正弦交流电路的三种基本元件
第五章正弦交流电
0 ωt i d(UmSinω t) u=C dt =ω CUmcosω t (a) (b) =ω CUmSin(ω t+90°)=ImSin(ω t+90°) · I 由上式得: （1）i与u是同频率的正弦量。 （2）i超前u相位角。 · U (c) （3）u与i的有效值（或最大值）之比称为容抗。 XC=U/I=Um/Im=1/ω C=1/2∏fC 若电压U和C电容确定时，当f较高时,容抗XC较少，电容中通过的电流较 大，说明电容对高频电流的阻碍作用较小；当f较低时，容抗XC较大，电 容中通过的电流较小，说明电容对低频电流的阻碍作用较大；当f=0,即直 流XC=∞,电容可视为开路. （4）电压u与电流i的波形如图（b） （5）电压与电流相量之比称为复容抗，即
+j
• （2）相量图求。
8v
· U1 10v · U
00
ψ =23° ψ =-30°
6v · U2
+1
第三节电阻元件的正弦交流电路
• 一、电阻的伏安特性： • u=Ri • 设电流i=ImSinω t, 代人得 • u=Ri=RImSinω t=UmSinω t • 则可得，u与i的伏安特性如下： （1）u是与i同频同相的正弦电压。 • （2）u与i的幅值或有效值间是线性关 • 系其比值是线性电阻R，即 • Um/Im=U/I=R • （3）u与i的波形如图（b） 。 • （4）u与i伏安关系的相量形式为: · • I=Iej0°=I∠0°=I, ˙ U=Uej0°=U∠O°=U · U U ej0° U • ·= = = R
第四节电感元件的正弦交流电路
• 一、电感的伏安特性： di • u=-e=L dt • 设电流为参考正弦量代人得
• • • • • • • •
第5章 正弦交流电路
j I2 I
I1 +1
O
例2 相量图（三角形） 相量图（三角形）
j I I2
I1 +1
O
§5 – 3 单一参数的正弦交流电路
一、电阻元件 1. u – i 关系 R u i ωt u
i
相量表示
U=RI
I
U
2. 功率关系 p
P i ωt
p 始终 ，R——耗能元件 始终>0， 耗能元件 P = UI = RI2 = U2/R
导纳角 φY = tg－1 (BC –XL )/G ——阻抗角 阻抗角 当 BC >BL 时，φY > 0 ，i 超前于 u ——容性 容性 当 BC <BL 时， φY < 0 ，u 超前于 i ——感性 感性 当 BC= BL 时， φY = 0 ，u 、i 同相 ——纯电导 纯电导
二、相量图——两个三角形 相量图 两个三角形 I= IG + IL + IC I U IG G IL L IC C
G
பைடு நூலகம்
φY
U IG IB I IL IC
φY
y
B
例题
R=30
XL=40
U=120V
求各电流及Y 求各电流及 设U = 120
I
0o V
U
R
IR
IL
L
IR = U/R= 4 A IL = U/jXL = – j3A I = IR+ IL =4 – j3A=5 – 37oA Y=1/R – j/XL=1/30 – j1/40(S) I IR IL U
2. 频率特性 XL=ωL ω U 相量表示 U = j(ωL) I I
3. 功率关系 p ωt
正弦交流电路
二单元正弦交流电路引言正弦交流电的产生：正弦交流电路:含有正弦电源而且电路各部分所产生的电压和电流均按正弦规律变化的电路。
因为交流电可以利用变压器方便地改变电压、便于输送、分配和使用。
所以，在生产和生活中普遍应用正弦交流电。
着重讨论和分析交流电路的基本概念、基本规律和基本分析方法。
随时间按正弦规律变化的交流电压、电流、电动势称为正弦电压、电流、电动势。
正弦量：正弦电压、电流、电动势统称为正弦量。
Riab)sin(m i t I i ψω+=规定电流参考方向如图：iωtiψ正半周：电流实际方向与参考方向相同负半周：电流实际方向与参考方向相反+-最大值角频率初相角正弦量的三要素课题1正弦交流电的基本概念一、正弦量的三要素表达式：波形：用带有下标m 的大写字母表示:I m 、U m 、E m有效值：一个交流电流的做功能力相当于某一数值的直流电流的做功能力，这个直流电流的数值就叫该交流电流的有效值。
用大写字母表示：I 、U 、 E1. 最大值描述正弦量变化范围的参数。
tiＴ最大值I m⎰=Tdti TI 021正弦量最大值与有效值的关系EE m 2=II m 2=UU m 2=2. 角频率ω描述正弦量变化快慢的参数。
单位：rad/s周期(T ): 变化一个循环所需要的时间，单位(s)。
频率( f ): 单位时间内的周期数单位(Hz)。
三者间的关系示为：=2π/T =2πfωTωt 2ππtiＴT/2我国和大多数国家采用50Hz 作为电力工业标准频率(简称工频)，少数国家采用60Hz 。
iωt)sin(i m t I i ψω+=iψt =0 时的相位角称为初相角或初相位。
i ψ同频率正弦量的相位角之差，用ϕ表示。
二、相位差：180±取值范围：相位差可反映同频率正弦量超前滞后关系。
180±相位差的取值范围：3. 初相iψ影响初相得因素：项前负号（±180°）Cos （90 °）)sin(1m ψtωU u +=如：)()(21ψωψωϕ+-+=t t 21ψψ-=若21>-=ψψϕ电压超前电流ϕ或电流滞后电压ϕuiu iϕωtO)2ψ+=t ωI i sin(m电流超前电压︒-=-=9021ψψϕ︒90电压与电流同相021=-=ψψϕ电流超前电压ϕ021<-=ψψϕ电压与电流反相︒=-=18021ψψϕu iωt ui ϕOu iωtui 90°O u i ωtui Oωtui u i O一、复数1. 复数的表示形式A = a + j b1）代数形式：为虚数单位1j -=ϕcos A a =ϕsin A b =22ba A +=ab=ϕtan aAb+1+jϕA实部虚部ϕA A =2）极坐标形式：模幅角2. 两种形式的互换代数极坐标代数极坐标课题2正弦量的相量表示法3. 复数运算（熟记公式）111j b a A +=222j b a A +=1）加减运算（用代数形式）：则()()212121j b b a a A A ±+±=±设则222ϕA A =111ϕA A =212121ϕϕ+=⋅A A A A 212121ϕϕ-=A A A A 设2）乘除运算（用极坐标形式）：1A 2A 3A 321A A A ++思考如何用作图的方法得到复数的差？3）复数的相等111j b a A +=222j b a A +=21a a =如果21b b =则21A A =222ϕA A =111ϕA A =如果21A A =21ϕϕ=则21A A =4. 旋转因子（模为1，辐角为的复数）ϕ一个复数乘以ϕj e等于把其逆时针旋转角。
第4章 正弦交流电
i = I m sin(ωt + ϕ i )
u、 i
0
t
3
正弦交流电路分析中仍然使用参考方向, 正弦交流电路分析中仍然使用参考方向,当实际方向 与参考方向一致时，正弦量大于零；反之小于零。 与参考方向一致时，正弦量大于零；反之小于零。
i
u
R
i
实际方向和参考方向一致
t
实际方向和参考方向相反
用小写字母表 示交流瞬时值
ωt
22
3.相量表示法 3.相量表示法
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量 旋转矢量在纵轴上 概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上 的投影值来表示。 投影值来表示。 来表示
u = U m sin (ω t + ϕ )
Um
ωϕ
ϕ
矢量长度 =
ωt
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
在t = 0时刻，矢量以角速度ω按逆时针方向旋转
19
复数的加减可以在复平面上用平行四边形来进行。 复数的加减可以在复平面上用平行四边形来进行。前 面例题的相量图见下面左图，右图是另一种画法。 面例题的相量图见下面左图，右图是另一种画法。右图的 画法更为简捷，当有多个相量相加减时会显得很方便。 画法更为简捷，当有多个相量相加减时会显得很方便。 +j A1+ A2 A1+ A2 A2 A1 O +1 O A1 +1 A2
= r (cos ϕ + j sin ϕ )
复数的指数形式 复数的指数形式： 指数形式： 复数的极坐标形式 复数的极坐标形式： 极坐标形式：
A = re
jϕ
A = r∠ϕ
实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数。用 实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数 共轭复数。 A*表示A的共轭复数，则有 表示A的共轭复数， A=a+jb +jb A*=a-jb
第3章 正弦交流电路
Um 正弦交流电压的有效值为 U = = 0.707U m 2 正弦交流电压的有效值为 E = Em = 0.707 Em 2
i = I m sin (ω t + ψ i )时，可得 也可以写为 i = 2 I sin (ω t + ψ i )
当电流
e = E m sin ( ω t + ψ e ) 时，可得 E = 2 也可以写为 e = 2 E sin ( ω t + ψ e )
1 1 T= = = 0.02s f 50
我国工业和民用交流电源的有效值为220V，频率为50Hz, ，频率为 我国工业和民用交流电源的有效值为 因而通常将这一交流电压简称为工频电压 频率称为工频 工频电压， 工频。 因而通常将这一交流电压简称为工频电压，频率称为工频。
例：已知正弦交流电流为i=2sin(ωt-30˚) A。电路中的电阻 已知正弦交流电流为 。电路中的电阻R=10Ω， ， 试求电流的有效值和电阻消耗的功率。 试求电流的有效值和电阻消耗的功率。 解：电流有效值 电阻消耗的功率 I=0.707×Im=0.707×2=1.414A × × P=I2R=20W
已知一正弦电流的有效值为5A，频率为50Hz,初 例：已知一正弦电流的有效值为 ，频率为 , 相为50˚，试写出其解析式。 相为 ，试写出其解析式。 由题目可知， 解：由题目可知，m = 5 2V，ψ=50˚ I 又频率f=50Hz，则角频率 又频率 ， ω=2πf=2×3.14×50=314rad/s × × 则该电流解析式为
（三）相位与相位差 相位：表示正弦量的变化进程，也称相位角。 相位：表示正弦量的变化进程，也称相位角。 相位角 初相位： 时的相位 时的相位， 初相位：t=0时的相位，用ψ表示。
正弦交流电路知识点总结
正弦交流电路知识点总结一、正弦交流电路的基本概念正弦交流电路是指由正弦波形状的电压或电流组成的电路。
在正弦交流电路中，电压或电流随时间呈周期性变化，其波形为正弦曲线。
正弦交流电路中，频率、振幅、相位等是重要的参数。
二、正弦交流电路中的元件1. 交流源：提供正弦波形状的电压或电流。
2. 电阻：阻碍电流通过的元件。
3. 电感：储存磁能量并抵抗变化的元件。
4. 电容：储存电能量并抵抗变化的元件。
三、正弦交流电路中的基本定律1. 欧姆定律：U=IR，其中U为电压，I为电流，R为阻值。
2. 基尔霍夫定律：任意一个节点上所有进入该节点和离开该节点的支路所构成的代数和等于零。
3. 诺依曼定理：在任意一个闭合回路中，沿着这个回路方向绕一圈所得到所有增加量之和等于所有减少量之和。
四、串联和并联1. 串联：将多个电阻、电感、电容依次连接在一起，即为串联。
串联后的总阻值为各元件阻值之和。
2. 并联：将多个电阻、电感、电容同时连接在一起，即为并联。
并联后的总阻值等于各元件倒数之和的倒数。
五、交流电路中的功率交流电路中的功率分为有功功率和无功功率两部分：1. 有功功率：指交流电路中被转化成有用能量的功率。
2. 无功功率：指交流电路中被转化成储存于元件中的能量或者从元件中释放出来但不能做有用工作的能量。
六、交流电路中的相位相位是指两个正弦波形状的信号之间时间上的差异。
在正弦交流电路中，相位是一个重要参数。
不同元件间存在着不同相位差，而且相位差随频率变化。
七、滤波器滤波器是指通过对信号进行滤波，去除不需要或者干扰信号来得到所需信号的设备。
根据滤波器对信号处理方式不同，可以将其分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。
八、交流电路中的共振共振是指在交流电路中，当电容和电感与外部信号频率相等时，电路中的阻抗达到最小值。
在共振状态下，电路中的能量传输效率最高。
九、交流电路中的谐波谐波是指在交流电路中，除了基频信号之外产生的频率为整数倍于基频信号频率的信号。
正弦交流电路-详解
275.已知一正弦信号源的电压幅值为10 mV，初相位为30°，频率为1 000 Hz，则电 压瞬时值表达式为__D____。
A．u(t) 10 2 sin(314t 30)mV B． u(t) 10sin(314t 30) mV
C． u(t) 10 2 sin(2000 t 30) mV D．u(t) 10sin(2000 t 30) mV
i
初相位：
初相位等于t =0 时的相位角）， O
ωt
是观察正弦波的起点。（又称相位）
初相位等于 0 的正弦量称为参考正弦量
相位差 ：
如：u Umsin( ω t ψ1 ) i Imsin( ω t ψ2 )
则相位差 ： ( t 1 ) ( t 2 )
ψ1 ψ2
两个同频率正旋量相位差等于初相位之差。
282.如图所示，某正弦电流波形图，其瞬时值表达式为__B____。
i 10 2 sin(314 t 90) i 10sin(314t 90) i 10sin(314t 90) i 10sin(31.4t 90)
301.正常情况下用电压表测的电压值是______；而设备名牌上的电压值是__C____。 A．最大值/最大值 B．有效值/最大值 C．有效值/有效值 D．最大值/有效值
令：XL ωL 2πfL 称为感抗
90
③相位关系 ：u 超前 i 90度
ψu ψi 90
感抗的说明：
XL 2 π fL
直流：f = 0, XL =0，电感L视为短路
交流：f
XL
电感L具有通直阻交的作用
XL ω L 2 π f L 感抗XL是频率的函数
XL和I与f的关系图示：
I , XL
ωt
电路 第二章 正弦交流电路(1)
所以交流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳－楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。 设正弦电流i＝Imsin(ωt+ψ)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/√2倍，如图2—9(c)所示，即 I＝Im/√2 ＝0.707Im (2—9) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 U＝Um/√2 ; E＝Um/√2 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用。
15
相量也可以用复平面上的有向线段来表示。如图所示。这种 用来表示相量的图形，叫相量图，相量图与力学和物理学中 的向量图相似。但是，相量表示的是随时间作正弦变动的函 数，而向量指的是力、电 场强度等空间向量。 2 因为实际工程中，常采用正弦量的有效值，而且最大值与 有效值之间有着固定的 2关系，所以有效值相量应用较多。 它等于最大值相量除以 2 ，即 U=Um/ 2 同理 I＝Im/ 2
上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。 周期T、频率f及角频率ω反映了正弦量随时间作 ω 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。
采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面O～O',B＝ 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm 。设线圈的一条有效边AA'(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为α，则AA'边所处位置的磁感应强度为(见图 2—2) B＝Bmsinα 当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效 边因切 割磁力线而产生感 应电动势。其表达式为 e＝Emsinωt (2—1)
正弦交流电中电阻、电感、电容元件电压电流的关系.
与电流瞬时值
最大值、有效值 Um RIm 或
Um U Im I
U m Um
R
00、有效值、最
大值都满足欧 姆定律。
2、 电压电流的相位关系
u 、i 同相
ui
3、 电压电流的相量关系
u i
+
U I
–
R
U m Im
R
I 0 U
相量图
t
二、 电感元件
设在电感元件的交流电路中
电阻、电感、电容元件 的电压电流关系
一、电阻元件 二、 电感元件 三、 电容元件
一、 电阻元件
+
设在电阻元件的交流电路中 ，电压、电流参考方向如图示。
1、电压电流的数值关系
ui R
–
瞬时值 设：i Im sin t Im Im 00 电阻的电压
则u Ri RIm sint Um sint
感抗越小，在直流电路中容抗为无限大，可视为开路。
2、 电压电流的相位关系
u Um sinω t
U m Um 00
i Im sin(ω t 90 )
Im Im 900
i uC
i 超前u
ui
2
3、电压电流的相量关系 i
u
U m Im
Um
Im
00 900
jXC
当 L一定时,线圈的感抗与频率f 成正比。频率越高，
感抗越大，在直流电路中感抗为零，可视i Im sint
Im Im 00 U m Um
u LIm cost Um sin(t 90 )
u 超前i
ui
e 2u e滞后i
6-5 R、L、C的相量模型
§6-5 R 、L 、C 的相量模型在正弦稳态电路中，三种基本电路元件R 、L 、C 的电压、电流之间的关系都是同频率正弦电压、电流之间的关系，所涉及的有关运算都可以用相量进行，因此这些关系的时域形式都可以转换为相量形式。
一． 正弦交流电路中的电阻元件1. 电阻元件伏安关系在电压和电流的参考方向关联时，电阻R 的伏安关系的时域形式R R ()()u t R i t =⋅当正弦电流i R ＝2I R cos(ωt +ψi )通过电阻R 时， 则 R Rm i u ()cos()cos()Rm u t RI t U t ωψωψ=+=+Rm Rm R R U RI U RI =⎫⎬=⎭电压、电流的最大值(有效值)之间符合欧姆定律；u i u i 0ψψϕψψ=⎫⎬=-=⎭R u 与R i 同相令：R R R iRR R R u R i ()()i t I I u t U U RI R I ψψψ⇒=∠⇒=∠=∠=则在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为R R U R I = Rm Rm U R I =线性电阻的相量电路、相量图如下。
u R (t )R UR IR I 与R U 共线2. 功率：①瞬时功率：由于瞬时功率p 是由同一时刻的电压与电流的乘积来确定的，因此当流过电阻R 的电流为i R (t )＝I R m cos(ωt +Ψi )时，电阻所吸收的瞬时功率为R R R Rm u Rm i 2R R i R R R R i ()()()cos()cos() 2cos ()cos(2)0p t u t i t U t I t U I t U I U I t ωψωψωψωψ==++=+=++≥常量 两倍于原频率的正弦量可以看出，电阻吸收的功率是随时间变化的，但p R 始终大于或等于零，表明了电阻的耗能特性。
上式还表明了电阻元件的瞬时功率包含一个常数项和一个两倍于原电流频率的正弦项，即电流或电压变化一个循环时，功率变化了两个循环。
电路基础-§3-3正弦稳态电路中的电阻、电感、电容元件
第三章正弦交流电路§3-3 正弦稳态电路中的电阻、电感、电容元件交流电路中的实际设备和部件，需要用R、L、C或它们的组合构成其模型，为了便于理解和掌握正弦交流电路的基本规律，先学习R、L、C三种基本元件的电压与电流之间的关系，进而分析它们各自的功率特征。
一、电阻元件（一）电阻元件的电压与电流的关系图3-5（a ）为交流电路中的电阻元件，选择电压、电流的参考方向为关联参考方向，根据欧姆定律，电压与电流关系为，选择电流为参考正弦量，设流过电阻的电流、电压为t I i m ωsin =tRI Ri u m ωsin ==m m RI U =RI U =I R U=（a ）相量模型（b ）功率波形为了直接反映电压与电流的相量关系，在电路图中可直接用电压相量和电流相量标出，如图3-6（a ）所示，称为电路的相量模型。
（二）电阻元件的功率1、瞬时功率电路在某一瞬间吸收或放出的功率称为瞬时功率，用小写字母p 表示。
根据电压与电流关系得到瞬时功率为：)2cos 1()2cos 1(2sin sin t UI t I U t I t U ui p m m m m ωωωω-=-=⨯==（a ）相量模型（b ）功率波形2、平均功率（有功功率）用瞬时功率在一个周期内的平均值来表示电路所消耗的功率，称为平均功率，用大写字母表示，又叫有功功率，单位为w （瓦）。
R U R I UI dt t UI T pdt T P T T2200)2cos 1(11===-==⎰⎰ω二、电感元件（一）线性电感元件电感元件是实际电感器的理想化模型，它表征电感器的主要物理性能。
用导线绕制成线圈便构成电感器，也称为电感线圈。
选择电流i 的参考方向与磁链Ψ的参考方向之间符合右手螺旋法则时，定义磁链和产生磁链的电流比值为线圈的自感系数，简称电感，用L 表示，即i L ψ=国际单位制（SI ）中，电感的单位是H （亨利），简称亨。
常用的单位还有mH （毫亨）等。
正弦交流电路_单一参数的正弦交流电路
iL
+
uL
L
−
u 波 形 图0
i
U•
相
t
量 图
I• 0°
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（2）大小关系
uL L Im sin( t 90 ) U m sin( t 90 )
最大值： U m L I m 有效值： U ω L I
定义： X L L ——感抗
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）相量关系 I I 0 U U 9 0 X L I 90 0 X L 90 I 0 jX L I
U jX L I j L I
u
i
0
t
第二章 正弦交流电路
2.功率 （1）瞬时功率
p ui
U m I m s in t s in t 90
（能量的吞吐）。
0
t
p
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）无功功率 为了同电感的无功功率相
p u i UI sin 2t
比较，设电流 i I m s in t
u
i
为参考量，则： u U m sin( t 90 )
p uHale Waihona Puke U I sin 2 t0
t
储放 储放储放 能能 能能能能
p
0
t
u
i
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
2. 功率
平均功率（有功功率） P 1 T pdt U I I 2 R U 2
T0
R
平均功率衡量电路 中所消耗的电能， 也称有功功率。
第3章正弦交流电路
3）指数形式
A =r (cos jsin) = re j
4）极坐标形式
A=r∠
从图中可以看出，复数A的实部a、虚部b与模r构成一个直角三角形。
三者之间的关系为
r a2 b2
arctan b
个正弦量同相，如图4.2 (b)所示；
(4) 当 12 = 时，一个正弦量到达正最大值时，另一个正弦量到达
负最大值，此时称第1个正弦量与第2个正弦量反相，如图4.2 (c)所示；
(5) 当 12 = /2时，一个正弦量到达零时，另一个正弦量到达正最
大值(或负最大值)，此时称第1个正弦量与第2个正弦量正交。如图4.2 (d) 所示。
U1 U1 1
U U1 U 2
U 2 U 2 2
u(t ) 2 U cos( t )
故同频正弦量相加减运算变成对 应相量的相加减运算。
i1 i2 = i3
I1 I2 I3
3.2 单一参数正弦交流电路的分析
一、纯电阻元件电路
1. 电阻元件 在正弦电路中，电流、电压虽然都是随时间变化
= 311sin(30°)= 115.5V
i= 5sin(314t 90°) = 5sin(314×0.00333 90°) = 5sin(150°)
= 2.5A
可见，当两个同频率正弦量的计时起点变化时，各自的相位将发生
变化，但其相位差不变。说明相位的大小与计时起点的选择有关，
而相位差与计时起点的选择无关。
(2)、 乘除运算——极坐标为例
若 A1= r1 1 ，若A2= r2 2
则
A 1
正弦交流电路PPT课件
06
正弦交流电路的应用实例
变压器
变压器是利用电磁感应原理，将一个电压等级的交流电能转换成另一个电压等级的交流电能 的装置。
在电力系统中，变压器是不可或缺的重要设备，用于升压或降压输电线路中的电压，以满足 用电设备和发电机的需求。
变压器还广泛应用于工业、商业和居民用电领域，用于电压变换、电流匹配和相位变换等。
家用电器如电灯、电视、 空调等都使用正弦交流电， 使得电器能够正常工作。
正弦交流电路的基本元件
电阻器
在正弦交流电路中，电阻器用于 限制电流，消耗电能并产生热量。
电感器
电感器能够阻碍电流的变化，在正 弦交流电路中用于滤波、隔离和储 能。
电容器
电容器能够储存电荷，在正弦交流 电路中用于滤波、移相和隔直。
电力系统中的电压和电流都是正弦交流 的，因此需要掌握正弦交流电路的基本
原理和计算方法。
电力系统的稳定性、安全性和经济性等 方面都与正弦交流电路密切相关。
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THANKS
通过阻抗三角形，可以方便地计算出 电压和电流的相位差以及功率因数。
它通过三个边分别表示阻抗、电阻和 电抗，以及电压和电流的有效值。
功率分析
功率分析是正弦交流电路分析的 重要内容之一，主要关注电路中
的能量传输和消耗。
平均功率表示电路中能量传输的 平均效果，是衡量电路性能的重
要指标。
无功功率和视在功率也是正弦交 流电路中重要的功率形式，它们 分别表示了电路中的储能和容量。
电机控制
正弦交流电路在电机控制中发挥着重要作用，如交流电动机的控制。
通过改变输入到交流电动机的电压或频率，可以实现电机的启动、调速 和制动等功能。
交流电机控制技术广泛应用于工业自动化、交通运输、家用电器等领域。
第四章： 正弦交流电路
= 2U sin (t+90)
i
【小结】电感两端电压和电流关系：
O
ωt
① 两者频率相同；
90
② 电压超前电流90，即相位差为：
= u i 90
③ 大小关系：U=I·L=I· XL ； XL为感抗；
20
i(t)= 2I sin t
u(t)= 2IL sin (t+90)
2. 感抗：Ω
∵ 有效值：U =I L
u
i
o
ωt
i
i
i
i
+
--
+
u uuu
-
++-
p(t)
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
∵ 储存能量和释放能量交替
进行 ∴ 电感L是储能元件。
【结论】纯电感不消耗能量， 只和电源进行能量交换（能量 的吞吐)。
ωt
储能 释能 储能 释能
24
(3)无功功率Q：
用以衡量电感电路中与电源交换能量的瞬时最大值即振幅 称作~。即：
正确写出幅、角的值。如：
+j
B 4
A
A 3 j4
第一象限
4 A 5 arctan
3
-3 0 C -4
B 3 j4
第二象限
4 B 5(180 arctan )
+1
3
3
C 3 j4
第三象限
4 C 5(arctan 180)
3
D
D 3 j4
第四象限
4 D 5( arctan )
3
式中的j 称为旋转因子，复数乘以j相当于在复平面上逆
第2章 正弦交流电路
eU Em sin t eV Em sin(t 120 ) eW Em sin(t 120 )
（2-31）
相应的波形图、相量图如图2-16（a）、 （b）所示。
图2-16 三相对称电动势
2．三相电源的星形联结
（1）星形联结
把上述三相绕组的末端U2、V2和W2连在一 起，就构成星形联结，如图2-17所示。
UR U 311 2 V 220V
【例2-4】
根据式（2-10），电流有效值为
P 100W IR 0.455A U R 220V
2.2.2 纯电感电路
1．电压和电流的关系
纯电感电路如图2-10（a）所示，电感电
流与电压参考方向一致，设电感电流为
iL 2 I L sin t
2.3.1 电压和电流关系 2.3.2 电路的功率和能量转换
2.3.1 电压和电流关系
RLC串联电路如图2-12所示，取电压和电 流的参考方向一致。 为便于分析，电路中各量均采用相量表 示，各元件也采用相量化模型。
图2-12 RLC串联电路
用相量法分析电路如下。
（1）作相量图
图2-13 相量图
（2）求相量和
IL IP
【例2-8】三相电源作星形联结，线电压是 380V，负载是额定电压为220V的电灯组，问： （1）三相负载采用什么联结方式； （2）若三相负载的等效电阻 R1=R2=R3=510 ， 求相电流、线电流和中线电流； （3）若三相负载的等效电阻分别为 R1=510 ， R2=510，R3=2k，求中线电流。
QC UC IC 50 0.157 var 7.85var
当 f 5 000Hz 时，
XC IC 1 1 3.19 2π fC 2 3.14 5 000 10 106
交流电路
t
如果相位差为+180 或-180 ,称为两波形反相
三、 正弦量的表示方法
i
波形图
t
i sin 1000 30 t
必须 小写
瞬时值表达式
相量
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法
正弦波的相量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量 在纵轴上的投影值来表示。
努力 努力 目标一定能达到
第三章 正弦交流电路
主要内容 §3～1．正弦交流电 §3～2．电阻、电感和电容元件 §3～3．功率因数的提高 §3～3 三相交流电动势的产生、
电源的连接
§3～3 三相负载的连接
条形磁铁的磁感线
第一节 正弦交流电
直流电——电流大小与方向不随时间而变化 交流电——电流大小与方向随时间而变化 如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正 弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向
则有
1 T 2 I i dt 0 T
当 i I m sin
t 时，
可得
Im I 2
问题与讨论
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于
220V 的线路上?
~ 220V
电器
最高耐压 =300V
有效值 U = 220V 电源电压 最大值 Um =
2 220V = 311V
用正弦定理求角： U2 U = sin sin
u=
2U sin t
= 1+
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。
新问题提出： 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 故引入相量的复数运算法。 相量 复数表示法 复数运算
《电工电子技术》——正弦交流电路
dt
dt
Im sin(wt 90)
1 电压与电流之间的频率关系 电容元件两端的端电压与电流是同频率的正弦电量。
2 电压与电流之间的数值关系
最大值
Im
wCU m
Um 1 /(wC )
有效值
I wCU U U 1/(wC) X c
X c 等于电压有效值与电流有效值之比，单位为欧[姆]，称为容 抗。
计算过程请参考书本，相量图为：
2.3单一参数交流电路
2.3.1单一电阻元件正弦交流电路 一、单一电阻元件正弦交流电路电压与电流之间的关系
i
u
R
i u U m sin(wt u )
R
R
2U R
sin(wt
u
)
单一电阻元件正弦交流电路电压与电流之间有如下几种关系：
1 电压与电流之间的频率关系 在单一电阻电路中，通过电阻元件的电流与其两端电压是 同频率的正弦电量。
I Ie j i I i
I 为有效值
二、相量图
在复数平面上，用几何图形表示正弦量的相量的图，称为相 量图。
已知正弦电压： 相应的电压相量为
u 220 2 sin(wt 45)
U 22045
已知正弦电流： 相应的电流相量为：
i 8 2 sin(wt 30)
字母 T 表示，单位是秒（s）。正弦量在1秒时间内重复变化的
周期数称为频率，用小写字母 f 表示，单位为赫兹（Hz），如 果1秒钟内变化一个周期，频率是1Hz。周期与频率互为倒数关 系：
f 1 T
在我国，发电厂提供的交流电的频率为50Hz，其周期 T 0.02， 这一频率称为工业标准频率，也称工频。
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U L j L I L jX L I L , U Lm j L I Lm
.
iL
L
uL
+
. _
.
IL
.
jX L
UL
IL
j L
UL
+
. _
+
. _
南京理工大学电光学院
电路
3.4 正弦交流电路中的电感元件
U L j L I L
U 超前！
UL
LI L
u
IL
i IL
电感电压超前 电感电流90˚
3.8 复杂正弦交流电路的分析与计算
3.9 正弦交流电路的功率及功率因数的提高
电路 南京理工大学电光学院
3.4 正弦交流电路中的电感元件
电路
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3.4 正弦交流电路中的电感元件
♣ 电感元件(Inductance)
1、时域分析 2、相量分析 3、瞬时功率
4、有功功率（平均功率）
5、无功功率
瞬时功率 当iL＝ILmsin(ωt+Ψi)时，uL＝ULmcos(ωt+Ψi)，则:
pL (t ) uL iL U Lm cos(t i ) I Lm sin(t i ) U L I L sin 2(t i )
uL(t), iL(t),pL(t)
0
t
电路
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3.5 正弦交流电路中的电容元件
1 1 I C jC U Cm , U C IC j I C jX C I C jC C
.
iC
C
uC
+
. _ .
IC
.
jX C
UC
IC
1 j C
UC
+
. _
+
. _
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电路
3.5 正弦交流电路中的电容元件
南京理工大学电光学院
电路
3.4 正弦交流电路中的电感元件
线性电感
iL uL
Ψ
0
Ψ
L
单位：H(亨利)
iL
i
.
电路
iL
+
uL
_.
diL d d[ LiL ] uL L dt dt dt
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3.4 正弦交流电路中的电感元件
.
diL uL L dt
iL
+
uL
_.
1 t iL (t ) u L ( )d L 电感元件是记忆元件
2 L L
2 L
单位: Var (乏)
电路
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3.5 正弦交流电路中的电容元件
电路
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3.5 正弦交流电路中的电容元件
♣电容元件(Capacitance)
1、时域分析
2、相量分析
3、瞬时功率
4、有功功率（平均功率）
5、无功功率
电路
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3.5 正弦交流电路中的电容元件
i
u
I R与U R 共线
电路
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3.3 正弦交流电路中的电阻元件
平均功率
衡量元件消耗的功率用瞬时功率在一个周期内的平均值 表示，即平均功率P：
2 U 1 2 PR U R I R U Rm I Rm RI R R 2 R
平均功率又称为有功功率, 单位为W
能 量
经t小时在电阻元件上消耗的电能：
U
i 22.2 2 sin(314t )mA, I 22.20mA 3
Q UI 70.7 22.2 103 1.57Var
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单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 （正方向） 关系 i 复数 阻抗 设 电压、电流关系 功率
作业
3-4 3-7 3-9
电路
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3.2 正弦量的相量表示法
复数
A a jb — 代数表示 j2 1
+j
A
— 向量表示
b |A|
.A
— 几何表示
| A | a b
2
2
0
a +1
b tan a
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电路
3.2 正弦量的相量表示法
A a jb
7.3 相量法的基本概念
相量的微分运算
df (t ) j Fm dt
k
d f (t ) (j ) Fm dt
k
电路
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正弦交流电路的电阻元件
.
iR
R
uR
+
. _ . _
uR (t ) R iR (t )
.
IR
R
UR
UR RIR
UR
+
IR
u i , u i 0
WR PRt
电路
单位：千瓦小时(kW h)或度
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.
第3章 正弦交流电路
目 录
3.1 正弦交流电的基本概念 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 正弦交流电路中的电阻元件 3.4 正弦交流电路中的电感元件 3.5 正弦交流电路中的电容元件
3.6 基尔霍夫定律的相量形式
3.7 阻抗和导纳
.
duC iC C dt
iC
C
uC
+
. _
I Cm jCU Cm , I C jCU C
I C C ( j U C )
I Lm CUCm , I L LUC
uC(t),iC(t)
2
i u
2
, u i
0
uC滞后iC 90
电路
t
B
0
电路
A
+1
A
B
0 +1
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A B
3.2 正弦量的相量表示法
复数的乘除法
复数的乘除法以极坐标的形式运算较方便：
A | A | e ja | A | a , B | B | e jb | B | b
A B | A | B e j(a b ) | A || B | (a b )
_
L
u 220 2sin(t 90 )V
（2）当U 127 30 V时 U j L I j2 fL I j31.4 I V
.
-30o
I
电路
U 127 30 I 4.04 120A j31.4 U j31.4 南京理工大学电光学院
3.4 正弦交流电路中的电感元件
电容元件是记忆元件
瞬时功率
duC pC uC iC CuC dt
电容元件的储能
C 2 C 2 t 2 从 t 的储能： WC (t ) / [uC (t ) uC ( )] uC (t ) 0 2 2
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3.5 正弦交流电路中的电容元件
瞬时功率
diL pL uL iL LiL dt
电感元件的储能
从 t 的储能：WL (t ) /
电路
t
L 2 L 2 2 [iL (t ) iL ()] iL (t ) 0 2 2
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3.4 正弦交流电路中的电感元件
.
diL (t ) u L (t ) L dt
瞬时值
有效值
相量图
相量式
有功功率 无功功率
u 2U cos t
I
U IR
U
R
u
u iR
R
则
U IR
u、 i 同相
UI
0
i 2 I cos t
设
i
L
u
di jX L 则 uL dt jL u 2 I L sin(t 90)
jX C
i 2 I sin t
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3.4 正弦交流电路中的电感元件
无功功率
p uL iL U L I L sin 2(t i )
为了描述电感元件与外部能量交换的规模，引入无功功率 的概念。电感元件与外部能量交换的最大速率(即瞬时功率 的振幅)定义为无功功率:
QL
U ULIL X I XL
A | A | j (a b ) | A | e (a b ) B |B| |B|
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7.3 相量法的基本概念
相量
Fm Fme j Fm — 最大值相量
可以表征一个正弦量的复值常数称为相量
F F — 有效值相量
Fm 2 F
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iL
+
uL
_.
U Lm j L I Lm , U L j L I L
U L L( j I L )
U Lm LI Lm , U L LI L
2
u i
2
, u i
iL(t),uL(t) 0
uL超前iL 90
电路
t
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3.4 正弦交流电路中的电感元件
线性电容的相量电路 、相量图如下：
.
IC
1 j C
UC
IC
IC
+
. _
1 IC C