高中数学立体几何+解析几何篇(新课标)
《高中数学立体几何》课件
立体几何的重要性
01
02
03
培养空间思维能力
学习立体几何有助于培养 学生的空间想象力和逻辑 思维能力，提高解决实际 问题的能力。
数学学科基础
立体几何是数学学科体系 中的重要组成部分，对于 理解数学概念、掌握数学 方法具有重要意义。
《高中数学立体几何》ppt课 件
目 录
• 立体几何简介 • 立体几何基础知识 • 立体图形的性质与分类 • 立体几何的应用 • 解题技巧与思路 • 立体几何的未来发展
01
立体几何简介
什么是立体几何
立体几何是研究三维空间中图形和物 体性质的一门学科。它涉及到点、线 、面、体等基本元素，以及它们之间 的位置关系和度量关系。
角度的计算
角度是描述两条射线或线段之间夹角 的大小的量。在立体几何中，角度可 以通过使用三角函数或几何定理来计 算。
距离的计算
距离是描述两点之间或一点到一条线 段之间的最短路径的大小的量。在立 体几何中，距离可以通过使用勾股定 理或几何定理来计算。
03
立体图形的性质与分类
立体图形的性质
空间性
立体图形存在于三维空间 中，具有空间特性。
近现代发展
随着数学和科学技术的不断进步， 立体几何逐渐与代数学、分析学等 学科交叉融合，形成了更加丰富和 深入的研究领域。
02
立体几何基础知识
点、线、面的基本性质
点的基本性质
面的基本性质
Байду номын сангаас
点是几何学中最基本的元素，没有大 小和形状。在空间中，点的唯一特征 是它的位置。
面是由无数条线组成的，它只有面积 而没有厚度。面的形状和位置由其上 的点和其上的线的分布决定。
对新课标下高中立体几何教学的认识
理科教学探索对新课标下高中立体几何教学的认识吴丽娟1，施仁智2(1．丽水中学，浙江丽水323000；2．丽水市教研室，浙江丽水323000)摘要：与传统的立体几何相比，新课标下的立体几何无论是从相关背景，还是从教学内容上都发生了较大的变化。
在教学中要关注学生通过自己观察或操作形成感知和表象，进而形成相关概念；培养学生自己进行抽象、概括的能力；控制好有关论证和计算的难度；加强对直线的方向向量和平面的法向量的教学等。
关键词：几何；价值；变化；直观；向量中图分类号：G633．63文献标识码：A文章编号：1009一010×(2008)09一0045—03与传统的立体几何相比，新课标下的立体几何有很突出的变化。
对照《普通高中数学课程标准》(实验)及《大纲》(9(A)方案)中有关立体几何部分的相关内容，结合教学实践，对相关变化、变化背景及如何在教学中积极地适应这种变化作些探讨。
希望能对理解新课标下的立体几何教学有所帮助。
一、相关变化背景几何学是伴随着人类文明的进步而发展起来的。
古代的几何学源于几何图形的度量。
如公元前1800年左右的古埃及，因尼罗河的泛滥要求丈量土地的面积；中国西周时代，因天文学测量需要产生“勾三股四弦五”的几何结论等。
到公元前600年，以欧几里得的《几何原本》为代表的古希腊演绎几何学，闪耀着理性思维的光芒。
这种从几何对象的定义和公认的几何公理出发，经过演绎推论得出新的几何结论，最后形成几何体系的思维过程，不仅能够产生许多有关度量的实用结果，更成为人类构建科学体系的一种普遍方法。
再到文艺复兴时期，笛卡尔发现用代数方法可以研究图形的几何性质，划时代地创立了解析几何与坐标方法，使得数量标志几何位置成为可能。
此后的几何学，一直沿着两个方向发展：一是基于几何直观的综合几何学；另一方面，几何学沿着解析几何、向量几何的方向发展。
新课标下的立体几何内容“立体几何初步”和“空问向量和立体几何”就是几何学发展的两个主要方向的体现。
高中数学立体几何与解析几何
高中数学立体几何与解析几何立体几何与解析几何是高中数学中的重要内容，它们研究了几何图形在三维空间中的形态和性质，以及利用坐标系进行几何问题的解析计算。
本文将介绍高中数学中立体几何和解析几何的基本概念和应用。
一、立体几何的基本概念与性质立体几何是研究三维空间中的几何图形的学科。
在立体几何中，我们主要关注的图形包括点、线、面以及各种立体体形（如球、锥、柱、棱锥等）。
下面将介绍几个常见的立体几何概念和性质。
1.1 点、线、面的定义在三维空间中，点是没有大小和形状的，用坐标表示。
线是由两个点确定的直线段，可以延伸到无穷远。
面是由三个或多个点确定的平面，它没有厚度，只有长度和宽度。
1.2 正交投影与投影性质正交投影是指物体在垂直于投影面的直线上的投影。
投影性质包括平行线投影后仍为平行线、线段长度比例保持不变、角度保持不变等。
1.3 空间几何体的性质各种空间几何体如球体、立方体、锥体等都有各自的性质，如体积、表面积、对称性等。
二、解析几何的基本概念与性质解析几何是通过坐标系和代数方法研究几何问题的学科。
它将几何问题转化为代数问题，通过运用代数方法解决几何问题。
下面将介绍几个常见的解析几何概念和性质。
2.1 坐标系及其表示方法在解析几何中，我们通常使用直角坐标系或参数方程来表示几何图形。
直角坐标系是由横轴和纵轴组成的，图形的坐标表示为(x, y)。
参数方程是通过参数t的取值来表示几何图形的坐标。
2.2 点、线、面的解析表示通过坐标表示，我们可以用方程的形式来表示点、线、面的几何性质，将几何问题转化为代数问题。
例如，直线的解析表示为y = kx + b，平面的解析表示为ax + by + cz + d = 0。
2.3 距离、角度的解析计算在解析几何中，我们可以通过坐标计算两点间的距离和线段的长度。
同时，也可以通过坐标计算两条直线的夹角和两个平面的夹角。
三、立体几何与解析几何的应用立体几何和解析几何在实际问题中有着广泛的应用。
高中数学中的立体几何详细解析
高中数学中的立体几何详细解析在高中数学中，立体几何是一个非常重要的部分。
它研究的是空间内的物体及其几何特性，包括体积、表面积、体心等等。
立体几何不仅与日常生活密切相关，而且在科学研究、工程建设等领域都有着广泛的应用。
本篇文章将对高中数学中的立体几何进行详细解析，涵盖常见的几何体及其性质，以及相应的计算方法。
一、点、线、面与空间几何关系立体几何的基础是点、线、面以及它们之间的关系。
点是空间中不占据体积的位置，线是由无数个点连接而成的一维物体，面是由无数个线连接而成的二维物体。
在三维空间中，点、线、面之间存在着复杂而有趣的关系。
在立体几何中，最基础的关系就是点与直线的关系。
一条直线可以通过两个不共线的点来确定，两条直线在空间中的位置关系有三种可能：平行、相交和重合。
当两条直线没有任何一个公共点时，它们被称为平行线；当两条直线有且只有一个公共点时，它们相交；当两条直线重合时，它们重合。
除了点与直线的关系，点与平面的关系也是立体几何中的重要内容。
点在平面上可以有三种情况：点在平面内、点在平面上以及点在平面外。
当一个点与平面上的所有点连成的线都在平面内时，该点在平面内；当一个点与平面上的至少一点连成的线都在平面上时，该点在平面上；当一个点与平面上的所有点连成的线都在平面外时，该点在平面外。
二、立体几何的常见几何体在高中数学中，我们经常研究的几何体包括球体、圆柱、圆锥、棱锥、棱台等。
下面将对这些几何体的性质进行详细的解析。
1. 球体球体是立体几何中的一种重要几何体，具有以下性质：（1）所有的球面上的点到球心的距离都相等；（2）球体的表面积公式为：S = 4πr²，其中r为球体的半径；（3）球体的体积公式为：V = (4/3)πr³。
2. 圆柱圆柱是一个具有圆形底面和与底面平行的上下底面的几何体，具有以下性质：（1）圆柱的表面积公式为：S = 2πr² + 2πrh，其中r为底面半径，h 为圆柱的高；（2）圆柱的体积公式为：V = πr²h。
高中数学立体几何(解析版)
立体几何立体几何一直在高中数学中占有很大的分值，未来的高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点，文科高考中立体几何主要考查三视图的相关性质利用，简单几何体的体积，表面积以及外接圆问题.另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单几何体三视图.选择题主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及简单几何体的变面积以及体积.本专题针对高考高频知识点以及题型进行总结，希望通过本专题的学习，能够掌握高考数学中的立体几何的题型，将高考有关的立体几何所有分数拿到.【满分技巧】基础知识点考查：一般来说遵循三短一长选最长.要学会抽象问题具体会，将题目中的直线转化成显示中的具体事务，例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角有关外接圆问题：一般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求.内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求.求点到平面的距离问题：采用等体积法.求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：90分钟）一、单选题AA是1．（2018·上海高考真题）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA为底面矩形的一边，则这样的阳正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【详解】根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4=16故选D．【点睛】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．2．（2020·上海虹口区·高三一模）在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A､B，过直线l做平面α，使得点A､B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【答案】C【分析】分情况讨论可得出.【详解】（1）如图，当直线AB与l异面时，则只有一种情况；（2）当直线AB与l平行时，则有无数种情况，平面α可以绕着l转动；（3）如图，当l过线段AB的中垂面时，有两种情况.故选：C.3．（2020·上海高三一模）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，高14A A =，E 为棱1A A 的中点．设BAD ∠=α、BED θ∠=、1B ED γ∠=，则α、β、γ之间的关系正确的是（ ）．A ．αγθ=>B ．γαθ>>C ．θγα>>D ．αθγ>>【答案】B 【分析】求出α、β、γ的大小即可求解. 【详解】由题意可得2BAD πα∠==，连接BD ，则BDE 为等边三角形，所以3BED πθ∠==， 连接1B D ，则222122426B D =++=22222BE DE ==+=取1B D 的中点O ，连接EO ，则16BO 862EO =-=所以16tan 32B EO ∠==， 所以13B EO π∠=，即123B ED πγ∠==，所以γαθ>>.故选：B4．已知长方体1111ABCD A B C D -，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）A ．1AD AB ⋅B ．11AD BC ⋅ C ．1BD BC ⋅ D ．1BD AC ⋅【答案】C【分析】利用正方体几何性质计算出数量积为零的选项，根据长方体的性质证明数量积一定不为零的选项.【详解】当长方体1111ABCD A B C D -为正方体时，根据正方体的性质可知： 1111,,AB AD AD B C BD AC ⊥⊥⊥，所以10AB AD ⋅=、110AD B C ⋅=、10BD AC ⋅=.根据长方体的性质可知：1BC CD ⊥，所以1BD 与BC 不垂直，即1BD BC ⋅一定不为0.故选：C5．（2020·上海高三一模）已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b .对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都成45︒角.以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题【答案】B 【分析】作出过P 与两直线相交的直线l 判断①；通过平移直线a ，b ，结合异面直线所成角的概念判断②．【详解】解：直线AB 与A 1D 1 是两条互相垂直的异面直线，点P 不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB 1的中点Q ，则PQ ∥A 1D 1，且 PQ ＝A 1D 1，设A 1Q 与AB 交于E ，则点A 1、D 1、Q 、E 、P 共面， 直线EP 必与A 1D 1 相交于某点F ，则过P 点有且只有一条直线EF 与a 、b 都相交，故①为真命题； 分别平移a ，b ，使a 与b 均经过P ，则有两条互相垂直的直线与a ，b 都成45°角，故②为假命题． ∴①为真命题，②为假命题．故选：B ．【点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．二、填空题6．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π；【分析】根据圆的周长公式易得圆锥底面周长，也就是圆锥侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图扇形的圆心角的大小.【详解】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π， 则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==， 故答案为：π.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关圆锥侧面展开图的问题，解题思路如下：（1）首先根据底面半径求得底面圆的周长；（2）根据圆锥侧面展开图扇形的弧长就是底面圆的周长，结合母线长，利用弧长公式求得圆心角的大小. 7．（2020·上海闵行区·高三一模）如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为3，则异面直线1AA 与1BD 所成角的大小是_______.【答案】22；【分析】根据11//AA DD ，得到1DD B ∠异面直线1AA 与1BD 所成的角，然后在1Rt DD B △，利用正切函数求解.【详解】因为11//AA DD ，所以1DD B ∠异面直线1AA 与1BD 所成的角，在正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为3， 所以1122tan 3BD DD B DD ∠==， 因为1(0,)2DD B π∠∈， 所以122arctan3DD B ∠=， 故答案为：22arctan 38．（2019·上海市建平中学高三月考）某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何体的体积（单位：立方厘米）是________.【答案】12π+2，高为3；半圆锥的底面是半径为1的半圆，高为3；据此计算出该几何体的体积.【详解】由三视图可知，三棱锥的体积：1223132V ⎛=⨯⨯= ⎝⎭；半圆锥体积：()11113232V ππ=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以总体积为：12π+. 故答案为12π+.【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，难度较易.计算组合体的体积时，可将几何体拆分为几个容易求解的常见几何体，然后根据体积公式完成求解.9．（2020·上海高三其他模拟）如图直三棱柱ABB 1-DCC 1中， BB 1⊥AB ，AB=4，BC=2，CC 1=1，DC 上有一动点P ，则△APC 1周长的最小值是 .【答案】521+试题分析：要求周长的最小值，因边为定值，只要求另两边之和的最小值，因两点直线线段最短，所以的最小值为因此△APC 1周长的最小值是521考点：棱柱的相关知识.10．（2020·上海高三一模）已知母线长为6cm 的圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的底面半径为________cm ．【答案】2【分析】设底面半径为r ，由两个面积的关系可得底面半径的值．【详解】解：设底面半径为r ，则由题意，可得213262r r ππ=⨯⨯，解得2r ， 故答案为：2．【点睛】本题考查圆锥的侧面积及圆的面积公式，属于基础题．11．（2020·上海高三其他模拟）已知圆锥的母线长为l ，过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为212l ，则此圆锥底面半径r 与母线长l 的比r l的取值范围是____________． 【答案】22【分析】先判断两条母线的夹角=90θ时最大截面三角形的面积为212l 22l r ≤和r l <，最后求出r l 的取值范围即可. 【详解】解：过圆锥顶点的截面三角形的面积：1sin 2S l l θ=⋅⋅（θ为两母线的夹角）， 因为过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为212l ，即两条母线的夹角=90θ时的截面面积，此时底面弦长为2l ，所以22l r ≤，又r l <，所以212r l≤<， 故答案为：2[,1)2【点睛】本题考查空间几何体，是基础题.12．（2020·上海青浦区·高三二模）用一平面去截球所得截面的面积为23cm π，已知球心到该截面的距离为1cm ，则该球的表面积是___________2cm ．【答案】16π【分析】由已知求出小圆的半径，然后利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积【详解】解：因为用一平面去截球所得截面的面积为23cm π，所以小圆的半径为3cm ，因为球心到该截面的距离为1cm ，所以球的半径为221(3)2+=cm ，所以球的表面积为24216S ππ=⨯=2cm ，故答案为：16π【点睛】此题考查球的截面的半径、球心到截面的距离与球的半径间的关系，属于基础题13．（2020·上海普陀区·高三月考）已知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图所示，其左视图的面积为8，则该半圆柱的表面积为______.【答案】1612+π【分析】由圆柱的主视图和左视图知该圆柱的底面直径为4，高为3，由此能求出该几何体的表面积，得到答案.【详解】由题意，其左视图为矩形，其左视图的面积为8，半圆柱的高h 为4，可得半圆的半径r 为2，由于半圆柱的表面积为两个底面半圆面积加侧面展开图形的面积， 即2211222224224161222S r rh rh πππππ=⨯⨯++=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+.故答案为：1612+π.【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及圆柱的表面积的计算问题，同时考查了圆柱的结构特征的应用，属于基础题.三、解答题14．（2020·上海虹口区·高三一模）如图在三棱锥P ABC -中，棱AB 、AC 、AP 两两垂直，3AB AC AP ===，点M 在AP 上，且1AM =.（1）求异面直线BM 和PC 所成的角的大小；（2）求三棱锥P BMC -的体积.【答案】（1）5（2）3. 【分析】（1）以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法可求得异面直线BM 和PC 所成的角的大小；（2）计算出PMC △的面积，并推导出AB ⊥平面PMC ，利用锥体的体积公式可求得三棱锥P BMC -的体积.【详解】（1）由于AB 、AC 、AP 两两垂直，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如下图所示：则()3,0,0B 、()0,0,0A 、()0,3,0C 、()0,0,3P 、()0,0,1M ，()3,0,1BM =-，()0,3,3PC =-，5cos ,101032BM PC BM PC BM PC⋅<>===-⨯⋅，因此，异面直线BM 和PC 所成的角的大小为5arccos 10； （2）AB AC ⊥，AB AP ⊥，AC AP A =，AB ∴⊥平面APC ，AC AP ⊥，1AM =，2PM AP AM ∴=-=，132PMC S PM AC ∴=⋅=△， 1133333B PMC PMC V S AB -=⋅=⨯⨯=△.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.15．（2020·上海青浦区·高三一模）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为棱1DD 的中点.（1）证明：1//BD 平面P AC ；（2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）30.【分析】（1）AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点．推导出1//PO BD ．由此能证明直线1//BD 平面PAC ；（2）由1//PO BD ，得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角．由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小．【详解】（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点. 连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，所以1//PO BD . 又因为PO ⊂平面P AC ，1BD ⊄平面P AC 所以直线1//BD 平面P AC.（2）解：由（1）知，1//PO BD ，所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.因为2PA PC ==，2122AO AC ==且PO AO ⊥， 所以212sin 22AO APO AP ∠===. 又(0,90APO ︒︒⎤∠∈⎦，所以30APO ∠=︒ 故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30. 【点睛】方法点睛：异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形） 方法二：（向量法）cos m n m nα=，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m n 分别是直线,m n 的方向向量.16．（2020·上海长宁区·高三一模）如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，高为23，底面半径为2.（1）求该圆锥的侧面积；（2）设OA ､OB 为该圆锥的底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，求直线PM 与直线OB 所成的角的正切值.【答案】（1）8π；（213【分析】（1）利用圆锥侧面积公式即可；（2）通过中点作辅助线即可． 【详解】解：（1）OP ⊥底面OAB 由题意高3h =2r ，所以母线4l圆锥的侧面积S =12lr 12242π=⨯⨯⨯8π= （2）取OA 的中点为N ，因为M 为AB 的中点所以//MN OB ，PMN ∠就是直线PM 与直线OB 所成的角． 因为OB OA ⊥，OB OP ⊥，所以OB ⊥平面POA ，MN ⊥平面POA ，MN PN ⊥ 在Rt △PNM 中，22()132rPN h =+=，112MN OB ==．所以PMN ∠的正切值为13．即直线PM 与直线OB 所成的角正切值为13．17．（2020·上海徐汇区·高三一模）如图：在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==，14CC =，90ACB ∠=，E 、F 分别为棱1AA 、AB 的中点．（1）求异面直线1A C 与EF 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求五棱锥11C EFBB A -的体积11C EFBB A V -． 【答案】（1）5arctan （2）143．【分析】（1）连接1A B ，利用中位线的性质可得出1//A B EF ，由此可得出1BA C ∠（或其补角）就是异面直线1A C 与EF 所成的角，利用解三角形的知识求出1BA C ∠的正切值，即可得解；（2）计算出五边形1EFBB A 的面积，并推导出CF ⊥平面11AA B B ，再利用锥体的体积公式可计算出五棱锥11C EFBB A -的体积11C EFBB A V -. 【详解】 （1）连接1A B ，E 、F 分别为1AA 、AB 的中点，所以，1//A B EF ，于是1BA C ∠（或其补角）就是异面直线1A C 与EF 所成的角， 在1A BC 中，2BC =，221125AC AA AC =+=，221126A B AA AB =+=，22211A C BC A B ∴+=，所以1BC A C ⊥，所以，1125tan 525BC BAC AC ∠===． 所以，异面直线1A C 与EF 所成角的大小为5arctan5；（2）由于111111822722AEFEFBB A ABB A S S S AB AA AE AF =-=⋅-⋅==五边形矩形 连接CF ，2AC BC ==，F 为AB 的中点，90ACB ∠=，CF AB ∴⊥，且122CF AB == 1AA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，1CF AA ∴⊥，1AB AA A ⋂=，CF ∴⊥平面11AA B B ，所以11111114722333C EFBB A EFBB A V S CF -=⋅=⨯⨯=五边形． 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．18．（2020·上海大学附属中学高三三模）如图，正四棱锥P ABCD -中.（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）若2AB =，423P ABCD V -=，求二面角A PB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1arccos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）先证明PO BD ⊥，结合,BD AC ⊥利用线面垂直的判定定理可得结论；（2）由423P ABCD V -=求出棱锥的高，可求得侧棱长，判定侧面的形状后可得二面角的平面角，利用余弦定理可得答案. 【详解】（1）因为P ABCD -是正棱锥，P ∴在面ABCD 内射影是AC 与BD 的交点O ，即PO ⊥面ABCD ，PO BD ∴⊥，又,BD AC PO ⊥与AC 在面PAC 内相交，BD ∴⊥面PAC ；（2）2142233P ABCD V PO -=⨯⨯=， 2PO ∴=，222PB =+=，则PAB △与PBC 为边长是2的正三角形，取PB 的中点E ，连,AE CE ， 则AE PB ⊥，CE PB ⊥，AEC ∠是二面角的平面角，3381cos 3233AEC +-∠==-⨯⨯，1cos 3AEC arc ⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查线面垂直的证明以及二面角的求解，考查了正四棱锥的性质，属于中档题.19．（2019·上海市建平中学高三月考）如图：四面体ABCD 的底面ABC 是直角三角形，AC BC ⊥，3AC =，4BC =，DA ⊥平面ABC ，5DA =，E 是BD 上的动点（不包括端点）.（1）求证：AE 与BC 不垂直；（2）当AE DC ⊥时，求DEEB的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）259.【分析】（1）利用反证法，先假设AE 与BC 垂直，然后根据条件推出与题设矛盾的结论，即可证明出AE与BC 不垂直；（2）先作辅助线//EF BC ，利用AE DC ⊥以及BC ⊥平面DAC 得到DC ⊥平面AEF ，由此得到AF DC ⊥，从而确定出F 点位置，再由DE DFEB FC=得到结果. 【详解】（1）假设AE BC ⊥，因为DA ⊥平面ABC ，所以DA BC ⊥，且DA AE A =，所以BC ⊥平面DAE ，又因为AB平面DAE ，所以BC AB ⊥，又因为由条件可知BC AC ⊥，所以BC AB ⊥不成立， 故假设不成立，所以AE 与BC 不垂直；（2）过E 作//EF BC ，交DC 于F ，连接AF ，因为AC BC ⊥，DA BC ⊥且DA AC A =，所以BC ⊥平面DAC ，因为//EF BC ，所以EF ⊥平面DAC ，所以EF DC ⊥， 又因为AE DC ⊥，EF DC ⊥，EF AE E =，所以DC ⊥平面AEF ，所以DC AF ⊥，又cos 25934AD ADC DC ∠===+，所以cos cos 34DF ADF ADC AD ∠=∠==， 所以34DF =，所以34FC =，所以259DF FC =，所以由相似可知259DE DF EB FC ==. 【点睛】本题考查空间中的垂直关系的判断与证明，难度一般.空间中的不平行、不垂直关系的证明，如果正面证明比较麻烦，可采用反证法去证明.20．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）如图，四边形11ABB A 是圆柱1OO 的轴载面，4AB =，12OO =，以圆柱上底面为底面作高为2的圆锥1PO ，C 、1C 分别在AB 、11A B 上，2AOC π∠=，1113AO C π∠=.（1）求这个几何体的表面积和体积； （2）求二面角111O AC C --的余弦值. 【答案】（1）表面积为(1242π+，体积为323π；（23823-. 【分析】（1）计算出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积、底面积公式可计算出几何体的表面积，结合柱体和锥体的体积公式可求得几何体的体积；（2）以点O 为坐标原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量法可求得二面角111O AC C --的余弦值. 【详解】（1）由题意可知，圆柱的底面半径为22ABr ==， 因为1PO 为圆锥的高，且12PO =，所以，圆锥的母线长为221122PA PO r =+=，又12OO =，因此，该几何体的表面积为(22+2222221242S ππππ=⨯⨯⨯+⨯=+.该几何体的体积为22132222233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=； （2）以点O 为坐标原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则点()10,0,2O ，()12,0,2A ，()13,2C ，()0,2,0C ，设平面11A CC 的一个法向量为(),,m x y z =，()113,0AC =-，()12,2,2AC =--， 由11100m AC m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得302220x x y z ⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩，令3x =1y =，13z =所以，平面11A CC 的一个法向量为(3,1,13m =，易知平面111O AC 的一个法向量为()0,0,1n =，()()22233cos ,82331131m n m n m n⋅<>===⋅-++-⨯，由图象可知，二面角111O AC C --31823--【点睛】本题考查组合体的表面积与体积的计算，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.21．（2020·上海高三其他模拟）如图，已知⊙O 的直径AB=3，点C 为⊙O 上异于A ，B 的一点，VC ⊥平面ABC ，且VC=2，点M 为线段VB 的中点.（1）求证：BC ⊥平面VAC ；（2）若直线AM 与平面V AC 所成角为4π.求三棱锥B-ACM 的体积. 【答案】（1））祥见解析；（2）试题分析：（1）由线面垂直得VC ⊥BC ，由直径性质得AC ⊥BC ，由此能证明BC ⊥平面V AC ．（2）首先由（1）作出直线AM 与平面V AC 所成的角：取VC 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥BC ，由（I ）得BC ⊥平面VAC ，所以MN ⊥平面V AC ，则∠MAN 为直线AM 与平面V AC 所成的角.即∠MAN=4π，所以MN=AN ；这样就可求出AC 的长，且而求得体积．试题解析：（1）证明：因为VC ⊥平面ABC ，BC ABC ⊂平面，所以VC ⊥BC ，又因为点C 为圆O 上一点，且AB 为直径，所以AC ⊥BC ，又因为VC ，AC ⊂平面V AC ，VC∩AC=C ，所以BC ⊥平面V AC.（2）如图，取VC 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥BC ，由（I ）得BC ⊥平面V AC ，所以MN ⊥平面V AC ，则∠MAN 为直线AM 与平面V AC 所成的角.即∠MAN=4π，所以MN=AN ；令AC=a,则29-a ，MN=292a -；因为VC=2，M 为VC 中点，所以21a + 所以，292a -=21a +,解得a=1 因为MN ∥BC,所以考点：1.直线与平面垂直的判定;2. 棱柱、棱锥、棱台的体积;3. 直线与平面所成的角.22．（2020·上海高三其他模拟）已知正方体1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点．（1）求异面直线AE 与1DD 所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）求C 点到平面ABE 的距离，并求出三锥C ADE -的体积．【答案】（1）1arccos 3；（2）C 点到平面ABE 25，三锥C ADE -的体积为23． 【分析】（1）由已知得AEC ∠（或补角）是异面直线AE 与1DD 所成角，求解AEC 可得答案；（2）利用等体积E ABC C ABE V V --=，可求得设C 点到平面ABE 的距离，利用C ADE A CDE V V --=，可求得三锥C ADE -的体积．【详解】解：（1）连接AC ，因为11//CC DD ，所以AEC ∠（或补角）是异面直线AE 与1DD 所成角， 在AEC 中，()22221cos 3221EC AEC AE AC EC ∠====++， 所以异面直线AE 与1DD 所成角是1arccos 3；（2）设C 点到平面ABE 的距离为h ，因为E ABC C ABE V V --=，即1133ABC ABE S EC S h ⋅=⋅△△， 又正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥面11BB C C ，所以ABE △是Rt ABE △，又2222215BE BC EC =+=+=， 所以1111221253232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⋅，解得255h =， 所以C ADE A CDE V V --=111212332DCE S AD ⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭△23=.【点睛】本题考查空间中异面直线所成的角，运用等体积法求点到面的距离以及三棱锥的体积，属于中档题.。
浅谈高中数学课标教材“解析几何”的内容、要求与特点
浅谈⾼中数学课标教材“解析⼏何”的内容、要求与特点“解析⼏何”是⾼中数学的经典内容。
回顾近⼆⼗年的⾼中数学课程教材改⾰，1997年前，“解析⼏何”单独成册《平⾯解析⼏何》，与《代数》（下册）同时开设，在⾼⼆两个学期完成，约50课时（包括选学内容“参数⽅程、极坐标”，约14课时）。
1997年后，《全⽇制普通⾼级中学数学教学⼤纲》（以下简称《⼤纲》）“解析⼏何”教材包括两章内容：“第七章直线和圆的⽅程”“第⼋章圆锥曲线⽅程”，以及“研究性学习课题与实习作业线性规划的实际应⽤”，共43课时。
《普通⾼中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）中“解析⼏何”内容包括必修课程·数学2中的“平⾯解析⼏何初步”，选修课程·系列1的选修1-1或系列2的选修2-1中的“圆锥曲线与⽅程”，以及系列4中的“选修4-5 坐标系与参数⽅程”。
依据《标准》的要求、教材在编写时的思考以及各地教学的实际情况，本⽂所说的“解析⼏何”只包括“平⾯解析⼏何初步”和“圆锥曲线与⽅程”（选修2-1），共34课时。
⽬前《标准》把“内容与要求”合在⼀起写，虽然表述容易，但有些内容不明确，教还是不教，难以把握，弹性很⼤。
具体到教材的编写，不同版本的教材存在⼀定的差异。
因此本⽂⾸先明确“解析⼏何”的主要内容，在此基础上，再谈具体的教学要求，最后概述“解析⼏何”教材的主要特点。
希望对实验区教师了解教材，进⾏教学有⼀定的帮助。
⼀、解析⼏何的主要内容依据《标准》和编写《普通⾼中课程标准实验教科书·数学》A版时的思考和实践，我们认为“解析⼏何”的主要内容是：1．直线与⽅程直线的倾斜⾓和斜率。
过两点的直线斜率公式。
两条直线平⾏与垂直的条件。
直线的点斜式⽅程。
直线的斜截式⽅程。
直线的两点式⽅程。
直线的⼀般式⽅程。
直线的斜截式⽅程与⼀次函数。
两条直线的交点坐标。
两点间的距离公式。
点到直线的距离公式。
两条平⾏直线间的距离。
2．圆与⽅程圆的标准⽅程。
高中数学中的立体几何与空间解析几何
高中数学中的立体几何与空间解析几何数学在高中阶段的学习内容涉及到多个领域，其中立体几何和空间解析几何是重要的一部分。
本文将重点探讨这两个领域的基本概念、定理及应用。
一、立体几何1. 三维空间及坐标系立体几何研究的是三维空间中的图形和物体，首先我们需要了解三维空间及其坐标系。
三维空间由长、宽和高三个维度组成，可以使用直角坐标系来表示。
在直角坐标系中，我们可以用三个坐标轴（x轴、y轴和z轴）来描述空间中的点的位置。
2. 空间图形的基本要素在立体几何中，常见的空间图形包括点、线、面和体。
点是空间中的一个位置，用坐标来表示。
线是由两个点确定的直线段，在空间中有方向和长度。
面是由多个点确定的平面，可以是二维的，也可以是平行于某个坐标轴的三维平面。
体是由多个平面围成的立体图形，如立方体、圆柱体等。
3. 空间几何图形的性质和定理空间几何图形有许多重要的性质和定理，这些性质和定理可以帮助我们判断几何图形之间的关系和求解相关问题。
比如，平行线与截线定理可以帮助我们判断两条平行线是否与另一条直线相交；垂直平分线定理可以帮助我们找到两条线段的中点。
4. 空间几何的应用立体几何在实际生活中有广泛的应用，比如建筑设计、机械制造和地理测量等。
通过运用立体几何的知识，我们可以更好地理解和解决与空间相关的问题。
二、空间解析几何1. 空间坐标系空间解析几何是通过代数的方法研究立体图形和几何问题。
在空间解析几何中，我们使用三维坐标系来描述几何图形和问题。
空间坐标系由原点和三个相互垂直的坐标轴组成。
2. 空间点和向量的表示在空间解析几何中，我们用坐标表示点的位置。
例如，点A的坐标为(x₁, y₁, z₁)，表示点A在x轴、y轴和z轴上的坐标值。
此外，我们还引入向量的概念，向量可以表示空间中的位移、速度等量。
向量的表示通常使用有向线段或坐标表示。
3. 空间几何图形的方程利用代数的方法，我们可以得到空间几何图形的方程。
例如，平面可以用一个线性方程表示，而曲线可以用一个或多个方程表示。
高中数学中的解析几何中的立体
高中数学中的解析几何中的立体解析几何是数学的一个重要分支，它研究的是空间中的点、直线、面等几何对象的性质及其相互关系。
在解析几何中，立体几何是其中的一个重要内容，涉及到了三维空间中的立体图形、体积、表面积等概念。
一、立体几何的基本概念在解析几何中，立体几何研究的是具有长、宽、高三个维度的几何图形。
常见的立体图形有球体、圆柱体、圆锥体、棱柱体和棱锥体等。
这些立体图形具有各自独特的特征和性质，在解析几何中需要掌握这些基本概念。
二、立体图形的表示方法为了在解析几何中更方便地研究立体图形，我们通常采用坐标系和向量来表示立体图形。
通过给予空间中的点坐标，我们可以确定直线、面甚至是曲线等立体图形。
利用向量的加减法，我们可以计算出立体图形的长度、体积、表面积等几何特征。
三、立体图形的体积与表面积在解析几何中，计算立体图形的体积和表面积是一个重要的应用问题。
对于球体、圆柱体、圆锥体、棱柱体和棱锥体等立体图形，我们可以通过一定的公式来求解其体积和表面积。
例如，球体的体积公式为V = (4/3)πr³，表面积公式为S = 4πr²；而圆柱体的体积公式为V =πr²h，表面积公式为S = 2πr(r + h)。
四、立体几何与平面几何的关系立体几何与平面几何是密切相关的。
在解析几何中，我们可以通过立体几何的思想和方法来解决平面几何中的一些问题。
例如，在平面几何中，我们通常需要计算三角形的面积，而在解析几何中，我们可以将三角形看作一个平面内的立体图形，通过立体几何的方法来计算其面积。
五、应用实例1. 例题一：求一个直径为10的球体的体积和表面积。
解析：由球体的体积公式可知，V = (4/3)πr³ = (4/3)π(5)³ = (4/3)π500。
由球体的表面积公式可知，S = 4πr² = 4π(5)² = 100π。
2. 例题二：一个圆锥体的顶点在坐标原点，底面半径为3，高为4，求其体积和表面积。
高中数学立体几何+解析几何篇(新课标)
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地址1：文龙医院对面正宏花园2楼（綦江城东路55号）地址2：綦江川剧团建设银行背后（艺术文化幼儿园旁）第1 讲空间几何体求实学习目标1.2.3.求精知识要点如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体。
高中数学新课标立体几何
高中数学新课标立体几何立体几何是高中数学课程中的一个重要组成部分，它不仅能够帮助学生形成空间观念，还能培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
在新的课程标准下，立体几何的教学内容和方法都有所更新，以适应现代教育的需求。
首先，立体几何的基础是点、线、面的概念。
在高中阶段，学生需要理解点在空间中的位置关系，线与线、线与面、面与面之间的相对位置关系。
这些基本概念是理解立体几何问题的关键。
其次，立体几何中的一个重要内容是多面体和旋转体。
多面体如正方体、长方体、棱柱、棱锥等，它们的顶点、边、面的数量和特性是学习的重点。
旋转体如圆柱、圆锥、球体等，它们的生成方式和几何特性也是学生需要掌握的。
接着，立体几何中的计算问题也是教学的重点。
这包括了体积和表面积的计算，例如计算正方体、长方体的体积和表面积，以及球体、圆柱体的体积和表面积等。
这些计算不仅要求学生掌握公式，还要求他们能够灵活运用公式解决实际问题。
此外，立体几何还涉及到空间向量的概念。
向量是一种描述空间中点与点之间关系的数学工具，它在解决立体几何问题中有着广泛的应用。
学生需要学会如何使用向量来表示空间中的点、线和面，以及如何利用向量进行几何计算。
在新的课程标准下，立体几何的教学更加注重学生的实际操作和探究学习。
教师会引导学生通过观察、实验、讨论等方式，深入理解立体几何的概念和原理。
同时，也会鼓励学生使用计算机软件进行几何建模和模拟，以增强他们对立体几何的直观感受。
最后，立体几何的学习不仅仅是为了解决数学问题，它还能够培养学生的空间想象能力和创新思维。
在日常生活中，无论是建筑设计、工程规划还是艺术创作，立体几何的知识都有着广泛的应用。
因此，高中阶段的立体几何教学应该与实际生活紧密结合，让学生在解决实际问题的过程中，体验到数学的乐趣和价值。
高中数学立体几何的解析几何方法
高中数学立体几何的解析几何方法解析几何是数学中的一个重要分支，它运用代数和几何的方法来研究图形的性质和变化。
在高中数学中，解析几何尤其在立体几何的研究中发挥了重要作用。
本文将介绍高中数学立体几何中的解析几何方法，并探讨其在求解问题和证明定理中的应用。
一、直线的方程在立体几何中，直线是研究的基本对象。
通过解析几何方法，我们可以方便地求解直线的性质和方程。
1. 直线的斜率和截距直线的斜率和截距是直线方程中的两个重要参数。
给定直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以通过斜率公式求得直线的斜率k，即k = (y2 - y1) / (x2 - x1)直线的截距可以通过截距公式求得，即b = y - kx其中b为直线与y轴的交点，也是直线的截距。
2. 直线的一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不能同时为0。
这个方程可以表示任意的直线。
3. 直线的向量方程直线的向量方程形式为r = a + tb，其中r为直线上一点的位置矢量，a为直线上已知的一点的位置矢量，b为直线的方向向量，t为参数。
二、平面的方程除了直线的方程，解析几何方法还可以用来求解平面的方程。
1. 平面的点法向式方程平面的点法向式方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数，且至少有一个不为0。
这个方程中的A、B、C为平面的法向量的分量。
2. 平面的截距式方程平面的截距式方程可以表示为 x/a + y/b + z/c = 1，其中a、b、c为平面在坐标轴上的截距。
三、解析几何在立体几何中的应用解析几何方法在立体几何中具有广泛的应用，可以用来求解各种问题和证明定理。
1. 直线与平面的交点通过解析几何方法，我们可以求解直线与平面的交点。
给定直线的参数方程和平面的方程，可以将直线方程代入平面方程，得到一个关于参数的方程组，通过解方程组可以求解直线与平面的交点。
高中新课标数学立体几何
高中新课标数学立体几何在高中新课标数学中，立体几何是数学教学的一个重要组成部分，它不仅培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，而且对于学生未来学习高等数学和工程学科有着重要的基础作用。
立体几何的学习内容主要包括点、线、面的位置关系，多面体和旋转体的结构特征，以及空间图形的度量等。
首先，我们要了解空间中的点、线、面的基本性质。
点是几何图形中最基本的元素，它没有大小和形状，只有位置。
线是由无数个点组成的一维对象，它具有长度但没有宽度和高度。
面则是由无数条线组成的二维对象，它具有长度和宽度，但没有高度。
在立体几何中，点、线、面的位置关系是研究的重点，例如点在直线上，直线在平面上，以及平面与平面的相交等。
其次，多面体和旋转体是立体几何中的重要概念。
多面体是由若干个平面多边形所围成的立体图形，例如立方体、长方体、棱柱、棱锥等。
旋转体则是由一个平面图形绕着一条直线旋转所形成的立体图形，如圆柱、圆锥、球体等。
学习这些立体图形的结构特征和性质，有助于我们更好地理解空间中的物体。
再者，空间图形的度量是立体几何中的一个重要内容。
这包括了对线段长度、角度、面积和体积的测量。
例如，我们可以通过勾股定理来计算空间中两点之间的距离，通过余弦定理来求解空间中的角度，通过积分法来计算曲面的面积，以及通过积分法和几何法来计算立体的体积。
最后，立体几何的学习还涉及到一些特殊的几何体和几何问题。
例如，正多面体的研究，它包括了正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体等。
这些几何体不仅在数学上具有特殊的性质，而且在化学、物理和工程等领域也有着广泛的应用。
总之，高中新课标数学中的立体几何部分内容丰富，它不仅要求学生掌握基本的几何概念和性质，还要求学生能够运用这些知识解决实际问题。
通过立体几何的学习，学生可以培养出良好的空间想象能力和逻辑思维能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
新课标下的立体几何教学的认识和教学策略
新课标下对立体几何教学的认识及教学策略汇文二中李亚梅一、对立体几何知识的理解立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想像能力，帮助学生认识空间几何体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，帮助学生运用平行投影和中心投影，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。
使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确的使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。
二、新课标对立体几何知识的要求几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科,三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。
在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；在以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论定；学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
三、深入研究高中数学课程标准，改进教法，把握好新课程的教学要求。
新课标明确指出“在教学中，教师应根据高中数学课程的理念和目标、学生的认知规律和数学的特点，积极探索适合学生学习的教学方式”。
实施新课标的关键是优化课堂教学，提高课堂效率，改进教学方法教师应努力领会高中数学课程标准的基本理念和目标，掌握课程设计思路。
教师在研究数学新课程标准过程中，要确实熟悉必修与选修课程的内容标准，创造性地使用新教材。
新课标的教学从“知识传授”的传统模式转变到“以学生为主体”的参与模式，注重数学思想方法的渗透和良好的思维品质的养成，注重学生创造精神和实践能力的培养，符合素质教育的要求，而且与国际接轨,这也是施行高中新课标的根本目的所在。
高中数学教材全解课件 新课标 人教版 必修2(A)
3.分散难点
立体几何教学的两个主要任务： 培养空间观念，培养逻辑推理能力
按照“点线面——体”组织的结构体系， 逻辑严谨，但“两个任务”交织在一起， 特别是对逻辑推理能力要求高，而且“判 定定理”的证明要培养空间观念（合情推理），再推进到 逻辑推理能力的培养，适当分散难点。
证明非常漂亮、经典，渗透了许多数学思想， 重心是逻辑推理能力。
依据“标准”的要求，实验教
材对这个定理不进行演绎证明， 而让学生通过一个探究实验发现 结论，进行合情推理。
上述过程经历的步骤：
具体 观 实 发现 提 出 问题 察 验 规律 猜想
把握立体几何教学的变化：
几何教育功能的全面性，即从单 纯强调几何的逻辑推理转变为合 情推理与逻辑推理并重。
1.3 空间几何体的表面积与体积
教学目标： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积 的计算公式（不要求记忆公式）；根据柱、 锥、台、球体的几何特征并结合它们的展 开图，推导出它们的表面积的计算公式， 并通过对各种几何体体积计算公式之间联 系的分析，帮助学生从计算的角度去认识 空间几何体，更加准确地把握空间几何体 的结构特征。
在立体几何学习中，经历合情推理——演绎 推理过程。通过对事物、模型、图片等的操 作和感知，引导学生归纳、概括几何图形的 结构特征，认识空间点、线、面的位置关系， 用数学语言表达平行、垂直的性质与判定， 并能进行证明。
不是不要证明，而是完善过程。
既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理 能力。
直线与平面垂直的判定定理
能根据三视图描述基本几何体或实物原 型。
高中：
能识别三视图所表示的立体模型，会使 用材料（如纸板）制作模型；用斜二测 画直观图等（初中没有）。
加强实物、三视图、直观图的相互转化 你能画出它们的三视图吗？
高考数学中的立体解析几何知识点
高考数学中的立体解析几何知识点立体解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间几何形体及其相应的解析方法。
在高中数学中，立体解析几何是一门重要的课程，而其中的知识点更是高考数学中的重点内容。
下文将从三个方面介绍高考数学中的立体解析几何知识点。
一、空间直线的位置关系在空间几何中，两条直线可以相交、平行或异面。
具体而言，两条直线相交的情况可以分为如下三种：1.两条直线相交于一点：此时两条直线在空间中有且只有一个公共点。
2.两条直线相交于一条直线：此时两条直线在空间中共面，有且只有一条公共直线。
3.两条直线相交于一个平面：此时两条直线共面，在空间中有且只有一个公共平面。
与之相对，两条直线平行的情况也有三种：1.两条直线重合：此时两条直线在空间中完全相同。
2.两条直线异面：此时两条直线在空间中不相交。
3.两条直线在同一平面内但不相交：此时两条直线在空间中平行，但它们之间没有公共点，即它们不相交。
二、空间平面的位置关系空间几何中的平面也有相似的位置关系。
两个平面可以相交、平行或异面。
两个平面相交的情况可以分为如下三种：1.两个平面相交于一条直线：此时两个平面在空间中有且只有一条公共直线。
2.两个平面相交于一点：此时两个平面在空间中有且只有一个公共点。
3.两个平面相交于一平面：此时两个平面在空间中共面，且它们之间有且只有一条公共平面。
与之相对，两个平面平行的情况也有三种：1.两个平面完全重合：此时两个平面在空间中完全相同。
2.两个平面平行但不重合：此时两个平面在空间中没有任何交点，但它们之间有公共点。
3.两个平面相交，但它们之间无公共点：此时两个平面在空间中不相交，但它们的交线在每个平面内都不存在。
三、三角锥与四面体三角锥和四面体是立体解析几何中的两个基本概念。
一个三角锥是由一个三角形和三条边界与三角形中的顶点相连而构成的立体图形。
而四面体则是由四个三角形和四条边界构成的立体图形。
在解析几何中，三角锥的坐标可以通过三角形的三个定点和顶点的坐标求得。
高三数学解析几何与立体几何知识总结与应用
高三数学解析几何与立体几何知识总结与应用解析几何和立体几何是高中数学中非常重要的两个分支，它们不仅在高考中占据较大的比重，而且在日常生活和工作中也有广泛的应用。
本文将从知识总结和应用两个方面进行讨论，帮助高三学生巩固解析几何和立体几何的知识，为将来的考试和实际运用做好准备。
一、解析几何知识总结1. 坐标系与向量解析几何的基础是坐标系和向量。
坐标系是通过数轴的标定，将平面或空间上的点与对应的坐标一一对应的方法。
一维坐标系为数轴，两维坐标系为平面直角坐标系，三维坐标系为空间直角坐标系。
向量由大小和方向组成，可以表示平面或空间上的位移和方向。
2. 直线与圆的性质直线是解析几何中最基本的图形，直线上的点可以用一元一次方程表示。
圆是由平面内到定点距离相等的点的集合，可以用圆心和半径表示。
掌握直线和圆的性质，可以利用它们进行图形的分析和计算。
3. 曲线与方程曲线是平面上的一组点的集合，可以通过方程来表示。
常见的二次曲线有抛物线、椭圆、双曲线等。
掌握曲线的方程，可以确定曲线的形状和性质，对应用问题进行解决。
二、立体几何知识总结1. 空间几何体空间几何体包括点、线、面以及由线和面组成的多面体。
常见的多面体有正方体、长方体、棱锥、棱台等。
掌握空间几何体的性质，可以进行图形的分析和计算。
2. 空间几何体的投影空间几何体的投影是指通过垂直于某个平面的直线，将空间几何体的影子投射到平面上形成的图形。
常见的投影有正交投影和斜投影。
掌握空间几何体的投影方法，可以在实际应用中进行物体的测量和分析。
3. 空间几何体的体积和表面积空间几何体的体积是指几何体所占据的空间大小，常用单位是立方米。
空间几何体的表面积是指几何体外表面的总面积，常用单位是平方米。
掌握计算空间几何体的体积和表面积的方法，可以在实际问题中进行数据的计算和估算。
三、解析几何与立体几何的应用1. 工程测量解析几何和立体几何在工程测量中有广泛的应用。
如通过测量矩形房间的长、宽、高，可以计算出房间的体积和表面积，从而确定材料的用量；通过测量地表和建筑物的坐标，可以进行道路和建筑物的规划和设计等。
高中数学必修二立体几何立体几何总知识点(K12教育文档)
高中数学必修二立体几何立体几何总知识点(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学必修二立体几何立体几何总知识点(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱:定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母,如五棱柱'''''EDCBAABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示:用各顶点字母，如五棱锥'''''EDCBAP-几何特征:侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3）棱台:定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台'''''E D C B A P几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征:①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形.(5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
解析几何和立体几何的知识点总结
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一、构成空间几何体的基本元素1、（构成）空间几何（体）的基本元素——点、线、面2、从运动的观点来初步认识点、线、面、体之间的生成关系和位置关系从静态和动态两方面对长方体进行观察。
二、棱柱、棱锥和棱台的结构特征1、相关概念2、棱柱、棱锥、棱台的结构特征（请参考教材自己填写）多面体柱体锥体台体棱柱直棱柱正棱柱棱锥正棱锥棱台正棱台定义性质侧棱侧面底面平行于底面的截面高对角面、特征三棱锥（台）表面上两点间最短距离侧面积全面积体积三、圆柱、圆锥、圆台、球1、旋转成体2、球：四、直观图与三视图1、中心投影与平行投影：（1）中心投影：光由一点向外散射形成的投影。
其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化。
立体几何中很少利用中心投影原理画图。
（2）平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影。
分正投影、斜投影。
相关概念：平行投影、投射面、投射线。
（3）（当图形中的直线或线段不平行于投射线时，）平行投影的具有的性质。
2、直观图的斜二测画法斜二测画法规则：（1）建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；（2）画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O’X’,O’Y’,使∠X 'O'Y ' =450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；（3）画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。
3、三视图（1）正投影及其性质（2）三视图：正视图:光线从几何体的前面向后面的正投影；侧视图：光线从几何体的左侧面向右面侧的正投影；俯视图：光线从几何体的上底面向下底面的正投影。
（3）结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面（自前而后）、侧面（自左而右）、上面（自上而下) 三个角度，分别观察，画出观察得出的各种结果。
→正视图、侧视图、俯视图。
（4）三视图中反映出的位置关系和数量关系正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
一般俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图的右边，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样。
口诀：主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽。
求活例题分析【例1】判断下列命题的正误：（1）各侧面是平行四边形的几何体是棱柱；（2）底面是矩形的平行六面体是长方体；（3）棱长相等的直四棱柱是正方体；（4）底面是正方形的棱柱是正棱柱；（5）每个侧面都是全等的矩形的四棱柱是正四棱柱；（6）对角线相等的平行六面体是直平行六面体；（7）有一条侧棱垂直于底面两边的棱柱是直棱柱；（8）有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；（9）有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（10）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（11）有两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱；（12）侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥。
【例2】长方体ABCD -A1B1C1D1 的同一顶点的棱长分别为a，b，c，求对角线的长。
【例3】已知正四棱锥V –ABCD 的底面面积为16，一条侧棱长为2 11 ，求棱锥的高和斜高。
【例4】已知正四棱锥V –ABCD 的高与斜高分别为8 和11，求其侧棱长、底面面积。
【例5】设正三棱台的上底面和下底面的边长分别为2 和5，侧棱长为5，求棱台的高。
【例6】已知地球半径为R，则北纬60°纬线的长度为。
【例7】一个圆锥底面周长为4π，轴和母线的夹角为30°，则圆锥轴截面的面积为。
【例8】已知圆台的上下底面面积之比为1: 9 ，圆台的高为10，求截得圆台的圆锥的高。
【例9】已知球的两个平行截面的面积分别为49π、400π，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积。
【例10】设地球的半径为R，点A 和点B 分别在北纬45°西经40°和北纬45°东经50°处。
（1）求A，B 两点间纬线的长度；（2）求A，B 两点的球面距离。
【例11】一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比。
【例12】求侧棱长和底面边长都为1 的正三棱柱的体积。
【例13】求正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比。
【例14】一个圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3 倍，其母线长为3，且侧面积为84π，求圆台的两底面的半径。
第2讲空间点线面关系（1）——垂直关系求实学习目标1.2.3.求精知识要点一、知识要点以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。
1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
注意：（1）三垂线指PA，PO，AO 都垂直α内的直线a。
其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理。
（2）要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。
2．线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直。
其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面，直线与平面的交点叫做垂足。
直线l与平面α垂直记作：l⊥α。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
3．面面垂直定义：二面角—直二面角—两面垂直平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直平面和平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
求活例题分析1．如果直线l⊥平面α,①若直线m⊥l，则m∈α；②若m⊥α,则m∈l；③若m∈α,则m⊥l ；④若m∈l，则m⊥α。
上述判断正确的是：（）A．①②③B．②③④C．①③④D．②④2．点P 不在三角形ABC 所在的平面内，过P 作平面α，使三角形ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面α共有( )A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个3 ．已知直线m、n与平面α,β，给出下列三个命题:①若m//α,n//α,则m//n；②若m//α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α, m//β,则α⊥β.其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．ABCD-A1B1C1D1 中，M、N、P 分别是棱AB、BC、DD1 的中点，求证：PB⊥平面B1MN5. α, β是两个不同的平面，m、n 是平面α及β之外的两条不同直线。
给出四个论断：①m⊥n ②α⊥β③n⊥β④m⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：6.如图，在正方形ABCD 中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（）A、AH⊥△EFH 所在平面B、AD⊥△EFH 所在平面C、HF⊥△AEF 所在平面D、HD⊥△AEF 所在平面7．平行四边形ABCD 所在平面α外有一点P，且P A=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO 垂直于AB、AD.8.（2006 北京）ABCD—A1B1C1D1 是正四棱柱，求证：BD⊥平面ACC1A1。
9.已知三棱锥P-ABC 中，P A=PB，CB⊥平面P AB，PM=MC，AN=3NB.求证：AB⊥MN.10.如图，直三棱柱A BC—A1B1C1中，（1）求证C1D ⊥平面A （2）当点 F 在 BB 1上什么位置时，会使得AB 1⊥平面C 1DF ？并证明你的结论。
第3讲 空间点线面关系（2）-----平行关系 求实 学习目标1. 2. 3. 求精 知识要点 一、课标要求：以立体几何的定义、公理、定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空 间中线、面平行、垂直的有关性质和判定。
1．空间平行直线2．直线与平面平行3．平面与平面的平行求活 例题分析例 1．判定下列命题是否正确 （未加说明时，英文大写字母表示点、小写字母表示直线、希腊字母 表示平面）（1） a ⊥ c ，b ⊥ c ⇒ a // b .（2） a // α，b // α ⇒ a // b .（3） a // α，b // a ⇒ b // α .（4） a 、b ⊂ α，a // β，b // β ⇒ α // β .（5） a 、b 在α内的射影平行 ⇔ a // b .（6） a 上有两点到α的距离相等 ⇒ a // α .（7） α I β = a ，α I γ = b ，a // b ⇒ β / .（8） a ⊥ α，b ⊂ α，α // β ⇒ a ⊥ b .（9） a 、b 异面，过a 有且只有一个平面与b 垂直 .（10）a 、b 异面，点P 不在a 、b 上，则过P 有且只有一个平面与a 、b 平行 .（11）a 、b 、c 两两相交 ⇒ a 、b 、c 共面 .（12）a 、b（13）a ′（14）a 、b 异面，a ⊥α，b ⊥β，αI β =m ⇒a 、b 的公垂线// m . （15）a 、b 异面，则a 、b 在平面 α 上的射影为两条相交直线..例 2．选择题 (1)空间三个平面两两相交，它们交线的条数为（ ）（A）一条（B）两条（C）三条（D）一条或三条（2)a,b是两条异面直线,直线c,d分别与a,b都相交,且它们的交点都不重合,直线c,d的位置关系为（）（A）相交（B）平行（C）异面（D）不能确定（3）a、b是异面直线a⊂平面α，b⊂平面β，αIβ=c , 直线c 与a ,b （）（A）都相交（B）至少一条相交（C）至多一条相交（D）都不相交（4）平面外一点A 和平面内一点B 的连线与平面内任意一条直线的位置关系（）（A）异面（B）相交（C）异面或相交（D）不能确定（5）一个角的两边分别与另一个角的两边平行，且方向都相反，则这两个角（）（A）相等（B）互补（C）相等或互补（D）不能确定（6）若直线a 平行于平面α，则a 平行于α内的（）（A）任意的一条直线（B）直线b （C）所有的直线（D）无穷多条直线（7）直线a, b, c ，若a //b // c ，则经过a 的所有平面中（）（A）必有一个平面同时经过b 、c （B）必有一个平面经过b 而不经过c（C）必有一个平面经过b 而不一定经过c （D）不存在同时经过b 、c 的平面（8）正方体1 2条棱中，异面直线的对数为（．（A）12 （B）24 （C）36 （D）48例3.已知:空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点.求证:E、F、G、H点共面。