例谈高考数学常考易错失分点之集合简易逻辑篇

例谈高考数学常考、易错、失分点--集合简易逻辑篇

【易错点1】有关集合的常见错误

例1、已知21|23A x y x x ⎧

⎫==⎨⎬-++⎩⎭，{}|B x x P =<，若B A ，则实数P 的取值范围是（）

A 、(]0,1

B 、(],1-∞

C 、(]1,3-

D 、(),1-∞

【易错点诊断】解类此题最常见的错误就是一方面易忽略空集这种特殊情况，而直接将集合B 化简为{}|x p x P -<<进行解答，另一方面解答集合问题特别是利用数轴进行集合运算时易忽视端点值等号是否取到，在解答时要注意这一细节，须知细节决定成败。

解析：据题意可知集合A 表示函数21

23y x x =-++的定义域，易化简得

{}|13A x x =-<<，由于B A ，故当B φ=时，即0P ≤时易知符合题意；当0p >时，

{}|B p x p -<<，要使B A ，结合数轴知需13p p -<-⎧⎨<⎩

或1p -=-（经验证符合题意）或3p =（经验证不合题意舍去）

，解得01P <≤，故综上所述可知满足条件的P 的取值范围是(],1-∞，答案：B

【迷津指点】在解答集合一类问题时，特别注意象空集这种特殊集合的讨论、集合中元素的互异性的要求以及利用数轴进行运算时端点值等号是否取得这些易出现错误的方面。高考中对集合的考查主要集中在对概念及运算的考查上，同时还体现在集合的语言表达（集合语言与自然语言的转化）、符号表示、直观图形（韦恩图）这三方面，要在先“代表元素”后“元素属性”的原则下加以理解与解题；此外还应注意集合与不等式、集事与方程、集合与函数的关系，以体现集合的工具性和它在解决其它数学问题中的作用。

【适用性练习】

①设函数()1

x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 ( )A 、(-∞,1) B 、(0,1) C 、(1,+∞) D 、 [1,+∞)

答案:C.

②设函数()321

x f x x +=-+A,()()()()lg 121g x x a a x a =---<⎡⎤⎣⎦的定义域为B,若B A ⊆,求实数a 的取值范围.

答案:2a ≤-或112

a ≤<. ③已知集合},2|{},1|{R y y y R x x x M ∈≠⋃∈≠=，集合}2211|{><<<=x x x x P 或或， 则P M 与之间的关系是（ ）

A 、P M ⊂

B 、M P ⊂

C 、M P =

D 、φ=⋂P M

答案：B 解析：结合数轴解答。本题易错点在于集合M 的判断，易认为集合M 为{|1122}P x x x x =<<<>或或，而误选C ④已知集合4|11A x x ⎧

⎫=>⎨⎬+⎩⎭

，{}|||B x x a =<,若A B B =，则实数a 的取值范围是 。（答案：1a ≤）

【易错点2】补集思想的运用

例2、已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。

【易错点诊断】此题中含有“至少”一词，考生在解答时若从正面讨论导致讨论不全或增加运算量，导致思维受阻或浪费大量考试时间。

解析：当函数12)2(24)(2

2+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-满足()0f c ≤恒成立时，

结合二次函数的图象知只需()()221023903210210f p p p f p p -≤⎧⎧+-≥⎪⎪⇒⇒≥⎨⎨≤--≥⎪⎪⎩⎩或3p ≤-，即当3|32p p p p ⎧⎫∈≤-≥⎨⎬⎩

⎭或时()0f c ≤，故满足已知条件0)(>c f 的实数p 是其补集即3(3,)2

p ∈-. 【迷津指点】补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题,渗透着反证法的思想,在解题过程中要注意运用正难反易的辨证法解题.

【适用性练习】

已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.求证：三个方程ax 2+2bx +c =0，bx 2+2cx +a =0，cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根.

证明：反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1=4b 2－4ac ≤0，Δ2=4c 2－4ab ≤0，

Δ3=4a 2－4bc ≤0.相加有a 2－2ab +b 2+b 2－2bc +c 2+c 2－2ac +a 2≤0，（a －b ）2+（b －c ）2+（c －a ）

2≤0.①由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立.∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.

【易错点3】混淆命题的否定与否命题

例3、写出命题“质数不是正偶数”的否命题

【易错点诊断】此题易写成“质数是正偶数”作为原命题的否命题，即将“命题的否定与否命题”这两个不同的概念混淆在一起了。

解析：原命题的否命题是“若一个数不是质数，则这个数是偶数”

【迷津指点】“命题的否定与否命题”是两个不同的概念，对于命题“P ”而言，命题的否定指的是“非P ”，对于命题“若P 则q ”而言，它的否定形式则为“若P 则非q ”，而其否命题是“若非P 则非q ”,由此可见，“否命题”是对原命题“若P 则q ”既否定其条件，又否定其结论，不否定原命题的条件，从命题的真假来看原命题的否定必定一真一假，而其

否命题的真假可能与原命题同真或同假或一真一假。因此要写一个命题的其它形式的命题应首先将其写成“若P 则q ”的形式，有的“p 或q ”与“p 且q ”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p 或q ”还是“p 且q ”形式.一般地，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”. 再根据其它命题的结构形式，写出其它形式的命题，这样才能有效的避免出错。

【适用性练习】

（1）下列结论正确的有 （所有真命题的序号都填上）

①P 是一个简单命题，则P 与非P 有且只有一个正确；②已知甲：3x y +≠，乙：1x ≠或2y ≠，则甲是乙的充分但不必要条件；③已知()0f x >的解集为A ，R 为实数集，则()0f x ≤的解集为R C A ；④()2f x ax bx c =++()0a ≠在[)0,+∞上单调递增的一个充分不必要条件是02b a

-< 解析：①正确；②正确，可从逆否命题判断；③错误；注意函数的定义域不一定为实数集如()11

f x x =-；④错误；与二次函数开口方向即a 的正负有关。故①②是正确的。 （1）写出下列命题的否定:（1）0和2都是偶数；（2）三角形ABC 是等腰直角三角形；（3）三角形至多中一个内角是钝角。

解析：（1）0和2不都是偶数；（2）三角形ABC 不是等腰三角形或不是直角三角形；（3）三角形至少有两个内角是钝角。

（2）如果原命题的结论是“p 且q ”形式，那么否命题的结论形式为

A.⌝p 且⌝q

B.⌝p 或⌝q

C.⌝p 或⌝q

D.⌝q 或⌝p

解析：p 且q 的否定为⌝p 或⌝q .

答案：B

（3）命题p :若a 、b ∈R ，则|a |+|b |＞1是|a +b |＞1的充分而不必要条件；

命题q :函数y =2|1|--x 的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则

A.“p 或q ”为假

B.“p 且q ”为真

C. p 真q 假

D. p 假q 真

解析：∵|a +b |≤|a |+|b |，若|a |+|b |＞1，不能推出|a +b |＞1，而|a +b |＞1，一定有|a |+|b |＞1，故命题p 为假.又由函数y =2|1|--x 的定义域为|x －1|－2≥0，即|x －1|≥2，即x －1≥2或x －1≤－2.故有x ∈（－∞，－1］∪［3，+∞）.∴q 为真命题.答案：D

（4）已知命题p :函数y =log a （ax +2a ）（a ＞0且a ≠1）的图象必过定点（－1，1）；命题q :如果函数y =f （x －3）的图象关于原点对称，那么函数y =f （x ）的图象关于点（3，0）对称.则

A.“p 且q ”为真

B.“p 或q ”为假

C. p 真q 假

D. p 假q 真

解析：解决本题的关键是判定p 、q 的真假.由于p 真，q 假（可举反例y =x +3），因此正确答案为C.