林寿数学史第十讲：19世纪的几何与分析II课件

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林寿数学史第九讲：19世纪的几何与分析I

默比乌斯(德, 1790-1868)
普吕克(德, 1801-1868)
射影几何
l 1847年施陶特(德, 1798-1867)的《位置几何学》 l 凯莱(英, 1821-1895)在射影几何基础上建立欧氏几何和非欧几何
施陶特(德, 1798-1867)
凯莱(英, 1821-1895)
统一的几何学
导数 n 1854年黎曼(德, 1826-1866)定义了有界函数的积分 n 19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出ε-δ语言 n 1875年达布(法, 1842-1917)提出了大和、小和
实数理确界原理” v 1817年波尔查诺和19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德,
希尔伯特(德, 1862-1943)
n 选择和组织公理系统的原则
相容性
独立性
完备性
关联公理
顺序公理合同公理
平行公理
连续公理
分析的严格化
l 分析的算术化 l 实数理论 l 集合论
分析的算术化
u 分析：关于函数的无穷小分析
u 问题：第二次数学危机
u 希核尔心伯：特函（数德、，无1穷86小2－1942年）：“魏尔斯特拉
函数l初等函数狄里克雷函数处处不可微的连续函数l解析函数l1837年狄里克雷德18051859v1817年波尔查诺捷17811848定义了导数连续v1821年柯西法17891857分析教程定义了极限连续导数算术化n1854年黎曼德18261866定义了有界函数的积分n19世纪60年代魏尔斯特拉斯德18151897提出语言n1875年达布法18421917提出了大和小和v1817年波尔查诺捷17811848提出确界原理v1817年波尔查诺和19世纪60年代魏尔斯特拉斯德18151897提出聚点定理v1821年柯西法17891857提出收敛准则v19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出单调有界原理v1872年海涅德18211881和1895年波莱尔法18711956提出有限覆盖定理实数理论n1872年戴德金德18311916提出分割理论n1892年巴赫曼德18371920提出区间套原理波尔查诺捷克斯洛伐克1981实数理论?1834年进入波恩大学学习法律与商业放弃法学博士候选人?18391940年成为古德曼德17981852的学生?18411856年在中学任教开展椭圆函数论与阿贝尔函数论的研究1854年哥尼斯堡大学名誉博士?1856年起在柏林工业大学柏林大学任教1873年出任柏林大学校长?分析算术化的完成者解析函数论的奠基人卓越的大学数学教师18641885培养了41位博士学生中有近100位成为大学正教授?龙格德18561927

林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析

林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第一篇：林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第十讲：19世纪的分析1、分析的严格化经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。

1.1 分析的算术化所谓分析是指关于函数的无穷小分析，主要贡献归功于柯西（法，1789－1857年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897），前者著有《分析教程》（1821）、《无穷小分析教程概论》（1823）和《微分学教程》（1829），后者创造了ε－δ语言，是“现代分析之父”。

1837年狄里克雷（德，1805－1859年）的函数定义。

魏尔斯特拉斯简介。

1.2 实数理论19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”，康托、戴德金各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论。

实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。

1.3 集合论康托（德，1845－1918年），1874年发表了“关于一切代数实数的一个性质”，引入了无穷的概念。

康托简介。

2、分析的拓展 2.1 复变函数论在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索。

复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西（法，1789－1857年）、黎曼（德，1826－1866年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897年）。

柯西建立了复变函数的微分和积分理论。

1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理。

柯西简介。

背景：波旁王朝、捷克简史、哈布斯堡王朝、拿破仑三世、欧洲1848年革命。

黎曼的几何观点，引入“黎曼面”的概念。

1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，建立了柯西－黎曼条件、黎曼映射定理。

魏尔斯特拉斯于19世纪40年代，以追求绝对的严格性为特征，建立了幂级数基础上的解析函数理论，解析开拓。

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的顺序倒置，再与原数相加，将得数再按上述步骤进行，经过有
限的步骤后必能得到一个回文数：
如： 95+59=154
又如： 198+891=1089
154+451=605
1089+9801=10890
605+506=1111
10890+09801=20691
1111就是一个回文数。
20691+19602=40293
50+51，和都是101。这样，100个数正好是50对，因
此，101× 50就得出5050的总和了。从此，老师再也
不敢轻视穷孩子们了。他还从城里买来书，送给高斯，
热心帮助他学数学，高斯进步得更快了。小高斯所用
的方法，正是许多数学家经过长期努力才找到的等差
数列求和的办法。
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这个故事人人皆知，它说明努力发现和巧妙利用规律是多么重要。现在让我们再看看自然数还有哪些有趣的性质。
一=乌拉勃，二=阿柯扎他们把三表为：阿柯扎乌拉勃那么：阿柯扎阿柯扎＝？阿柯扎阿柯扎乌拉勃＝? 阿柯扎阿柯扎阿柯扎=?
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“0”不是印度人或阿拉伯人的发明
• “0”太重要了，一无所有为零 • 零是自然数 • 据考证“0”首次出现在柬埔寨＆苏门答
腊的碑文上
• 进位制是人类共同财产
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196一样很难得到回文数。 .精品课件.
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最后再让我们看两组有趣的数：第一组为：1 , 6 , 7 , 23 , 24 , 30 , 38 , 47 , 54 , 55 第二组为：2 , 3 , 10 , 19 , 27 , 33 , 34 , 50 , 51 , 56

数学史话：数学史话(8)十九世纪的数学

8、十九世纪的数学十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代。

复变函数论的创立和数学分析的严格化，非欧几何的问世和射影几何的完善，群论和非交换代数的诞生，是这一世纪典型的数学成就。

它们所蕴含的新思想，深刻地影响着二十世纪的数学。

十九世纪数学发展的概貌十八世纪数学发展的主流是微积分学的扩展，它与力学和天文学的问题紧密相联。

微积分的运用使这些自然科学领域迅猛发展，至十八世纪末，它们达到了一种相对完美的程度。

然而，将数学和这些自然科学基本上视为一体的观念，使当时一些著名的数学家，如拉格朗日、欧拉、达朗贝尔等对数学的前途产生了悲观情绪，他们觉得数学泉源已近枯竭。

而实际上，此时的数学正处于兴旺发达的前夜：18世纪的数学家忙于获取微积分的成果与应用，较少顾及其概念与方法的严密性，到十八世纪末，为微积分奠基的工作已紧迫地摆在数学家面前；另一方面，处于数学中心课题之外的数学分支已积累了一批重要问题，如复数的意义、欧式几何中平行公设的地位，高次代数方程根式解的可能性等，它们大都是从数学内部提出的课题；再者，自十八世纪后期开始，自然科学出现众多新的研究领域，如热力学、流体力学、电学、磁学、测地学等等，从数学外部给予数学以新的推动力。

上述因素促成了十九世纪数学充满活力的创新与发展。

十九世纪欧洲的社会环境也为数学发展提供了适宜的舞台，法国资产阶级大革命所造成的民主精神和重视数学教育的风尚，鼓励大批有才干的青年步入数学教育和研究领地。

法国在十九世纪一直是最活跃的数学中心之一，涌现出一批优秀人才，如傅里叶、泊松、彭赛列、柯西、刘维尔、伽罗华、埃尔米特、若尔当、达布、庞加莱、阿达马。

他们在几乎所有的数学分支中都作出了卓越贡献。

法国革命的影响波及欧洲各国，使整个学术界思想十分活跃，突破了一切禁区。

英国新一代数学家克服近一个世纪以来以牛顿为偶像的固步自封局面，成立了向欧洲大陆数学学习的“分析学会”，使英国进入世界数学发展的潮流。

林寿数学史教案-第九讲：19世纪的几何

第九讲：19世纪的几何1、几何学的变革几何学的基础：现实空间与思维空间。

1.1 微分几何平面曲线理论17世纪基本完成。

1696年洛比塔（法，1661－1704年）的《无穷小分析》完成并传播了平面曲线理论。

1760年欧拉（瑞，1707－1783年）《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面理论，1795年蒙日（法，1746－1818年）《关于分析的几何应用的活页论文》借助微分方程对曲面族深入研究。

蒙日简介。

1.2 非欧氏几何从公元前3世纪到18世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确，但“平行公设”始终让他们耿耿于怀。

萨凯里（意，1667－1733年）1733年《欧几里得无懈可击》提出“萨凯里四边形”。

1763年克吕格尔（德，1739－1812年）对平行线公设是否能由其它公理加以证明表示怀疑。

1766年兰伯特（法，1728－1777年）《平行线理论》指出通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学道路。

1813年高斯（德，1777－1855年）：反欧几里得几何，非欧几里得几何，担心世俗的攻击而未发表。

1826年罗巴切夫斯基（俄，1792－1856年）《简要论述平行线定理的一个严格证明》，历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。

1832年J•鲍约（匈，1802－1860年）《绝对空间的科学》，所谓“绝对几何”就是非欧几何。

黎曼（德，1826－1866年）1854年《关于几何基础的假设》建立了黎曼几何。

在黎曼几何中，过已知直线外一点不能作任何平行于该给定直线的直线。

黎曼简介。

1868年贝尔特拉米（意，1835－1899年）《论非欧几何学的解释》，在“伪球面”模型上实现（片段上）罗巴切夫斯基几何。

1871年克莱因（德，1849－1925年）“圆”模型实现罗巴切夫斯基几何，1882年庞加莱（法，1854－1912年）也对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧氏模型，克莱因－庞加莱圆。

1.3 射影几何将射影几何变革为具有独立目标与方法的学科的数学家是庞斯列。

《数学史概论》课件

80%
理解数学的本质
通过了解数学的发展历程，更好地理解数学的本质和思想。
100%
启发创新思维
学习数学史有助于启发创新思维，为解决现实问题提供新的思路和方法。
80%
培养综合素质
了解数学与其他学科的交叉融合，提高综合素质和跨学科应用能力。
课程大纲概览
数学史的起源与早期发展
介绍数学的起源、古代文明中的数学成就以及中世纪数学的发展。
数学教育的改革
随着时代的发展，数学教育的理念和方法也在不断改革和完善，以适应社会发展的需要，提高数学教育的质量和水平。
数学研究的国际化
随着全球化的发展，数学研究的国际化趋势也越来越明显，各国数学家之间的交流和合作日益频繁，推动了数学的发展和进步。
05
数学的应用
数学在科学中的应用
数学在物理学中的应用
数学在环境科学中的应用
环境监测、气候变化研究、生态学等领域都离不开数学的支撑。数学模型和计算方法对于环境科学研究至关重要。
06
结论
回顾课程重点
数学史的起源与早期发展
01
从古埃及、古希腊、古印度等文明的发展，探讨数学史的起源
和早期发展。
中世纪欧洲的数学成就
02
介绍阿拉伯数字的传入、文艺复兴时期的数学家以及几何学的
远古人类通过使用手指、石头或其他物品来计数，逐渐发展出十进制、二进制等计数法。同时，他们还学会了使用简单的工具进行长度、重量等度量。
图形与几何
在建筑、农业和天文等领域的需求推动下，人们开始研究图形的性质和几何原理，如圆、三角形等的基本性质。
算术与代数
随着贸易和天文观测等活动的需要，算术和代数逐渐发展起来，人们开始研究数的性质、运算规则以及方程的解法。

19世纪数学史

(2).1796年宣布完成正十七边形作图法 (2).1796年宣布完成正十七边形作图法 • 一个正多边形其边数为奇数时,可用尺规作一个正多边形,其边数为奇数时可用尺规作其边数为奇数时图的充分条件是p为形如图的充分条件是为形如
2 +1
2v
的素数或此形式素数之积(v为任意非负整数的素数或此形式素数之积为任意非负整数). 为任意非负整数 (3).关于素数个数的结论 (3).关于素数个数的结论
B. 在数学上的主要成就 ①.泊松分布; 泊松分布; ②.偏微分方程; 偏微分方程; ③.欧拉－麦克劳林求和公式余项的第一人; 欧拉－麦克劳林求和公式余项的第一人; ④.第一个沿复平面上的路径实行积分的人; 第一个沿复平面上的路径实行积分的人 ⑤.在变分法中，引用了一般坐标系，为变分在变分法中，引用了一般坐标系，法提供了重要的新观念; 法提供了重要的新观念; ⑥.证明了三元二次式的特征值为实数; 证明了三元二次式的特征值为实数; ⑦.对发散级数的奇怪态度; 对发散级数的奇怪态度;
几何基础问题，几何基础问题，即平行分设在欧几里德几何学中的地位（1792年学中的地位（1792年）；由归纳发现数论中关于二次剩余的基本定二次互反定律（理——二次互反定律（1795年）；二次互反定律 1795年研究素数分布，猜想出素数定理(1792年研究素数分布，猜想出素数定理(1792年). (1792 • 哥廷根Göttingne大学; 大学; 哥廷根大学 • 作为数学家还是作为语言学家？作为数学家还是作为语言学家？ • 学术生涯转折点:1796,正十七边形作图法; 学术生涯转折点:1796,正十七边形作图法; :1796,正十七边形作图法 • 著名的“数学日记”:1796年-1814年著名的“数学日记”:1796年 1814年 EYPHKA! num=△+△+△ △ △ △

数学史简介ppt课件

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第一章：数学的起源与早期发展
• 史前数学主要是对数的认识 • 这种认识跨越几万年，直到18世纪
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早在原
始人时代，人们在生产活动中慢慢的就注意到 1只羊和许多羊，一头狼和许多狼的差异。
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随着时间的推移慢慢的产生了数的概念......
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让我们再来看看自然数中的奇数和偶数。
奇数数列是1,3,5,7,… n ,… （n为项数）偶数数列是 2,4,6,8,… 2n ,…（n为项数）人们研究奇数，发现如下的性质：
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自然数中偶数数列则有如下的性质： 2=1×2 2+4=6=2×3 2+4+6=12=3×4 2+4+6+8=20=4×5
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奇妙的自然数
1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,……这些简简单单的自然数，是我们从呀呀学语开始就认识的。它们是那样自自然然，因而显得平淡无奇。但我们如果认真研究一下这些数字，就会发现其中妙趣横生。聪明的数学王子高斯在小学的时候就会巧算自然数列之和，这正是由于他对自然数有深刻的了解。高斯小时候在德国的一所农村小学读书。数学老师是位从城里来的先生。他瞧不起穷人的孩子，从不认真教他们，甚至还打骂学生。有一天，他情绪很坏，一上课就命令学生做加法，从1一直加到100最，新版谁整理算ppt 不到就不准回家。35
奇妙数学史1ppt课件老师眼中的数学爸妈眼中的数学2ppt课件3ppt课件4ppt课件5ppt课件?其实你了解到的数学仅限于数学Байду номын сангаас识?数学这门学科涵盖的内容是非常丰富的?下面一一道来6ppt课件数学史的分期一数学的起源与早期发展公元前66世纪二初等数学时期公元前66世纪16世纪三近代数学时期17世纪18世纪四现代数学时期1820年现在7ppt课件第一章

整理数学史教案第十讲19世纪的分析

现大量的可遗传变异，从而
使突变基因频率扩增。由于
这些变异的产生是不定向
的，无法定向改变基因频
率。
培养
学生
合作
学生分组讨论并得出结论：能力
讲述：1．从宏观（性状）和探
上来看进化过程为： 19 世究知
纪中期桦尺蠖的浅色性状识的
与环境色彩相似，属于保护能力
因（ S）控制的性状能适应
环境而大量生存并繁殖后
代，浅色基因（ s）控制的
性状不能适应环境而大量
被淘汰，使后代数量大量减
少。浅色基因（ s）的频率
下降为 5％，黑色基因（S）
的频率上升为 95％。结果
是淘汰了不利变异的基因培养
回忆回答：基因突变的特点有：旧知
（1）普遍存在的；识引（2）随机发生的；出新（ 3）突变频率是很低问题
第2页共9页
文件编号： 00-28-71-E4-00
提问：为什么还能够改变种群中的的；
基因频率呢？
（4）多数对生物体是
有害的；
（5）不定向的。
培养
讲述：例如，果蝇约有 104 万对基
岛与岛之间的距离。再出示
不同岛上的植被情况（突出
果实的大小），让学生了解
各岛屿的生存条件。最后出
示有不同特征的地雀，特别
讲述：经过长期地理隔离，不同突出地雀喙形大小的特征，
种群在形态特征。生活习性上有了显然后让学生根据地雀的特

林寿数学史第十讲：19世纪的几何与分析II

值保形映射为单位圆
阿尔福斯（芬－美，1907－1996年）：这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路。
.
复变函数论
❖ 魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897) ❖ 19世纪40年代建立了幂级数基础上的解析函数理论 ❖ 解析开拓 ❖ 占据主导地位，三者统一
克莱因（德，1849－1925年）：“黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有同代数学家。……魏尔斯特拉斯主要是一位逻辑学者，他缓慢地、系统地逐步前进。在他工作的分支中，他力图达到确定的形式。”
.
解析数论
1737年欧拉恒等式: 解析数论
1
ns
n1
p
(1-11/sp) ,s1
1837年狄里克雷(德, 1805-1859)解决素数问题
1753年丹尼尔•伯努利(瑞, 1700-1782) 导出了具有正弦周期模式的解
通 u解 (x t(), x t )(-x t)
特解 u(t , n x1a)nsin nπ l c πonπ lsπ
.
达朗贝尔(法国, 1959)
2u c2 2u
t2
x2
偏微分方程
位势方程(拉普拉斯方程)：1752年欧拉 (瑞, 1707-1783)提出，拉普拉斯(法, 1749-1827) 1785年用球调和函数求解
中若a与有b互无素 ,穷则多算 . 个术{素 a序 n数列 b} 狄里克雷定理
1859年黎曼(德, 1826-1866) 《论不超过一个给定值的素数个数》: π(x)与ζ(s)
1896年阿达玛(法, 1865-1963) 和瓦莱•普桑(比利时, 1866-1962) 证明了素数定理π(x)~x/lnx

数学史演讲课件第一讲

古代印度的数学
婆罗门教起源于公元前20世纪的吠陀教，形成于前7世纪，鼎盛于前6－4世纪。 4世纪后，婆罗门教开始衰弱。 8、9世纪，婆罗门教逐渐发展成为印度教。印度教与婆罗门教没有本质区别，都信奉梵天、毗湿奴、湿婆三大神，主张善恶有报、人生轮回，只有达到“梵我同一”方可获得解脱，修成正果。
数学史演讲
主讲人：林寿教授宁德师范高等专科学校数学系 E-mail：linshou@ 主页：/ls.asp、四川大学博士生导师，德国《数学文摘》和美国《数学评论》评论员。 1978-1980年宁德师专学习，1984-1987年苏州大学硕士研究生， 1998-2000年浙江大学攻读博士学位。拓扑学方向的科研项目先后20次获得国家自然科学基金、国家优秀专著出版基金等的资助，研究课题涉及拓扑空间论、集合论拓扑、函数空间拓扑等，在国内外重要数学刊物上发表拓扑学论文 90多篇，科学出版社出版著作3部、教材2部，修订著作1部。 1992年获国务院政府特殊津贴，1995年被授予福建省优秀专家， 1997年获中国青年科技奖、曾宪梓高等师范院校教师奖一等奖， 2006年获福建省科学技术奖二等奖，2009年获福建省教学名师。
直到公元前332年亚历山大大帝征服埃及为止。
埃及人创造了连续3000多年的辉煌历史，发明了铜器、创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识，建造了巍峨宏伟的神庙和金字塔。
古代埃及的数学
吉萨金字塔(公元前2600年)
（刚果，1978）
古代埃及的数学
莱茵德纸草书
莫斯科纸草书
古代埃及的数学
埃及纸草书
亚述帝国：前8世纪－前612年，建都尼尼微（今伊拉
克的摩苏尔市）。
新巴比伦王国：前612－前538年。尼布甲尼撒二世

19世纪的几何.

《数学史》作业选第九讲19世纪的几何1、从非欧几何学的建立谈谈您对几何真实性的认识。

回答一：从古希腊时代开始，数学家们就对欧几里得第五公设，也称平行公设，耿耿于怀，试图寻求一个比较容易接受、更加自然的等价公设来代替它，或者把它当作一条定理由其他公设、公理推导出来，但都失败了，直到18世纪，数学家们尝试用反证法讨论平行公设，即从第五公设不成立的情况入手，导出与已知定理矛盾的结果，则第五公设被证。

恰恰是这种思想开辟了一条通往非欧几何的道路，创立了不同于欧几里得几何学的几何体系——非欧几何。

非欧几何的创立突破了具有两千年根基的欧氏几何传统的束缚，给欧氏几何沉重打击，许多数学家对几何的真实性提出了疑问，难道非欧几何真的否定了欧氏几何？非欧几何与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。

欧氏几何的概念清晰，定义明确，许多公理、公设直观可靠，简洁、明了，易于想象，普遍成立。

许多在现实中都能找到原形，易于人们接受。

唯独第五公设：过直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行，显得比较特殊，而非欧几何则用与欧几里得第五公设相反的断言：通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线平行于已知直线。

由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理，形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论。

非欧几何从发现到获得接受，经历了曲折的道路。

由于非欧几何与日常人们生活所接触的几何存在冲突，很难为同时代人们所理解，不知道非欧几何有何现实意义，对几何真实性提出了质疑。

直到19世纪70年代以后，贝尔特拉米、克莱因等数学家先后在欧氏空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义，才使非欧几何真正获得了广泛的理解，消除了几何真实性的质疑，真正打破了近乎科学“圣经”欧几里得几何无懈可击论。

德国数学家黎曼发展了罗巴切夫斯基等人的思想，建立了一种更为广泛的几何——黎曼几何，罗巴切夫斯基几何以及欧氏几何都只不过是这种几何的特例，根据约定可以将非欧几何有关内容翻译成欧氏几何，反之，也可以根据约定将欧氏几何翻译成非欧几何的有关内容，即它们之间是相通的。

林寿数学史教案-第十三讲：20世纪数学概观III（大全5篇）

林寿数学史教案-第十三讲：20世纪数学概观III（大全5篇）第一篇：林寿数学史教案-第十三讲：20世纪数学概观III第十三讲：20世纪数学概观 III1、牛顿以来250年间的英德法数学家1642－1891年间出生于英德法的主要数学家。

2、世界数学中心的转移世界科学活动中心曾相继停留在几个不同的国家，转移的格局大体是：意大利→英国→法国→德国→美国。

从中心区停留的时间跨度看：意大利1540－1610年，英国1660－1730年，法国1770－1830年，德国1830－1930年，美国1920年起。

科学活动中心的转移，实际上就是科学人才中心的转移。

3、20世纪的一些数学团体 3.1 哥廷根学派高斯（1777－1855年）1807－1855年任哥廷根大学数学教授，后狄里克雷（1805－1859年）1855－1859年、黎曼（1826－1866年）1846－1866年在哥廷根工作，1886年克莱因（1849－1925年）到哥廷根，开创了40年哥廷根学派的伟大基业。

20世纪初世界数学中心：哥廷根数学研究所。

在哥廷根工作的一些数学家、在哥廷根学习或访问过的数学家。

3.2 波兰数学学派1917年波兰数学会在克拉科夫成立，1918年亚尼谢夫斯基（1888－1920年）发表《波兰数学的需求》，形成了华沙学派、利沃夫学派。

华沙学派：研究点集拓扑、集论、数学基础和数理逻辑。

1920年《数学基础》创刊标志华沙学派的形成。

带头人：谢尔宾斯基（1882－1969年），马祖凯维奇（1888－1945年）。

利沃夫学派：研究泛函分析。

1929年创刊《数学研究》。

带头人：巴拿赫（1892－1945年），施坦豪斯（1887－1972年）。

第二次世界大战使波兰失去了一代人。

3.3 苏联数学学派19世纪下半叶，出现了切比雪夫（1821－1894年）为首的彼比堡学派。

叶戈罗夫（1868－1931年）造就了20世纪繁荣的莫斯科数学学派。

优势学科：函数论、拓扑学、解析数论、概率与随机过程、泛函分析、微分方程、线性规划。