运筹学基础灵敏度分析例题讲解
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运筹学灵敏度分析
只需由 j 0解得c j的范围。
(2) c j 是基变量x j的价格系数 这时要影响所有的检验 数
i ci (c1 ci ci cm ) B Pi , 应由所有的 i 0解得公共的c j。
1
p11-2
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3 1
运筹学
2
84 20 24
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0
0
- 0.32 0.4 - 0.12
- 1.36
1.16 - 0.2 0.16
- 0.52
z 428
（1）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。 0.32 由 4 0 0 7 c1 12 0.4 2.8 0.4c1 1.44 0 0.12 得 c 3.4， 1.16 由 5 0 0 7 c1 12 - 0.2 1.4 0.2c1 1.92 0 0.16 得 c 2.6，
2
运筹学
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3
1
2
84 20 24
0 1
0
0 0 1
1 0
0
- 3.12 1.16 0.4 - 0.2
- 0.12 0.16
z 428
0
0
0
- 1.36
- 0.52
（3）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是 否值得接受？
§3.4 灵敏度分析
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
运筹学第11讲灵敏度分析1
12.5 x1 7 / 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2
12 x2 3/ 2 0 1 0 1/ 4 3/ 2
cj zj
0 0 0 11//84 19//24
第14页
例2-1
产品Ⅰ利润降至1.5百元/单位，产品Ⅱ的利润 增至2百元/单位，生产计划如何变化？
解：(2) 将产品Ⅰ、Ⅱ的利润变化反映在最终单纯形表中，可得
一、含义和研究对象
1、什么是灵敏度分析？
是指研究线性规划模型的某些参数(bi, cj, aij） 或限制量（xj, 约束条件）的变化对最优解的影响及 其程度的分析过程<也称为优化后分析>。
n
max z c j x j
s.t.
n
j 1
aij xj bi （i 1,
j1
x
j
0
（j 1,
2 1 1c2 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
0 0 1 5/ 4 15/ 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2 0 1 0 1/ 4 3/ 2
1 c2 0； 1 3c2 0
44
22
cj zj
0
0
0 14 1/44c2
121/
23c2 2
即故当产品Ⅱ的13利 润c在2 [12
,
1→1+△c2
s.t.
n
j 1
aij xj bi （i 1,
j1
x
j
0
（j 1,
, m） , n）
3. 分析增加一个变量 xj 的变化 4. 分析增加一个约束条件的变化
系数矩阵A
5. 分析系数 aij 的变化
第5页
初 始
基变量 基变量 基可
常见的运筹学灵敏度分析
cj
4
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
5
x1
6
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
Z
42
0
0
-1/5
8/5
13
用单纯形法迭代得最优解表如下：
cj
4
3
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
0
x3
20/3
0
5/3
1
5
x1
26/3
1
2/3
0
Z
130/3 0
1/3
0
0
x4 -2/3 1/3 16/15
（3）技术系数aij变化的分析 第一种情况（当jJN）：即aij为非基变量xj的技术系数
6/5
继续迭代以求出新的最优解。
11
（2）当CB(即基变量的目标函数系数)中某个Cj发生变化时
则会影响到所有变量的检验数σ=CBB-1A－C
解不等式组
CB B1 A C 0
就可得到 Cj的范围
例18 设基变量x1的系数C1变化为 C1 C1 ，在最优性不变 的条件下，试确定 C1 的范围
*Big M
0
0
0
0
0
0
23
2、增加新约束的灵敏度分析 Final tableau (Total iteration=3)
Basis C(j) X1
4.000
S1
0
X1 3.000
X2 4.000
运筹学 线性规划灵敏度分析
可变单元格 单元格 名字 $B$4 可变单元格→ Max Z=∑cjxj $C$4 可变单元格→ 约束 单元格 名字 $D$7 a1j→ ∑aijxj $D$8 a2j→ ∑aijxj $D$9 a3j→ ∑aijxj 终 阴影 约束 允许的 允许的 值 价格 限制值 增量 减量 2 0 4 1E+30 2 12 150 12 6 6 18 100 18 6 6 终 递减 目标式 允许的 允许的 值 成本 系数 增量 减量 2 0 300 450 300 6 0 500 1E+30 300
线性规划
不是最优表， 继续迭代， 得， 最优解 X*=（5/3，13/2， 7/3，0，0）生产品种保持 不变。最优值变为
7/3 0 500 300 13 / 2 3750 5/3
300
xB
x3
500
0
0
0
b’ 2 6 2
x1
0 0 1
x2
0 1 0 0
x3
1 0 0 0
x4
1/3 1/2 -1/3 -150
x5
-1/3 0 1/3 -100
x2 x1
-3600 200
总利润增加了 150 元。
运筹学
设 b1 , b2 , b3 的增量为 b1 , b2 , b3
2 1 1 / 3 1 / 3 b1 b * b B 1b 6 0 1 / 2 0 b2 2 0 1 / 3 1 / 3 b 3 2 b1 b2 / 3 b3 / 3 2 b1 b2 / 3 b3 / 3 6 b2 / 2 6 b2 / 2 2 b / 3 b / 3 2 b / 3 b / 3 2 3 2 3 若要解仍可行，则 b * 0 ，即
运筹学11-灵敏度分析-b
Operational Research
8
图解灵敏度分析（约束b）
该线性规划问题可以用图解法作如下表达
x2
2x1＋x2 ≤ 8
2x1＋x2 ≤ 9
x1＋3x2 ≤ 8 B G
机器A保持变化率的范围为： 从B到F B（0,2.67）；F（8,0） B点对机器A的限制是 2×0＋2.67＝2.67 F点对机器A的限制是 2×8＋0＝16 因此，当约束范围为〔2.67，16〕， 变化率一定，14USD/h
线性规划的参数 A B C 会在一定范围内波动。
A B C 代表什么？技术、资源与价值。
• 不变：参数在什么范围内变化，最优解不变？ • 规律变：在什么范围内变化，最优解可很快得到？怎样得到？
可以重新求解，但更为简单的是进行灵敏度分析。
• 再求解：如果不能很快得到最优解，如何继续求解？
Operational Research
因为范围为〔2.67，16〕，收入增加 14×（13-8）＝70 如果A工作能力增加到20小时？
最优解产生于F点
Operational Research
11
代数灵敏度分析（约束b）
讲代数解之前必须复习的一些知识
B 基的初始状态、 B* 最优基的初始状态 B*-1 最优基的逆矩阵，在哪里能够找到？初始E的最终状态 b 是初始约束条件， B*-1 b是最终约束条件
书上解法（公式法）： （1）找到B-1 （2）如求b1的改变， 则看矩阵中的第一列
正元素除-bi最大者为下限 负元素除-bi最小者为上限
Cj
58 6 0 0
b
CB XB x1 x2 x3 x4 x5
5 x1 1 0 0 2 －1 4
8 x2 0 1 1 －1 1 8
运筹学课件 灵敏度分析举例
x2
1 0
x3
1 -1/2
x4
-2 3/2
20 x1 15
j cj z j
CB
30 50
cj xB
50
30
0
0
35 0 x1 7.5 1 j c j z j 1425 0
x2
b
x1
x2
1 0 0
x3
x4
1/2 -1/2 -1/4 3/4 -2.5 -22.5
木工用量 4 x1 3x2 120 木工可使用量 油漆工用量 负条件。
2 x1 x2 50 油漆工可使用量 决策变量还应当满足 x 0 ， x2 0，叫做非 1
例1的数学模型
max z 50x1 30x2
s.t.
4 x1 3x2 120 2 x1 x2 50 x1 , x2 0
x3
1
0
x4
0
1
30
25
x4
j cj z j
0
50
30
0
0
第一次换基并求解
CB
0 50
x3 x1
cj xB b
20 25 1250
50
30
0
x1
0 1 0
x2
（1） 1/2 5
x3
1 0 0
x4
-2 1/2 -25 20 50
0
j cj z j
第二次换基和求解
cj xB
50 30 0 0
CB
30 50
x2
b
x1
0 1 0
x2
1 0 0
运筹学精品课件之 对偶问题和灵敏度分析
82 0 0 -10/3 0 -11/3 -2产品工艺结构改变) (1)、非基变量Xj工艺改变 只影响单纯形表Pj 列， σ j .
关键看σ j 0? 还是>0? . 用(三)类似方法解决。
(2)、基变量Xj工艺改变，复杂
例：产品A工艺改变，对甲、乙需求变为2，2。 利润为7，问最优方案如何？
0 X4 2 8 X2 10
80
1 0 0 1 -1/2 1 1 1 0 1/2 -5 0 -2 0 -7/2
这时最优方案发生了改变。
基变量Xj工艺改变
•也可能 B-1 b出现负数
•检验数与基变量均不满足最优解要求
例 p1’ = 1
3
C1’ = 7
p一1’ = B-1 p1’ = σ一1’= -4
(2)、 b1改变, b1=30 ，B-1 b= 2 -1
30 40 =
-1 1 20 -10
5 X1 40 1 0 0 2 -1 8 X2 -10 0 1 1 (-1) 1
120 0 0 -2 -2 -3
5 X1 20 1 2 2 0 1 0 X4 10 0 -1 -1 1 -1
100 0 -2 -4 0 -5
问：如何安排产品产量，可获最大利润？
解 maxZ=5X1 +8X2 +6X3
X1+ X2 + X3+X4 = 12 X1+2X2+2X3 +X5 =20
X1 … X5 0
58 60 0
X1 X2 X3 X4 X5 0 X4 12 1 1 1 1 0 0 X5 20 1 2 2 0 1
058 60 0
② C1改变 C1=10， σ 5 =2>0 ,换基
关键看σ j 0? 还是>0? . 用(三)类似方法解决。
(2)、基变量Xj工艺改变，复杂
例：产品A工艺改变，对甲、乙需求变为2，2。 利润为7，问最优方案如何？
0 X4 2 8 X2 10
80
1 0 0 1 -1/2 1 1 1 0 1/2 -5 0 -2 0 -7/2
这时最优方案发生了改变。
基变量Xj工艺改变
•也可能 B-1 b出现负数
•检验数与基变量均不满足最优解要求
例 p1’ = 1
3
C1’ = 7
p一1’ = B-1 p1’ = σ一1’= -4
(2)、 b1改变, b1=30 ，B-1 b= 2 -1
30 40 =
-1 1 20 -10
5 X1 40 1 0 0 2 -1 8 X2 -10 0 1 1 (-1) 1
120 0 0 -2 -2 -3
5 X1 20 1 2 2 0 1 0 X4 10 0 -1 -1 1 -1
100 0 -2 -4 0 -5
问：如何安排产品产量，可获最大利润？
解 maxZ=5X1 +8X2 +6X3
X1+ X2 + X3+X4 = 12 X1+2X2+2X3 +X5 =20
X1 … X5 0
58 60 0
X1 X2 X3 X4 X5 0 X4 12 1 1 1 1 0 0 X5 20 1 2 2 0 1
058 60 0
② C1改变 C1=10， σ 5 =2>0 ,换基
管理运筹学 第五章灵敏度分析
18
当 a'k ,n i 0, 则有 b'k bi a 'k , n i 所以：
当 a'k ,n i 0, 则有 b'k bi a 'k , n i
b'i b'i max a'i ,n k 0 bk min a 'i , n k 0 a 'i , n k a'i , n k
28
根据上节的知识可知q1= 0, q2= 0.25, q3= 1, 边际值为 0时表示对应资源未用完，边际值不为0时表示对应 资源全部用完
x2, x4为基变量， b1未用完、b2b3全部用完故有：
对应基变量且资源全部用完的情况aij=0
所以：△a22=0 ；△a24=0 ；△a32=0 ；△a34=0
ck zk ck zk max a'r k 0 Δcj min a' k 0 r r r a' k a' k
其中xj为第r个约束条件方程对应的基变量
13
例题：求X4的C值的变动范围
CB 0 4 5 Cj→ XB x5 x4 x2 cj-zj zj 1 b x1 100 0.25 200 2 100 -0.75 -3.25 4.25 5 x2 0 0 1 0 5 3 4 x3 x4 -3.25 0 -2 1 2.75 0 -2.75 0 5.75 4 0 x5 1 0 0 0 0 0 x6 0.25 1 -0.75 -0.25 0.25 0 x7 -1 -1 1 -1 1
Cj→ CB XB b 0 X5 100 4 X4 200 5 X2 100 Cj- Zj Zj
运筹学第二章灵敏度分析
CB
-3 -5 -Z’
xB x1 X2
2.4 对偶解的经济解释
一、对偶线性规划 的解： P55
Cj xB x3 x1 x2 z b 7/2 7/2 3/2 x1 1 0 0 y4 Cj yB b y1 15/2 0 原问题变量 x2 0 0 1 0 y5 对偶问题变量 y2 y3 x3 1 0 0 0 y1 原问题变量 x4 5/4 1/4 -1/4 1/4 y2 x5 -15/2 -1/2 3/2 1/2 y3
T.G.Koopman（库普曼）和 L.V.Kamtorovich（康脱罗维奇）
二人因此而共同分享了1975年的第7届诺贝尔经 济学奖。
2.5 灵敏度分析
一、灵敏度分析的含义 是指系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感性程度的分析。 对于线性规划问题的灵敏度分析是指参数A，b，C变化引起的 对原问题解的变化的分析。 其中：A为技术参数矩阵，b为资源向量，C为价值向量 可以用参数变化后的问题重新用单纯形法求解？ 没必要，意义不大，有些问题看不出来。 把相应的变化反映到最终单纯形表中，再根据情况用相应的方 法求解。
Z 50 x1 30 x2
2.1 线性规划的对偶问题与对偶理论
假设现有乙公司准备租借用(购买)该木器厂的木工和 油漆工两种劳力的劳务，需要考虑这两种劳务以什么 样的价格租入最合算？而同时甲公司要以什么条件才 会租让？甲公司肯定会以自己利用两种劳力的劳务组 织生产所获得的利润最大为条件，设每个木工的租用 价格为y1，每个油漆工的租用价格为y2，则乙公司愿 意租用的出资为：
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
《运筹学》第2章 线性规划灵敏度分析
2.9 灵敏度分析的应用举例
该公司在运营了一年后，管理层为第二年的运营进行了以下的预想（假设以下问 题均单独出现）：
问题1：由于建材市场受到其他竞争者的影响，公司市场营销部门预测当年的产 品甲的价格会产生变化：产品甲的单位利润将会在3.8万元～5.2万元之间 波动。公司该如何应对这种情况，提前对生产格局做好调整预案？
▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重 新运行规划求解）
总利润为3750元， 增加了：37503600=150元。由 于总利润增加了， 而目标函数系数不 变，所以最优解一 定会发生改变，从 图中可以看出，最 优解由原来的（2， 6）变为（1.667， 6.5）
2.4 单个约束右端值变动
▪ 方法2：从敏感性报告中获得关键信息
2.3 多个目标函数系数同时变动
▪ 假如，以前把门的单位利润（300元）估 计得太低了，现在把门的单位利润定为 450 元 ； 同 时 ， 以 前 把 窗 的 单 位 利 润 （ 500元）估计得过高了，现在定为400元 。这样的变动，是否会导致最优解发生变 化呢
▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运 行规划求解）
2.4 单个约束右端值变动
▪ 单个约束右端值变动对目标值的影响 ▪ 如果车间2的可用工时增加1个小时，
总利润是否会发生变化？如何改变? 最优解是否会发生变化? ▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重 新运行规划求解） ▪ 方法2：从敏感性报告中获得关键信 息（影子价格）；
2.4 单个约束右端值变动
本章主要内容框架图
目标函数系数变动
单个 多个
单个
灵敏度分析
内容
约束右端值变动
多个 影子价格
约束条件系数变化
增加新变量
运筹学 灵敏度分析
′ （2）由于 1 是基变量，所以 ξ B = 0, ）由于x 是基变量，
T ′ ξ N = ξ N + (c1′ − c1 )( B −1 N )(1) ( B −1 N 中第1行元素）
1 5 7 1 1 1 ‘ = （ ， ， ）+ ( 1 − 5)(− , , − ) c 6 6 6 6 6 6 ‘ ‘ ‘ c1 c1 c1 ‘ = (1 − , , 2 − ) ≥ 0 ⇒ 0 ≤ c1 ≤ 6 6 6 6
原最优单纯形表
基 XB XB I XN 解
ξ
ξB = 0
B N
T T T ξ N = CB B−1 N − CN ≤ 0
−1
B b T −1 CB B b
−ck )加到检验
数行， 得到新问题的单纯形表. 数行，再令 ξ k′ = 0 ，得到新问题的单纯形表
§6 灵敏度分析
概况
• 信息的不确定性
信息的变化： 信息的变化： 价值向量C—市场变化 价值向量 市场变化 右端向量b—资源变化 右端向量 资源变化 系数矩阵A—技术进步 系数矩阵 技术进步
• 产生的问题
当这些参数变化时，问题的最优解会有什么变化？ 当这些参数变化时，问题的最优解会有什么变化？ 这些参数在多大范围内变化时，最优解不变？ 这些参数在多大范围内变化时，最优解不变？
x4
-1/4 ½ -1/4 -1/4 ½ -1/4 -5/4 1 0 7/4 5/2 7/4 7/4 5/2 7/4 -13/4 5 3
-5/4 ½ -1/4 1 ½ -1/4 0 1 0
x2 x3
Z
x2 x3
Z
x1 x3
最优解 x*=（5, 0, 3） 最优值 z*=-13/4
T ′ ξ N = ξ N + (c1′ − c1 )( B −1 N )(1) ( B −1 N 中第1行元素）
1 5 7 1 1 1 ‘ = （ ， ， ）+ ( 1 − 5)(− , , − ) c 6 6 6 6 6 6 ‘ ‘ ‘ c1 c1 c1 ‘ = (1 − , , 2 − ) ≥ 0 ⇒ 0 ≤ c1 ≤ 6 6 6 6
原最优单纯形表
基 XB XB I XN 解
ξ
ξB = 0
B N
T T T ξ N = CB B−1 N − CN ≤ 0
−1
B b T −1 CB B b
−ck )加到检验
数行， 得到新问题的单纯形表. 数行，再令 ξ k′ = 0 ，得到新问题的单纯形表
§6 灵敏度分析
概况
• 信息的不确定性
信息的变化： 信息的变化： 价值向量C—市场变化 价值向量 市场变化 右端向量b—资源变化 右端向量 资源变化 系数矩阵A—技术进步 系数矩阵 技术进步
• 产生的问题
当这些参数变化时，问题的最优解会有什么变化？ 当这些参数变化时，问题的最优解会有什么变化？ 这些参数在多大范围内变化时，最优解不变？ 这些参数在多大范围内变化时，最优解不变？
x4
-1/4 ½ -1/4 -1/4 ½ -1/4 -5/4 1 0 7/4 5/2 7/4 7/4 5/2 7/4 -13/4 5 3
-5/4 ½ -1/4 1 ½ -1/4 0 1 0
x2 x3
Z
x2 x3
Z
x1 x3
最优解 x*=（5, 0, 3） 最优值 z*=-13/4
运筹学第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解 共37页
0 -3/5 -3/5 -6/5 -1/5
B 1(P 1,P 2) 1(P 5',P 6') 3 2 5 5 3 25 5
最优基B的逆矩阵：B-1为最终单纯形表中的最右边的一个方阵
运筹学
第9讲：灵敏度分析(续)和LP作业讲解
Pj ' B1Pj XB*B1XB
解：新增的测试工序约束条件为：2x1+2x2+x3+x4≤14， 将原问题的最优解x1*=4，x2*=4代入该约束：
2×4＋2×4＝16>14
约束条件不成立，则原问题的最优解不是新问题的最优解。
将该约束化为标准形式：2x1+2x2+x3+x4+x7＝14，反映到最终单纯
形表中:
cj →
4312000 b
2.2 (2) X* 0,2 7 7,2 7 4,0,9 7 3,0 T,
z*180 7
2.2 (3)：多重最优解 X1* 2,125,0,0,42,0T , X2* 121,94,7,0,0,0T
X * X 1 * 1 X 2 * , 0 ,1 z* 47
2
1
设备B（h） 2
3
2
单件利润(元) 4 →3 3 →5 1
丁 每天可用能力
2
20
1
20
2
解：将c1、c2的收益变化情况直接反映到原问题的最终单纯形表上，得到
cj
CB
XB
3
x1
5
x2
j
2
x4
5
x2
j
3
5
1
2
0
0
b
x1
运筹学灵敏度分析题
运筹学灵敏度举例1．已知以下线性规划问题max z= 2x 1 +x 2-x 3 s.t. x 1 +2x 2 +x 3 ≤8 -x 1 +x 2 -2x 3≤4x 1,x 2,x 3≥0 的最优单纯形表如下：z x 1 x 5(1) 求使最优基保持不变的c 2=1的变化范围C 2 1+δ-1 0 0 0C B z 2 x 1 0x 53-δ≥0，δ≤3，即c 2≤4。
当c 2=5，即δ=4z x 1 8/2 x 512/3x2进基，x 1离基z x 2 x 5新的最优解为x 1=0，x 2=0，x 3=0，x 4=0，x 5=0，max z=20 (2) 对c 1=2进行灵敏度分析C 2+δ1 -1 0 0 0C B z 2+δ x 1 0x 53203020+≥+≥+≥⎧⎨⎪⎩⎪δδδ，δδδ≥-≥-≥-⎧⎨⎪⎩⎪3232/，当δ≥-3/2时，即c 1≥1/2时，最优基保持不变。
当c 1=4时，δ=4-2=2，最优基保持不变，最优解的目标函数制为z=16+8δ=32。
（3）增加一个新的变量x 6，c 6=4，a 612=⎡⎣⎢⎤⎦⎥。
[]z c c T666620124242-=-=⎡⎣⎢⎤⎦⎥-=-=-W aY B a 61610111213==⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎤⎦⎥- 新的单纯形表为z x 1 x 5x 6进基，x 5离基z x 1 x 6新的最优解为x 1=4，x 2=0，x 3=0，x 4=0，x 5=0，x 6=4，max z=24。
（4）增加一个新的约束x 2+x 3≥2，求新的最优基和最优解。
z x 1 x 5 x 63/13/1用对偶单纯形法求解z xx x x x x RHSz x 1 x 5 x 2新的最优解为x 1=4，x 2=2，x 3=0，x 4=0，x 5=6，x 6=0，max z=10。
2．(1)利润最大化的线性规划模型为：max z= 25x1+12x2+14x3+15x4s.t. 3x1+2x2+x3+4x4≤24002x1+2x3+3x4≤3200x1+3x2+2x4≤1800x1, x2, x3, x4≥0单纯形表为：zx5x6x7x1进基，x5离基zx1x6x7x3进基，x6离基zx1x3x7x2进基，x1离基zx2x3x7最优解为：x1=0，x2=400，x3=1600，x4=0，x5=0，x6=0，x7=600，max z=27200即最优生产计划为：产品A不生产；产品B生产400万件；产品C生产1600万件；产品D不生产，最大利润：27200万元。
运筹学单纯形法的灵敏度分析
再如：甲、乙产品单位利润发生变化时，将影响到哪些因素？ c1=2 c1=4 或c2=3 c2=2
结论
在单纯形法中，cj的变化→cj-zj变化→基变量的调出、入。 分两种情况： 非基变量的cj发生变化只影响其本身对应的检验数cj-zj； 如上例中x3为非基变量，则丙产品单位利润发生变化只影响本身的检验数。 基变量的cj发生变化，由于影响到cB，从而所有非基变量的检验数均受到影响（基变量的检验数仍保持为0）。 如上例中x1、x2为基变量，则甲、乙产品单位利润变化，将影响除甲、乙外其他变量的检验数。
∴原问题最优解不变，仍是x1=1，x2=2，x3=x6=0 即不安排丁产品生产。 注意区别 和的 不同
1
2
分析检验数符号
其他条件不变，
若将以上丁产品利润改为
情况会有什么变化？
C6=7，
∵C6-Z6不满足符号条件
01
∴原问题最优解将变动，将C6代入单纯形表最后一段重新计算。
02
注意：
01
例中第二个资源——材料的最高限制变化时对原问题的影响。
02
即讨论：b2变动的范围。
分析
B2变动的范围
B2的变动范围是[1 4]
“影子价格”是经济领域的概念。
“影子价格”是指当其他原料数量都保持不变时，第k种原料由bk增加一个单位时，由此而产生的目标函数值的增加，它对应于单纯形表最后一段松弛变量所对应的检验数（取正值）。
0
0
2
-5
-1
2
2 6
x1 x3
2 1
1 0
1/2 1/2
0 1
7/2 -1/2
-1/2 1/2
Cj-Zj
→
-10
0
-1
结论
在单纯形法中，cj的变化→cj-zj变化→基变量的调出、入。 分两种情况： 非基变量的cj发生变化只影响其本身对应的检验数cj-zj； 如上例中x3为非基变量，则丙产品单位利润发生变化只影响本身的检验数。 基变量的cj发生变化，由于影响到cB，从而所有非基变量的检验数均受到影响（基变量的检验数仍保持为0）。 如上例中x1、x2为基变量，则甲、乙产品单位利润变化，将影响除甲、乙外其他变量的检验数。
∴原问题最优解不变，仍是x1=1，x2=2，x3=x6=0 即不安排丁产品生产。 注意区别 和的 不同
1
2
分析检验数符号
其他条件不变，
若将以上丁产品利润改为
情况会有什么变化？
C6=7，
∵C6-Z6不满足符号条件
01
∴原问题最优解将变动，将C6代入单纯形表最后一段重新计算。
02
注意：
01
例中第二个资源——材料的最高限制变化时对原问题的影响。
02
即讨论：b2变动的范围。
分析
B2变动的范围
B2的变动范围是[1 4]
“影子价格”是经济领域的概念。
“影子价格”是指当其他原料数量都保持不变时，第k种原料由bk增加一个单位时，由此而产生的目标函数值的增加，它对应于单纯形表最后一段松弛变量所对应的检验数（取正值）。
0
0
2
-5
-1
2
2 6
x1 x3
2 1
1 0
1/2 1/2
0 1
7/2 -1/2
-1/2 1/2
Cj-Zj
→
-10
0
-1
运筹学灵敏度分析
' j
c j C B B 1 A
C r a rj
j C r a rj
j 1,2, , n
最优解不变
' j
0
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arj 0, arj 0,
cr
j
arj
;
cr
j
arj
,
j 1,2,
,n
cr的变化范围
m j { aarx jjarj0}crm j {ian rjjarj0}
3 x2 2 0 1 0.5 –0.125 0
cj-zj
0 △c2 -1.5 -0.125 0
为了保持原最优解不变，则x2的检验数应当为零。这时可用行的
初等变化实现，得到
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cj
2 3+△c2 0
00
CB XB b x1 x2
x3
x4
x5
2 x1 4 1 0
0
0.25 0
0 x5 4 0 0
-2
0.5 1
3 x2 2 0 1
0.5 –0.125 0
cj-zj
0 0 -1.5-△c2/2 △c2/8-1/8 0
可见
–1.5-△c2/2≤0和△c2/8-1/8≤0
即
△c2≥-1.5/0.5; △c2≤1 故△c2的变化范围:
-3≤△c2≤1 即x2的价值系数c2可在[0,4]之间变化，不影响原最优解。
运筹学灵敏度分析
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资源系数br的灵敏度变化分析
当某一个资源系数br 发生变化，亦即br′= br +△br ，其他 系数不变，这样最终的单纯形表中原问题的解相应地变化为