(完整版)届高考数学一轮复习讲义空间几何体及其表面积与体积
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V＝ Sh
要点梳理
忆一忆知识要点
正棱锥 S 侧＝ 12Ch′
正棱台 S 侧＝ 12(C＋C′)h′
球
S ＝ 球面 4πR2
1
V＝ 3Sh
V＝13(S 上＋S 下＋ V＝ 43πR3
S上S下)h
要点梳理
4.几何体的表面积
忆一忆知识要点
圆柱 S 2πr(r l)
☞柱体、锥体、 台体的表面积
r r
空间几何体的结构特征
例 1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点． 其中真命题的序号是________．
利用有关几何体的概念判断所给命题的真假．
解析 命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的． 底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是 错误的． 因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的． 命题④由棱台的定义知是正确的． 答案 ①④
则由∠A′AE＝∠A′AF，AA′＝AA′， 得 Rt△A′AE≌Rt△A′AF， ∴A′E＝A′F，∴DE＝DF，∴AD 平分∠BAC，
又∵AB＝AC，∴BC⊥AD，∴BC⊥AA′， 而 AA′∥BB′，∴BC⊥BB′， ∴四边形 BCC′B′是矩形， ∴斜三棱柱的侧面积为 2×a×bsin 45°＋ab＝( 2＋1)ab. 又∵斜三棱柱的底面积为 2× 43a2＝ 23a2， ∴斜三棱柱的表面积为( 2＋1)ab＋ 23a2.
对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直 且互相平行，故①假；
对于②，两截面的交线平行于侧棱，且垂直 于底面，故②真； 对于③，作正四棱柱的两个平行菱形截面， 可得满足条件的斜四棱柱(如图(1))，故③假；
对于④，四棱柱一个对角面的两条对角线， 恰为四棱柱的对角线，故对角面为矩形，于 是侧棱垂直于底面的一对角线，同样侧棱也 垂直于底面的另一对角线，故侧棱垂直于底 面，故④真(如图(2))．
2．要注意领会和掌握两种数学思想方法：割补法与等积法 割补法是割法与补法的总称．补法是把不规则(不熟悉的或复 杂的)几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的)几何体，把 不完整的图形补成完整的图形．割法是把复杂的(不规则的) 几何体切割成简单的(规则的)几何体．割与补是对立统一的， 是一个问题的两个相反方面．割补法无论是求解体积问题还 是求解空间角(或空间距离)以及证明垂直或平行关系都有简 化解题过程、开阔思维的优点． 等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形 (或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积 法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三 角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到 三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
探究提高
解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结 构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题 是错误的，设法举出一个反例即可．
变式训练 1 下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四 棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱． 其中，真命题的编号是________．
圆台 S π(r2 r2 rl rl)
r 0
圆锥 S πr(r l)
各面面积之和
展开图 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是__各__面__面__积__之__和__．
(2)圆柱(锥、台)的侧面展开图分别是__矩__形__、扇__形__、 _扇__环__形_、它们的表面积等于_侧__面__积__与__底__面__面__积__之__和__.
一轮复习讲义
空间几何体及其表面积 与体积
要点梳理
wenku.baidu.com
忆一忆知识要点
1．多面体 (1)一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体
叫做 棱柱 ；棱柱两个底面是 全等多边形，且对应边互相平行 ， 侧面都是平行四边形 ．
(2)当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥 ；
棱锥底面是多边形 ，侧面是有一个公共顶点的三角形．
要点梳理
忆一忆知识要点
3．柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积
圆柱
S 侧＝ 2πrh
圆锥
S 侧＝ πrl
圆台 直棱柱
S 侧＝π(r1＋r2)l S 侧＝ Ch
体积
V＝Sh ＝πr2h
1 V＝ 3Sh
＝ 13πr2h
＝13πr2 l2－r2
V＝13(S 上＋S 下＋
S上S下)h ＝13π(r12＋r22＋r1r2)h
(3)棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的
部分叫做 棱台 ．
要点梳理
忆一忆知识要点
2．旋转体 (1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直 角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体 分别叫做 圆柱 、 圆锥 、圆台 ； (2)半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做 球面 ，球面围成的几何体叫做 球体 ，简称 球 ．
答案 ②④
图（1） 图（2）
几何体的表面积
例 2 如图，斜三棱柱 ABC—A′B′C′中，底面 是边长为 a 的正三角形，侧棱长为 b，侧棱 AA′与底面相邻两边 AB 与 AC 都成 45°角， 求此斜三棱柱的表面积．
由题意，可知 A′在平面 ABC 内的射影 D 在∠BAC 的角平分线 上，从而可证得四边形 BCC′B′是矩形． 解 如图，过 A′作 A′D⊥平面 ABC 于 D， 过 D 作 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，连结 A′E，A′F，AD.
要点梳理
忆一忆知识要点
5.几何体的体积之间的关系
柱体V Sh
S S'
柱体、锥体、 台体的体积
台体V
1 3
(S
SS S)h
S' 0
球的体积
锥体V
1 3
Sh
V 4 πR3 3
[难点正本 疑点清源] 1．几何体的侧面积和全面积
几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积 与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体 的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的 平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开 图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开 图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等 于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的 大小．
要点梳理
忆一忆知识要点
正棱锥 S 侧＝ 12Ch′
正棱台 S 侧＝ 12(C＋C′)h′
球
S ＝ 球面 4πR2
1
V＝ 3Sh
V＝13(S 上＋S 下＋ V＝ 43πR3
S上S下)h
要点梳理
4.几何体的表面积
忆一忆知识要点
圆柱 S 2πr(r l)
☞柱体、锥体、 台体的表面积
r r
空间几何体的结构特征
例 1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点． 其中真命题的序号是________．
利用有关几何体的概念判断所给命题的真假．
解析 命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的． 底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是 错误的． 因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的． 命题④由棱台的定义知是正确的． 答案 ①④
则由∠A′AE＝∠A′AF，AA′＝AA′， 得 Rt△A′AE≌Rt△A′AF， ∴A′E＝A′F，∴DE＝DF，∴AD 平分∠BAC，
又∵AB＝AC，∴BC⊥AD，∴BC⊥AA′， 而 AA′∥BB′，∴BC⊥BB′， ∴四边形 BCC′B′是矩形， ∴斜三棱柱的侧面积为 2×a×bsin 45°＋ab＝( 2＋1)ab. 又∵斜三棱柱的底面积为 2× 43a2＝ 23a2， ∴斜三棱柱的表面积为( 2＋1)ab＋ 23a2.
对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直 且互相平行，故①假；
对于②，两截面的交线平行于侧棱，且垂直 于底面，故②真； 对于③，作正四棱柱的两个平行菱形截面， 可得满足条件的斜四棱柱(如图(1))，故③假；
对于④，四棱柱一个对角面的两条对角线， 恰为四棱柱的对角线，故对角面为矩形，于 是侧棱垂直于底面的一对角线，同样侧棱也 垂直于底面的另一对角线，故侧棱垂直于底 面，故④真(如图(2))．
2．要注意领会和掌握两种数学思想方法：割补法与等积法 割补法是割法与补法的总称．补法是把不规则(不熟悉的或复 杂的)几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的)几何体，把 不完整的图形补成完整的图形．割法是把复杂的(不规则的) 几何体切割成简单的(规则的)几何体．割与补是对立统一的， 是一个问题的两个相反方面．割补法无论是求解体积问题还 是求解空间角(或空间距离)以及证明垂直或平行关系都有简 化解题过程、开阔思维的优点． 等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形 (或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积 法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三 角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到 三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
探究提高
解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结 构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题 是错误的，设法举出一个反例即可．
变式训练 1 下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四 棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱． 其中，真命题的编号是________．
圆台 S π(r2 r2 rl rl)
r 0
圆锥 S πr(r l)
各面面积之和
展开图 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是__各__面__面__积__之__和__．
(2)圆柱(锥、台)的侧面展开图分别是__矩__形__、扇__形__、 _扇__环__形_、它们的表面积等于_侧__面__积__与__底__面__面__积__之__和__.
一轮复习讲义
空间几何体及其表面积 与体积
要点梳理
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忆一忆知识要点
1．多面体 (1)一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体
叫做 棱柱 ；棱柱两个底面是 全等多边形，且对应边互相平行 ， 侧面都是平行四边形 ．
(2)当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥 ；
棱锥底面是多边形 ，侧面是有一个公共顶点的三角形．
要点梳理
忆一忆知识要点
3．柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积
圆柱
S 侧＝ 2πrh
圆锥
S 侧＝ πrl
圆台 直棱柱
S 侧＝π(r1＋r2)l S 侧＝ Ch
体积
V＝Sh ＝πr2h
1 V＝ 3Sh
＝ 13πr2h
＝13πr2 l2－r2
V＝13(S 上＋S 下＋
S上S下)h ＝13π(r12＋r22＋r1r2)h
(3)棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的
部分叫做 棱台 ．
要点梳理
忆一忆知识要点
2．旋转体 (1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直 角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体 分别叫做 圆柱 、 圆锥 、圆台 ； (2)半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做 球面 ，球面围成的几何体叫做 球体 ，简称 球 ．
答案 ②④
图（1） 图（2）
几何体的表面积
例 2 如图，斜三棱柱 ABC—A′B′C′中，底面 是边长为 a 的正三角形，侧棱长为 b，侧棱 AA′与底面相邻两边 AB 与 AC 都成 45°角， 求此斜三棱柱的表面积．
由题意，可知 A′在平面 ABC 内的射影 D 在∠BAC 的角平分线 上，从而可证得四边形 BCC′B′是矩形． 解 如图，过 A′作 A′D⊥平面 ABC 于 D， 过 D 作 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，连结 A′E，A′F，AD.
要点梳理
忆一忆知识要点
5.几何体的体积之间的关系
柱体V Sh
S S'
柱体、锥体、 台体的体积
台体V
1 3
(S
SS S)h
S' 0
球的体积
锥体V
1 3
Sh
V 4 πR3 3
[难点正本 疑点清源] 1．几何体的侧面积和全面积
几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积 与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体 的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的 平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开 图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开 图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等 于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的 大小．