sin 2A \) 的值为：A. 1B. -1C. 0D. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)6. 下列不等式中，恒成立的是：A. \( x^2 - 4 < 0 \)B. \( x^2 + 4 < 0 \)C. \( x^2 - 4 > 0 \)D. \( x^2 + 4 > 0 \)7. 已知函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 在 \( x = 1 \) 时取得极值，则\( a \) 的取值范围是：A. \( a \neq 0 \)B. \( a > 0 \)C. \( a < 0 \)D. \( a = 0 \)8. 在直角坐标系中，点 \( P(2, 3) \) 关于直线 \( y = x \) 的对称点为：A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 3)D. (2, 2)9. 下列复数中，不是纯虚数的是：A. \( i \)B. \( -i \)C. \( 2i \)D. \( 1 + i \)10. 若 \( \log_2(x - 1) + \log_2(x + 1) = 3 \)，则 \( x \) 的值为：A. 4B. 8C. 16D. 32二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。

2023年新高考数学选择填空专项练习题(附答案解析)

2023年新高考数学选择填空专项练习题(附答案解析)

则该展开式中 x3 的系数是( )
A．－184
B．－84
C．－40
D．320
A
a＋x3 [∵ x
x－2 x
6
的展开式中各项系数和为
3，令
x＝1，得(1＋a)(1－2)6
＝3，解得 a＝2.
又
2＋x3 x
x－2 x
6
＝2
x－2 x
6
＋x3
x－2 x
6
，
x
x－2 x
6
的展开式中含
x4 的项的系数为
C16(－2)1＝－12，常数项为
C36(－2)3
＝－160，
2＋x3 ∴x
x－2 x
6
的展开式中
x3
项的系数是
2×(－12)＋1×(－160)＝－184.
故选 A.]
12．(2019·潮州模拟)若 A、B、C、D、E 五位同学站成一排照相，则 A、B
2023 年新高考数学选择填空专项练习题
一、选择题
1．已知集合 A＝{2,3,4}，集合 B＝{m，m＋2}，若 A∩B＝{2}，则 m＝( )
A．0
B．1
C．2
D．4
A [因为 A∩B＝{2}，所以 m＝2 或 m＋2＝2.当 m＝2 时，A∩B＝{2,4}，不
符合题意；当 m＋2＝2 时，m＝0.故选 A.]
M∪∁RN＝R.故选 B.]
5．设 a∈R，i 为虚数单位．若复数 z＝a－2＋(a＋1)i 是纯虚数，则复数a－3i 2－i
在复平面上对应的点的坐标为( )
1，－8 A. 5 5
－7，－4 B. 5 5
第1页共6页
－4，7 C. 5 5
7，－4 D. 5 5

新高考二卷数学3022

新高考二卷数学3022

新高考二卷数学3022一、选择题1.已知集合A={-1，1，2，4}，B={xx-1≤1}，则ANB=A.{-1，2}B.{1，2}C.{1，4}D.{-1，4)2.(2+2i)(1-2i)=A.-2+4iB.-2-4i c.6+2i D.6-2i3.已知向量a=(3，4)，b=(1，0)，c=a+tb，若<a，c>=<b，c>，则实数1=A.-6B.-5C.5D.64.甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有A.12 种B.24 种C.36 种D.48种5.若sin(a+B)+cos(a+)=22cos(a+)sinp，则A.tan(a+B)=-1B.tan(a+B)=1C.tan(a-B)=-1D.tan(a-B)=16.已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为3/3和4/3，其顶点都在同一球面上则该球的表面积为A.100πB.128元C.144πD.192π7.若函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则∑f(k)=A.-3B.-2 c.0 D.18.已知集合，，则（）A． B． C． D．9.若为纯虚数，则（）A． B． C． D．10.甲校有2000名学生，乙校有3000名学生，丙校有1500名学生，为统计三校学生情况,计划采用分层抽样的方法抽取一个样本容量为130人的样本，则甲校抽取的人数为( )A．30人B．40人 C．45人 D． 60人4．的内角的对边分别为，若成等比数列，且，则（）A． B． C． D．二、填空题8.随机变量X服从正态分布N(22)，若P(2<x≤2.5)=0.36，则P(X>2.5)=14.曲线y=lnx经过坐标原点的两条切线方程分别为（），（）9.设点A(一2，3)，B(0，a)，直线AB关于直线y=a的对称直线为l，已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围为（）。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(新高考Ⅱ)(附答案详解)

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(新高考Ⅱ)(附答案详解)

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（新高考Ⅱ）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.(2021·全国·历年真题)复数2−i1−3i在复平面内对应的点所在的象限为()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.(2021·全国·历年真题)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4}，则A⋂(∁U B)=()A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}3.(2021·全国·历年真题)抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为√2，则p=()A. 1B. 2C. 2√2D. 44.(2021·全国·历年真题)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr2(1−cosα)(单位：km2)，则S占地球表面积的百分比约为()A. 26%B. 34%C. 42%D. 50%5.(2021·全国·历年真题)正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为()A. 20+12√3B. 28√2C. 563D. 28√236.(2021·全国·历年真题)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2)，下列结论中不正确的是()A. σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B. σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C. σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D. σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等7.(2021·全国·历年真题)已知a=log52，b=log83，c=1，则下列判断正确的是2()A. c<b<aB. b<a<cC. a<c<bD. a<b<c8.(2021·全国·历年真题)已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则()A. f(−1)=0 B. f(−1)=0 C. f(2)=0 D. f(4)=02二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.(2021·全国·历年真题)下列统计量中，能度量样本x1,x2,⋯,x n的离散程度的是()A. 样本x1,x2,⋯,x n的标准差B. 样本x1,x2,⋯,x n的中位数C. 样本x1,x2,⋯,x n的极差D. 样本x1,x2,⋯,x n的平均数10.(2021·全国·历年真题)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是()A. B.C. D.11.(2021·全国·历年真题)已知直线l:ax+by−r2=0与圆C:x2+y2=r2，点A(a,b)，则下列说法正确的是()A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切12.(2021·全国·历年真题)设正整数n=a0⋅20+a1⋅2+⋯+a k−1⋅2k−1+a k⋅2k，其中a i∈{0,1}，记ω(n)=a0+a1+⋯+a k，则()三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·全国·历年真题)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______．14.(2021·全国·历年真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):_______．①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．15.(2021·全国·历年真题)已知向量a⃗+b⃗ +c⃗=0⃗，|a⃗|=1，|b⃗ |=|c⃗|=2，a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗=_______．16.(2021·全国·历年真题)已知函数f(x)=|e x−1|,x1<0,x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则|AM||BN|取值范围是_______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(2021·全国·历年真题)记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3=S5,a2a4=S4．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)求使S n>a n成立的n的最小值．18.(2021·全国·历年真题)在▵ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a+2．(1)若2sinC=3sinA，求▵ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得▵ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．19.(2021·全国·历年真题)在四棱锥Q−ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2,QD=QA=√5,QC=3．(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求二面角B−QD−A的平面角的余弦值．20.(2021·全国·历年真题)已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，右焦点为F(√2,0)，且离心率为√63．(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=√3．21.(2021·全国·历年真题)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=p i(i=0,1,2,3)．(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p<1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．22.(2021·全国·历年真题)已知函数f(x)=(x−1)e x−ax2+b．(1)讨论f(x)的单调性；①12<a≤e22,b>2a；②0<a<12,b≤2a．答案和解析1.【答案】A【知识点】复数的代数表示及其几何意义【解析】【分析】本题考查了复数的除法以及代数表示及其几何意义，属于基础题．利用复数的除法可化简2−i1−3i，从而可求对应的点的位置．【解答】解：，所以该复数对应的点为(12,12 )，该点在第一象限，故选A．2.【答案】B【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【分析】本题考查了集合交集与补集的混合运算，属于基础题．先根据补集的定义求出∁U B={1,5,6}，再由交集的定义可求A∩(∁U B)．【解答】解：由题设可得∁U B={1,5,6}，故A∩(∁U B)={1,6}．故选B．3.【答案】B【知识点】抛物线的性质及几何意义 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的基础知识和点到直线的距离公式，题目较易． 首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值． 【解答】解：抛物线的焦点坐标为(p2,0)，其到直线x −y +1=0的距离为d =|p 2−0+1|√1+1=√2，解得p =2(p =−6舍去)． 故选B ．4.【答案】C【知识点】球的表面积和体积 【解析】 【分析】本题重在考查学生对数学知识的理解运用能力和直观想象能力，属于中档题． 由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果． 【解答】 解：如图所示，由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：2πr 2(1−cosα)4πr 2=1−cosα2=1−64006400+360002≈0.42=42％．故选C ．5.【答案】D【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积【解析】【分析】本题考查了棱台的结构特征与体积的求法，考查了数形结合思想．由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解．【解答】解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图所示，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高ℎ=√22−(2√2−√2)2=√2，下底面面积S1=16，上底面面积S2=4，所以该棱台的体积V=13ℎ(S1+S2+√S1S2)=13×√2×(16+4+√64)=283√2．故选D．6.【答案】D【知识点】正态分布的概率计算【解析】【分析】本题考查了正态分布的相关知识，属于中档题．由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解．【解答】解：对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ=10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D．7.【答案】C【知识点】对数与对数运算【解析】【分析】本题考查了对数的单调性与大小比较，合理转化是关键．利用对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论．【解答】=log82√2<log83=b，即a<c<b．解：a=log52<log5√5=12故选C．8.【答案】B【知识点】函数的奇偶性【解析】【分析】本题是对函数奇偶性和周期性的综合考查，属于拔高题．推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论．【解答】解：因为函数f(x+2)为偶函数，则f(2+x)=f(2−x)，可得f(x+3)=f(1−x)，因为函数f(2x+1)为奇函数，则f(1−2x)=−f(2x+1)，所以，f(1−x)=−f(x+1)，所以，f(x+3)=−f(x+1)=f(x−1)，即f(x)=f(x+4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0，故f(−1)=−f(1)=0，其它三个选项未知．故选B．9.【答案】AC【知识点】简单随机抽样【解析】【分析】本题考查了离散程度与集中趋势的相关知识，属于基础题．判断所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项．【解答】解：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选AC．10.【答案】BC【知识点】简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征【解析】【分析】本题考查了空间中两直线的位置关系以及垂直的判定，考查了数形结合思想和直观想象能力．根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的正误．【解答】解：设正方体的棱长为2，对于A，如图(1)所示，连接AC，易知MN//AC，且MN、AC、OP在同一平面内，由图可知直线OP与AC相交且不垂直，故MN⊥OP不成立，故A错误．对于B，如图(2)所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，由正方体SBCM−NADT可得SN⊥平面NADT，而OQ⊂平面NADT，故SN⊥OQ，而SN∩NT=N，故OQ⊥平面SNTM，又MN⊂平面SNTM，所以OQ⊥MN，而OQ⋂PQ=Q，所以MN⊥平面OPQ，而PO⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确．对于C，如图(3)，连接BD，则BD//MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确．对于D，如图(4)，取AM′的中点G，连接PG，OG，M′N′，则MN//M′N′，PG=√2，OG=√3，PO=√5，则PO2=PG2+OG2，PG⊥OG，根据三角形的性质可知PO与PG不垂直，故PO,MN不垂直，故D错误．故选BC．11.【答案】ABD【知识点】直线与圆的位置关系及判定【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2,r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解．【解答】解：圆心C(0,0)到直线l的距离d=r 2√a2+b2，若点A(a,b)在圆C上，则a2+b2=r2，所以d=r2√a2+b2=|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a,b)在圆C内，则a2+b2<r2，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a,b)在圆C外，则a2+b2>r2，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a,b)在直线l上，则a2+b2−r2=0即a2+b2=r2，所以d=2√a2+b2=|r|，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD．12.【答案】ACD【知识点】分组转化求和法【解析】【分析】本题重在对新定义进行考查，合理分析所给条件是关键，属于拔高题．利用ω(n)的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误．【解答】解：对于A选项，n=a0⋅20+a1⋅2+⋯+a k−1⋅2k−1+a k⋅2k，ω(n)=a0+a1+⋯+a k，则2n=a0⋅21+a1⋅22+⋯+a k−1⋅2k+a k⋅2k+1，ω(2n)=a0+a1+⋯+a k=ω(n)，A选项正确；对于B选项，取n=2，2n+3=7=1⋅20+1⋅21+1⋅22，∴ω(7)=3，而2=0⋅20+1⋅21，则ω(2)=1，即ω(7)≠ω(2)+1，B选项错误；对于C选项，8n+5=a0⋅23+a1⋅24+⋯+a k⋅2k+3+5=1⋅20+1⋅22+a0⋅23+ a1⋅24+⋯+a k⋅2k+3，所以，ω(8n+5)=2+a0+a1+⋯+a k，4n+3=a0⋅22+a1⋅23+⋯+a k⋅2k+2+3=1⋅20+1⋅21+a0⋅22+a1⋅23+⋯+a k⋅2k+2，所以，ω(4n+3)=2+a0+a1+⋯+a k，因此，ω(8n+5)=ω(4n+3)，C选项正确；对于D选项，2n−1=20+21+⋯+2n−1，故ω(2n−1)=n，D选项正确．故选ACD．13.【答案】y=±√3x【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】【分析】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题．由双曲线离心率公式可得b2a2=3，再由渐近线方程即可得解．【解答】解：因为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，所以e=√c2a2=√a2+b2a2=2，所以b2a2=3，x=±√3x．所以该双曲线的渐近线方程为y=±ba故答案为：y=±√3x．14.【答案】f(x)=x4(答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N∗)均满足)【知识点】函数的奇偶性【解析】【分析】本题是开放性问题，合理分析所给条件找出合适的函数是关键，属于中档题．根据幂函数的性质可得所求的f(x)．【解答】解：取f(x)=x4，则f(x1x2)=(x1x2)4=x14x24=f(x1)f(x2)，满足①，f′(x)=4x3，x>0时有f′(x)>0，满足②，f′(x)=4x3的定义域为R，又f′(−x)=−4x3=−f′(x)，故f′(x)是奇函数，满足③．故答案为：f(x)=x4(答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N∗)均满足)15.【答案】−92【知识点】向量的数量积【解析】【分析】本题考查了向量数量积的运算，合理转化是关键，属于中档题．由已知可得(a⃗+b⃗ +c⃗ )2=0，展开化简后可得结果．【解答】解：由已知可得(a⃗+b⃗ +c⃗ )2=a⃗2+b⃗ 2+c⃗2+2(a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗ )=9+2(a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗ )=0，因此，a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗=−92．故答案为：−92．16.【答案】(0,1)【知识点】导数的几何意义【解析】【分析】本题考查学生利用导数研究函数的能力，考查了直线的方程和斜率以及两点距离问题，属于拔高题．结合导数的几何意义可得x1+x2=0，结合直线斜率及两点间距离公式可得|AM|=√1+e2x1⋅|x1|，|BN|=√1+e2x2⋅|x2|，化简即可得解．【解答】解：由题意，f(x)=|e x−1|={1−e x,x<0e x−1,x≥0，则f′(x)={−e x,x<0e x,x⩾0,所以点A(x1,1−e x1)和点B(x2,e x2−1)，k AM=−e x1,k BN=e x2，所以−e x1⋅e x2=−1,x1+x2=0，所以AM:y−1+e x1=−e x1(x−x1),M(0,e x1x1−e x1+1)，所以|AM|=√x12+(e x1x1)2=√1+e2x1⋅|x1|，同理|BN|=√1+e2x2⋅|x2|，所以|AM||BN|=√1+e2x1⋅|x1|√1+e2x2⋅|x2|=√1+e2x11+e2x2=√1+e2x11+e−2x1=e x1∈(0,1)故答案为：(0,1)．17.【答案】解：(1)由等差数列的性质可得：S5=5a3，则a3=5a3,∴a3=0，设等差数列的公差为d，从而有a2a4=(a3−d)(a3+d)=−d2，S4=a1+a2+a3+a4=(a3−2d)+(a3−d)+a3+(a3+d)=−2d，从而−d2=−2d，由于公差不为零，故：d=2，数列的通项公式为：a n=a3+(n−3)d=2n−6(n∈N∗).(2)由数列的通项公式可得a1=2−6=−4，则S n=n×(−4)+n(n−1)2×2=n2−5n，则不等式S n>a n即n2−5n>2n−6，整理可得(n−1)(n−6)>0，解得n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7．【知识点】等差数列的通项公式【解析】本题考查等差数列基本量的求解，是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用．(1)由题意首先求得a3的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值．18.【答案】解：(1)因为2sinC=3sinA，根据正弦定理可知2c=2(a+2)=3a，则a=4，故b=5，c=6，cosC=a2+b2−c22ab =18>0，所以C为锐角，则sinC=√1−cos2C=3√78，因此，S▵ABC=12absinC=12×4×5×3√78=15√74．(2)显然c>b>a，若▵ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cosC=a 2+b2−c22ab=a2+(a+1)2−(a+2)22a(a+1)=a2−2a−32a(a+1)<0，又a>0，则a2−2a−3<0，即(a+1)(a−3)<0，解得−1<a<3，则0<a<3，由三角形三边关系可得a+a+1>a+2，可得a>1，∵a∈Z，故a=2．【知识点】三角形面积公式、余弦定理、正弦定理【解析】本题考查了正余弦定理与同角三角函数的基本关系，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．(1)由正弦定理可得出2c=3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin C，再利用三角形的面积公式可求得结果；(2)分析可知，角C为钝角，由cosC<0结合三角形三边关系可求得整数a的值．19.【答案】(1)证明：取AD的中点为O，连接QO,CO．因为QA=QD，OA=OD，则QO⊥AD，而AD=2,QA=√5，故A O=DO=1，QO=√5−1=2．在正方形ABCD中，AD=CD=2，DO=1，故CO=√5，因为QC=3，故QC2=QO2+OC2，故▵QOC为直角三角形且QO⊥OC，因为OC⋂AD=O，故QO⊥平面ABCD，因为QO⊂平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD．(2)解：在平面ABCD内，过O作OT//CD，交BC于T，则OT⊥AD，结合(1)中的QO ⊥平面ABCD ，故可建如图所示的空间直角坐标系．则D (0,1,0),Q (0,0,2),B (2,−1,0)，故BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,2),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)． 设平面QBD 的法向量n⃗ =(x,y,z )， 则即{−2x +y +2z =0−2x +2y =0，取x =1，则y =1,z =12， 故n⃗ =(1,1,12)． 而平面QAD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,0,0)，故cos ⟨m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=11×32=23． 又二面角B −QD −A 的平面角为锐角，故其余弦值为23．【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、面面垂直的判定【解析】本题考查了面面垂直的判定和运用空间向量求解二面角的问题，注意数形结合思想的运用．(1)取AD 的中点为O ，连接QO,CO ，可证QO ⊥平面ABCD ，从而得到平面QAD ⊥平面ABCD ．(2)在平面ABCD 内，过O 作OT//CD ，交BC 于T ，则OT ⊥AD ，建如图所示的空间直角坐标系，求出平面QAD 、平面BQD 的法向量后可求二面角的余弦值．20.【答案】(1)解：由题意，椭圆半焦距c =√2且e =c a =√63，所以a =√3，又b 2=a 2−c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)证明：由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN:x=1，不满足M，N，F三点共线；当直线MN的斜率存在时，设M(x1,y1),N(x2,y2)，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线MN:y=k(x−√2)即kx−y−√2k=0，由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得√2k|√k2+1=1，解得k=±1，联立{y=±(x−√2)x23+y2=1可得4x2−6√2x+3=0，Δ>0，所以x1+x2=3√22,x1⋅x2=34，所以|MN|=√1+1⋅√(x1+x2)2−4x1⋅x2=√3，所以必要性成立；充分性：设直线MN:y=kx+b,(kb<0)即kx−y+b=0，由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得√k2+1=1，所以b2=k2+1，联立{y=kx+bx23+y2=1可得(1+3k2)x2+6kbx+3b2−3=0，Δ=12(3k2−b2+1)=24k2>0，所以x1+x2=−6kb1+3k2,x1⋅x2=3b2−31+3k2，所以|MN|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1⋅x2=√1+k2√(−6kb1+3k2)2−4⋅3b2−31+3k2=√1+k2⋅√24k21+3k2=√3，化简得3(k2−1)2=0，所以k=±1，所以{k=1b=−√2或{k=−1b=√2,所以直线MN:y=x−√2或y=−x+√2，所以直线MN过点F(√2,0)，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=√3．【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的性质及几何意义【解析】本题考查了直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重．(1)由离心率公式可得a=√3，进而可得b2，即可得解；(2)必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证|MN|=√3；充分性：设直线MN:y=kx+b,(kb<0)，由直线与圆相切得b2=k2+1，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得√1+k2⋅√24k2=√3，进而可得k=±1，即可得解．1+3k221.【答案】(1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1．(2)设f(x)=p3x3+p2x2+(p1−1)x+p0，因为p3+p2+p1+p0=1，故f(x)=p3x3+p2x2−(p2+p0+p3)x+p0，若E(X)≤1，则p1+2p2+3p3≤1，故p2+2p3≤p0．f′(x)=3p3x2+2p2x−(p2+p0+p3)，因为f′(0)=−(p2+p0+p3)<0，f′(1)=p2+2p3−p0≤0，故f′(x)有两个不同零点x1,x2，且x1<0<1≤x2，且x∈(−∞,x1)∪(x2,+∞)时，f′(x)>0；x∈(x1,x2)时，f′(x)<0；故f(x)在(−∞,x1)，(x2,+∞)上为增函数，在(x1,x2)上为减函数，若x2=1，因为f(x)在(x2,+∞)为增函数且f(1)=0，而当x∈(0,x2)时，因为f(x)在(x1,x2)上为减函数，故f(x)>f(x2)=f(1)=0，故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，若x2>1，因为f(1)=0且在(0,x2)上为减函数，故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，综上，若E(X)≤1，则p=1．若E(X)>1，则p1+2p2+3p3>1，故p2+2p3>p0．此时f′(0)=−(p2+p0+p3)<0，f′(1)=p2+2p3−p0>0，故f′(x)有两个不同零点x3,x4，且x3<0<x4<1，且x∈(−∞,x3)⋃(x4,+∞)时，f′(x)>0；x∈(x3,x4)时，f′(x)<0；故f(x)在(−∞,x3)，(x4,+∞)上为增函数，在(x3,x4)上为减函数，而f(1)=0，故f(x4)<0，又f(0)=p0>0，故f(x)在(0,x4)存在一个零点p，且p<1．所以p为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，此时p<1，故当E(X)>1时，p<1．(3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代后必然临近灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后还有继续繁殖的可能．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、利用导数研究函数的单调性【解析】本题是对离散型随机变量和导数的综合考查，属于拔高题．(1)利用公式计算可得E(X)．(2)利用导数讨论函数的单调性，结合f(1)=0及极值点的范围可得f(x)的最小正零点．(3)利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明．22.【答案】解：(1)由函数的解析式可得：f′(x)=x(e x−2a)，当a≤0时，若x∈(−∞,0)，则f′(x)<0,f(x)单调递减，若x∈(0,+∞)，则f′(x)>0,f(x)单调递增；当0<a<12时，若x∈(−∞,ln(2a))，则f′(x)>0,f(x)单调递增，若x∈(ln(2a),0)，则f′(x)<0,f(x)单调递减，若x∈(0,+∞)，则f′(x)>0,f(x)单调递增；当a=12时，f′(x)≥0,f(x)在R上单调递增；当a>12时，若x∈(−∞,0)，则f′(x)>0,f(x)单调递增，若x∈(0,ln(2a))，则f′(x)<0,f(x)单调递减，若x∈(ln(2a),+∞)，则f′(x)>0,f(x)单调递增；(2)若选择条件①：由于12<a≤e22，故1<2a≤e2，则b>2a>1,f(0)=b−1>0，又f(−√ba )=(−√ba−1)e−√ba<0，由(1)可知函数在区间(−∞,0)上单调递增，故函数在区间(−∞,0)上有一个零点．f(ln(2a))=2a[ln(2a)−1]−a[ln(2a)]2+b>2a[ln(2a)−1]−a[ln(2a)]2+2a=2aln(2a)−a[ln(2a)]2=aln(2a)[2−ln(2a)]，由于1<2a≤e2，故aln(2a)[2−ln(2a)]≥0，结合函数的单调性可知函数在区间(0,+∞)上没有零点．综上可得，f(x)有一个零点．若选择条件②：，故0<2a<1，则f(0)=b−1≤2a−1<0，由于0<a<12当b≥0时，e2>4,4a<2，f(2)=e2−4a+b>0，而函数在区间(0,+∞)上单调递增，故函数在区间(0,+∞)上有一个零点．当b<0时，构造函数H(x)=e x−x−1，则H′(x)=e x−1，当x∈(−∞,0)时，H′(x)<0,H(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，H′(x)>0,H(x)单调递增，注意到H(0)=0，故H(x)≥0恒成立，从而有：e x≥x+1，此时：f(x)=(x−1)e x−ax2+b⩾(x−1)(x+1)−ax2+b=(1−a)x2+(b−1)，时，(1−a)x2+(b−1)>0，当x>√1−b1−a+1，则f(x0)>0，取x0=√1−b1−a+1)>0，即：f(0)<0,f(√1−b1−a而函数在区间(0,+∞)上单调递增，故函数在区间(0,+∞)上有一个零点．f(ln(2a))=2a[ln(2a)−1]−a[ln(2a)]2+b≤2a[ln(2a)−1]−a[ln(2a)]2+2a=2aln(2a)−a[ln(2a)]2=aln(2a)[2−ln(2a)]，，0<2a<1，故aln(2a)[2−ln(2a)]<0，由于0<a<12结合函数的单调性可知函数在区间(−∞,0)上没有零点．综上可得，f(x)有一个零点．【知识点】导数中的零点问题、利用导数研究函数的单调性【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及零点问题，属于拔高题．(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论．。

2023年新高考全国Ⅱ卷数学试题(附答案解析)

2023年新高考全国Ⅱ卷数学试题(附答案解析)

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(新高考全国Ⅱ卷)数学本试卷共4页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写。

在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共8小题, 每小题5分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内, 1+3i3-i对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】1+3i3-i=6+8i,故对应的点在第一象限，选A。

2.设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2}, 若A⊆B, 则a=()A.2B.1C.23D.-1【答案】B【解析】若a-2=0,则a=2,此时A=0,-2},B=1,0,2},不满足题意;若2a-2=0,则a =1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足题意。

选B。

3.某学校为了解学生参加体育运动的情况, 用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查, 拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生, 已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生, 则不同的抽样结果共有()A.C45400⋅C15200种 B.C20400⋅C40200种 C.C30400⋅C30200种 D.C40400⋅C20200种【答案】D【解析】根据按比例分配的分层抽样可知初中部抽40人，高中部抽20人，选D。

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高中数学新高考填空题（二）共五套（附答案）
填空题训练（1）
1．已知4
43322104)1()1()1()1()12(-+-+-+-+=+x a x a x a x a a x ，则420a a a ++的值为________. 2．已知F 为椭圆:C 13
42
2=+y x 的左焦点，定点)3,3(--A ，点P 为椭圆C 上的一个动点，则PF PA +的最大值为_______.
3．已知正三棱锥的底边边长为32，侧棱长为7，则该正三棱锥的外接球半径和内切球半径的比值为_______.
4．定义函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤≤--=2,22121,23126)(x x f x x x f ，则函数9)()(-⋅=x f x x g 在区间[])(2,1*∈N n n 内的所有的零点之和为_______.
填空题训练（2）
1.中国古典数学有完整的理论体系，其代表作有《算数书》、《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》等，有3名中学生计划去图书馆阅读这四种古典数学著作（这四种著作每种各一本），要求每人至少阅读一种古典数学著作，每种古典数学著作有且只有一人阅读，则不同的阅读方案的总数有_________种.（用数字作答）
2.已知的最小值为_________.
3.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球O 的球面上，底面BCD ，，利用张衡的结论可得球O 的表面积为______.
4.已知函数，若关于的不等式的解集中恰好有一个整数，则实数m 的取值范围是__________.
填空题训练（3）
1.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(-1 , 2 ) ,则cos 2α = .
2.
若2(n x 的展开式中第5项为常数项，则该常数项为 （用数字表示）.
()20,02x y xy x y x y +=>>+，则A BCD -AB
⊥2BC CD AB CD BC ⊥===，且()()231,x f x x x g x e =++=x ()()f x mg x <
3.已知奇函数 y =f ( x ) 满足条件f (x -1)=f (x + 1) , 且当 x ∈ ( 0 , 1 ) 时，f (x ) =2x +34，则f (12
log 5)=
4.矩形 ABCD 中，AB =3BC =1, 现将△ACD 沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D -ABC , 则该四面体外接球的表面积为
；若翻折过程中BD
的长度在范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是
．(第一空2 分，第二空3分) 填空题训练（4）
1.若直线与直线平行，则实数 a 的值为____________.
2.在三棱柱中，底面ABC ，是正三角形，若
，则该三棱柱外接球的表面积为____________.
3.若等比数列满足，则其公比为____________.
4.对于△，有如下判断，其中正确的是____________.
（1）若，则△必为等腰三角形
（2） 若，则
（3） 若，则符合条件的△有两个
（4） 若，则△必为钝角三角形
填空题训练（5）
1．已知球O 的体积为323π
，则球O 的表面积为___________．
2．已知向量,a b 不共线，若a b λ+与2a b +平行，则λ的值为___________．
3．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________．
4．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且101a <<，20201a =，则q 的取值范围为_________；
能使不等式12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭成立的最大正整数m =_________．（注：前一空2分，后一空3分）
参考答案：
填空题训练（1）
1、313
2、9
3、27
4、()2123-n 填空题训练（2）
1、36
2、9 3
、、(2-e ,e ⎤-⎦ 填空题训练（3）
1、3-5
2、35
3、-2
4、4π，
填空题训练（4） 1. -3 2. 3.9 4.(2)(4)
填空题训练（5）
1．16π 2．1
2 3．228 4．1q > 4039。

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