复变函数复习及习题课20101123

解析函数计算
[例28] 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)为解析函数，试确 定l，m和n的值。 [例29] 设 v e px sin y ，求p的值使v为调和函数，并 求出解析函数f(z)=u+iv。
解析函数证明题
[例33]
[例34]
三、复变函数积分
[例41] 计算积分
( x y ix 2 )dz ，C为直线段0到 C
[例70]
五、留数计算举例
[例81] 判定 e
z 1 z
的孤立奇点的类型，并求其留数。
[例83] 判定
(
1 1 sh ) sin(z ) z z 1
的奇点类型，并求
孤立奇点处的留数。
1+i。
[例42] 计算积分 C ( z 2 zz )dz ，C为圆周|z|=1上从
1到–1的上半圆周。
复变函数积分来自百度文库
[例44]
复变函数积分
[例45] 计算或讨论下列各式的值，其中z为复数。
（1） （2）
z 3

ez dz 2 z ( z 1)
cos 9 x cos x dx
四、级数
复变函数 复习及习题课
张建瓴
重点内容
1、复数与复变函数：求极限、复数计算及化简； 2、解析函数：函数解析的判定，调和函数； 3、复变函数的积分：曲线积分计算 4、级数：收敛半径及收敛域的判定，解析函数的展 开； 5、留数：极点确定、留数计算
一、复数与复变函数
（1）复数的计算与化简
（2）函数的连续性
（1） lim
z 0
Re z z
z 2 iz 1 i lim （2） z(i1) z 2 2i
（3） lim
z i
z i z (1 z 2 )
1 z z （4）lim 2i ( z z ) ( z 0) z 0
复数证明题举例
[例9] 证明 z 1 z 2 z 1 z 2 [例10] 证明：|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2)，并说明 其几何意义。 [例11] 设z1、z2、z3三点适合条件：z1+z2+z3=0， |z1|=|z2|=|z3|=1。证明：z1、z2、z3是内接于单位圆 |z|=1的一个正三角形的顶点。
( z n1 z n ) 的敛散性。 [例61] 讨论级数
n0
级数收敛半径
[例62] 求下列级数的收敛半径。 （1） (cos(in))z
n 1 n
zn （2） n a ib n n1


(a 0, b 0)
(3 4i ) n z 2 n （3）
n1
二、解析函数举例
[例20]
解析与可导
[例23] 讨论函数 f ( z) 3 z 2 z 2 在复平面上何处 可导？何处解析？
[例24] 讨论函数
1 z
在复平面上何处可导？何处解析？
[例25] 讨论函数 f ( z) ( x 2 y 2 x) i(2xy y 2 ) 在复 平面上何处可导？何处解析？
（3）复数极限
复数与复变函数举例
[例1]
[例3] 计算下列各式的值
（1） （2）
复数计算举例
[例4] 求满足下列条件的所有复数： （1）z
13 z
13 6 ； 是实数，且 1 z z
（2）z的实部和虚部都是整数，且z实部为奇数。
复数极限计算
[例6] 计算或讨论下列各式的值，其中z为复数
1 n n （4） (sin ) z n n1

收敛半径
[例63]
级数计算
[例65] 计算或讨论下列各式的值，其中z为复数。
i 2n （1） n 0 ( 2n)!

（2） n(n 1)(2i) n
n2

lim1 z z 2 z n1 （3）
n
解析函数展开