2018北京中考数学试卷分析

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2018年北京市中考数学试卷及详细答案解析

2018年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列几何体中，是圆柱的为（）A．B．C．D．2．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4B．c﹣b＞0C．ac＞0D．a+c＞03．（2分）方程组的解为（）A．B．C．D．4．（2分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（）A．7.14×103m2B．7.14×104m2C．2.5×105m2D．2.5×106m2 5．（2分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°6．（2分）如果a﹣b=2，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2C．3D．47．（2分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m8．（2分）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）10．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．11．（2分）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a=，b=，c=．12．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=．13．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．14．（2分）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路30≤t≤3535＜t≤4040＜t≤4545＜t≤50合计A59151166124500B5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．15．（2分）某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．16．（2分）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=，CB=，∴PQ∥l（）（填推理的依据）．18．（5分）计算4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|19．（5分）解不等式组：20．（5分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．21．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=，BD=2，求OE的长．22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y=+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为w．①当b=﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．24．（6分）如图，Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x 的几组对应值；x/cm0123456y1/cm 5.62 4.67 3.76 2.65 3.18 4.37y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为cm．25．（6分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 7878.5 78.5 79 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是（填“A“或“B“），理由是，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩跑过75.8分的人数．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．（7分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．2018年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列几何体中，是圆柱的为（）A．B．C．D．【分析】根据立体图形的定义及其命名规则逐一判断即可．【解答】解：A、此几何体是圆柱体；B、此几何体是圆锥体；C、此几何体是正方体；D、此几何体是四棱锥；故选：A．【点评】本题主要考查立体图形，解题的关键是认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．2．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4B．c﹣b＞0C．ac＞0D．a+c＞0【分析】本题由图可知，a、b、c绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错．【解答】解：∵﹣4＜a＜﹣3∴|a|＜4∴A不正确；又∵a＜0 c＞0∴ac＜0∴C不正确；又∵a＜﹣3 c＜3∴a+c＜0∴D不正确；又∵c＞0 b＜0∴c﹣b＞0∴B正确；故选：B．【点评】本题主要考查了实数的绝对值及加减计算之间的关系，关键是判断正负．3．（2分）方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可；【解答】解：，①×3﹣②得：5y=﹣5，即y=﹣1，将y=﹣1代入①得：x=2，则方程组的解为；故选：D．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（）A．7.14×103m2B．7.14×104m2C．2.5×105m2D．2.5×106m2【分析】先计算FAST的反射面总面积，再根据科学记数法表示出来，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于249900≈250000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．【解答】解：根据题意得：7140×35=249900≈2.5×105（m2）故选：C．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．5．（2分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和；根据一个外角得60°，可知对应内角为120°，很明显内角和是外角和的2倍即720．【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．6．（2分）如果a﹣b=2，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2C．3D．4【分析】先将括号内通分，再计算括号内的减法、同时将分子因式分解，最后计算乘法，继而代入计算可得．【解答】解：原式=（﹣）•=•=，当a﹣b=2时，原式==，故选：A．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．7．（2分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【解答】解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x=﹣==15（m）．故选：B．【点评】考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．8．（2分）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④【分析】由天安门和广安门的坐标确定出每格表示的长度，再进一步得出左安门的坐标即可判断．【解答】解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣5，﹣2）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．故选：D．【点评】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是确定原点位置及各点的横纵坐标．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC＞∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN=，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，S△ANH=2×2﹣﹣×1×1=AH•NP，=PN，PN=，Rt△ANP中，sin∠NAP====0.6，Rt△ABC中，sin∠BAC===＞0.6，∵正弦值随着角度的增大而增大，∴∠BAC＞∠DAE，故答案为：＞．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．10．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥0．【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．【解答】解：由题意可知：x≥0．故答案为：x≥0．【点评】本题考查二次根式有意义，解题的关键正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．11．（2分）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a=1，b=2，c=﹣1．【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．【解答】解：当a=1，b=2，c=﹣2时，1＜2，而1×（﹣1）＞2×（﹣1），∴命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，故答案为：1；2；﹣1．【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．12．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=70°．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵=，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．13．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=•AC=×5=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF=2AF是解题的关键．14．（2分）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路30≤t≤3535＜t≤4040＜t≤4545＜t≤50合计A59151166124500B5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐C（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．【分析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小即可得．【解答】解：∵A线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.752，B线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.444，C线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.954，∴C线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：C．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．15．（2分）某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为380元．【分析】分四类情况，分别计算即可得出结论．【解答】解：∵共有18人，当租两人船时，∴18÷2=9（艘），∵每小时90元，∴租船费用为90×9=810元，当租四人船时，∵18÷4=4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元，∴租船费用为100×4+90=490元，当租六人船时，∵18÷6=3（艘），∵每小时130元，∴租船费用为130×3=390元，当租八人船时，∵18÷8=2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元，∴租船费用150×2+90=390元当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船，100+130+150=380元∴租船费用为150×2+90=390元，而810＞490＞390＞380，∴当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船费用最低是380元，故答案为：380．【点评】此题主要考查了有理数的运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．16．（2分）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第3．【分析】两个排名表相互结合即可得到答案．【解答】解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11，再根据中国创新产出排名为第11在另一排名中找到创新效率排名为第3故答案为：3【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定问题，解答时注意根据具体题意确定点的位置和坐标．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=AP，CB=CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）（填推理的依据）．【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）利用三角形中位线定理证明即可；【解答】（1）解：直线PQ如图所示；（2）证明：∵AB=AP，CB=CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）．故答案为：AP，CQ，三角形中位线定理；【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．（5分）计算4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=4×+1﹣3+1=﹣+2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19．（5分）解不等式组：【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣2＜x＜3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．20．（5分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【分析】（1）计算判别式的值得到△=a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2﹣4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△=b2﹣4a=（a+2）2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4a=0，若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=，BD=2，求OE的长．【分析】（1）先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出结论；（2）先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB=∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=BD=1，在Rt△AOB中，AB=，OB=1，∴OA==2，∴OE=OA=2．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD=AD=AB是解本题的关键．22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．【分析】（1）先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP=∠COP，即可得出结论；（2）先求出∠COD=60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，OD，∴OC=OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP=∠OCP=90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP=∠COP，∵OD=OC，∴OP⊥CD；（2）如图，连接OD，OC，∴OA=OD=OC=OB=2，∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°，∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，∴∠COD=60°，∵OD=OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP=∠COP=30°，在Rt△ODP中，OP==．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y=+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为w．①当b=﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．【分析】（1）把A（4，1）代入y=中可得k的值；（2）直线OA的解析式为：y=x，可知直线l与OA平行，①将b=﹣1时代入可得：直线解析式为y=x﹣1，画图可得整点的个数；②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图计算边界时点b的值，可得b的取值．【解答】解：（1）把A（4，1）代入y=得k=4×1=4；（2）①当b=﹣1时，直线解析式为y=x﹣1，解方程=x﹣1得x1=2﹣2（舍去），x2=2+2，则B（2+2，），而C（0，﹣1），如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y=+b过（1，﹣1）时，b=﹣，且经过（5，0），∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．如图3，直线l在OA的上方时，∵点（2，2）在函数y=（x＞0）的图象G，当直线l：y=+b过（1，2）时，b=，当直线l：y=+b过（1，3）时，b=，∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．【点评】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．24．（6分）如图，Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x 的几组对应值；x/cm0123456y1/cm 5.62 4.67 3.763 2.65 3.18 4.37y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为3或4.91或5.77cm．【分析】（1）利用圆的半径相等即可解决问题；（2）利用描点法画出图象即可．（3）图中寻找直线y=x与两个函数的交点的横坐标以及y1与y2的交点的横坐标即可；【解答】解：（1）∵PA=6时，AB=6，BC=4.37，AC=4.11，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴AB是直径．当x=3时，PA=PB=PC=3，∴y1=3，故答案为3．（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知：当x=y，即当PA=PC或PA=AC时，x=3或4.91，当y1=y2时，即PC=AC时，x=5.77，综上所述，满足条件的x的值为3或4.91或5.77．故答案为3或4.91或5.77．【点评】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．25．（6分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 7878.5 78.5 79 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是B（填“A“或“B“），理由是该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩跑过75.8分的人数．【分析】（1）先确定A课程的中位数落在第4小组，再由此分组具体数据得出第30、31个数据的平均数即可；（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；（3）用总人数乘以样本中超过75.8分的人数所占比例可得．【解答】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8=60，∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，∴中位数在70≤x＜80这一组，∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 7979 79 79.5，∴A课程的中位数为=78.75，即m=78.75；（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．（3）估计A课程成绩跑过75.8分的人数为300×=180人．【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，。

2018年北京市数学中考试卷及答案解析(精析版)

2018年北京中考试题解析版
数学
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1. （2018北京，1，4分）－9的相反数是（） A. 19- B. 19
C. 9-
D. 9 【答案】D
2. （2018北京，2，4分）首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2018年6月1日闭幕，本届京交会
期间签订的项目成交金额达60 110 000 000美元.将60 110 000 000用科学记数法表示应为（）
A 96.01110⨯. B. 960.1110⨯ C. 106.01110⨯ D.11
0.601110⨯
【答案】C
3. （2018北京，3，4分）正十边形的每个外角等于（）
A. 18°
B.36°
C. 45°
D. 60°
【答案】B
4. （2018北京，4，4分）右图是某个几何体的三视图，该几何体是（）
A. 长方体
B. 正方体
C.圆柱
D.三棱柱
【答案】D
5. （2018北京，5，4分）班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英
等6位获“爱集体标兵”称号的同学.这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票.小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是（） A. 16 B. 13 C. 12 D. 23
【答案】B
6. （2018北京，6，4分）如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，若∠BOD=76°，则∠BOM 等于（）。

初三数学-2018北京市中考试卷分析(数学) 最新

2018年北京市中考试卷分析（数学）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．6-的绝对值等于（）A．6B．16C．16-D．6-【解析】A【点评】本题考核的是绝对值，难度较小，属送分题，本题考点：绝对值.难度系数为0.95.2．截止到2018年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（）A．50.21610⨯B．321.610⨯C．32.1610⨯D．42.1610⨯【解析】D【点评】本题是以奥运会为背景的一道题，考核了科学记数法的同时让学生了解我国今年奥运会的进展及相关情况，此类与时事政治相关的考题是全国各地的总体命题趋势.本题考点：科学记数法.难度系数为：0.93．若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【解析】C【点评】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，只要学生记得两圆半径和差与圆心距的大小关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案.本题考点：两圆的位置关系的判定.难度系数：0.94．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（）A．50，20 B．50，30 C．50，50 D．135，50【解析】C【点评】本题以给地震灾区捐款为背景，考核了统计概率的相关知识。

本题在考核数学知识的基础上向学生渗透爱心教育，是一道很不错的题目.本题考点：众数、中位数.难度系数：0.855．若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 B 【点评】本题考核了多边形的外角和公式及利用外角和公式列方程解决相关问题.外角和公式是初一下的内容，可能时间久了部分学生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了公式，推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要.本题考点：多边形的内角和公式，及利用公式列方程解应用题难度系数：0.756．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（）A ．15B ．25C ．12D ．35【解析】 B 【点评】本题和第2题一样，也是以奥运知识为背景的一道题目，本题在让学生了解奥运知识的基础上考核了学生对概率的理解. 本题考点：求概率. 难度系数：0.957．若20x +=，则xy 的值为（）A ．8-B ．6-C ．5D ．6 【解析】 B 【点评】本题考核了非负数的性质，这种题型在平时训练中应该很常见.本题考点：非负数的性质、绝对值、二次根式难度系数：0.758．已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）【解析】 D 【点评】本题考核了立意相对较新，考核了学生的空间想象能力。

2018年北京中考【数学】试卷分析

2018年北京中考【数学】试卷分析一、整体解读2018年北京中考数学刚刚结束，纵观试卷整体可以看出今年试题的难度与往年相比基本持平，个别题难度略有下降，没有出现难度较大的题；当然依旧本着稳中有变得原则，不断创新。

题型与分值设置与2018年考试说明一致，8选择（16分），8填空（16分），12道简答题（68分）。

二、试卷特点选择题：考查的内容方面没有变化的是：数轴、多边形内角和、化简求值问题。

与去年相比替换的题型有：解二元一次方程组、科学技术法、二次函数的对称性以及平面直角坐标系。

总体来看，选择题的1-6题都是常规题目，后两道选择题均考查我们对于平面直角坐标系与函数图像的分析能力，以及解决问题能力；第8题也是我们在学习平面直角坐标系时的常规练习题，对于同学们而言没有很大的难度。

认为有一定难度的应该是选择第7题，在之后的试题分析中会给大家进行讲解。

填空题：填空题考查内容与去年相比考点方面有较大的变化，但是总体看来所考查题型大部分是我们平常经常练习的题目，例如二次根式取值范围、圆周角、特殊四边形的求解以及统计问题。

值得注意的是第15题考查的是“最优解”问题，是近几年中考题目中没有出现的一类新题型，也体现了考试说明中强调的对于基本活动经验和基本技能的考查。

简答题：今年简答题在题型方面与去年相比有一些明显的变化，首先将原本填空题的最后一题尺规作图改为简答题，这也说明对于尺规作图这一知识的考查已经从单一基本概念的认知考查增加到实际操作与问题分析的多方面考查；其次替换了基础考题中的简单几何证明，只留下中档题目中的特殊四边形的证明；再之，替换了一次函数与反比例和圆这两道题的位置，也可以看出对于一次函数与反比例这一题型的考查上难度有所增加，开始考查“动直线”与取值范围的问题。

中档题中的函数图像形成过程与统计题从题型到难度上都没有太多的变化。

后三道压轴题中，二次函数的难度与往常基本持平，几何综合相较于去年而言难度有所降低，新定义问题在难度变化上也趋于稳定。

原创2018北京中考数学试题深度解析

原创2018北京中考数学试题深度解析本文包含的文字内容和图片等信息，均属原创，禁止各种形式的转载和侵权行为！今天上午北京中考来开帷幕。

令人翘首以盼的数学考试也在下午结束。

这次中考改革涉及到的教学的各个方面，其中的数学试卷也有较大的变动，无论是试题的分值、题型设计，还是具体的命题形式，都有幅度不一的变化。

选择题今年选择题是8道题，每题2分，一共16分。

2016年和2017年都是10道题，每题3分，再往前一直到2007年的课标试卷，都是8道题，每题4分。

可以看出，选择题的分值只有之前的一半。

1. 三视图，开篇第一题，2016年考察的是量角器读角度，2017年是“垂线段最短”的选择题。

2. 数轴与实数的对应关系，及其应用，从2015年开始出现这样的考察形式，基本固定。

3. 一元二次方程组的求解。

这是新出现的题型。

4. 科学计数法，“中国天眼”总面积的计算，2016年有考察，2017年没有考察。

区别在于，今年的题目需要进行简单的计算，而不是往常那样单纯的考察科学计数法。

5. 已知正多边形的一个外角，反求内角和，常规考题。

6. 代数式的化简求值，常规考题。

2016和2017年都在选择题出现，2015年出现在解答题中。

7. 二次函数图象的读图问题。

这样的题目在海淀模拟和北京高考试题中曾有出现。

属于考察二次函数对称性的“好题”。

关于这道题目的解析，读者可以参阅下面链接进行深入阅读：解析之一：2016年11月海淀初三期中数学选择题8. 平面直角坐标系，区别在于增加了逻辑推理的内容，难度在于认为的设计了四个相互独立的选项，不足之处在于每个选项的分析方法又完全雷同。

选择题比较明显的变化在于增加了将二元一次方程组，没有考察中心对称与轴对称这一类题目，科学计数法又需要进行简单的计算。

二次函数图象深刻理解也需要高度重视。

填空题今年填空题共有8道题，每题2分，一共16分。

2017和2016填空题都是6道题，每题3分；再往前，一直到2007年，填空题都是4道题，每题4分，一共6分。

2018年北京有关中考数学试题分析报告

2018年北京有关中考数学试题分析一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。

1.7的相反数是（）1 1A. —B. 7C. _ D 77 7【解析】D【点评】本题考点：相反数。

难度较小，属送分题。

2. 改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300670亿元。

将300670 用科学记数法表示应为A. 0.30 067 1 06B. 3.0067 105C. 3.0067 104D. 30.067 104【解析】B【点评】本题考点：科学记数法。

难度较小，属送分题。

3. 若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是A.圆柱B.正方体C.球D.圆锥□ □o主视图左视图俯视图【解析】A【点评】本题考点：三视图。

难度较小，属送分题。

4. 若一个正多边形的一个外角是40°,则这个正多边形的边数是A.10B.9C.8D.6【解析】B【点评】本题考点：多边形外角和。

难度较小，属送分题。

5. 某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是c 1 2 ’A. 0B.C.D. 141 41【解析】C【点评】本题考点：概率。

难度系数：★6. 某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是（单位：千克）：67,59,61,59,63,57,70,59,65 这组数据的众数和中位数分别是A59,63 B59,61 C59,59 D57,61【解析】B【点评】本题考点：众数和中位数。

难度系数：★7. 把x3 2x2y xy2分解因式，结果正确的是2 2 2 2A. xxyxyB. x x 2xy y C x x y D x x y【解析】D【点评】本题考点：因式分解。

难度系数：★一共俩步：提公因式；完全平方式。

8. 如图，C为O O直径AB上一动点，过点C的直线交O O于D E两点，且/ ACD=45 , DF丄AB于点F,EG丄AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=x , DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是【解析】A【点评】本题考点：动点问题，函数图像。

2018年北京有关中考数学试题分析

2018年北京有关中考数学试题分析一、选择题（本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。

1。

7的相反数是( ）A 。

17 B.7 C 。

17- D 。

7-【解析】 D【点评】本题考点：相反数.难度较小,属送分题。

2.改革开放以来,我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300670亿元。

将300670用科学记数法表示应为A 。

60.3006710⨯ B.53.006710⨯ C.43.006710⨯ D.430.06710⨯【解析】 B【点评】本题考点：科学记数法。

难度较小，属送分题。

3.若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是A 。

圆柱B 。

正方体C 。

球 D.圆锥【解析】 A【点评】本题考点：三视图。

难度较小，属送分题。

4.若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是A.10B.9C.8 D 。

6【解析】 B【点评】本题考点：多边形外角和。

难度较小,属送分题。

5。

某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字,老师随机请1名同学解答问题,习惯用左手写字的同学被选中的概率是A 。

0 B.141 C 。

241 D.1【解析】 C【点评】本题考点:概率。

难度系数：★6。

某班派9名同学参加拔河比赛,他们的体重分别是（单位：千克）：67,59,61,59,63,57,70,59,65这组数据的众数和中位数分别是A 59,63B 59,61C 59,59D 57,61 【解析】 B【点评】本题考点：众数和中位数。

难度系数：★7。

把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是A.()()x x y x y +-B.()222x x xy y -+ C ()2x x y + D ()2x x y - 【解析】 D【点评】本题考点：因式分解。

难度系数：★一共俩步：提公因式；完全平方式。

2018年北京市中考数学试卷(含答案解析)

2018年北京市中考数学试卷(含答案解析) 2018年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.下列几何体中，是圆柱的为A。

B。

C。

D。

2.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A。

|a|>4B。

c-b>C。

ac>D。

a+c>3.方程组的解为3x-8y=14x=-1y=2A。

B。

x=1y=-2C。

x=-2y=1D。

x=2y=-14.被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。

已知每个标准足球场的面积为7140m^2，则FAST的反射面积总面积约为A。

7.14×10^3m^2B。

7.14×10^4m^2C。

2.5×10^5m^2D。

2.5×10^6m^25.若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为A。

360°B。

540°C。

720°D。

900°6.如果a-b=23，那么代数式的值为A。

3B。

23C。

33D。

437.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一。

运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax^2+bx+c（a≠0）。

下图记录了某运动员起跳后的x与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A。

10mB。

15mC。

20mD。

22.5m8.下图是老北京城一些地点的分布示意图。

在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（，），表示广安门的点的坐标为（-6，-3）时，表示左安门的点的坐标为（5，-6）；②当表示天安门的点的坐标为（，），表示广安门的点的坐标为（-12，-6）时，表示左安门的点的坐标为（10，-12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（-11，-5）时，表示左安门的点的坐标为（11，-11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（-16.5，-7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，-16.5）。

2018年北京市中考数学试卷(word,带解析)

2018年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2.00分）下列几何体中，是圆柱的为（）A．B． C．D．2．（2.00分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4 B．c﹣b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞03．（2.00分）方程组的解为（）A．B．C．D．4．（2.00分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（）A．7.14×103m2 B．7.14×104m2 C．2.5×105m2D．2.5×106m25．（2.00分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720° D．900°6．（2.00分）如果a﹣b=2，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2 C．3 D．47．（2.00分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m8．（2.00分）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2.00分）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）10．（2.00分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．11．（2.00分）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a=，b=，c=．12．（2.00分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=．13．（2.00分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC 于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．14．（2.00分）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路30≤t≤3535＜t≤4040＜t≤4545＜t≤50合计A59151166124500B 5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．15．（2.00分）某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．16．（2.00分）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5.00分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=，CB=，∴PQ∥l（）（填推理的依据）．18．（5.00分）计算4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|19．（5.00分）解不等式组：20．（5.00分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．21．（5.00分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=，BD=2，求OE的长．22．（5.00分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．23．（6.00分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象G经过点A （4，1），直线l：y=+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为w．①当b=﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．24．（6.00分）如图，Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB 上一动点，连接PQ并延长交于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x 的几组对应值；x/cm0123456y1/cm 5.62 4.67 3.76 2.65 3.18 4.37y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为cm．25．（6.00分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是（填“A“或“B“），理由是，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩跑过75.8分的人数．26．（6.00分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．（7.00分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B 重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．28．（7.00分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．2018年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2.00分）下列几何体中，是圆柱的为（）A．B． C．D．【分析】根据立体图形的定义及其命名规则逐一判断即可．【解答】解：A、此几何体是圆柱体；B、此几何体是圆锥体；C、此几何体是正方体；D、此几何体是四棱锥；故选：A．【点评】本题主要考查立体图形，解题的关键是认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．2．（2.00分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4 B．c﹣b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞0【分析】本题由图可知，a、b、c绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错．【解答】解：∵﹣4＜a＜﹣3∴|a|＜4∴A不正确；又∵a＜0 c＞0∴ac＜0∴C不正确；又∵a＜﹣3 c＜3∴a+c＜0∴D不正确；又∵c＞0 b＜0∴c﹣b＞0∴B正确；故选：B．【点评】本题主要考查了实数的绝对值及加减计算之间的关系，关键是判断正负．3．（2.00分）方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可；【解答】解：，①×3﹣②得：5y=﹣5，即y=﹣1，将y=﹣1代入①得：x=2，则方程组的解为；故选：D．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2.00分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（）A．7.14×103m2 B．7.14×104m2 C．2.5×105m2D．2.5×106m2【分析】先计算FAST的反射面总面积，再根据科学记数法表示出来，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于249900≈250000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．【解答】解：根据题意得：7140×35=249900≈2.5×105（m2）故选：C．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．5．（2.00分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720° D．900°【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．6．（2.00分）如果a﹣b=2，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2 C．3 D．4【分析】先将括号内通分，再计算括号内的减法、同时将分子因式分解，最后计算乘法，继而代入计算可得．【解答】解：原式=（﹣）•=•=，当a﹣b=2时，原式==，故选：A．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．7．（2.00分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分半代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【解答】解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x=﹣==15（m）．故选：B．【点评】考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．8．（2.00分）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④【分析】由天安门和广安门的坐标确定出每格表示的长度，再进一步得出左安门的坐标即可判断．【解答】解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣5，﹣2）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．故选：C．【点评】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是确定原点位置及各点的横纵坐标．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2.00分）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC＞∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN=，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，S△ANH=2×2﹣﹣×1×1=AH•NP，=PN，PN=，Rt△ANP中，sin∠NAP====0.6，Rt△ABC中，sin∠BAC===＞0.6，∵正弦值随着角度的增大而增大，∴∠BAC＞∠DAE，故答案为：＞．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．10．（2.00分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥0．【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．【解答】解：由题意可知：x≥0．故答案为：x≥0．【点评】本题考查二次根式有意义，解题的关键正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．11．（2.00分）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a=1，b=2，c=﹣1．【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．【解答】解：当a=1，b=2，c=﹣2时，1＜2，而1×（﹣1）＞2×（﹣1），∴命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，故答案为：1；2；﹣1．【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．12．（2.00分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=70°．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵=，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．13．（2.00分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC 于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD ，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=•AC=×5=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF=2AF是解题的关键．14．（2.00分）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路30≤t≤3535＜t≤4040＜t≤4545＜t≤50合计A59151166124500B5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐C（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．【分析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小即可得．【解答】解：∵A线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.752，B线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.444，C线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.954，∴C线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：C．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．15．（2.00分）某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为390元．【分析】分四类情况，分别计算即可得出结论．【解答】解：∵共有18人，当租两人船时，∴18÷2=9（艘），∵每小时90元，∴租船费用为90×9=810元，当租四人船时，∵18÷4=4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元，∴租船费用为100×4+90=490元，当租六人船时，∵18÷6=3（艘），∵每小时130元，∴租船费用为130×3=390元，当租八人船时，∵18÷8=2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元，∴租船费用为150×2+90=390元，而810＞490＞390，∴租3艘六人船或2艘八人船1艘两人船费用最低是390元，故答案为：390．【点评】此题主要考查了有理数的运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．16．（2.00分）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第3．【分析】两个排名表相互结合即可得到答案．【解答】解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11，再根据中国创新产出排名为第11在另一排名中找到创新效率排名为第3故答案为：3【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定问题，解答时注意根据具体题意确定点的位置和坐标．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5.00分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=AP，CB=CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）（填推理的依据）．【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）利用三角形中位线定理证明即可；【解答】（1）解：直线PQ如图所示；（2）证明：∵AB=AP，CB=CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）．故答案为：AP，CQ，三角形中位线定理；【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．（5.00分）计算4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=4×+1﹣3+1=﹣+2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19．（5.00分）解不等式组：【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣2＜x＜3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．20．（5.00分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【分析】（1）计算判别式的值得到△=a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2﹣4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△=b2﹣4a=（a+2）2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4a=0，若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．（5.00分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=，BD=2，求OE的长．【分析】（1）先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出结论；（2）先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB=∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=BD=1，在Rt△AOB中，AB=，OB=1，∴OA==2，∴OE=OA=2．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD=AD=AB是解本题的关键．22．（5.00分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．【分析】（1）先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP=∠COP，即可得出结论；（2）先求出∠COD=60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，OD，∴OC=OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP=∠OCP=90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP=∠COP，∵OD=OC，∴OP⊥CD；（2）如图，连接OD，OC，∴OA=OD=OC=OB=2，∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°，∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，∴∠COD=60°，∵OD=OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP=∠COP=30°，在Rt△ODP中，OP==．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．23．（6.00分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象G经过点A （4，1），直线l：y=+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为w．①当b=﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．【分析】（1）把A（4，1）代入y=中可得k的值；（2）直线OA的解析式为：y=x，可知直线l与OA平行，①将b=﹣1时代入可得：直线解析式为y=x﹣1，画图可得整点的个数；②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图计算边界时点b的值，可得b的取值．【解答】解：（1）把A（4，1）代入y=得k=4×1=4；（2）①当b=﹣1时，直线解析式为y=x﹣1，解方程=x﹣1得x1=2﹣2（舍去），x2=2+2，则B（2+2，），而C（0，﹣1），如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y=+b过（1，﹣1）时，b=﹣，且经过（5，0），∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．如图3，直线l在OA的上方时，∵点（2，2）在函数y=（x＞0）的图象G，当直线l：y=+b过（1，2）时，b=，当直线l：y=+b过（1，3）时，b=，∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．【点评】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．24．（6.00分）如图，Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB 上一动点，连接PQ并延长交于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x 的几组对应值；x/cm0123456y1/cm 5.62 4.67 3.763 2.65 3.18 4.37y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为3或4.91或5.77cm．【分析】（1）利用圆的半径相等即可解决问题；（2）利用描点法画出图象即可．（3）图中寻找直线y=x与两个函数的交点的横坐标以及y1与y2的交点的横坐标即可；【解答】解：（1）当x=3时，PA=PB=PC=3，∴y1=3，故答案为3．（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知：当x=y，即当PA=PC或PA=AC时，x=3或4.91，当y1=y2时，即PC=AC时，x=5.77，综上所述，满足条件的x的值为3或4.91或5.77．故答案为3或4.91或5.77．【点评】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．25．（6.00分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是B（填“A“或“B“），理由是该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩跑过75.8分的人数．【分析】（1）先确定A课程的中位数落在第4小组，再由此分组具体数据得出第30、31个数据的平均数即可；（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；（3）用总人数乘以样本中超过75.8分的人数所占比例可得．【解答】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8=60，∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，∴中位数在70≤x＜80这一组，∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，∴A课程的中位数为=78.75，即m=78.75；（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．（3）估计A课程成绩跑过75.8分的人数为300×=180人．【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．26．（6.00分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．。

2018年北京市中考数学试卷解析版

2018年北京市中考数学试卷解析版一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列几何体中，是圆柱的为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、此几何体是圆柱体； B 、此几何体是圆锥体； C 、此几何体是正方体； D 、此几何体是四棱锥；故选：A ．2．（2分）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A ．|a |＞4B ．c ﹣b ＞0C ．ac ＞0D ．a +c ＞0【解答】解：∵﹣4＜a ＜﹣3∴|a |＜4∴A 不正确；又∵c ＞b ，∴c ﹣b ＞0，∴B 正确；又∵a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，∴C 不正确；又∵a ＜﹣3，c ＜3，∴a +c ＜0，∴D 不正确；故选：B ．3．（2分）方程组{x −y =33x −8y =14的解为（）A ．{x =−1y =2B ．{x =1y =−2C ．{x =−2y =1D ．{x =2y =−1【解答】解：{x −y =3①3x −8y =14②，①×3﹣②得：5y ＝﹣5，即y ＝﹣1，将y ＝﹣1代入①得：x ＝2，则方程组的解为{x =2y =−1；故选：D ．4．（2分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜F AST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则F AST 的反射面总面积约为（） A ．7.14×103m 2B ．7.14×104m 2C ．2.5×105m 2D ．2.5×106m 2【解答】解：根据题意得：7140×35＝249900≈2.5×105（m 2）故选：C ．5．（2分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（） A ．360°B ．540°C ．720°D ．900°【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．故选：C ．6．（2分）如果a ﹣b ＝2√3，那么代数式（a 2+b 22a−b ）•aa−b的值为（）A ．√3B ．2√3C ．3√3D ．4√3【解答】解：原式＝（a 2+b 22a−2ab 2a）•a a−b=(a−b)22a •a a−b=a−b2，当a ﹣b ＝2√3时，原式=2√32=√3，故选：A ．7．（2分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A ．10mB ．15mC ．20mD ．22.5m【解答】解：根据题意知，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则{c =54.01600a +40b +c =46.2400a +20b +c =57.9 解得{a =−0.0195b =0.585c =54.0，所以x =−b 2a =0.5852×(−0.0195)=15（m ）．故选：B ．8．（2分）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④【解答】解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC＞∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）【解答】解：解法一：在AD上取一点G，在网格上取点F，构建△AFG为等腰直角三角形，∵tan∠BAC=BCAC=1，tan∠EAD＜1，∴∠BAC＞∠EAD；解法二：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，S△ANH＝2×2−12×1×2×2−12×1×1=12AH•NP，3 2=√52PN，PN=3√5，Rt△ANP中，sin∠NAP=PNAN=3√5√5=35=0.6，Rt△ABC中，sin∠BAC=BCAB=222=√22＞0.6，∵正弦值随着角度的增大而增大，∴∠BAC＞∠DAE，故答案为：＞．10．（2分）若√x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥0．【解答】解：由题意可知：x≥0．故答案为：x≥0．11．（2分）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a＝1，b＝2，c＝﹣1．【解答】解：当a＝1，b＝2，c＝﹣1时，1＜2，而1×（﹣1）＞2×（﹣1），∴命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，故答案为：1；2；﹣1．12．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB̂=CD̂，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝70°．【解答】解：∵CB̂=CD̂，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ADB＝∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故答案为：70°．13．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为103．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠F AE＝∠FCD，又∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴CFAF =CDAE=2．∵AC=√AB2+BC2=5，∴CF=CFCF+AF•AC=22+1×5=103．故答案为：103．14．（2分）从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路 30≤t ≤3535＜t ≤4040＜t ≤4545＜t ≤50合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500 C4526516723500早高峰期间，乘坐 C （填“A ”，“B ”或“C ”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．【解答】解：∵A 线路公交车用时不超过45分钟的可能性为59+151+166500=0.752，B 线路公交车用时不超过45分钟的可能性为50+50+122500=0.444， C 线路公交车用时不超过45分钟的可能性为45+265+167500=0.954，∴C 线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：C ．15．（2分）某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为380元．【解答】解：∵共有18人，当租两人船时，∴18÷2＝9（艘），∵每小时90元，∴租船费用为90×9＝810元，当租四人船时，∵18÷4＝4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元，∴租船费用为100×4+90＝490元，当租六人船时，∵18÷6＝3（艘），∵每小时130元，∴租船费用为130×3＝390元，当租八人船时，∵18÷8＝2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元，∴租船费用150×2+90＝390元当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船，100+130+150＝380元∴租船费用为150×2+90＝390元，而810＞490＞390＞380，∴当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船费用最低是380元，故答案为：380．16．（2分）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第3．【解答】解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11，再根据中国创新产出排名为第11在另一排名中找到创新效率排名为第3故答案为：3三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线P A，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交P A的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝AP，CB＝CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）（填推理的依据）．【解答】（1）解：直线PQ如图所示；（2）证明：∵AB ＝AP ，CB ＝CQ ， ∴PQ ∥l （三角形中位线定理）．故答案为：AP ，CQ ，三角形中位线定理； 18．（5分）计算4sin45°+（π﹣2）0−√18+|﹣1| 【解答】解：原式＝4×√22+1﹣3√2+1 =−√2+2．19．（5分）解不等式组：{3(x +1)＞x −1x+92＞2x【解答】解：{3(x +1)＞x −1①x+92＞2x②∵解不等式①得：x ＞﹣2，解不等式②得：x ＜3，∴不等式组的解集为﹣2＜x ＜3．20．（5分）关于x 的一元二次方程ax 2+bx +1＝0．（1）当b ＝a +2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【解答】解：（1）a ≠0，△＝b 2﹣4a ＝（a +2）2﹣4a ＝a 2+4a +4﹣4a ＝a 2+4， ∵a 2＞0， ∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根， ∴△＝b 2﹣4a ＝0，若b ＝2，a ＝1，则方程变形为x 2+2x +1＝0，解得x 1＝x 2＝﹣1．21．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC 平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=√5，BD＝2，求OE的长．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB=12BD＝1，在Rt△AOB中，AB=√5，OB＝1，∴OA=√AB2−OB2=2，∴OE＝OA＝2．22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．【解答】解：（1）方法1、连接OC，OD，∴OC＝OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP＝∠OCP＝90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，{OD=OC OP=OP，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP＝∠COP，∵OD＝OC，∴OP⊥CD；方法2、∵PD，PC是⊙O的切线，∴PD＝PC，∵OD＝OC，∴P，O在CD的中垂线上，∴OP⊥CD（2）如图，连接OD，OC，∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°，∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，∴∠COD＝60°，∵OD＝OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP ＝∠COP ＝30°，在Rt △ODP 中，OP =ODcos30°=4√33．23．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，函数y =kx（x ＞0）的图象G 经过点A （4，1），直线l ：y =14x +b 与图象G 交于点B ，与y 轴交于点C ．（1）求k 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A ，B 之间的部分与线段OA ，OC ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．①当b ＝﹣1时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有4个整点，结合函数图象，求b 的取值范围．【解答】解：（1）把A （4，1）代入y =kx 得k ＝4×1＝4；（2）①当b ＝﹣1时，直线解析式为y =14x ﹣1，解方程4x =14x ﹣1得x 1＝2﹣2√5（舍去），x 2＝2+2√5，则B （2+2√5，√5−12），而C （0，﹣1），如图1所示，区域W 内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；②如图2，直线l 在OA 的下方时，当直线l ：y =14x +b 过（1，﹣1）时，b =−54，且经过（5，0），∴区域W 内恰有4个整点，b 的取值范围是−54≤b ＜﹣1．如图3，直线l 在OA 的上方时，∵点（2，2）在函数y =kx （x ＞0）的图象G ，当直线l ：y =14x +b 过（1，2）时，b =74，当直线l ：y =14x +b 过（1，3）时，b =114， ∴区域W 内恰有4个整点，b 的取值范围是74＜b ≤114．综上所述，区域W 内恰有4个整点，b 的取值范围是−54≤b ＜﹣1或74＜b ≤114．24．（6分）如图，Q 是AB ̂与弦AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦AB 上一动点，连接PQ 并延长交AB̂于点C ，连接AC ．已知AB ＝6cm ，设A ，P 两点间的距离为xcm ，P ，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456 y1/cm 5.62 4.67 3.763 2.65 3.18 4.37 y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为3或4.91或5.77cm．【解答】解：（1）∵P A＝6时，AB＝6，BC＝4.37，AC＝4.11，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴AB是直径．当x＝3时，P A＝PB＝PC＝3，∴y1＝3，故答案为3．（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知：当x＝y，即当P A＝PC或P A＝AC时，x＝3或4.91，当y1＝y2时，即PC＝AC时，x＝5.77，综上所述，满足条件的x的值为3或4.91或5.77．故答案为3或4.91或5.77．25．（6分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x ＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.579 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A 75.8 m 84.5 B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m 的值；（2）在此次测试中，某学生的A 课程成绩为76分，B 课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 B （填“A ”或“B ”），理由是该学生的成绩小于A 课程的中位数，而大于B 课程的中位数，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A 课程成绩超过75.8分的人数．【解答】解：（1）∵A 课程总人数为2+6+12+14+18+8＝60，∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x ＜80这一组， ∴中位数在70≤x ＜80这一组，∵70≤x ＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，∴A 课程的中位数为78.5+792=78.75，即m ＝78.75；（2）∵该学生的成绩小于A 课程的中位数，而大于B 课程的中位数， ∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B ，故答案为：B 、该学生的成绩小于A 课程的中位数，而大于B 课程的中位数．（3）估计A 课程成绩超过75.8分的人数为300×10+18+860=180人． 26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝4x +4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3a 经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【解答】解：（1）与y 轴交点：令x ＝0代入直线y ＝4x +4得y ＝4， ∴B （0，4），∵点B 向右平移5个单位长度，得到点C ， ∴C （5，4）；（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴x=−b2a=−−2a2a=1；（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0时，如图1，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞−4 3，将x＝5代入抛物线得y＝12a，∴12a≥4，a≥1 3，∴a≥1 3；②a＜0时，如图2，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜−4 3；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣1．综上所述，a≥13或a＜−43或a＝﹣1．27．（7分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E 作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．【解答】证明：（1）如图1，连接DF ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴DA ＝DC ，∠A ＝∠C ＝90°， ∵点A 关于直线DE 的对称点为F ， ∴△ADE ≌△FDE ，∴DA ＝DF ＝DC ，∠DFE ＝∠A ＝90°， ∴∠DFG ＝90°，在Rt △DFG 和Rt △DCG 中， ∵{DF =DC DG =DG， ∴Rt △DFG ≌Rt △DCG （HL ）， ∴GF ＝GC ；（2）BH =√2AE ，理由是：证法一：如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM ＝AE ， ∵AD ＝AB ， ∴DM ＝BE ，由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠ADC ＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°， ∴2∠2+2∠3＝90°， ∴∠2+∠3＝45°，即∠EDG ＝45°， ∵EH ⊥DE ，∴∠DEH ＝90°，△DEH 是等腰直角三角形， ∴∠AED +∠BEH ＝∠AED +∠1＝90°，DE ＝EH ， ∴∠1＝∠BEH ，在△DME和△EBH中，∵{DM=BE∠1=∠BEH DE=EH，∴△DME≌△EBH（SAS），∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM=√2AE，∴BH=√2AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵{∠A=∠ENH ∠1=∠NEH DE=EH，∴△DAE≌△ENH（AAS），∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH=√2HN=√2AE．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）＝1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围．【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）＝2；（2）y＝kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k＝﹣1，此时d（G，△ABC）＝1；当y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k＝1，此时d（G，△ABC）＝1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；（3）⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：①当⊙T在△ABC的左侧时，由d（⊙T，△ABC）＝1知此时t＝﹣4；②当⊙T在△ABC内部时，当点T与原点重合时，d（⊙T，△ABC）＝1，知此时t＝0；当点T位于T3位置时，由d（⊙T，△ABC）＝1知T3M＝2，∵AB＝BC＝8、∠ABC＝90°，∴∠C＝∠T3DM＝45°，则T3D=T3Mcos45°=√22=2√2，∴t＝4﹣2√2，故此时0≤t≤4﹣2√2；③当⊙T在△ABC右边时，由d（⊙T，△ABC）＝1知T4N＝2，∵∠T4DC＝∠C＝45°，∴T4D=T4Ncos45°=22=2√2，∴t＝4+2√2；综上，t＝﹣4或0≤t≤4﹣2√2或t＝4+2√2．。

2018年北京市中考数学试卷及答案解析(WORD精校版)

2018年北京市中考数学试题卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）（2018北京） 1．（2分）（2018北京）下列几何体中，是圆柱的为（）A ．B ．C ．D ．2．（2分）（2018北京）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A ．|a |＞4B ．c ﹣b ＞0C ．ac ＞0D ．a +c ＞03．（2分）（2018北京）方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝33x －8y ＝14 的解为（） A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－14．（2分）（2018北京）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为（） A ．7.14×103m 2 B ．7.14×104m 2 C ．2.5×105m 2 D ．2.5×106m 25．（2分）（2018北京）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（） A ．360° B ．540° C ．720° D ．900°6．（2分）（2018北京）如果a ﹣b =23，那么代数式（a 2＋b 22a －b ）• aa －b 的值为（）A ． 3B ．2 3C ．3 3D ．4 37．（2分）（2018北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m8．（2分）（2018北京）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）（2018北京）9．（2分）（2018北京）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE ．（填“＞”，“=”或“＜”）10．（2分）（2018北京）若x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是．11．（2分）（2018北京）用一组a ，b ，c 的值说明命题“若a ＜b ，则ac ＜bc ”是错误的，这组值可以是a = ，b = ，c = ．12．（2分）（2018北京）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，CB ⌒=CD ⌒，∠CAD =30°，∠ACD =50°，则∠ADB = ．13．（2分）（2018北京）如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若AB =4，AD =3，则CF 的长为．14．（2分）（2018北京）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的频数，统计如下：30≤t≤35 35＜t≤40 40＜t≤45 45＜t≤50 合计A59 151 166 124 500B50 50 122 278 500C45 265 167 23 500早高峰期间，乘坐（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．15．（2分）（2018北京）某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90 100 130 150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．16．（2分）（2018北京）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）（2018北京）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）（2018北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得PQ ∥l ．作法：如图，①在直线l 上取一点A ，作射线P A ，以点A 为圆心，AP 长为半径画弧，交P A 的延长线于点B ； ②在直线l 上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交BC 的延长线于点Q ；③作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB = ，CB = ， ∴PQ ∥l （）（填推理的依据）．18．（5分）（2018北京）计算4sin45°+(π﹣2) 0﹣18+|﹣1|19．（5分）（2018北京）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3(x ＋1)＞x －1x ＋92＞2x20．（5分）（2018北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．21．（5分）（2018北京）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB= 5 ，BD=2，求OE的长．22．（5分）（2018北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．23．（6分）（2018北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y=14x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b=﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．25．（6分）（2018北京）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8 m84.5B72.2 70 83根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是（填“A“或“B“），理由是，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．26．（6分）（2018北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．（7分）（2018北京）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．28．（7分）（2018北京）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k 的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）（2018北京）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）（2018北京）下列几何体中，是圆柱的为（）A． B．C．D．【分析】根据立体图形的定义及其命名规则逐一判断即可．【解答】解：A、此几何体是圆柱体；B、此几何体是圆锥体；C、此几何体是正方体；D、此几何体是四棱锥；故选：A．【点评】本题主要考查立体图形，解题的关键是认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．2．（2分）（2018北京）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4 B．c﹣b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞0【分析】本题由图可知，a、b、c绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错．【解答】解：∵﹣4＜a＜﹣3∴|a|＜4∴A不正确；又∵a＜0 c＞0∴ac＜0∴C不正确；又∵a＜﹣3 c＜3∴a+c＜0∴D不正确；又∵c＞0 b＜0∴c﹣b＞0∴B正确；故选：B．【点评】本题主要考查了实数的绝对值及加减计算之间的关系，关键是判断正负．3．（2分）（2018北京）方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可；【解答】解：，①×3﹣②得：5y=﹣5，即y=﹣1，将y=﹣1代入①得：x=2，则方程组的解为；故选：D．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2分）（2018北京）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST 的反射面总面积约为（）A．7.14×103m2B．7.14×104m2 C．2.5×105m2D．2.5×106m2【分析】先计算FAST的反射面总面积，再根据科学记数法表示出来，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于249900≈250000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．【解答】解：根据题意得：7140×35=249900≈2.5×105（m2）故选：C．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．5．（2分）（2018北京）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．6．（2分）（2018北京）如果a﹣b=2，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2C．3D．4【分析】先将括号内通分，再计算括号内的减法、同时将分子因式分解，最后计算乘法，继而代入计算可得．【解答】解：原式=（﹣）•=•=，当a﹣b=2时，原式==，故选：A．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．7．（2分）（2018北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分半代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【解答】解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x=﹣==15（m）．故选：B．【点评】考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．8．（2分）（2018北京）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④【分析】由天安门和广安门的坐标确定出每格表示的长度，再进一步得出左安门的坐标即可判断．【解答】解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣5，﹣2）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．故选：C．【点评】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是确定原点位置及各点的横纵坐标．二、填空题（本题共16分，每小题2分）（2018北京）9．（2分）（2018北京）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC＞∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN=，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，S△ANH=2×2﹣﹣×1×1=AH•NP，=PN，PN=，Rt△ANP中，sin∠NAP====0.6，Rt△ABC中，sin∠BAC===＞0.6，∵正弦值随着角度的增大而增大，∴∠BAC＞∠DAE，故答案为：＞．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．10．（2分）（2018北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥0．【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．【解答】解：由题意可知：x≥0．故答案为：x≥0．【点评】本题考查二次根式有意义，解题的关键正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．11．（2分）（2018北京）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a=1，b=2，c=﹣1．【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．【解答】解：当a=1，b=2，c=﹣2时，1＜2，而1×（﹣1）＞2×（﹣1），∴命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，故答案为：1；2；﹣1．【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．12．（2分）（2018北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=70°．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB ﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵=，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．13．（2分）（2018北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC 于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=•AC=×5=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF=2AF是解题的关键．14．（2分）（2018北京）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路30≤t≤35 35＜t≤40 40＜t≤45 45＜t≤50 合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500C 45 265 167 23 500早高峰期间，乘坐C（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．【分析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小即可得．【解答】解：∵A线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.752，B线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.444，C线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.954，∴C线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：C．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．15．（2分）（2018北京）某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90 100 130 150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为390元．【分析】分四类情况，分别计算即可得出结论．【解答】解：∵共有18人，当租两人船时，∴18÷2=9（艘），∵每小时90元，∴租船费用为90×9=810元，当租四人船时，∵18÷4=4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元，∴租船费用为100×4+90=490元，当租六人船时，∵18÷6=3（艘），∵每小时130元，∴租船费用为130×3=390元，当租八人船时，∵18÷8=2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元，∴租船费用为150×2+90=390元，而810＞490＞390，∴租3艘六人船或2艘八人船1艘两人船费用最低是390元，故答案为：390．【点评】此题主要考查了有理数的运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．16．（2分）（2018北京）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第3．【分析】两个排名表相互结合即可得到答案．【解答】解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11，再根据中国创新产出排名为第11在另一排名中找到创新效率排名为第3故答案为：3【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定问题，解答时注意根据具体题意确定点的位置和坐标．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）（2018北京）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）（2018北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=AP，CB=CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）（填推理的依据）．【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）利用三角形中位线定理证明即可；【解答】（1）解：直线PQ如图所示；（2）证明：∵AB=AP，CB=CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）．故答案：AP，CQ，三角形中位线定理；【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．（5分）（2018北京）计算4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=4×+1﹣3+1=﹣+2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19．（5分）（2018北京）解不等式组：【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣2＜x＜3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．20．（5分）（2018北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【分析】（1）计算判别式的值得到△=a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2﹣4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△=b2﹣4a=（a+2）2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4a=0，若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．（5分）（2018北京）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=，BD=2，求OE的长．【分析】（1）先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出结论；（2）先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB=∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=BD=1，在Rt△AOB中，AB=，OB=1，∴OA==2，∴OE=OA=2．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD=AD=AB是解本题的关键．22．（5分）（2018北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．【分析】（1）先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP=∠COP，即可得出结论；（2）先求出∠COD=60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，OD，∴OC=OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP=∠OCP=90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP=∠COP，∵OD=OC，∴OP⊥CD；（2）如图，连接OD，OC，∴OA=OD=OC=OB=2，∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°，∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，∴∠COD=60°，∵OD=OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP=∠COP=30°，在Rt△ODP中，OP==．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．23．（6分）（2018北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y=+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为w．①当b=﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．【分析】（1）把A（4，1）代入y=中可得k的值；（2）直线OA的解析式为：y=x，可知直线l与OA平行，①将b=﹣1时代入可得：直线解析式为y=x﹣1，画图可得整点的个数；②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图计算边界时点b的值，可得b的取值．【解答】解：（1）把A（4，1）代入y=得k=4×1=4；（2）①当b=﹣1时，直线解析式为y= x﹣1，解方程=x﹣1得x1=2﹣2（舍去），x2=2+2，则B（2+2，），而C（0，﹣1），如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y=+b过（1，﹣1）时，b=﹣，且经过（5，0），∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．如图3，直线l在OA的上方时，∵点（2，2）在函数y=（x＞0）的图象G，当直线l：y=+b过（1，2）时，b=，当直线l：y=+b过（1，3）时，b=，∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．【点评】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．24．（6分）（2018北京）如图，Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm 0 1 2 3 4 5 6y1/cm 5.62 4.67 3.76 3 2.65 3.18 4.37y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为3或4.91或5.77 cm．【分析】（1）利用圆的半径相等即可解决问题；（2）利用描点法画出图象即可．（3）图中寻找直线y=x与两个函数的交点的横坐标以及y1与y2的交点的横坐标即可；【解答】解：（1）当x=3时，PA=PB=PC=3，∴y1=3，故答案为3．（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知：当x=y，即当PA=PC或PA=AC时，x=3或4.91，当y1=y2时，即PC=AC时，x=5.77，综上所述，满足条件的x的值为3或4.91或5.77．故答案为3或4.91或5.77．【点评】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．25．（6分）（2018北京）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A 75.8 m 84.5B 72.2 70 83根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是B（填“A“或“B“），理由是该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩跑过75.8分的人数．【分析】（1）先确定A课程的中位数落在第4小组，再由此分组具体数据得出第30、31个数据的平均数即可；（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；（3）用总人数乘以样本中超过75.8分的人数所占比例可得．【解答】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8=60，∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，∴中位数在70≤x＜80这一组，∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，∴A课程的中位数为=78.75，即m=78.75；（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．（3）估计A课程成绩跑过75.8分的人数为300×=180人．【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．26．（6分）（2018北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，。

2018北京中数学考试卷全方位解读

·18年中考试卷结构解读
1. 教与学过程考出来
2017
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；圆的定义
·18年中考试卷结构解读
1. 教与学过程考出来
2015
到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两个点确定一条直线。
最后
教学思考：教会学生如何学习，学会学；数学学科：化难为易，化繁为简，化未知为已知；研究问题：由已知到未知，由简单到复杂，由特殊到一般；学会思考：比较中学习，比较中认知；教学方向：研究：已会什么，已知什么，已知到未知的桥梁是什
么？困惑是什么？会错什么？为什么会错？不断地架构知识体系或解题系统，形成网络；能力素养：严谨性、条理性、有序性、逻辑性、规范性。会思考，会分析，会表述
旋• 有转旋旋问是转转已题的知6目中0的°涉是及为的有有有重元全角线组素等等段图9. 0形等°，重组对象18就有0°等腰三角形
实
现
旋转
有等边三角形产生
有等腰直角三角形产生
有平行四边形产生
角等边等
有中点的线段
等边△
有共顶点
等腰三角形
等腰Rt△
圆
的等线段
正方形
（正多边形）
旋转
熟悉常见图形
2. 试题的设计促进教学，引起教学共鸣
结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析，解决简单的实际问题
2. 试题的设计促进教学，引起教学共鸣
2. 试题的设计促进教学，引起教学共鸣
2017
用频率估计概率-----试题的设置，试验结果的不确定性，感悟随机事件的不确定性，体会概率与频率的关系

2018年北京市中考数学试卷解版析.docx

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】2018年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2.00分）下列几何体中，是圆柱的为（）A．B．C．D．【分析】根据立体图形的定义及其命名规则逐一判断即可．【解答】解：A、此几何体是圆柱体；B、此几何体是圆锥体；C、此几何体是正方体；D、此几何体是四棱锥；故选：A．【点评】本题主要考查立体图形，解题的关键是认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．2．（2.00分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4 B．c﹣b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞0【分析】本题由图可知，a、b、c绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错．【解答】解：∵﹣4＜a＜﹣3∴|a|＜4∴A不正确；又∵a＜0 c＞0∴ac＜0∴C不正确；又∵a＜﹣3 c＜3∴a+c＜0∴D不正确；又∵c＞0 b＜0∴c﹣b＞0∴B正确；故选：B．【点评】本题主要考查了实数的绝对值及加减计算之间的关系，关键是判断正负．3．（2.00分）方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可；【解答】解：，①×3﹣②得：5y=﹣5，即y=﹣1，将y=﹣1代入①得：x=2，则方程组的解为；故选：D．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2.00分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（）A．7.14×103m2 B．7.14×104m2 C．2.5×105m2D．2.5×106m2【分析】先计算FAST的反射面总面积，再根据科学记数法表示出来，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于249900≈250000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．【解答】解：根据题意得：7140×35=249900≈2.5×105（m2）故选：C．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．5．（2.00分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720° D．900°【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和；根据一个外角得60°，可知对应内角为120°，很明显内角和是外角和的2倍即720．【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．6．（2.00分）如果a﹣b=2，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2C．3D．4【分析】先将括号内通分，再计算括号内的减法、同时将分子因式分解，最后计算乘法，继而代入计算可得．【解答】解：原式=（﹣）•=•=，当a﹣b=2时，原式==，故选：A．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．7．（2.00分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分半代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【解答】解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x=﹣==15（m）．故选：B．【点评】考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．8．（2.00分）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④【分析】由天安门和广安门的坐标确定出每格表示的长度，再进一步得出左安门的坐标即可判断．【解答】解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣5，﹣2）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．故选：D．【点评】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是确定原点位置及各点的横纵坐标．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2.00分）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC＞∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN=，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，S△ANH=2×2﹣﹣×1×1=AH•NP，=PN，PN=，Rt△ANP中，sin∠NAP====0.6，Rt△ABC中，sin∠BAC===＞0.6，∵正弦值随着角度的增大而增大，∴∠BAC＞∠DAE，故答案为：＞．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．10．（2.00分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥0．【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．【解答】解：由题意可知：x≥0．故答案为：x≥0．【点评】本题考查二次根式有意义，解题的关键正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．11．（2.00分）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a=1，b=2，c=﹣1．【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．【解答】解：当a=1，b=2，c=﹣2时，1＜2，而1×（﹣1）＞2×（﹣1），∴命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，故答案为：1；2；﹣1．【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．12．（2.00分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=70°．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵=，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．13．（2.00分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC 于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出= =2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=•AC=×5=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF=2AF是解题的关键．14．（2.00分）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路30≤t≤3535＜t≤4040＜t≤4545＜t≤50合计A59151166124500B5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐C（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．【分析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小即可得．【解答】解：∵A线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.752，B线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.444，C线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.954，∴C线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：C．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．15．（2.00分）某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为380元．【分析】分四类情况，分别计算即可得出结论．【解答】解：∵共有18人，当租两人船时，∴18÷2=9（艘），∵每小时90元，∴租船费用为90×9=810元，当租四人船时，∵18÷4=4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元，∴租船费用为100×4+90=490元，当租六人船时，∵18÷6=3（艘），∵每小时130元，∴租船费用为130×3=390元，当租八人船时，∵18÷8=2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元，当租1艘四人船，1艘6人船，1一艘8人船，100+130+150=380元∴租船费用为150×2+90=390元，而810＞490＞390＞380，∴租3艘六人船或2艘八人船1艘两人船费用最低是380元，故答案为：380．【点评】此题主要考查了有理数的运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．16．（2.00分）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第3．【分析】两个排名表相互结合即可得到答案．【解答】解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11，再根据中国创新产出排名为第11在另一排名中找到创新效率排名为第3故答案为：3【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定问题，解答时注意根据具体题意确定点的位置和坐标．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5.00分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=AP，CB=CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）（填推理的依据）．【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）利用三角形中位线定理证明即可；【解答】（1）解：直线PQ如图所示；（2）证明：∵AB=AP，CB=CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）．故答案为：AP，CQ，三角形中位线定理；【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．（5.00分）计算4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=4×+1﹣3+1=﹣+2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19．（5.00分）解不等式组：【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣2＜x＜3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．20．（5.00分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【分析】（1）计算判别式的值得到△=a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2﹣4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△=b2﹣4a=（a+2）2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4a=0，若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．（5.00分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=，BD=2，求OE的长．（1）先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，【分析】即可得出结论；（2）先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB=∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=BD=1，在Rt△AOB中，AB=，OB=1，∴OA==2，∴OE=OA=2．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD=AD=AB是解本题的关键．22．（5.00分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．【分析】（1）先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP=∠COP，即可得出结论；（2）先求出∠COD=60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，OD，∴OC=OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP=∠OCP=90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP=∠COP，∵OD=OC，∴OP⊥CD；（2）如图，连接OD，OC，∴OA=OD=OC=OB=2，∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°，∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，∴∠COD=60°，∵OD=OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP=∠COP=30°，在Rt△ODP中，OP==．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．23．（6.00分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象G经过点A （4，1），直线l：y=+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为w．①当b=﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．【分析】（1）把A（4，1）代入y=中可得k的值；（2）直线OA的解析式为：y=x，可知直线l与OA平行，①将b=﹣1时代入可得：直线解析式为y=x﹣1，画图可得整点的个数；②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图计算边界时点b的值，可得b的取值．【解答】解：（1）把A（4，1）代入y=得k=4×1=4；（2）①当b=﹣1时，直线解析式为y=x﹣1，解方程=x﹣1得x1=2﹣2（舍去），x2=2+2，则B（2+2，），而C（0，﹣1），如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y=+b过（1，﹣1）时，b=﹣，且经过（5，0），∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．如图3，直线l在OA的上方时，∵点（2，2）在函数y=（x＞0）的图象G，当直线l：y=+b过（1，2）时，b=，当直线l：y=+b过（1，3）时，b=，∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．【点评】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．24．（6.00分）如图，Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB 上一动点，连接PQ并延长交于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x 的几组对应值；x/cm0123456y1/cm 5.62 4.67 3.763 2.65 3.18 4.37y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为3或4.91或5.77cm．【分析】（1）利用圆的半径相等即可解决问题；（2）利用描点法画出图象即可．（3）图中寻找直线y=x与两个函数的交点的横坐标以及y1与y2的交点的横坐标即可；【解答】解：（1）∵PA=6时，AB=6，BC=4.37，AC=4.11，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴AB是直径．当x=3时，PA=PB=PC=3，∴y1=3，故答案为3．（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知：当x=y，即当PA=PC或PA=AC时，x=3或4.91，当y1=y2时，即PC=AC时，x=5.77，综上所述，满足条件的x的值为3或4.91或5.77．故答案为3或4.91或5.77．【点评】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．25．（6.00分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是B（填“A“或“B“），理由是该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩跑过75.8分的人数．【分析】（1）先确定A课程的中位数落在第4小组，再由此分组具体数据得出第30、31个数据的平均数即可；（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；（3）用总人数乘以样本中超过75.8分的人数所占比例可得．【解答】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8=60，∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，∴中位数在70≤x＜80这一组，∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 7979 79 79.5，∴A课程的中位数为=78.75，即m=78.75；（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．（3）估计A课程成绩跑过75.8分的人数为300×=180人．【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．26．（6.00分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）与y轴交点：令x=0代入直线y=4x+4得y=4，∴B（0，4），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，∴C（5，4）；（2）与x轴交点：令y=0代入直线y=4x+4得x=﹣1，∴A（﹣1，0），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，将点A（﹣1，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣3a中得0=a﹣b﹣3a，即b=﹣2a，∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=1；（3）∵抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x=1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0时，如图1，将x=0代入抛物线得y=﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将x=5代入抛物线得y=12a，∴12a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0时，如图2，将x=0代入抛物线得y=﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4=a﹣2a﹣3a，解得a=﹣1．综上所述，a≥或a＜﹣或a=﹣1．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．27．（7.00分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B 重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．【分析】（1）如图1，连接DF，根据对称得：△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt △DFG≌Rt△DCG，可得结论；（2）证法一：如图2，作辅助线，构建AM=AE，先证明∠EDG=45°，得DE=EH，证明△DME≌△EBH，则EM=BH，根据等腰直角△AEM得：EM=AE，得结论；证法二：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE=HN，AD=EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．【解答】证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠A=∠C=90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∴∠DFG=90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF=GC；（2）BH=AE，理由是：证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM=AE，∵AD=AB，∴DM=BE，由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ADC=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EDG=45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，∴∠1=∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH，∴EM=BH，Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，∴EM=AE，∴BH=AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH=90°，由方法一可知：DE=EH，∠1=∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH，∴AE=HN，AD=EN，∵AD=AB，∴AB=EN=AE+BE=BE+BN，∴AE=BN=HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH=HN=AE．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．28．（7.00分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y=kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）=2；（2）y=kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k=﹣1，此时d（G，△ABC）=1；当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k=1，此时d（G，△ABC）=1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；（3）⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：①当⊙T在△ABC的左侧时，由d（⊙T，△ABC）=1知此时t=﹣4；②当⊙T在△ABC内部时，当点T与原点重合时，d（⊙T，△ABC）=1，知此时t=0；当点T位于T3位置时，由d（⊙T，△ABC）=1知T3M=2，∵AB=BC=8、∠ABC=90°，∴∠C=∠T3DM=45°，则T3D===2，∴t=4﹣2，故此时0≤t≤4﹣2；③当⊙T在△ABC右边时，由d（⊙T，△ABC）=1知T4N=2，∵∠T4DC=∠C=45°，∴T4D===2，∴t=4+2；综上，t=﹣4或0≤t≤4﹣2或t=4+2．【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“闭距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

2018北京中考数学解析

北京市 2018 年初中学业水平暨高中招生考试数学试题考 1．本试卷共 8 页，共三道大题， 28 道小题．满分 100 分，考试时间 120 分钟．生 2．在试卷和稿本纸上正确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．须 3．试题答案一律填涂在答题卡上，在试卷上作答无效．知4．在答题卡上，选择题、作图题使用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将本试卷、答题卡和稿本纸一并交回．一、选择题（此题共 16 分，每题分）（第 1— 8 题均有四个选项，吻合题意的选项只有．．一个）1．（ 2018 ·北京， 1，2）以下几何体中，是圆柱的为（）A ．B ．C ．D ．【答案】 A ．【解析】易知A 、B 、C 、D四个选项中的几何体分别是圆柱、圆锥、棱柱和棱锥，应选A ．【知识点】简单几何体的鉴识；圆柱2．（ 2018·北京， 2，2）实数 a ，b ， c 在数轴上的对应点的地址以下列图，则正确的结论是（）abc-4-3-2-11234A ． a＞ 4B ． c － b ＞0C ． ac ＞ 0D ． a ＋ c ＞ 0【答案】 B ．【解析】由图可知－ 4＜a ＜－ 3，－ 1＜ b ＜ 0， 2＜ c ＜3，进而 3＜ a ＜ 4， c － b ＞ 0，ac ＜ 0，a ＋ c ＜ 0，应选 B ．【知识点】实数的大小比较；数轴；绝对值；有理数的运算法规x y 33．（ 2018·北京， 3，2）方程组8 y 的解为（）3x 14x 1 x 1 x 2 x 2 A ．2B ．2C ．1D ．1yyyy【答案】 D ．【解析】方程②－①× 3，得－ 5y ＝ 5， y ＝－ 1，并代入①，得x ＋1＝ 3，x ＝2．故原方程组x 2的解为，因此选 D ．y 1【知识点】二元一次方程的解法4．（ 2018·北京， 4， 2）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35 个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则 FAST 的反射面总面积约为（）A ．× 103m2B ．× 104m2 C．× 105 m2 D．× 106 m2【答案】 C．【解析】∵ 7140× 35＝249900≈ 250000＝× 105，∴选 C．【知识点】科学记数法5．（ 2018·北京， 5，2）若正多边形的一个外角为60°，则该多边形的内角和为（）A ．360°B ． 540°C． 720°D． 900°【答案】 C．【解析】∵正多边形的一个外角为60°，∴该正多边形的边数n＝360＝6．∴正多边形的60的内角和＝ (6－2)× 180°＝ 720°．应选 C．【知识点】多边形的内角和；正多边形6．（ 2018·北京， 6，2）若是 a－ b＝ 2 3，那么代数式(a2b2 b)aa 的值为（）2a bA ． 3 B． 2 3 C． 3 3 D． 4 3 【答案】 A ．【解析】原式＝ (a b) 2 a ＝a b，把 a－ b＝ 2 3 代入，原式＝ 2 3 ＝ 3 ，应选A．2a a b 2 2【知识点】分式的运算；二次根式；整体思想；代数式的求值7．（ 2018·北京， 7，2）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的翱翔路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位： m）与水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系 y＝ax 2＋ bx＋ c（ a≠ 0）．以下列图记录了某运动员起跳后的x 和 y 的三组数据，依照上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后翱翔到最高点时，水平距离为（）A ．10mB ．15m C． 20m D ．【答案】 B．c 54【解析】解法一：设抛物线的解析式为y＝ ax2＋bx＋ c，由题意得400a 20b c 57.9 ，1600a 40b cax＝－b解得 b 0.585 ，进而对称轴为直线＝－＝ 15，应选 B．c 542a 2 ( 0.0195)解法二：将图上三个点 (0，54)，(20，57.9) ，(40，46.2) 用圆滑的曲线按次连接起来，会发现对称轴位于直线 x＝ 20 的左侧，特别凑近直线 x＝20，因此从选项中可知对称轴为直线x＝15，应选 B ．【知识点】二次函数图像的性质；二次函数的简单应用；二次函数解析式的求法；数形结合思想8．（ 2018·北京， 8，2）上图是老北京城一些地址的分布表示图．在图中，分别以正东、正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有以下四个结论：①当表示北京天安门的点的坐标为(0， 0)，表示广安门的点的坐标为(－ 6，－ 3)，表示左安门的点的坐标为(5，－ 6) ；②当表示北京天安门的点的坐标为(0，0)，表示广安门的点的坐标为(－12，－ 5)，表示左安门的点的坐标为(10，－ 12)；③当表示北京天安门的点的坐标为(1，1)，表示广安门的点的坐标为(－ 11，－ 5)，表示左安门的点的坐标为(11，－ 11)；④当表示北京天安门的点的坐标为，1.5)，表示广安门的点的坐标为(－，－ 7.5)，表示左安门的点的坐标为(16.5 ，－ 16.5)．上述结论中，所有正确的结论的序号是（）A ．①②③B．②③④C．①④ D ．①②③④第 7 题图第 8 题图【答案】 D．【解析】从图上可知①表示的点的地址正确，进而在①的基础上，将①中的坐标扩大到原来的 2 倍，进而获得②表示点的地址正确；在②的基础上，先由天安门地址来确定原点地址，再看广安门与左安门的地址的表示，发现③④均正确，应选 D ．【知识点】平面直角坐标系二、填空题（此题共16 分，每题 2 分）9．（ 2018·北京，9，2）以下列图的网格是正方形网格， ∠BAC ∠DAE ．（填“＞”，“＝”或“＜” ）DCEDCBFDOABCAAE B第 9 题图第 12 题图第 13 题图【答案】＞．【解析】以以下列图，以小正方形的边长为半径、点 A 为圆心，作圆，交 AC 、 AB 、AE 、AD 的边分别于点 F 、 G 、 M 、 N ，易知 FG ＞MN ，故∠ BAC ＞∠ DAE ．EBG MDNC F AH【知识点】网格图；角的大小比较；10．（ 2018·北京， 10，2）若 x 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是．【答案】 x ≥ 0．【解析】 ∵x 在实数范围内有意义，∴x ≥ 0．【知识点】二次根式有意义的条件11．（ 2018·北京， 11， 2）用一组 a ，b ， c 的值说明命题“若 a ＜ b ，则 ac ＜bc ”是错误的，这组值可以是 a ＝ _______， b ＝ _______， c ＝_______．【答案】答案不唯一，如 1， 2，－ 1．【解析】此题答案不唯一，只要 c 为负数均可，主要观察不等式两边同乘以一个负数，不等号要改变方向，如“若 1＜ 2，则 1× (－1) ＜2× (－ 1)”是错误的，因此，此时的a ，b ，c 的值分别为 1， 2，－ 1．【知识点】一元一次不等式的性质；命题；反例12．（ 2018·北京， 12，2）如图，点 A ，B ，C ，D 在⊙ O 上，弧 CB ＝弧 CD ，∠ CAD ＝30°，∠ ACD ＝ 50°，则∠ ADB ＝________°．【答案】 70°．【解析】 ∵弧 CB ＝弧 CD ，∠ CAD ＝ 30°，∴弧 CB 与弧 CD 的度数都为 60°．∵∠ ACD ＝50°，∴弧 AD 的度数都为 100°．∴劣弧 AB 的度数都为 140°．∴∠ ADB ＝ 1×140°2＝ 70°．【知识点】圆周角定理；圆的相关性质13．（ 2018·北京， 13，2）如图，在矩形 ABCD 中， E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC于点 F ，若 AB ＝ 4，AD ＝ 3，则 CF 的长为 _________．【答案】10．3【解析】 ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ DC ＝ AB ＝ 4， AB ∥ CD ，∠ ADC ＝90°．在 Rt △ ADC 中，由勾股定理，得AC ＝32 42 ＝5．∵ E 是边 AB 的中点， ∴ AE ＝ 1AB ＝2．2∵ AB ∥CD ， ∴△ CDF ∽△ AEF ．∴ CFCD ，即CF 4 ． AFAE5 CF2∴ CF ＝10．3【知识点】矩形的性质；勾股定理；相似三角形的性质与判断14．（ 2018·北京， 14， 2）从甲地到乙地有 A ， B ， C 三条不同样的公交线路．为认识早巅峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时时间，在每条线路上随机采用了 500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计以下：早巅峰期间，乘坐 ______（填 “A ”，“ B ”或“C ”）线路上的公交车，从甲地到乙地 “用时不高出 45 分钟”的可能性最大．【答案】 C ．【解析】由统计表可知， C 线路中从甲地到乙地“用时不高出 45 分钟”的多达 477 辆，远远高地 A 、 B 两条线路，故答案为 C 线路．【知识点】统计15．（ 2018·北京， 15， 2）某公园划船项目收费标准以下：两人船四人船六人船八人船船型（限乘两人）（限乘四人）（限六两人）（限乘八人）每船租金10013015090（元 /小时）某班 18 名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1 小时，则租船的总花销最低为__________元．【答案】 380．【解析】从表中可知船越大，平均每人每小时的花销越小，再综合考虑时间因素，租用4 人船、 6 人船、 8 人船各 1 只且游玩 1 小时时租金最少，为380 元．【知识点】最优化方案设计；分类思想16．（ 2018·北京， 16，2） 2017 年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况以下列图，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第__________ ．【答案】 3．【解析】从第一张表上可知我国创新产出排名位于全球第11 位，再从第二张表中找到我国的地址，可看出我国创新效率排名全球第3，故答案为3．【知识点】平面直角坐标系；点的坐标的应用．三、解答题（此题共68 分，第 17— 22 题，每题 5 分，第 23— 26 题，每题 6 分，第 27，28 题，每题7 分）17．（ 2018·北京， 17，5）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线 l 外一点 P．Pl求作：直线PQ，使得 PQ∥ l．作法：如图：PA C lB①在直线 l 上取一点A，作射线PA，以点 A 为圆心， AP 长为半径画弧，交PA 的延长线于点B；②直线 l 上取一点C（不与点 A 重合），作射线 BC，以点 C 为圆心， CB 长为半径画弧，交BC 的延长线于点 Q；③作直线 PQ．因此直线 PQ 就是所求作的直线．依照小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图印迹）（2）完成下面的证明．证明：∵ AB＝ _______， CB＝ _______，∴PQ ∥l （________________ ）（填推理的依照）．【思路解析】（1）利用尺规作图，先作射线 BC，再在射线 BC 上截取线段 CQ＝ CB；最后过点P、 Q 作直线即可；（2）由作图易知 PA＝ AB， CQ＝ CB，依照是三角形的中位线的定义及定理，两点确定一条直线．【解题过程】17．解：（ 1）以以下列图所示：P QlA CB（2）PA，CQ；依照：①连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；②三角形的中位线平行于第三边；③两点确定一条直线．【知识点】尺规作图；三角形的中位线定理18．（ 2018·北京， 18， 5）计算： 4sin45°＋ (π－ 2)0－18 ＋ 1 ．【思路解析】分别计算sin45°＝2，(π－2)0＝1，18＝32，1＝1，尔后按实数的2运算法规及运算序次进行计算即可，注意结果的化简．【解题过程】18．解：原式＝4×2＋1－32＋1＝22＋1－32＋1＝2－2．2【知识点】实数的运算；三角函数；零指数；二次根式；绝对值3( x 1) x 119．（ 2018·北京， 19， 5）解不等式组：x 9 ．2x2【思路解析】先分别解每一个不等式，再依照“口诀歌”或利用数轴求两个一元一次不等式解集的公共部分，即可获得不等式组的解集．【解题过程】19．解：不等式3(x＋ 1)＞x－1 的解集为3x＋ 3＞x－ 1，3x－ x＞－ 1－ 3，2x＞－ 4，x＞－ 2；x9不等式2x 的解集为x＋9＞4x，2x－4x＞－ 9，－3x＞－ 9，x＜3．∴原不等式组的解集为－2＜ x＜3．【知识点】一元一次不等式组的解法20．（ 2018·北京， 20， 5）关于 x 的一元二次方程ax2＋ bx＋ 1＝ 0．（ 1）当 b＝ a＋ 2 时，利用根的鉴识式判断方程根的情况；（ 2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b 的值，并求此时方程的根．【思路解析】（ 1）先算出该方程的根的鉴识式△的值，再将 b＝ a＋2 代入并判断鉴识式的符号，最后依照一元二次方程的根的鉴识式定理，就能判断该方程的根的情况了；（ 2）此题答案不唯一，只要取一组a， b 的值，使方程的根的鉴识式的值为0 即可，尔后再解此方程即可．【解题过程】20．解：（ 1）∵ b＝ a＋ 2，22 2∴△＝ b －4× a× 1＝ (a＋ 2) － 4a＝ a ＋ 4＞ 0．（2）答案不唯一，如当 a＝ 1，b＝ 2 时，原方程为 x2＋ 2x＋ 1＝0，解得 x1＝ x2＝－1．【知识点】一元二次方程的解法；一元二次方程根的鉴识式21．（ 2018·北京， 21， 5）如图，在四边形ABCD 中， AB∥ DC ， AB＝ AD ，对角线AC，BD 交于点 O ，AC 均分∠ BAD ，过点 C 作 CE ⊥AB 交 AB 的延长线于点 E ，连接 OE ．（ 1）求证：四边形 ABCD 是菱形；（ 2）若 AB ＝ 5 ， BD ＝ 2，求 OE 的长．D COAB E【思路解析】（ 1）先利用角均分线定义及平行线性质，获得 AB ＝ DC ；再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形 ABCD 是平行四边形，最后利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即可获得要证的结论；（ 2）先利用菱形的性质，获得 OA ＝ OC ，OB ＝ OD＝1DB ＝ 1， AC ⊥ BD ，进而由勾股定理，求出OA 的长，进而求得 AC 的长，最后由直角2三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出OE 的长．【解题过程】21．（ 1）证明：∵ AC 均分∠ BAD ，∴∠ DAC ＝∠ BAC ． ∵ AB ∥ DC ， ∴∠ DCA ＝∠ BAC ． ∴∠ DAC ＝∠ DCA ．∴ DA ＝DC ．又∵ AB ＝ AD ， ∴ AB ＝ DC ．又∵ AB ∥ DC ，∴四边形 ABCD 是平行四边形．又∵ AB ＝ AD ，∴平行四边形 ABCD 是菱形．（ 2）解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OA ＝OC ， OB ＝ OD ＝ 1DB ＝ 1， AC ⊥ BD ．2在 Rt △ABO 中，由勾股定理，得 OA ＝ AB 2OB 2 ＝ ( 5) 2 12 ＝ 2．∴ AC ＝ 2OA ＝4．∵ CE ⊥ AB ，OA ＝OC ， ∴ OE ＝ 1AC ＝2．2【知识点】菱形的判断与性质；勾股定理；直角三角形的性质；等腰三角形的性质与判断22．（ 2018·北京， 22，5）如图， AB 是⊙ O 的直径，过⊙ O 外一点 P 作⊙ O 的两条切线 PC ，PD ，切点分别为 C ， D ，连接 OP ， CD ．（ 1）求证： OP ⊥ CD ；（2）连接 AD， BC，若∠ DAB ＝ 50°，∠ CBA＝ 70°， OA＝ 2，求 OP 的长．DPCAO B【思路解析】（1）利用切线长定理，得 PC＝PD ，进而点 P 在线段 CD 的垂直均分线上，再由 OC ＝ OD ，得点 O 在线段 CD 的垂直均分线上，于是 OP⊥ CD ．（2）先由∠ DAB ＝ 50°，∠ CBA ＝ 70°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠COD ＝ 60°，进而∠DOP ＝ 30°，最后用cos∠ DOP＝OD，将相关数据代入求出OP 的长．OP【解题过程】22．（ 1）证明：以以下列图，连接OC、 OD．PDCA BO∵PC 、PD 切⊙ O 于点 C、 D，∴PC ＝PD．∴点 P 在线段 CD 的垂直均分线上．∵OC＝ OD，∴点 O 在线段 CD 的垂直均分线上．∴OP ⊥CD．（ 2）解：以以下列图，连接A D， BC．PDCA O B∵OA＝ OD ，∠ DAB ＝50°，∴∠ DOA ＝ 80°．同理，∠ BOC ＝ 40°．∴∠ COD ＝ 180°－∠ AOD －∠ BOC ＝ 60°． ∵ OC ＝ OD ，PD ＝PC ， OP ＝ OP ， ∴△ OPC ≌△ OPD ． ∴∠ POD ＝∠ POC ＝ 30°．∵ PD 切⊙ O 于点 D ，∴ OD ⊥ DP ．在 Rt △ OPD 中， cos ∠DOP ＝OD，OP∴ OP ＝2 ＝ 4 3．cos303【知识点】与圆相关的地址关系；圆的切线的性质；解直角三角形；全等三角形的性质与判断；三角形内角和定理；线段的垂直均分线的判判定理；切线长定理23．（ 2018·北京， 23， 6）在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y ＝ k（ x ＞ 0）的图象 G 经过点 A(4，1)，直线 l ： y ＝1xx ＋ b 与图象 G 交于点 B ，与 y 轴交于点 C ．4（ 1）求 k 的值；（ 2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点 A ， B 之间的部分与线段 OA ，OC ，BC 围成的地域（不含界线）为 W ．①当 b ＝－ 1 时，直接写出地域W 内的整点个数；②若地域 W 内恰有 4 个整点，结合图象，求 b 的取值范围．【思路解析】（1）将点 A 的坐标代入反比率函数解析式，即可求出 k 的值；（ 2）①利用函数图像找出整点个数；②分两种情况谈论，并将点(5， 0)、 (1， 2)、 (1， 3)代入 y ＝1x ＋ b ，4求出分界线的相应 b 的值，最后利用数形结合思想锁定 b 的取值范围．【解题过程】23．解：（ 1）∵函数 y ＝ k（ x ＞ 0）的图象经过点 A(4， 1)，x∴ 1k，解得 k ＝ 4．4（ 2）①以以下列图所示：由图可知地域W 内的整点个数有 3 个： (1，0) ，(2，0)，(3 ，0)．②以以下列图可知，当直线 BC 过点 (5， 0)时，5＋ b ＝ 0，b ＝－ 5，此时，地域W 内的整4 4点个数有 4 个： (1， 0)， (2， 0)， (3， 0)， (4，0) ，而－5≤ b＜－ 1；当直线 BC 过点 (1，2) 4时，1＋ b＝2， b＝7；当直线 BC 过点 (1，3) 时，1＋ b＝3， b＝11，此时，地域 W 内的4 4 4 4整点个数有 4 个： (1， 1)， (2， 1)， (3， 1)， (1， 2)，而7＜ b≤11．综上，－5≤ b＜－ 1 4 4 4或7＜ b≤11．4 4【知识点】反比率函数的图象与性质；一次函数的应用；数形结合思想；待定系数法24．（ 2018·北京， 24， 6）如图， Q 是弧 AB 与弦 AB 所围成的图形的内部的必然点，P 是弦 AB 上一动点，连接 PQ 并延长交弧 AB 于点 C，连接 AC．已知 AB＝ 6cm，设 A，P两点间的距离为 xcm， P， C 两点间的距离为 y1cm， A， C 两点间的距离为 y2cm．CQA P B小腾依照学习函数的经验，分别对函数 y1，y2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的研究过程，请补充完满：（ 1）依照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别获得了y1，y2与 x 的几组对应值：x/cm 0 1 2 3 4 5 6y1/cmy2/cm（ 2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数 y1， y2的图象；y/cm6543210 1 2 3 4 5 6x/cm（ 3）结合函数图象，解决问题：当△ APC 为等腰三角形时，AP 的长度约为 ________cm．【思路解析】（1）利用描点法先画出函数y1的图象；（2）利用 y1的图象，确定当 x＝时对应的函数 y1的对应值；（ 3）结合图形与图象，利用分类思想锁定△APC 为等腰三角形时， AP 的长度的近似．【解题过程】24．解：（ 1）；（答案不唯一，只要在≤y1≤ 3.10 均可）（ 2）以以下列图所示：y/cm y=x6y2543 y1210 1 2 3 4 5 6x/cm（3） 3.08cm 或 5.02cm 或，以以下列图所示：C CmBA = 6.00 厘米Q mBA = 6.00 厘米厘米厘米Q厘米厘米厘米厘米A PB A PB【知识点】函数图象的画法；估计；等腰三角形；分类思想；研究性问题25．（2018·北京， 25，6）某年级共有300 名学生．为认识该年级学生 A ，B 两门课程的学习情况，从中随机抽取60 名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和解析．下面给出了部分信息．a．A 课程成绩的频数分布直方图以下（数据分成 6 组： 40≤ x＜ 50，50≤ x＜ 60，60≤ x ＜70，） 70≤x＜ 80， 80≤ x＜ 90，90≤ x≤ 100）：频数（学生人数）18141286240 50 60 70 80 90 100 成绩 /分b． A 课程成绩在70≤ x＜ 80 这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 79 79 79c． A ，B 两门课程成绩的平均数、中位数、众数以下：课程平均数中位数众数A mB 70 83依照以上信息，回答以下问题：（1）写出表中 m 的值；（2）在此次测试中，某学生的 A 课程成绩为 76 分， B 课程成绩为 71 分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 ________（填空“ A ”或“ B ”），原由是____________________________ ；（ 3）假设该年级学生都参加此次测试，估计 A 课程成绩高出75.8 分的人数．【思路解析】（ 1）观察频数分布直方图，看这组数据的中位数落在哪一组，尔后利用中位数定义找出这两个数据并求它们的平均数即可；（ 2）将这两科成绩与该科成绩的中位数比较，高于中位数的靠前；（ 3）依照样本中 A 课程成绩高出75.8 分的人数去估计该年级学生中课程成绩高出75.8 分的人数即可．A 【解题过程】25．解：（ 1）；（排序后第30 与第 31 个数据的平均数，即＋ 79)÷ 2）（2） B ，B 课程的成绩高出中位数；（3）∵ 300×60 24＝ 180（人），60∴计 A 课程成绩高出 75.8 分约有 180 人．【知识点】统计；中位数；平均数；众数；用样本估计整体；频数分布直方图26．（ 2018·北京， 26， 6）在平面直角坐标系xOy 中，直线 y＝ 4x＋4 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A， B，抛物线 y＝ ax2＋ bx－3a 经过点 A，将点 B 向右平移 5 个单位长度，获得点C．（1）求点 C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（ 3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．【思路解析】（ 1）先求出直线y＝ 4x＋ 4 与 x 轴、 y 轴的交点A、B 的坐标，再利用点的平移规律，求出点 C 的坐标；（2）将 A 点坐标代入抛物线的解析式，得 b＝－ 2a，再利用抛物线的对称轴公式或用配方法求出抛物线的对称轴；（ 3）依照（ 1）、（ 2）可知抛物线过点 (－ 1，0)和 (3，0)，再三种情况即张口向上或下及抛物线的极点在线段 BC 上，将特别点的坐标代入抛物线的解析式，求出 a 的值，最后利用数形结合思想获得吻合条件的a 的取值范围．【解题过程】26．解：（ 1）∵直线 y ＝ 4x ＋ 4 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A ，B ，∴ A(－ 1， 0)， B(0， 4)．∵将点 B 向右平移 5 个单位长度，获得点 C ，∴ C(0＋ 5， 4)，即 C(5， 4)．（2）∵抛物线 y ＝ ax 2＋ bx － 3a 经过点 A ，∴ a － b － 3a ＝ 0．∴ b ＝－ 2a ．∴抛物线的对称轴为直线 x ＝－ b＝－2a＝ 1，即 x ＝ 1．2a2a（3）①若 a ＞ 0，易知抛物线过点 (－ 1， 0)， (3， 0)，故令其解析式为y ＝a(x ＋1)(x－ 3)，将点 (5， 4)代入，得 4＝a?(5＋ 1)(5－ 3)，解得 a ＝ 1．故抛物线与线段BC 恰有3一个公共点，可知a 的取值范围是 a ≥ 1．以以下列图所示．3yBCA O x②若 a ＜ 0，以以下列图，当 x ＝ 0，y ＝－ 3a ，即抛物线与 y 轴交于 (0，－ 3a)要使该抛物线与线段 BC 只有一个公共点，就必定－ 3a ＞ 4，此时 a ＜－ 4．3y BCA Ox③若抛物线的极点在线段 BC上时，此时极点坐标为(1， 4)，进而解析式为y ＝a( x －1) 2＋ 4，将 A 点坐标代入，解得a ＝－ 1，以以下列图所示：yB C A O x综上， a 的取值范围是a≥1或 a＜－4或 a＝－ 1．3 3【知识点】一次函数；二次函数；点的坐标平移；二次函数的图象与线段的交点；分类思想27．（ 2018·北京， 27，7）如图，在正方形ABCD 中， E 是边 AB 上的一个动点（不与点A，B 重合），连接 DE，点 A 关于直线DE 的对称点为F，连接连接 DG，过点 E 作 EH⊥DE 交 DG 的延长线于点H，连接EF 并延长交BH ．BC 于点G，（1）求证： GF＝ GC；（2）用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系，并证明．D CGFHAE B【思路解析】（1）先利用轴对称性质，获得DA ＝ DF ，∠ DFE ＝∠ A＝ 90°＝∠ DFG ，再利用正方形性质及全等三角形的判断方法，证明△DGF ≌△ DGC （ HL ），于是 GF ＝GC；（ 2）证明此题有两种方法，一是利用三垂直及构造法，证明△DAE≌△ ENH（ AAS ），其中过点H 作 HN ⊥AB 交 AB 延长线于点 N，再利用等腰三角形斜边与直角边的数量关系研究出BH ＝ 2 AE．另一种方法是截长补短法，即在AD 上取点 P，使 AP＝AE，连接 PE ，则 BE＝DP ．经过证明△ DPE ≌△ EBH （ SAS），再利用等腰三角形斜边与直角边的数量关系研究出BH ＝ 2 AE．【解题过程】27．证明：（ 1）连接 DF ，以以下列图：CDGHFA E B∵点 A 关于直线DE 的对称点为F，∴DA＝DF ，∠ DFE ＝∠ A＝ 90°＝∠ DFG ．∵四边形 ABCD 是正方形，∴DA＝DC ＝ DF ，∠ A＝∠ C＝ 90°．又∵ DG＝ DG ，∴△ DGF ≌△ DGC （HL ）．∴GF＝GC．（2）以以下列图，将△ DAE 绕点 D 逆时针旋转 90°，得△ DCM ，则 DE＝DM ， AE ＝CM ，进而 EG＝ MG ，DE ＝ DM ．又∵ DG＝ DG ，∴△ DGE ≌△ DGM （ SSS）．∴∠ DGE ＝∠ DGM ＝ 90°．∵∠ EDM ＝∠ EDC ＋∠ CDM ＝∠ EDC＋∠ ADE ＝ 90°，∴∠ EDG ＝ 45°．又∵ EH⊥ DE ，∴△ DEH 是等腰直角三角形．∴DE＝EH ．过点 H 作 HN ⊥ AB 交 AB 延长线于点N，则∠ N＝∠ A＝ 90°，且易证∠ HEN＝∠ ADE ，于是△ DAE≌△ ENH（ AAS ），进而 AE＝ HN， DA＝ EN， AE＝BN．∴△ BNH 是等腰直角三角形，进而BH ＝ 2 NH．∴ BH＝ 2 AE．MD CGHFA EB N证法二：以以下列图，在AD 上取点 P，使 AP＝ AE，连接 PE，则 BE＝DP ．D C431 2GP F HA E 5B由（ 1）可知∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，进而由∠ ADC ＝ 90°，得 2∠2＋ 2∠ 3＝90°，∴∠ EDH ＝ 45°．又∵ EH⊥ DE ，∴△ DEH 是等腰直角三角形．∴DE＝EH ．∵∠ 1＋∠ AED＝∠ 5＋∠ AED ＝ 90°，∴∠ 1＝∠ 5．∴△ DPE ≌△ EBH（ SAS）．∴PE＝ BH ．∵△ PAE 是等腰直角三角形，进而PE＝ 2 AE．∴BH＝2 AE．【知识点】正方形的性质；轴对称；等腰直角三角形；全等三角形；动点问题；旋转；研究问题；构造法；压轴题28．（ 2018·北京， 28， 7）关于平面直角坐标系xOy 中的图形M， N，给出以下定义：P 为图形 M 上任意一点， Q 为图形 N 上任意一点，若是P， Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M， N 间的“闭距离” ，记为 d( M， N)．已知点 A(－ 2， 6)， B(－ 2，－ 2)， C(6，－ 2) ．（1）求 d(点 O，△ ABC )；（2）记函数 y＝ kx（－ 1≤ x≤1，k≠ 0）的图象为图形 G．若 d(G，△ ABC)＝ 1，直接写出k 的取值范围；（3）⊙ T 的圆心为 T(t，0)，半径为 1．若 d( ⊙T，△ ABC)＝ 1，直接写出 t 的取值范围．【思路解析】（1）画出△ ABC，找到圆心 (0， 0)与点 ( －2， 0)，这两点的距离即为 d(点 O，△ABC )；（ 2）找到分界直线 x＝ 1 和 x＝－ 1，使直线 y＝ kx（ k≠ 0）与它们的交点限制在对称中心为原点的边长为 2 的正方形内，进而将 (－ 1， 1)、 (－ 1，－ 1)分别代入正比率函数解析式 y＝kx，求出 k 的值，进而锁定 d(G，△ABC)＝ 1 时的 k 的取值范围；（3）由⊙ T 的圆心为 T(t，0) ，半径为 1 可知该圆的圆心在 x 轴上，分三种情况谈论：若⊙ T 位于△ ABC 的左侧，易知当 t ＝－ 4 时， d(⊙T，△ ABC)＝ 1；若⊙ T 位于△ ABC 的内部， T 点与 O 点重合时，有 d(⊙ T，△ ABC)＝1；尔后设，△ ABC 形内 x 轴上的点到直线 AC 的距离为 2，利用相似三角形知识求出OT＝4 2 2 ，进而获得0≤t≤ 4 2 2 ；最后一种情况是若⊙T 位于△ ABC 的右侧，获得t＝4 2 2 ．注意，画出正确的图形是解题的要点．【解题过程】28．解：（ 1）如答图 1，可知点O 到△ ABC 的最小距离为 2，即原点 (0，0)， (－ 2，0)两点间的距离，故 d(点 O，△ ABC )＝ 2．（2）如答图 1，y＝ kx（ k≠ 0）经过原点，在－ 1≤x≤1 范围内，函数图象为线段．当y＝kx（－ 1≤ x≤ 1， k≠0）经过 (－ 1，1)时， k＝－ 1，此时， d(G，△ ABC)＝1；当 y＝ kx（－ 1≤ x≤ 1，k≠ 0）经过 ( －1，－ 1)时， k＝ 1，此时， d(G，△ABC)＝ 1．∴－ 1＜ k＜1．又∵ k≠ 0，∴－ 1＜ k＜ 1 且 k≠ 0．（ 3）⊙ T 与△ ABC 的地址分三种情况谈论以下：①若⊙ T位于△ ABC的左侧，易知当 t＝－ 4 时，d(⊙ T，△ ABC)＝ 1；②若⊙ T 位于△ ABC 的内部， T 点与 O 点重合时，有 d(⊙T，△ ABC)＝ 1；以以下列图， T 点与 T3点重合时，过 T3点作 T3M⊥ AC 于 M，易由相似三角形知识求适合 T3M＝2 时， T3O＝4 2 2 ，进而由d(⊙T，△ABC)＝1，得0≤t≤ 4 2 2 ；③若⊙ T 位于△ ABC 的右侧，则由②可知，当d(⊙ T，△ ABC)＝ 1，得 t＝4 2 2 ．综上，吻合条件的 t 的取值范围是 t＝－ 4 或 0≤ t≤4 2 2 或t＝ 4 2 2 ．【知识点】点到点的距离；点到直线的距离；勾股定理；一次函数的性质；相似三角形；圆；数形结合思阅读理解题；新定义问题；压轴题。

2018北京中考数学解析

北京市2018年初中学业水平暨高中招生考试数学试题．．个） 1．（2018·北京，1，2）下列几何体中，是圆柱的为（）【答案】A ．【解析】易知A 、B 、C 、D 四个选项中的几何体分别是圆柱、圆锥、棱柱和棱锥，故选A ．【知识点】简单几何体的识别；圆柱 2．（2018·北京，2，2）实数a，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A ．a ＞4B ．c －b ＞0C ．ac ＞0D ．a ＋c ＞0 【答案】B ．【解析】由图可知－4＜a ＜－3，－1＜b ＜0，2＜c ＜3，从而3＜a ＜4，c －b ＞0，ac ＜0，a ＋c ＜0，故选B ．【知识点】实数的大小比较；数轴；绝对值；有理数的运算法则3．（2018·北京，3，2）方程组33814x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为（）A ．12x y =-⎧⎨=⎩ B ．12x y =⎧⎨=-⎩ C ．21x y =-⎧⎨=⎩ D ．21x y =⎧⎨=-⎩【答案】D ．【解析】方程②－①×3，得－5y ＝5， y ＝－1，并代入①，得x ＋1＝3，x ＝2．故原方程组A ．B ．C ．D ．的解为21xy=⎧⎨=-⎩，因此选D．【知识点】二元一次方程的解法4．（2018·北京，4，2）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（）A．7.14×103m2B．7.14×104m2C．2.5×105m2D．2.5×106m2【答案】C．【解析】∵7140×35＝249900≈250000＝2.5×105，∴选C．【知识点】科学记数法5．（2018·北京，5，2）若正多边形的一个外角为60°，则该多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°【答案】C．【解析】∵正多边形的一个外角为60°，∴该正多边形的边数n＝36060＝6．∴正多边形的的内角和＝(6－2)×180°＝720°．故选C．【知识点】多边形的内角和；正多边形6．（2018·北京，6，2）如果a－b＝22()2a b aba a b+-⋅-的值为（）AB．C．D．【答案】A．【解析】原式＝2()2a b aa a b-⋅-＝2a b-，把a－b＝代入，，故选A．【知识点】分式的运算；二次根式；整体思想；代数式的求值7．（2018·北京，7，2）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．下图记录了某运动员起跳后的x和y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m 【答案】B．【解析】解法一：设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题意得54 4002057.9 16004046.2ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得0.01950.58554abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而对称轴为直线x＝－2ba＝－0.5852(0.0195)⨯-＝15，故选B．解法二：将图上三个点(0，54)，(20，57.9)，(40，46.2)用光滑的曲线顺次连接起来，会发现对称轴位于直线x＝20的左侧，非常靠近直线x＝20，因此从选项中可知对称轴为直线x＝15，故选B．【知识点】二次函数图像的性质；二次函数的简单应用；二次函数解析式的求法；数形结合思想8．（2018·北京，8，2）上图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示北京天安门的点的坐标为(0，0)，表示广安门的点的坐标为(－6，－3)，表示左安门的点的坐标为(5，－6)；②当表示北京天安门的点的坐标为(0，0)，表示广安门的点的坐标为(－12，－5)，表示左安门的点的坐标为(10，－12)；③当表示北京天安门的点的坐标为(1，1)，表示广安门的点的坐标为(－11，－5)，表示左安门的点的坐标为(11，－11)；④当表示北京天安门的点的坐标为(1.5，1.5)，表示广安门的点的坐标为(－16.5，－7.5)，表示左安门的点的坐标为(16.5，－16.5)．上述结论中，所有正确的结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④【答案】D．【解析】从图上可知①表示的点的位置正确，从而在①的基础上，将①中的坐标扩大到原来的2倍，进而得到②表示点的位置正确；在②的基础上，先由天安门位置来确定原点位置，再看广安门与左安门的位置的表示，发现③④均正确，故选D．【知识点】平面直角坐标系二、填空题（本题共16分，每小题2分）第7题图第8题图9．（2018·北京，9，2）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE ．（填“＞”，“＝”或“＜”）【答案】＞．【解析】如下图，以小正方形的边长为半径、点A 为圆心，作圆，交AC 、AB 、AE 、AD 的边分别于点F 、G 、M 、N ，易知FG ＞MN ，故∠BAC ＞∠DAE ．NM H G FEDCBA【知识点】网格图；角的大小比较；10．（2018·北京，10，2）则实数x 的取值范围是．【答案】x ≥0．【解析】在实数范围内有意义，∴x ≥0．【知识点】二次根式有意义的条件 11．（2018·北京，11，2）用一组a ，b ，c 的值说明命题“若a ＜b ，则ac ＜bc ”是错误的，这组值可以是a ＝_______，b ＝_______，c ＝_______．【答案】答案不唯一，如1，2，－1．【解析】本题答案不唯一，只要c 为负数均可，主要考查不等式两边同乘以一个负数，不等号要改变方向，如“若1＜2，则1×(－1)＜2×(－1)”是错误的，因此，此时的a ，b ，c 的值分别为1，2，－1．【知识点】一元一次不等式的性质；命题；反例 12．（2018·北京，12，2）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，弧CB ＝弧CD ，∠CAD ＝30°，∠ACD ＝50°，则∠ADB ＝________°．【答案】70°．【解析】∵弧CB ＝弧CD ，∠CAD ＝30°，∴弧CB 与弧CD 的度数都为60°．∵∠ACD ＝50°，∴弧AD 的度数都为100°．∴劣弧AB 的度数都为140°．∴∠ADB ＝12×140°＝70°．第12题图 FED CBA 第13题图第9题图 EDC BA【知识点】圆周角定理；圆的有关性质13．（2018·北京，13，2）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为_________．【答案】103．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝4，AB∥CD，∠ADC＝90°．在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC5．∵E是边AB的中点，∴AE＝12AB＝2．∵AB∥CD，∴△CDF∽△AEF．∴CF CDAF AE=，即452CFCF=-．∴CF＝103．【知识点】矩形的性质；勾股定理；相似三角形的性质与判定14．（2018·北京，14，2）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时时间，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：早高峰期间，乘坐______（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．【答案】C．【解析】由统计表可知，C线路中从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的多达477辆，远远高地A、B两条线路，故答案为C线路．【知识点】统计某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为__________元．【答案】380．【解析】从表中可知船越大，平均每人每小时的费用越小，再综合考虑时间因素，租用4人船、6人船、8人船各1只且游玩1小时时租金最少，为380元．【知识点】最优化方案设计；分类思想16．（2018·北京，16，2）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第__________．【答案】3．【解析】从第一张表上可知我国创新产出排名位于全球第11位，再从第二张表中找到我国的位置，可看出我国创新效率排名全球第3，故答案为3．【知识点】平面直角坐标系；点的坐标的应用．三、解答题（本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23—26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．（2018·北京，17，5）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．Pl求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图：①在直线l上取一点A，作射线P A，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交P A的延长线于点B；②直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝_______，CB＝_______，∴PQ∥l（________________）（填推理的依据）．【思路分析】（1）利用尺规作图，先作射线BC，再在射线BC上截取线段CQ＝CB；最后过点P、Q作直线即可；（2）由作图易知P A＝AB，CQ＝CB，依据是三角形的中位线的定义及定理，两点确定一条直线．【解题过程】17．解：（1）如下图所示：（2）P A，CQ；依据：①连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；②三角形的中位线平行于第三边；③两点确定一条直线．【知识点】尺规作图；三角形的中位线定理18．（2018·北京，18，5）计算：4sin45°＋(π－2)01 -．【思路分析】分别计算sin45°＝2，(π－2)0＝1，1-＝1，然后按实数的运算法则及运算顺序进行计算即可，注意结果的化简．【解题过程】18．解：原式＝4×2＋1－＋1＝1－＋1＝2【知识点】实数的运算；三角函数；零指数；二次根式；绝对值19．（2018·北京，19，5）解不等式组：3(1)1922x xxx+>-⎧⎪⎨+>⎪⎩．【思路分析】先分别解每一个不等式，再根据“口诀歌”或利用数轴求两个一元一次不等式解集的公共部分，即可得到不等式组的解集．【解题过程】19．解：不等式3(x＋1)＞x－1的解集为3x＋3＞x－1，3x－x＞－1－3，2x＞－4，x＞－2；不等式922xx+>的解集为x＋9＞4x，x－4x＞－9，－3x＞－9，x＜3．∴原不等式组的解集为－2＜x＜3．【知识点】一元一次不等式组的解法20．（2018·北京，20，5）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0．（1）当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【思路分析】（1）先算出该方程的根的判别式△的值，再将b＝a＋2代入并判断判别式的符号，最后根据一元二次方程的根的判别式定理，就能判断该方程的根的情况了；（2）本题答案不唯一，只要取一组a，b的值，使方程的根的判别式的值为0即可，然后再解此方程即可．【解题过程】20．解：（1）∵b＝a＋2，∴△＝b2－4×a×1＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0．∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，如当a＝1，b＝2时，原方程为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－1．【知识点】一元二次方程的解法；一元二次方程根的判别式21．（2018·北京，21，5）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若ABBD＝2，求OE的长．OED CBA【思路分析】（1）先利用角平分线定义及平行线性质，得到AB＝DC；再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，最后利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到要证的结论；（2）先利用菱形的性质，得到OA＝OC，OB＝OD＝12DB＝1，AC⊥BD，进而由勾股定理，求出OA的长，进而求得AC的长，最后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出OE的长．【解题过程】21．（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC．∵AB∥DC，∴∠DCA＝∠BAC．∴∠DAC＝∠DCA．∴DA＝DC．又∵AB＝AD，∴AB＝DC．又∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形．（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝12DB＝1，AC⊥BD．在Rt△ABO中，由勾股定理，得OA2．∴AC＝2OA＝4．∵CE⊥AB，OA＝OC，∴OE＝12AC＝2．【知识点】菱形的判定与性质；勾股定理；直角三角形的性质；等腰三角形的性质与判定22．（2018·北京，22，5）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．【思路分析】（1）利用切线长定理，得PC＝PD，从而点P在线段CD的垂直平分线上，再由OC＝OD，得点O在线段CD的垂直平分线上，于是OP⊥CD．（2）先由∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠COD＝60°，进而∠DOP＝30°，最后用cos∠DOP＝ODOP，将相关数据代入求出OP的长．【解题过程】22．（1）证明：如下图，连接OC、OD．∵PC、PD切⊙O于点C、D，∴PC＝PD．∴点P在线段CD的垂直平分线上．∵OC＝OD，∴点O在线段CD的垂直平分线上．∴OP⊥CD．（2）解：如下图，连接AD，BC．O PDCBA∵OA＝OD，∠DAB＝50°，∴∠DOA＝80°．同理，∠BOC＝40°．∴∠COD＝180°－∠AOD－∠BOC＝60°．∵OC＝OD，PD＝PC，OP＝OP，∴△OPC≌△OPD．∴∠POD＝∠POC＝30°．∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥DP．在Rt△OPD中，cos∠DOP＝OD OP，∴OP＝2cos30．【知识点】与圆有关的位置关系；圆的切线的性质；解直角三角形；全等三角形的性质与判定；三角形内角和定理；线段的垂直平分线的判定定理；切线长定理23．（2018·北京，23，6）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx（x＞0）的图象G经过点A(4，1)，直线l：y＝14x＋b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b＝－1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合图象，求b的取值范围．【思路分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值；（2）①利用函数图像找出整点个数；②分两种情况讨论，并将点(5，0)、(1，2)、(1，3)代入y＝14x＋b，求出分界线的相应b的值，最后利用数形结合思想锁定b的取值范围．【解题过程】23．解：（1）∵函数y＝kx（x＞0）的图象经过点A(4，1)，∴14k，解得k ＝4．（2）①如下图所示：由图可知区域W 内的整点个数有3个：(1，0)，(2，0)，(3，0)．②如下图可知，当直线BC 过点(5，0)时，54＋b ＝0，b ＝－54，此时，区域W 内的整点个数有4个：(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，而－54≤b ＜－1；当直线BC 过点(1，2)时，14＋b ＝2，b ＝74；当直线BC 过点(1，3)时，14＋b ＝3，b ＝114，此时，区域W 内的整点个数有4个：(1，1)，(2，1)，(3，1)，(1，2)，而74＜b ≤114．综上，－54≤b ＜－1或74＜b ≤114．【知识点】反比例函数的图象与性质；一次函数的应用；数形结合思想；待定系数法24．（2018·北京，24，6）如图，Q 是弧AB 与弦AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦AB 上一动点，连接PQ 并延长交弧AB 于点C ，连接AC ．已知AB ＝6cm ，设A ，P 两点间的距离为x cm ，P ，C 两点间的距离为y 1cm ，A ，C 两点间的距离为y 2cm ．B小腾根据学习函数的经验，分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 1，y 2与x 的几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ，y 1)，(x ，y 2)，并画出函数y 1，y 2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC 为等腰三角形时，AP 的长度约为________cm ．【思路分析】（1）利用描点法先画出函数y 1的图象；（2）利用y 1的图象，确定当x ＝3.00时对应的函数y 1的对应值；（3）结合图形与图象，利用分类思想锁定△APC 为等腰三角形时，AP 的长度的近似．【解题过程】 24．解：（1）3.06；（答案不唯一，只要在3.00≤y 1≤3.10均可）（2）如下图所示：（3）3.08cm 或5.02cm 或5.75cm ，如下图所示：x = 3.08厘米y2 = 5.41y1 = 3.06mBA = 6.00Bx = 5.02厘米y2 = 5.03y1 = 3.07mBA = 6.00【知识点】函数图象的画法；估算；等腰三角形；分类思想；探究性问题 25．（2018·北京，25，6）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A ，B 两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．A 课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x ＜50，50≤x ＜60，60≤x ＜70，）70≤x ＜80，80≤x ＜90，90≤x ≤100）：b ．A 课程成绩在70≤x ＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5 c ．根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m 的值；（2）在此次测试中，某学生的A 课程成绩为76分，B 课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填空“A ”或“B ”），理由是____________________________；（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A 课程成绩超过75.8分的人数．【思路分析】（1）观察频数分布直方图，看这组数据的中位数落在哪一组，然后利用中位数定义找出这两个数据并求它们的平均数即可；（2）将这两科成绩与该科成绩的中位数比较，高于中位数的靠前；（3）根据样本中A 课程成绩超过75.8分的人数去估计该年级学生中A 课程成绩超过75.8分的人数即可．【解题过程】25．解：（1）78.75；（排序后第30与第31个数据的平均数，即(78.5＋79)÷2）（2）B ，B 课程的成绩超过中位数；（3）∵300×602460-＝180（人）， ∴计A 课程成绩超过75.8分约有180人．【知识点】统计；中位数；平均数；众数；用样本估计总体；频数分布直方图 26．（2018·北京，26，6）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝4x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【思路分析】（1）先求出直线y ＝4x ＋4与x 轴、y 轴的交点A 、B 的坐标，再利用点的平移规律，求出点C 的坐标；（2）将A 点坐标代入抛物线的解析式，得b ＝－2a ，再利用抛物线的对称轴公式或用配方法求出抛物线的对称轴；（3）根据（1）、（2）可知抛物线过点(－1，0)和(3，0)，再三种情况即开口向上或下及抛物线的顶点在线段BC 上，将特殊点的坐标代入抛物线的解析式，求出a 的值，最后利用数形结合思想得到符合条件的a 的取值范围．【解题过程】 26．解：（1）∵直线y ＝4x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，∴A (－1，0)，B (0，4)．∵将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ， ∴C (0＋5，4)，即C (5，4)．（2）∵抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 经过点A ，∴a －b －3a ＝0． ∴b ＝－2a ．∴抛物线的对称轴为直线x ＝－2b a ＝－22a a-＝1，即x ＝1．（3）①若a ＞0，易知抛物线过点(－1，0)，(3，0)，故令其解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，将点(5，4)代入，得4＝a •(5＋1)(5－3)，解得a ＝13．故抛物线与线段BC 恰有一个公共点，可知a 的取值范围是a ≥13．如下图所示．②若a＜0，如下图，当x＝0，y＝－3a，即抛物线与y轴交于(0，－3a)要使该抛物线与线段BC只有一个公共点，就必须－3a＞4，此时a＜－43．③若抛物线的顶点在线段BC上时，此时顶点坐标为(1，4)，从而解析式为y＝a(x－1)2＋4，将A点坐标代入，解得a＝－1，如下图所示：综上，a的取值范围是a≥13或a＜－43或a＝－1．【知识点】一次函数；二次函数；点的坐标平移；二次函数的图象与线段的交点；分类思想27．（2018·北京，27，7）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．H【思路分析】（1）先利用轴对称性质，得到DA ＝DF ，∠DFE ＝∠A ＝90°＝∠DFG ，再利用正方形性质及全等三角形的判定方法，证明△DGF ≌△DGC （HL ），于是GF ＝GC ；（2）证明此题有两种方法，一是利用三垂直及构造法，证明△DAE ≌△ENH （AAS ），其中过点H 作HN ⊥AB 交AB延长线于点N ，再利用等腰三角形斜边与直角边的数量关系探究出BH AE ．另一种方法是截长补短法，即在AD 上取点P ，使AP ＝AE ，连接PE ，则BE ＝DP ．通过证明△DPE ≌△EBH （SAS ），再利用等腰三角形斜边与直角边的数量关系探究出BH AE ．【解题过程】 27．证明：（1）连接DF ，如下图：H∵点A 关于直线DE 的对称点为F ，∴DA ＝DF ，∠DFE ＝∠A ＝90°＝∠DFG ． ∵四边形ABCD 是正方形，∴DA ＝DC ＝DF ，∠A ＝∠C ＝90°．又∵DG ＝DG ，∴△DGF ≌△DGC （HL ）． ∴GF ＝GC ．（2）如下图，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得△DCM ，则DE ＝DM ，AE＝CM ，从而EG ＝MG ，DE ＝DM ．又∵DG ＝DG ，∴△DGE ≌△DGM （SSS ）． ∴∠DGE ＝∠DGM ＝90°．∵∠EDM ＝∠EDC ＋∠CDM ＝∠EDC ＋∠ADE ＝90°， ∴∠EDG ＝45°．又∵EH ⊥DE ，∴△DEH 是等腰直角三角形． ∴DE ＝EH ．过点H 作HN ⊥AB 交AB 延长线于点N ，则∠N ＝∠A ＝90°，且易证∠HEN ＝∠ADE ，于是△DAE ≌△ENH （AAS ），从而AE ＝HN ，DA ＝EN ，AE ＝BN ．∴△BNH 是等腰直角三角形，从而BHNH ．∴BHAE ．H证法二：如下图，在AD 上取点P ，使AP ＝AE ，连接PE ，则BE ＝DP ．P H由（1）可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，从而由∠ADC ＝90°，得2∠2＋2∠3＝90°， ∴∠EDH ＝45°．又∵EH ⊥DE ，∴△DEH 是等腰直角三角形． ∴DE ＝EH ．∵∠1＋∠AED ＝∠5＋∠AED ＝90°， ∴∠1＝∠5．∴△DPE ≌△EBH （SAS ）． ∴PE ＝BH ．∵△P AE 是等腰直角三角形，从而PE AE ．∴BH AE ．【知识点】正方形的性质；轴对称；等腰直角三角形；全等三角形；动点问题；旋转；探究问题；构造法；压轴题28．（2018·北京，28，7）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记为d(M，N)．已知点A(－2，6)，B(－2，－2)，C(6，－2)．（1）求d(点O，△ABC)；（2）记函数y＝kx（－1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d(G，△ABC)＝1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T(t，0)，半径为1．若d(⊙T，△ABC)＝1，直接写出t的取值范围．【思路分析】（1）画出△ABC，找到圆心(0，0)与点(－2，0)，这两点的距离即为d(点O，△ABC)；（2）找到分界直线x＝1和x＝－1，使直线y＝kx（k≠0）与它们的交点限定在对称中心为原点的边长为2的正方形内，从而将(－1，1)、(－1，－1)分别代入正比例函数解析式y＝kx，求出k的值，从而锁定d(G，△ABC)＝1时的k的取值范围；（3）由⊙T的圆心为T(t，0)，半径为1可知该圆的圆心在x轴上，分三种情况讨论：若⊙T位于△ABC的左侧，易知当t＝－4时，d(⊙T，△ABC)＝1；若⊙T位于△ABC的内部，T点与O点重合时，有d(⊙T，△ABC)＝1；然后设，△ABC形内x轴上的点到直线AC的距离为2，利用相似三角形知识求出OT＝4-从而得到0≤t≤4-最后一种情况是若⊙T位于△ABC的右侧，得到t＝4+．注意，画出正确的图形是解题的关键．【解题过程】28．解：（1）如答图1，可知点O到△ABC的最小距离为2，即原点(0，0)，(－2，0)两点间的距离，故d(点O，△ABC)＝2．（2）如答图1，y＝kx（k≠0）经过原点，在－1≤x≤1范围内，函数图象为线段．当y＝kx（－1≤x≤1，k≠0）经过(－1，1)时，k＝－1，此时，d(G，△ABC)＝1；当y＝kx（－1≤x≤1，k≠0）经过(－1，－1)时，k＝1，此时，d(G，△ABC)＝1．∴－1＜k＜1．又∵k≠0，∴－1＜k＜1且k≠0．（3）⊙T与△ABC的位置分三种情况讨论如下：①若⊙T位于△ABC的左侧，易知当t＝－4时，d(⊙T，△ABC)＝1；②若⊙T位于△ABC的内部，T点与O点重合时，有d(⊙T，△ABC)＝1；如下图，T点与T3点重合时，过T3点作T3M⊥AC于M，易由相似三角形知识求得当T3M＝2时，T3O＝4-d(⊙T，△ABC)＝1，得0≤t≤4-③若⊙T位于△ABC的右侧，则由②可知，当d(⊙T，△ABC)＝1，得t＝4+．综上，符合条件的t的取值范围是t＝－4或0≤t≤4-t＝4+．【知识点】点到点的距离；点到直线的距离；勾股定理；一次函数的性质；相似三角形；圆；数形结合思阅读理解题；新定义问题；压轴题。

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2018北京中考数学试题解析：
注重基础、突出能力、体现思维、关注应用2018年中考数学试题延续了2015-2017年试题“稳中求变，变中求新”的特点，在全面
考查基础知识，突出对支撑学科体系的重点知识的考查，注重知识的整体性和知识之间的内在联系的基础上，扩大试题的选材范围，以考查数学思维为核心，加强对数学知识形成与发展过程及灵活运用的考查。

试卷体现了立德树人，引导教学，服务学生发展的理念。

题目素材的选取体现社会主义核心价值观和中华优秀传统文化，增强民族自豪感。

设问的方式引导教学以核心概念为抓手、以培养数学能力为目标、以教材中的问题为生长点，帮助学生理解数学本质，学会从数学的角度思考问题、运用数学知识解决数学问题或者实际问题，让学生在数学的学习中有获得感。

试题的命制易于学生入手，层次分明，适度综合，体现应用，让不同水平的学生都有充分发挥的空间。

关注育人功能体现积极导向
今年的数学试卷选取合适的素材，将社会主义核心价值观和中华优秀传统文化融入到试题中，发挥试题的育人功能。

如第4题以被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST为背景，考查了科学记数法和学生估算的能力，让学生在解决问题的同时了解我国科技发展的现状。

如第16题以全球创新综合排名、创新产出排名、创新效率排名为背景，考查学生在图象中读取数据获取信息的能力，让学生感受到我国创新发展水平。

再如第8题以老北京城一些地点的分布图为背景，考查学生对于在不同坐标系下点的相对位置的不变性的理解，同时让学生感悟到中华民族的伟大智慧。

关注四基要求体现数学基础
《义务教育数学课程标准(2011版)》指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

”试题的命制注重对数与代数、图形与几何、统计与概率等基础知识的考查，在考查的过程中，突出对基本技能、基本思想和基本活动经验的考查。

在基本技能的教学中，不仅要让学生掌握技能操作的程序和步骤，还要理解其中蕴含的数学原理，如尺规作图的教学不仅要让学生能依据作法准确作出图形，还要求学生利用已掌握的数学原理进行尺规作图的设计，在设计的过程中既体现了不同学生的思维水平，又培养了学生推理论证的能力，如今年试卷中第17题在以往直接写作图依据的基础上，回归到尺规作图的一点，即以某学生设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程为背景，考查了尺规作图中依据作法作图、推理论证的完整过程。

同时，题目设计体现出了对知识掌握的整体性要求，不要把知识割裂开来看，而是从整体上看知识之间的联系性，更好地掌握基础知识。

关注思维品质体现教材价值
基于培养数学思维品质的教学，要在充分理解教材、挖掘教材的基础上设计教学活动，培养学生的思维习惯与思维品质。

如第7题是一道运用二次函数相关知识解决实际问题的题目，该题取材于课本中的例题，通过赋予其新的实际背景增强了题目的时代气息，题目的解决跳出繁杂的计算，而是利用二次函数图象的对称性再结合题中所给数据，从数与形的角度直接分析推断出二次函数的对称轴，体现了学生灵活运用所学知识解决问题的能力。

如第27题是一道几何综合题，该题取材于课本中的习题，通过从运动变化和图形变换的角度对原题进行再设计，挖掘了教材中知识的内在联系，用综合的方法把知识串在一起，发挥了教材促进学生思维发展的功能，同时丰富的试题背景，提供给学生多角度思考问题的机会，提供给学生展示自我的舞台。

试题来源于教材，站位又高于教材，难度设置适中。

关注教学过程体现数学本质
数学教学的重要目标之一是让学生亲身经历数学知识形成、发展和应用的过程，积累
数学活动经验，感悟数学思想。

今年数学试题的设计关注数学学习的完整过程，将学生日常学习活动经验浓缩于试题中，如第24题以函数学习的全过程为背景，考查研究函数的内容与方法，学生在研究几何图形中的各元素之间关系的过程中，经历取点、画图、测量、列表、描点和画函数图象的过程，探究变量之间的关系，并利用建立的函数模型解决问题。

引导教学关注有效地数学活动，通过直观地操作活动和多层次地思维活动，从感性认识上升到理性认识，并深化理性认识。

数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法。

统计教学中要让学生经历完整的统计过程，从数据中提取信息，并利用这些信息说明问题。

今年的数学试题在前几年考查数据的收集、整理、描述的基础上，着重考查了对数据的分析和利用数据中提供的信息说明问题，如第25题以抽样调查学生A，B两门课程的成绩为背景，考查了学生对中位数的意义，中位数、平均数、众数在分析数据分布情况的作用，以及样本估计总体的理解，体现学生获取有效信息并进行定量分析的意识和能力。

引导教学要关注数学问题的本质，让学生不断积累统计活动经验的基础上，加深理解统计思想与方法。

关注实践能力体现应用价值
现实生活中蕴含着大量与数量有关的问题，通过建立数学模型用数学的方法予以解决，体现了数学的应用价值。

今年数学试卷扩大试题选材范围，加强与学生生活实际的联系，试题贴近生活，注重考查知识的运用和实践，考查了学生做事能力。

如第14题以公交车用时情况为背景，考查学生对于概率意义的理解，体现在解决现实问题而采取策略时概率所起的重要作用;如第15题以租船费用为背景，通过学生探求解决实际问题的最优方案，考查学生运用所学知识分析解决实际问题的能力。