三角函数 章末检测

三角函数 章末检测
班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列命题中正确的是( ) A ．终边相同的角一定相等 B ．锐角都是第一象限角 C ．第一象限角都是锐角 D ．小于90°的角都是锐角 答案：B
2．已知sin(2π－α)＝4
5，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α
等于( )
A.17 B ．－17 C ．－7 D ．7 答案：A
解析：∵sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝4
5，
∴sin α＝－4
5.
∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，2π，∴cos α＝1－sin 2α＝35.
∴sin α＋cos αsin α－cos α＝－45＋35－45－35＝－1
5－
75
＝17. 3．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( ) A.2π3 B.11π6 C.5π6 D.3π4 答案：B 解析：∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝11
6π.
4．若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )
A ．2 B.1
2 C ．
3 D.1
3 答案：B
解析：由y ＝2cos ωx 在⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则
有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝1，即2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω×2π3＝1，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＝1
2，检验各选项，得出B 项符合．
5．sin(－1740°)的值是( )
A ．－32
B ．－1
2 C.12 D.32 答案：D
解析：sin(－1740°)＝sin60°＝3
2.
6．函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 答案：B
解析：当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－32，3.
7．下列函数中，在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数的偶函数是( ) A ．y ＝|sin x | B ．y ＝|sin2x | C ．y ＝|cos x | D ．y ＝tan x 答案：A 解析：作图比较可知．
8．要得到函数y ＝cos(3x ＋2)的图象，只要将函数y ＝cos3x 的图象( )
A ．向左平移2个单位
B ．向右平移2个单位
C ．向左平移2
3个单位
D ．向右平移2
3个单位 答案：C
解析：∵y ＝cos(3x ＋2)＝cos3⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x ＋23，
∴只要将函数y ＝cos3x 的图象向左平移2
3个单位即可．
9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最
小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.32
C ．－32 D.1
2 答案：B
解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝sin π3＝32. 10．若函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ax ＋π4(a >0)的最小正周期为1，且g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
sin ax (x <0)g (x －1)(x ≥0)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56等于( )
A ．－12 B.1
2 C ．－32 D.3
2 答案：C
解析：由条件得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2π
a ＝1，∴a ＝2π，
∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝ sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＝－32. 11．已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在⎝
⎛⎭
⎪⎫
π2，π上单调递减，则ω
的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2] 答案：A
解析：因为ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，所
以ωπ2＋π4≤ωx ＋π4≤ωπ＋π
4，所以⎩⎪⎨⎪⎧
ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π
2，
解得12≤ω≤5
4，故
选A.
12．下图为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮自点A 开始旋转，15s 旋转一圈．水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )
A ．ω＝2π15，A ＝3
B ．ω＝15
2π，A ＝3
C ．ω＝2π15，A ＝5
D ．ω＝15
2π，A ＝5 答案：A
解析：∵T ＝15，故ω＝2πT ＝2π
15，显然y max －y min 的值等于圆O 的直径长，即y max －y min ＝6，故A ＝y max －y min 2
＝6
2＝3. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝m ，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝________. 答案：m
解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－α＝m . 14．已知f (x )的定义域为(0,1]，则f (sin x )的定义域是________． 答案：(2k π，2k π＋π)，k ∈Z
解析：由0<sin x ≤1得2k π<x <2k π＋π(k ∈Z )．
答案：{x |2k π≤x ≤2k π＋π
3，k ∈Z }．
解析：由题意知⎩⎨⎧sin x ≥0
cos x －1
2≥0，
即⎩⎨⎧
sin x ≥0
cos x ≥12
，
如图，结合三角函数线知：
⎩⎪⎨⎪⎧
2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )2k π－π3≤x ≤2k π＋π3 (k ∈Z )
，
解得2k π≤x ≤2k π＋π
3(k ∈Z )，
∴函数的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π
3，k ∈Z }．
16．关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是________．
①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π6；
②y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π6，0对称；
③y ＝f (x )的最小正周期为2π；
④y ＝f (x )的图象的一条对称轴为x ＝－π
6. 答案：①②
解析：4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π6，故①②正确，③④错误． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知角α的终边经过点P ⎝
⎛⎭⎪⎫45，－35. (1)求sin α的值；
(2)求sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值．
解：(1)∵|OP |＝1，∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.
(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·
cos α＝1
cos α. 由余弦函数的定义得cos α＝45，故所求式子的值为5
4.
18．(12分)已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－2 2ax ＋a ＝0的两个根．
(1)求实数a 的值；
(2)若θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，0，求sin θ－cos θ的值．
解：(1)∵(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，
又∵⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ＋cos θ＝2 2a ，sin θ·cos θ＝a ，
∴a ＝12或a ＝－1
4，经检验Δ≥0都成立，
∴a ＝12或a ＝－14.
(2)∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，0，∴a <0，
∴a ＝－1
4且sin θ－cos θ<0，
∴sin θ－cos θ＝－6
2.
19．(12分)若函数f (x )＝a －b cos x 的最大值为52，最小值为－1
2，求函数g (x )＝－4a sin bx 的最值和最小正周期．
解：当b ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝52
a －
b ＝－12
⇒⎩⎨⎧
a ＝1，
b ＝32，。