(完整版)二次函数对称性的专题复习.docx
二次函数对称性(可编辑修改word版)
（一）、教学内容1.二次函数的解析式六种形式 ① 一 般式 y=ax 2+bx+c(a≠0) ② 顶点式③ 交点式y = a (x - h )2 + k （a≠0 已知顶点）y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （a≠0 已知二次函数与 X 轴的交点）④ y=ax 2(a≠0) (顶点在原点)⑤ y=ax 2+c (a≠0) (顶点在 y 轴上)⑥ y= ax 2+bx (a≠0) (图象过原点)2. 二次函数图像与性质 对称轴： x = -2a顶点坐标： (- b 4ac - b 2, )2a 4a与 y 轴交点坐标（0，c ）增减性：当 a>0 时，对称轴左边，y 随 x 增大而减小；对称轴右边，y 随 x 增大而增大当 a<0 时，对称轴左边，y 随 x 增大而增大；对称轴右边，y 随 x 增大而减小☆ 二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为 x 1, x 2其对应的纵坐标相等那么对称轴: x = x 1 + x 22与抛物线 y=ax 2 +bx+c(a≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2 -bx+c(a≠0) 与抛物线 y=ax 2 +bx+c(a≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a≠0)当 a>0 时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大； 当 a<0 时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；【典型例题】题型 1 求二次函数的对称轴1、 二次函数 y= x 2 -mx+3 的对称轴为直线 x=3，则 m=。
2、 二次函数 y = x 2 + bx + c 的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是 （ ） （A ） x = -1 （B ） x = 1 （C ） x = 2 （D ） x = 33、 y=2x 2 -4 的顶点坐标为，对称轴为 。
二次函数的对称性
一、引入f x=x2的图像关于y 轴对称,为啥子呢?答案一: 折叠能重合.答案二:f x=x2关于y轴对称的点都在f x=x2上.（作y=x2图像）（线由点构成）讲:设（a,b）是f x=x2上任意一点,则b=f a=a2.而（a,b）关于y轴的对称点为（−a,b），则f−a=a2=b.∴（−a,b）在f x=x2图像上. ∴f x=x2关于 y轴对称.∴f−a=f(a). ﹡对函数f x来讲, 将﹡式用文字语言描述: 自变量互为相反数, 函数值相等, 称之为偶函数. 对所以图像关于轴对称的函数都有此性质吗? 用余弦函数图像说明混脸熟.二、新课1、如果对一切使F x有定义的x, F−x也有定义, 并且F−x=F x成立, 则称F x为偶函数。
类比:如果对一切使F x有定义的x,F−x也有定义, 并且F−x=−F x成立, 则称F x为奇函数.2、从函数三要素来分析奇函数、偶函数.①定义域：在数轴上关于原点对称.②解析式举例: 奇函数: x n（n为奇数），偶函数：x n（n为偶数）.③值域：无限制。
例1. 判断下列函数的奇偶性。
（1）f x=|x+1|+|x−1|.（2）f x=1−x2x+1.（3）f x=12x2+1 x>0;−12x2−1 x<0.（4）f x=1−x2|x+2|.例2. 已知f x为R上奇函数. 当x>0时, f x=−2x2+3x+1.(1) 求f x解析式.(2) 做出函数f x的图像.小结：基本知识: 1.奇、偶、定义域特点.2.判断函数奇偶性的方法.数学习惯: 符号语言, 文字语言, 图形语言的转换.数学思想: 类比, 函数思想——用研究函数的方法研究函数(三要素、性质). 作业：一、复习引入回顾上节小结的内容（具体化）.二、新课1、具有奇偶性的函数, 其单调性如何？举例：f x=x2,g x=1x.结论：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同.偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.2、二次函数f x=a(x−1)2+1a≠0的对称轴是x=1为什么？①图像上观察：1+t,a t2+1,(1−t,a t2+1)②解析式：f1+t=f1−t,t∈R成立.③将上式翻译成文字语言：对来说，自变量和为2，函数值相等.④一般化：f x=a(x−h)2+k关于x=h对称.f x= ax2+bx+c对称轴为x=−b2a.点: 对任意x∈R， f h+t=f h−t.自变量和为2h，则图像关于x=h对称.⑤更一般化：对其它（非二次函数）. 若f a+x=f a−x, x∈R成立，则函数f x图像关于x=a对称.3、二次函数图像的分类y= ax2+bx+c a≠0①②③④⑤⑥课外思考题：从偶函数图像关于y轴对称，解析式满足f−x=f x可得出：一般函数图像关于x=a对称，其解析式满足f a+x=f a−x.用类比方法, 得出函数图像关于a,0对称, 其解析式满足的条件, 并翻译成文字语言.例1. 已知二次函数f x同时满足①f1+x=f1−x②f(x)的最大值为15 ③f x=0的两根立方和等于17, 求f x的解析式.优化方案P35, 随堂自测.(1)、（2）、（3）、（4）小结：（1）f(x)= ax2+bx+c a≠0的对称性.（2）f(x)对称轴x=a f a+x=f a−x对一切x∈R成立.数学思想：①特殊到一般②类比方法上类比结论上类比作业：。
二次函数的图象和性质——对称性 专题训练卷(含答案详解)
1.2.8二次函数的图象和性质——对称性1．函数f(x)＝x3＋1的奇偶性为()．A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(x)在(－∞，0)上()．A．递增B．递减C．先增后减D．先减后增3．函数f(x)＝x2＋2x＋2，x∈(1,4]的值域是()．A．(5,26] B．(4,26]C．(3,26] D．(2,26]4．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是()．A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(x)·f(－x)≤0D．()1 ()f xf x=--5．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是递增函数，则()．A．f(－1)＜f(－1.5)＜f(2)B．f(－1.5)＜f(－1)＜f(2)C．f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)D．f(2)＜f(－1)＜f(－1.5)6．若函数y＝x(ax＋1)是奇函数，则实数a＝__________. 7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋1，f(1)＝3，则f(－1)＝__________.8．已知f(x)是偶函数，其定义域为R，且在[0，＋∞)上是递增函数，则74f⎛⎫- ⎪⎝⎭与f(2)的大小关系为__________．9．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b为常数)满足f(0)＝f(1)，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的值域．10．求函数f(x)＝x2－2ax－1在闭区间[0,2]上的最大值和最小值．参考答案1.答案：D解析：函数定义域为R，且f(－x)＝－x3＋1，∴f(x)≠f(－x)，且f(x)≠－f(－x)．因此，此函数既不是奇函数也不是偶函数．2.答案：A解析：由f(x)是偶函数知2m＝0，即m＝0.此时f(x)＝－x2＋3，开口向下，对称轴为y轴，所以在(－∞，0)上单调递增．选A．3.答案：A解析：由于f(x)＝(x＋1)2＋1，对称轴为直线x＝－1，因此f(x)在(1,4]上是单调递增的，所以当x∈(1,4]时，f(1)＜f(x)≤f(4)，即5＜f(x)≤26，故选A．4.答案：D解析：()1()f xf x=--当f(－x)＝0时不成立，故选D．5.答案：C解析：f(x)是偶函数，且在(－∞，－1]上是递增函数．而f(2)＝f(－2)，且－2＜－1.5＜－1，所以f(－2)＜f(－1.5)＜f(－1)．即f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)，故选C．6.答案：0解析：由于f(x)＝x(ax＋1)＝ax2＋x，又f(x)是奇函数，必有a＝0.7.答案：－1解析：由f(x)＝x3＋ax＋1得f(x)－1＝x3＋ax.∵f (x)－1为奇函数，∴f(1)－1＝－[f(－1)－1]，即f(－1)＝－f(1)＋2＝－3＋2＝－1.8.答案：74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)解析：∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则7744f f⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而724<，∴74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)．9.解：(1)∵f(x)＝x有两个相等的实数根．∴x2＋(a－1)x＋b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(a－1)2－4b＝0.①又f(0)＝f(1)，∴a＋b＋1＝b.②由①，②知a＝－1，b＝1，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)∵213()24f x x⎛⎫=-+⎪⎝⎭，x∈[0,4]，∴12x=时，f(x)有最小值34.又f(0)＝1，f(4)＝13，∴f(x)的最大值为13.∴f(x)的值域为3,13 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.10.解：∵f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1，∴f(x)的图象是开口向上，对称轴为x＝a的抛物线，如下图所示．当a＜0时〔如图(1)〕，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f(x)的最小值为f(0)＝－1；当0≤a≤1时〔如图(2)〕，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f (x)的最小值为f(a)＝－a2－1；当1＜a＜2时〔如图(3)〕，f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为f(a)＝－a2－1；当a≥2时〔如图(4)〕，f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为f(2)＝3－4a.。
二次函数对称专题
二次函数对称专题小练习：1.抛物线322--=x x y 的图像经过 平移得到2x y =的图像.2.将坐标系沿y 轴方向向下平移2个单位，再沿x 轴方向向右平移3个单位后，抛物线322--=x x y 对应图像的关系式为 .3.将抛物线322--=x x y 沿y 轴翻折后的图像表达式为 . 4.将抛物线322--=x x y 沿x 轴翻折后的图像表达式为 . 5.将抛物线322--=x x y 沿直线2=x 翻折后的图像表达式为 . 6.将抛物线322--=x x y 沿直线4=y 翻折后的图像表达式为 .例题：已知二次函数322--=x x y ，对称轴为直线1=x .1.在对称轴上找一点P ，使得PC PB +的和最小，求P 点坐标.2. 在对称轴上找一点P ，使得PC PB -的和最小，求P 点坐标.3. 在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为等腰三角形，求P 点坐标.4. 在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为直角三角形，求P 点坐标.5.点E 在对称轴上，点F 在抛物线上，且以E F A B 、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标.6.动点G 从点)10(-，D 出发，先经过x 轴上的点P ，再经过对称轴上的点Q ，最后返回到点C ，要使点G 走过的路程最短，请找出点P 、Q 的位置，并求出最短路程.7.将抛物线322--=x x y 向左或向右平移t 个单位，点D 为抛物线顶点，C 、D 移动后对应的点分别记为'C 、'D ，是否存在t ，使得首尾依次连接A 、B 、'C 、'D 所构成的多边形的周长最短？若存在，求出t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由.8. 抛物线322--=x x y 对称轴上有点)11()21(，、，E D -，在抛物线上是否存在点P ，使得POE PCD S S ∆∆=4，若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由.9. 抛物线322--=x x y 对称轴上有点)21(-，P ，若抛物线上有且仅有三个点321M M M 、、使得CP M CP M CP M 321∆∆∆、、的面积均为定值S ，求出定值S 及321M M M 、、这三个点的坐标.10.若抛物线322--=x x y 与直线7+=kx y 交于点)12(，-D 和点E ，点)(n m P ，为抛物线上的动点（不与点D 、E 重合），PDE ∆的面积记为S .（1）求S 关于m 的解析式，并画出其函数图像；（2）若抛物线上有且只有两个不同的点1P 、2P ，使得PDE ∆的面积取得同一个值S ，求S 的取值范围.。
二次函数专题复习讲义
二次函数专题复习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念,二次函数的图象性质,抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主,也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-2b a ,顶点坐标是-2b a,244ac b a -.例1 已知,在同一直角坐标系中,反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． 1求m 、c 的值；2求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中,当a>0时,开口向上,在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大；当a<0时,开口向下,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示,则y ax b =-的图象一定过A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3、二次函数的平移当k>0k<0时,抛物线y=ax 2+ka ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向上或向下平移|k|个单位得到；当h>0h<0时,抛物线y=ax-h 2a ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向右或向左平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位,得到的抛物线是=3x+22=3x-22=3x 2+2 =3x 2-2 专题练习11.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-,下列说法正确的是A.开口向下,顶点坐标为5,3B.开口向上,顶点坐标为5,3C.开口向下,顶点坐标为-5,3D.开口向上,顶点坐标为-5,3 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为0,-3,则下列说法不正确的是 A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时,y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为-1,0,3,03.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是________. 4.小明从上图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->,你认为其中正确信息的个数有_______.填序号专题复习二：二次函数表达式的确定图1图2本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1、如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙墙的长度不限的矩形菜园ABCD ,设AB 边长为x 米,则菜园的面积y 单位：米2与x 单位：米的函数关系式为 不要求写出自变量x 的取值范围．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式：y=ax 2+bx+ca ≠0；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大小值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式：y=ax-h 2+ka ≠0； 3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式：y=ax-x 1x-x 2a ≠0. 例2 已知抛物线的图象以A-1,4为顶点,且过点B2,-5,求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A-2,0、B1,0,且经过点C2,8.1求该抛物线的解析式； 2求该抛物线的顶点坐标.专项练习21.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损失,某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y 元,原价为a 元,则y 与x 之间的函数表达式为 =2ax-1 =2a1-x =a1-x 2=a1-x22.如图2,在平而直角坐标系xOy 中,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,点A 在x 轴负半轴,点B 在x 轴正半轴,与y 轴交于点C,且tan∠ACO=12,CO=BO,AB=3,则这条抛物线的函数解析式是 ． 3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点0,-2,且x=1时,y=3；x=-1时y=1, 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，,(23)B -，,(10)C -，．1求此二次函数的关系式； 2求此二次函数图象的顶点坐标；3填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位,使得该图象的顶点在原点． 专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根,由图象判断一元二次方程根的情况,由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等,题型主要填空题、选择题和解答题. 考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值,确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.ABC D图1菜园墙图2例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值,判断方程ax 2+bx+c=0a ≠0,a,b,c,为常数的一个解x 的范围是Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________. 考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时,则一元二次方程ax 2相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时,则一元二次方程ax 2实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中,抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是专项练习31.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示,那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示,根据图象解答下列问题：1写出方程20ax bx c ++=的两个根．2写出不等式20ax bx c ++>的解集．3写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．4若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围．图2专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型,根据二次函数的最值解决实际问题,能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：1理解问题；2分析问题中的变量和常量；3用函数表达式表示出它们之间的关系；4利用二次函数的有关性质进行求解；5检验结果的合理性,对问题加以拓展等.例1某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台．1假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式；不要求写自变量的取值范围2商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元3每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高最高利润是多少专题训练41.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地,矩形面积S单位：平方米随矩形一边长x单位：米的变化而变化．1求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；2当x是多少时,矩形场地面积S最大最大面积是多少2.某旅行社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满.旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数就会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高3.一座拱桥的轮廓是抛物线型如图1所示,拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m．1将抛物线放在所给的直角坐标系中如图2所示,求抛物线的解析式；2求支柱EF的长度；3拱桥下地平面是双向行车道正中间是一条宽2m的隔离带,其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车汽车间的间隔忽略不计请说明你的理由．x图1。
中考复习函数专题21 二次函数中对称轴与对称问题(学生版)
专题21 二次函数中对称轴与对称问题知识对接考点一、求二次函数图象的顶点坐标、对称轴的3种方法1. 公式法:二次函数c bx ax y ++=2(a≠0)的图象的顶点坐标是)44,2(2ab ac a b -- 2.配方法:将抛物线的解析式配方,化为y=a(x -h)2+k 的形式,得到顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h. 3.运用抛物线的对称性:抛物线是轴对称图形,对称轴与抛物线的交点是顶点.若已知抛物线上两点(x 1,m),(x 2,m),则对称轴为直线x=221x x +,再将其代入抛物线的解析式,即可得顶点坐标. 专项训练一、单选题1．抛物线y ＝2（x +1）2﹣3的对称轴是（ ） A ．直线x ＝1B ．直线x ＝﹣1C ．直线x ＝3D ．直线x ＝﹣32．已知抛物线2y ax bx =+经过点(3,3)A --，且该抛物线的对称轴经过点A ，则该抛物线的解析式为（ ）A ．2123y x x =--B ．2123y x x =-+C ．2123yx xD ．2123y x x =+3．抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；①()()2242a c b +<；①若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点，则当1211x x +>+时，12y y <；①抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（ ）．A ．23x <<B ．34x <<C ．45x <<D ．56x <<5．已知关于x 的二次函数2y x bx c =++的图象关于直线2x =对称，则下列关系正确的是（ ） A ．4b = B ．240b c -≤C ．0x =的函数值一定大于3x =的函数值D ．若0c <，则当2x =时，0y >6．点P (m ，n )在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2+ax +4的图象上．则m ﹣n 的最大值等于（ ） A ．154B ．4C ．﹣154D ．﹣1747．二次函数y ＝ax 2﹣4ax +2（a ≠0）的图象与y 轴交于点A ，且过点B （3，6）若点B 关于二次函数对称轴的对称点为点C ，那么tan①CBA 的值是（ ） A ．23B ．43C ．2D ．348．已知二次函数y ＝（2﹣a ）23a x -，在其图象对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，则a 的值为（ ）A B ．C D ．09．抛物线y=x 2﹣2x ﹣15，y=4x ﹣23，交于A 、B 点（A 在B 的左侧），动点P 从A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E 再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．若使点P 动的总路径最短，则点P 运动的总路径的长为（ ）A．B ．C ．D ．10．已知抛物线c ：y=x 2+2x ﹣3，将抛物线c 平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是（ ）A ．将抛物线c 沿x 轴向右平移52个单位得到抛物线c′ B ．将抛物线c 沿x 轴向右平移4个单位得到抛物线c′C ．将抛物线c 沿x 轴向右平移72个单位得到抛物线c′ D ．将抛物线c 沿x 轴向右平移6个单位得到抛物线c′二、填空题11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣x 2+6x +c 的对称轴与x 轴交于点A ，在直线AB ：y ＝kx +3上取一点B ，使点B 在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形为正方形，则c 的值为________．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()3,4,M 是抛物线22(0)y ax bx a =++≠对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当ba的值确定时，抛物线的对称轴上能使AOM 为直角三角形的点M 的个数也随之确定．若抛物线22(0)y ax bx a =++≠的对称轴上存在3个不同的点M ，使AOM 为直角三角形，则ba的值是____．13．如果一抛物线的对称轴为1x =，且经过点A （3,3），那么点A 关于对称轴的对称点B 的坐标为____________14．已知点A 、B 在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像上（A 在B 右侧），且关于图像的对称轴直线x ＝2对称，若点A 的坐标为（m ，1），则点B 的坐标为_______．（用含有m 的代数式表示） 15．已知抛物线2441y ax ax a =-+-. （1）该抛物线的对称轴是x =________.（2）该抛物线与x 轴交于点A ，点B 与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(1,0)，若此抛物线的对称轴上的点P 满足APB ACB ∠<∠，则点P 的纵坐标n 的取值范围是________. 三、解答题16．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴只有一个公共点()30A -,且经过点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求抛物线的函数解析式； （2）直线l ：34y x m =+与抛物线2y ax bx c =++相交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），与对称轴相交于点P ，且B ，C 分布在对称轴的两侧．若B 点到抛物线对称轴的距离为n ，且()23CP t BP t =⋅≤≤． ①试探求n 与t 的数量关系；①求线段BC 的最大值，以及当BC 取得最大值时对应m 的值． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线213222y x x =+-交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ． （1）求线段BC 的长；（2）点P 为第三象限内抛物线上一点，连接BP ，过点C 作//CE BP 交x 轴于点E ，连接PE ，求BPE 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，以y 轴为对称轴，将抛物线213222y x x =+-对称，对称后点P 的对应点为点P '，点M 为对称后的抛物线对称轴上一点，N 为平面内一点，是否存在以点A 、P '、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，则请说明理由．18．已知一条抛物线顶点为(),2P m m -，且与x 轴交于点()2,0A m （0m >） （1）当2m =时； ①求二次函数解析式；①直线l ：y kx b =+（0k >）过定点()3,4-与抛物线交于B 、C 两点（B 在C 右侧），连接BP 、CP ，若PBC S △，求直线l 的解析式；（2）若H 为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且OH 交对称轴于点M ，点N ，M 关于点P 对称，求证：N ，A ，H 三点共线．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 与x 轴分别交于点A (﹣1，0)和点B ，与y 轴交于点C (0，3)．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图1，点D 与点C 关于对称轴对称，点P 在对称轴上，若①BPD ＝90°，求点P 的坐标； （3）点M 是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N 在抛物线的对称轴上，当BMN 为等边三角形时，请直接写出点M 的坐标．20．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （4，0），B （﹣2，0），C （0，﹣4）三点． （1）求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标；（2）如图1，点M 是抛物线对称轴上的一点，求①MBC 周长的最小值；（3）如图2，P 是线段AB 上一动点（端点除外），过P 作PD //AC ，交BC 于点D ，连接CP ，求①PCD 面积的最大值，并判断当①PCD 的面积取最大值的时，以P A 、PD 为邻边的平行四边形是否为菱形．21．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0,A B -两点，与y 轴交于点(0,3)C -．。
二次函数的图象和性质对称性
思路分析：对于(1)，可将a＝－1 代入 f(x)解析式，然后配方，写出最值；对于(2)，由 于a 的值不确定，f(x)图象的对称轴不确定，那么 f(x)在[－5,5]上的单调性就不确定，因此要 对a 的值分类讨论才能求出相应的最值．
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝1 x
D．y＝－x2＋4
答案：C
解析：A 项和 D 项中的函数为偶函数，B 项中的函数是非奇非偶函数，选 C．
2．对于定义在 R 上的函数 f(x)，给出下列判断：
(1)若 f(－2)＝f(2)，则函数 f(x)是偶函数；
(2)若 f(－2)≠f(2)，则函数 f(x)不是偶函数；
学习目标
重点难点
1偶 2的 3图 4数． ． ． ．函奇象在能会会能数偶的闭说判分求的性对区出断析一定；称间奇具二个义性上函体次二；；的数函函次最和数数函值.重偶断运的难间点函函用问点最：数数奇题：值知的的偶．二问道定 奇性 次题奇义偶解函. 函，性决数数会，简的、判能单区
在《从图象看函数的性质》那一节课里，我们学习过函数的奇函数 和偶函数，请同学们回忆一下， 图象怎样时，函数是奇函数？图象怎样时，函数是偶函数？
答案：(1)A (2)0 解析：(1)因为当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
所以f(－1)＝2×(－1)2－(－1)＝3. 又f(x)是奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－3，选A． (2)(方法一)因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)对任意x∈R都成立， 即－x3－3x＋a＝－x3－3x－a对任意x∈R都成立． 所以a＝0.
二次函数专项训练——“对称性'
x
巧用“对称性”
化繁为
简
3、比较函数值的大小
小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐 标找到三点(－1，y1)，(0.5，y2 )，(-3.5，y3) 则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（ D ）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2 B、y2>y3>y1 D、y3>y2>y1
致胜宝典： 巧用“对称性” 化线为 （1）求抛物线y=2x -4x-5关于x轴对称的抛物线。 点
2
（2）求抛物线y=2x2-4x-5关于y轴对称的抛物线。 （3）求抛物线y=2x2-4x-5关于原点成中心对称的抛物线。 （4）求抛物线y=2x2-4x-5绕着 顶点旋转180°得到的抛物线。
▲ 抛物线关于x轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(x，－y) y＝ax2＋bx＋c变为y＝－ax2－bx－c. ▲ 抛物线关于y轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(－x，y) y＝ax2＋bx＋c变为y＝ax2－bx+c. ▲ 抛物线关于原点对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(－x， － y) y＝ax2＋bx＋c变为y＝ － ax2+bx － c. ▲ 抛物线绕着 顶点旋转180°后得到的抛物线，顶点坐标不变，开口方向相反。 （1）设抛物线顶点为(m,n)则顶点式为y=a(x-m)²+n 抛物线绕顶点坐标旋转180后,解析式中a变为-a,其余不发生变化：y=-a(x-m)²+n （2）如果原解析式为y=ax²+bx+c,顶点纵坐标为n 则新解析式为y=2n-(ax²+bx+c)=-ax²-bx+2n-c
x 2
(完整word版)18—19初三培优数学专题五(二次函数类的对称性问题)
解题方法及提分突破训练：二次函数对称性与运动路径问题【点对称的规律】:),(P y x 关于x 轴对称的点的坐标是 。
),(P y x 关于y 轴对称的点的坐标是 。
),(P y x 关于原点对称的点的坐标是 。
【对称中的最值分析】：①已知：如图，A 、B 两点在直线l 的异侧，在直线l 求作一点P ，使得PA+PB 的值最小。
②已知：如图，A 、B 两点在直线l 的同侧，在直线l 求作一点P ，使得PA+PB 的值最小。
③已知：如图，A 、B 两点在直线l 的同侧，在直线l 求作一点P ，使得PB-PA 的值最大。
④已知：如图，A 、B 两点在直线l 的异侧，在直线l 求作一点P ，使得PB-PA 的值最大。
⑤在锐角∠AOB 中有一定点P ，试在OA 和OB 边上各取一点M 、N ，使得△PMN 的周长最短。
⑥在锐角∠AOB 中有两定点P 1、P 2，试在OA 和OB 边上各取一点M 、N ，使得P 1M+MN+P 2N 的值最小。
常见题型【例1】(1)将二次函数3)1(22+-=x y 的图象沿x 轴翻折，所得图象的函数表达式为 。
(2)将二次函数3)1(22+-=x y 的图象沿y 轴翻折，所得图象的函数表达式为 。
(3)将二次函数3)1(22+-=x y 的图象绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是 。
(4)将二次函数3)1(22+-=x y 的图象绕原点旋转180°，所得抛物线的解析式是 。
● ● A B① ● ● AB ② ● ● AB ① ● ● A B ② A Ｏ B P● A BP 1 ● P 2 ● 第7题图 第8题图【例2】如图，抛物线23212--=x x y 与直线2-=x y 交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）。
（1）在抛物线对称轴l 上找一点N ，使AN+CN 的值最小，并求出这个最小值；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB ﹣MO|的值最大，并求出这个最大值；（3）动点P 从A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ，若使点P 运动的总路径最短，试求出点E 、点F 的坐标及点P 运动的总路径的长。
二次函数对称性的专题复习
yOx-1 -2 12 -3 3 -112 -2二次函数图象对称性的应用一、几个重要结论：1、抛物线的对称轴是直线__________。
2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于_________对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线_____________；反之亦然。
3、若抛物线与轴的两个交点是A （，0），B （，0），则抛物线的对称轴是__________（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。
4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A （，0），且其对称轴是，则另一个交点B 的坐标可以用＿＿＿＿表示出来（注：应由A 、B 两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。
5、若抛物线与轴的两个交点是B （，0），C （，0），其顶点是点A ，则ABC 是＿＿＿＿三角形，且ABC 的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的＿＿＿＿＿＿＿上。
二、在解题中的应用：例1已知二次函数的图象经过A （-1，0）、B （3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。
例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足.（1）求抛物线的解析式；（2）设点P （，），Q （，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。
例3已知抛物线经过点A （-2，7）、B （6，7）、C （3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。
例4已知抛物线的顶点A 在直线上。
（1）求抛物线顶点的坐标；（2）抛物线与轴交于B 、C 两点，求B 、C 两点的坐标； （3）求ABC 的外接圆的面积。
二次函数专题训练——对称性与增减性一、选择1、若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+时，函数值为（ ） （A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 （A ）（21，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0） 3、已知抛物线2(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段的长度为（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3 Ｄ．44、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则的取值范围是（ ） A.14<<-x B. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x5、函数y =x 2-x +m (m 为常数)的图象如图，如果x =a 时，y ＜0；那么x =a -1时，函数值（ ） A ．y ＜0 B ．0＜y ＜m C ．y ＞m D ．y =m6、抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是( ) A ．，0) B ．(1，0) C ．(2，0) D ．(3，0)7、老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说：过点(3，0)； 小彬 说：过点(4，3)；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x 轴截 得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、若二次函数2y ax c =+，当x 取、（12x x ≠）时，函数值相等，则当x取12x x +时，函数值为（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．c9、二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此抛物线的对称轴是（ ） A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。
二次函数的对称
要点三Biblioteka 二次函数与几何图形二次函数与实际问题
二次函数与其他数学概念的联系
01
02
03
二次函数的应用
THANKS
感谢观看
要点一
要点二
二次函数的对称性
二次函数的应用
要点三
二次函数的图像
二次函数的对称轴
04
01
02
03
04
概念解析
求解方法
应用
二次函数的对称性质
05
对称轴
交点
最值
特殊点
二次函数的对称性质
二次函数与一元二次方程的关系
06
二次函数与一元二次方程的关系
对称轴
顶点
零点
图像
二次函数的应用
二次函数的对称
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目录
二次函数的概念二次函数的表达式二次函数的图像二次函数的对称轴二次函数的对称性质二次函数与一元二次方程的关系二次函数的应用
二次函数的概念
01
定义
性质
应用
图像
二次函数的概念
二次函数的表达式
02
一般式
顶点式
交点式
二次函数的表达式
二次函数的图像
03
要点三
二次函数的概念及表达式
二次函数专题训练之对称性及增减性完整版资料
2小、颖抛说物：线抛y物=a线(x被+1x)2轴+截2的得部的分线图段像长如为图2．所你示认，为该四抛人物的线说在法y轴中右，半正部确分的与有x(轴的) 交点坐标是（ ）
（A．A）(2A，a．+－1c个3 )（BB）B．．a2-(c2个，1（) CC．）3C-c个．(2（，D3D）)．c4个D．(3，2)
⑤当0<x1<x2<2时，y1>y2，你认为正确的个数是（ ）
02
Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5
5、 6、
7、
练：抛物线y=-x2+bx+c的部分图像如图所示，若y>0,则x的取值范围是 .
练A．、(已 2，知－一3元) 二次B方．程(2，ax12)+bx+Cc=．3的(2，一3个) 根是D2．，(且3，二2次) 函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线顶点坐标是（ ）
Ｃ．4
Ｄ．5
A练．2、(2，老－师3出)示了B小．黑(2板，上1)的题后C．(如(2图，)，3)小华D说．：(3过，点2)(3，0)；
3练小、2彬、抛说物老：线师过y出=点示ax(了42，+小b3x黑)+；c板与上x轴的的题交后点(如横图坐)，标小是华-3说和：1，过则点抛(3物，线0)的；对称轴是 。
练Ａ：．2、一 2老元师一出Ｂ次示．方了3程小y=黑a板x2上+b的x+题c的Ｃ后根．(如为4图x1)，,x2小且华x说Ｄ1+：．x2过5=4点，(3点，A0（)；3，-8）在二次函数y=ax2+bx+c上，则点A关于抛物线的对称轴对称的点
的练（Ａ练（坐2C．2A、 、））标 2老老a（为+师师2c，出出Ｂ80示示。（、．）了了B3）小小a黑黑-c（板 板D上上)（（的的C3题题），Ｃ后后-0c．）((如如4图图（))D，，）小小c华华说说Ｄ：：．过过5 点点((33，，00))；；
(完整版)二次函数知识点复习(可编辑修改word版)
一、二次函数概念：二次函数知识点1. 二次函数的概念：一般地，形如 y = ax 2 + bx + c （ a 何 b 何 c 是常数， a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a ≠ 0 ，而b 何2. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的结构特征：c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a 何 b 何 c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： y = ax 2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. y = ax 2 + c下减。
的性质：左加右减。
的性质：上加3.y = a ( x - h )24.y = a ( x - h )2+ k 的性质：三 、二 次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a ( x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h 何k ) ；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h 何 k ) 处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴ y = ax 2 + bx + c 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成y = ax 2 + bx + c + m （或 y = ax 2 + bx + c - m ）⑵ y = ax 2 + bx + c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成 y = a (x + m )2 + b (x + m ) + c（或 y = a (x - m )2 + b (x - m ) + c ）a < 0向下(h 何 0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y随 x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴性质a > 0向上(h 何 k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时， y随 x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h 何 k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y随 x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．2a 四、二次函数y = a ( x - h )2+ k与 y = ax 2+ bx + c 的比较从解析式上看， y = a ( x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2y = a x + ⎪ + ⎝ ⎭4a ，其中 h = - 何 k = ．2a 4a五、二次函数 y = ax2+ bx + c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 (0何 c ) 、以及(0何 c ) 关于对称轴对称的点(2h ，c ) 、与 x 轴的交点(x 1 何 0) ， ( x 2 何 0) （若与 x 轴没有交点， 则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y = ax 2+ bx + c 的性质b ⎛ b 4ac - b 2 ⎫ 1. 当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a 何 4a ⎪ ．当 x < - b 2a ．时， y 随 x 的增大而减小；当 x > - b 2a⎝ ⎭ 时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b 2a时， y 有最小值4ac - b 2 4a b⎛ b 4ac - b 2 ⎫ b2. 当 a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a 何 4a ⎪．当 x < - 2a 时， y 随 x 的增大而增大；当 x > - b2a时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - b 2a ⎝ ⎭4ac - b 2 时， y 有最大值 ．4a 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3. 两根式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y = ax 2 + bx + c 中， a 作为二次项系数，显然 a ≠ 0 ．⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在 a > 0 的前提下，当b > 0 时， - b 2a < 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；当b = 0 时， - b2a = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；当b < 0 时， - b2a> 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．⑵ 在 a < 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当b > 0 时， - b2a> 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；当b = 0 时， - b 2a = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；当b < 0 时， - b2a< 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．bab 的符号的判定：对称轴 x = - 2a在 y 轴左边则 ab > 0 ，在 y 轴的右侧则 ab < 03. 常数项c ⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A ( x ，0)，B ( x ，0) (x ≠ x ) ，其中的 x ，x 是一元二次方程121212ax 2+ bx + c = 0(a ≠ 0) 的两根．这两点间的距离 AB = x 2 - x 1② 当∆ = 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③ 当∆ < 0 时，图象与 x 轴没有交点. 1' 当 a > 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y > 0 ；2 ' 当 a < 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y < 0 ．2. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c ) ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⎩⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y = ax 2 + bx + c 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中 a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 下面以 a > 0 时为例，揭示二次函数和一元二次方程之间的内在联系：十一、函数的应用⎧ 何 何 何 何 ⎪二次函数应用⎨何 何 何 何 何 何 何 何⎪ 何 何 何 何 何 何 何 二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数 y = (m - 2)x 2 + m 2 - m - 2 的图像经过原点， 则 m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数 y = kx + b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y = kx 2 + bx -1的图像大致是（）3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 x =5 ，求这条抛物线的解析式。
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二次函数图象对称性的应用一、几个重要结论：1、抛物线的对称轴是直线__________。
2、对于抛物线上两个不同点P1（对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线），P2（），若有_____________ ；反之亦然。
，则P1，P2 两点是关于_________3、若抛物线与轴的两个交点是 A （，0），B（， 0），则抛物线的对称轴是__________ （此结论是第 2 条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。
4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是 A（， 0），且其对称轴是的坐标可以用＿＿＿＿表示出来（注：应由 A 、B 两点处在对称轴的左右情况而定，，则另一个交点在应用时要把图画出）B。
5、若抛物线与轴的两个交点是 B （，0），C（，0），其顶点是点 A ，则 ?ABC 是＿＿＿＿三角形，且 ? ABC 的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的＿＿＿＿＿＿＿上。
二、在解题中的应用：例 1 已知二次函数的图象经过 A （-1， 0）、 B（ 3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。
例 2 已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足.（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）设点 P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。
例 3 已知抛物线经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为 -8 的另一点的坐标是。
例 4 已知抛物线的顶点A在直线上。
（ 1）求抛物线顶点的坐标；（ 2）抛物线与轴交于B、C两点，求B、 C 两点的坐标；（ 3）求 ? ABC 的外接圆的面积。
二次函数专题训练——对称性与增减性一、选择y1、若二次函数，当 x 取，（≠）时，函数值相等，则2当 x 取 + 时，函数值为（）1（ A ） a+c （B ） a-c（ C ） -c（ D ） c- 3 - 2 - 1 O1 2 3 x2yya( x1)22 的一部分如图所示，该抛物线在轴右- 1、抛物线- 2侧部分与 x 轴交点的坐标是（ A ）（ 1， 0）（ B ）（ 1， 0） （C ）（ 2， 0） （ D ）（ 3， 0）23、已知抛物线 ya(x 1)2 h( a0) 与 x 轴交于 A( x 1，0)， B(3，0) 两点，则线段 AB的长度为（）yＡ． 1Ｂ． 2Ｃ． 3 Ｄ． 434、抛物线 yx 2bxc 的部分图象如图所示，若y0 ，则的取值范围是（）A. 4 x 1B. 3 x 1 – 1 O 1xC. x4 或 x 1D. x 3 或 x 15、函数 y=x 2-x+m(m 为常数 )的图象如图，如果 x=a 时， y ＜ 0；那么 x=a-1 时，函数值（）A ．y ＜ 0B ． 0＜ y ＜ mC ．y ＞ mD ． y=m6、抛物线 y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧与 x 轴交点的坐标是 ()A ． (0.5 ， 0)B ． (1 ， 0)C ． (2 ， 0)D ． (3 ， 0)7、老师出示了小黑板上的题后 ( 如图 ) ，小华说：过点 (3 ，0) ；小彬 说：过点 (4 ， 3) ；小明说： a=1；小颖说：抛物线被x轴截 得的线段长为 2．你认为四人的说法中，正确的有 ()A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ．4 个8、若二次函数 yax 2 c ，当 x 取 x 1 、 x 2 （ x 1 x 2 ）时，函数值相等，则当x取 x 1 x 2 时，函数值为（）Ａ． acＢ． a cＣ．cＤ． c9、二次函数 y x 2bxc 的图象上有两点 (3，－ 8) 和 (－5，－ 8)，则此拋物线的对称轴是（ ）A ． x＝ 4B. x ＝ 3C. x＝－ 5D. x＝－ 1。
10、已知关于 x 的方程 ax 2bx c 3 的一个根为 x 1 =2，且二次函数 yax 2bx c的对称轴直线是x =2，则抛物线的顶点坐标是（）A ． (2 ，－ 3 ) B． (2 ， 1)C． (2 ，3) D ． (3 ， 2)11、已知函数 y1 x2 3x 5 ，设自变量的值分别为 x 1， x 2，x 3，且 -3< x 1< x 2<x 3，则22对应的函数值的大小关系是（）A ． y 3>y 2>y 1B ． y 1>y 3>y 2C ． y 2<y 3<y 1D ． y 3<y 2<y 112、小明从右边的二次函数y ax 2bx c 图象中，观察得y出了下面的五条信息： ① a0 ，② c 0 ，③函数的最小值为3，④当 x时， y 0 ，⑤当 0 x 1x 2 2 时， y 1 y 2 ．你认为其中正确的个数为（）Ａ． 2Ｂ． 3Ｃ． 4Ｄ． 513、若 A(13 , y 1 ), B( 1, y 2 ), C ( 5 , y 3 ) 的为二次函数 y x 24x 5 的图像4 3上的三点，则 y 1,y 2 ,y 3 的大小关系是（ ）A. y <y <y 3B. y <y <y 1C. y <y <y2D. y <y <y30 2x123 23 12114、从 y=x 2 的图象可看出，当－3≤ｘ≤－ 1 时，ｙ的取值范围是A 、ｙ≤ 0 或y 9B 、0≤ｙ≤ 9C 、 0≤ｙ≤ 1D 、 1≤ｙ≤ 9315、小颖在二次函数y=2x 2+4x+5 的图象上，依横坐标找到三点 (－ 1， y 1) ，( 1， y 2 )，21 ， y 3123）A. y 2B. y >y >yC.y >y >yD. y >y >y>y >y312122 331 32116、下列四个函数中， y 随 x 增大而减小的是 ( )A ． y=2x B.y=-2x+5 C ． D ．y=-x 2+2x-117、 下列四个函数：① y=2x ；②；③ y=3-2x ；④ y=2x 2 +x(x ≥ 0)，其中，在自变量x 的允许取值范围内， y 随 x 增大而增大的函数的个数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 418、已知二次函数 y ax 2 bx c(a0) 的图象如图所示 , 则下列结论 : ① a,b 同号 ;②当 x1 和 x 3 时 , 函数值相等 ; ③ 4a b 0 ④当 y2 时 , x 的值只能取 0. 其中正确的个数是 ()A.1 个B.2个C. 3个D. 4个19、已知二次函数 yax 2bx c(a0) 的顶点坐标 （-1 ，-3.2 ）及部分图象 ( 如图 ), 由图象可知关于 x 的一元二次方程 ax 2bxc 0 的两根分别是 x 1 1.3和 x 2 （）Ａ．－１ . ３B.-2.3C.-0.3D.-3.320、已知函数 y=3x 2-6x+k(k 为常数 )的图象过点 A(0.85,y 1) ，B(1.1,y 2),C( 2 ,y 3),则有 ()(A) y 1<y <y 3(B) y 1 >y >y 3(C) y >y >y 2(D) y >y >y 222311321、已知二次函数 yx 2 8x 6 ,设自变量 x 分别为 x 1 , x 2 , x 3 ，且 4x 1 x 2 x 3 ，则对应的函数值 y 1, y 2 , y 3 的大小关系是（）yA. y 1y 2 y 3 B. y 2y 3 y 1 C. y 3y 2y 1D. y 1 y 3y 2322、如图，抛物线 yax2bx c( a0) 的对称轴是直线 x1P（ 3， 0），，且经过点则 ab c 的值为P–1O 13xA. 0B. －1C. 1D.2二、填空1、已知抛物y=ax 2+bx+c 点 A(-2， 7)， B(6， 7) ，C(3 ， -8)，抛物上坐-8 的另一点的坐是 _________·2、已知二次函数y ax2bx c(a0) ，其中 a， b， c 足a b c 0 和 9a 3b c 0 ，二次函数象的称是直．3、二次函数y ax 2bx c （a0 ，a、 b 、c是常数）中，自量x与函数 y 的x⋯0135⋯222y⋯1771⋯444你察表中数据，并从不同角度描述函数象的特征是：、、．（写出 3条即可）4、一元二次方程ax2bx c0 的两根 x1， x2，且 x1x2 4 ，点 A(3， 8) 在抛物y ax bx c 上，点 A 关于抛物的称称的点的坐．25、抛物y ax2bx c的称是 x=2，且点（ 3,0）， a+b+c=6、 y=a x2+5 与 X 两交点分（x1,0），（x2 ,0）则当x=x1+x2时， y 值为 ____7b的，使函数y x22bx在第一象限内y的随着x 的增大而增大，b可以．、写出一个8、当2x 2 ，下列函数中，函数随自量增大而增大的是（只填写序号）① y2x ；② y 2 x；③ y 2；④ y x26x 8 x9、一个关于 x 的函数同足如下三个条件① x 任何数，函数y≤ 2 都能成立；②当 x＜ 1 ，函数 y 随 x的增大而增大；③当 x＞ 1 ，函数 y 随 x的增大而减小；符合条件的函数的解析式可以是。
10 、已知 (-2,y123y=x2-4x+m123从小到大用“ <”排列),(-1,y ),(3,y) 是二次函数上的点 ,y ,y,y是.11、一个函数具有下列性：① 象点（－1，2），②当x＜ 0 ，函数y随自量x 的增大而增大；足上述两条性的函数的解析式是（只写一个即可）。