收敛数列的性质

§ 2.2 收敛数列的性质

教学内容：第二章数列极限一一§ 2.2 收敛数列的性质

教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法•

教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；

（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收

敛数列的极限.

教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用•

教学难点：数列极限的计算.

教学方法：讲练结合•

教学过程：

引言

上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lima, a的方法，这是极限较基本n

的内容，要求掌握•为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题•还需要对数列的性质作进一步讨论.

一、收敛数列的性质

性质1 （极限唯一性）若数列｛an｝收敛，则它的极限唯一•

证法一假设3与b都是数列｛a n｝的极限，则由极限定义，对0 ，N I,N2¥,当

N I

时，有an a

取N ma* N i, N2），则当n N时有

| a b| | (a n b) (a. a) | | a. a| | a.

b| 2

由的任意性，上式仅当a b时才成立•

证法二（反证）假设｛a n｝极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为a，b

ba lim a n a lim a n b

b 0

n 11n 11且a b故不妨设a取

2

a n a a b

由定义,

N1¥，当n N1时有a n a

2 .

b a b

又N2¥，当n N2时有a n b a n2，

a b

a ______ a

因此，当n ma）（N I，N2）

时有n 2 n矛盾，因此极限值必唯

性质2（有界性）如果数列｛an｝收敛，则｛an｝必为有界数列.即M0，使对n有|an| M

证明设回办a取1，N 0使得当n N时有an a 1

即|a n | |a| |a n a| 1 I a n | | a | 1 . 令M max（1 | a |,| & |,|a2 |,」a” |）

则有对n l a n l M即数列｛a n｝有界.

注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如｛（ Di.

②在证明时必须分清何时用取定，何时用任给.上面定理3.2证明中必须用取定

，

不能用任给，否则N随在变，找到的M也随在变，界M的意义就不明确了•

「十，亠…、lim a n a lim a n b

性质3 （保序性）设n，n，

（1）若a b，则存在N使得当n N时有an bn;

（2）若存在N，当n N时有an bn，则a b （不等式性质）.

证明（1）取

N1时1弘a|

0 N

2 ，则存在N1，当n

a n

从而

又存在N 2，当 n N 2时1bn b|

当 n max( N-N ?)时 bn

a b a n 2

（2）（反证）如a b

，则由⑴知必

bn

这与已知矛盾.

I ・

推论（保号性）若

nim an

N ，当n N 时an

b

.特别地，若n

lim a n

N ，当n N 时an 与a 同号.

思考 如把上述定理中的an

bn

换成an

b n

能否把结论改成

lim n

a n

lim n

b n ？

例设 an 0（门 1,2，

）， 若 n iman a

，则

lim . a n .. a

n

证明 由保序性定理可得 a 0.若a 0，则

N i 时有an

即 n im an 0 a 若a 0，则 0， N 2

N

2

时有|a n

L, a n a |

| a n a|

| a n a | a

数列较为复杂，如何求极限? 性质4 （四则运算法则） 若

｛an ｝

、

｛bn ｝

都收敛, 则{a n

{a n

b

n

｝、｛a n b n ｝也都收

敛,

n

im(a

n

b n )

lim a n lim b n

n

n

lim n

a n

b n

lim n

a n lim

b n

n

lim ca n clim a n

特别地，n

n

，

C 为常数如再有

lim n

b n

a n

则E 也收敛，且

..a n lim n b

n

lim a n

n

lim b n

n

证明由于an bn an （

a n a n 1)

b n

b n

丄

bn

，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可