2凑微分法
常微分方程凑微分法
常微分方程凑微分法常微分方程作为数学分析和物理学中非常重要的基础知识，涉及到了一系列的数学理论和方法，其中凑微分法就是其中的一种最常用、最基础的解题技巧。
在本文中，我们将从凑微分法的原理和步骤入手，讲解其具体应用和实现，在实际的数学和物理问题中，通过例题的形式来深入解析凑微分法的精髓和应用。
一、基本原理凑微分法是一种非常简单易懂的解题技巧，其基本思路是通过对微分方程进行一些特定的变换和调整，使得原方程可以化为几个可积的微分表达式，从而达到方便求解的目的。
该方法主要基于微分方程的性质和基本的微积分运算，利用普通微分和降阶的代数运算和技巧，使得原来难以处理的微分方程可以变成一些比较简单的方程，从而可以更加轻松地求解。
具体来说，凑微分法的基本思路可以概括为以下三个步骤：1. 判定微分方程的阶数和类型，确定需要凑的微分式以及其次数。
2. 通过巧妙的代数运算和微积分操作，将方程中可能的凑微分项进行配对和消去，使得方程变得更加简单。
3. 对更加简单的微分方程进行求解，最终得到原方程的通解或特解。
这三个步骤是凑微分法的核心内容，也是凑微分法能够成功解决大量微分方程问题的关键所在。
二、具体实现在实际的应用中，凑微分法最常用于解决非齐次和高阶微分方程，同时还可以解决一些简单的S型微分方程和变系数微分方程。
下面我们将从不同类型的微分方程出发，介绍凑微分法的具体应用和实现步骤。
1. 非齐次一阶微分方程对于比较简单的一阶非齐次微分方程，凑微分法的应用十分直观和简单，其基本步骤可以概括为：（1）将非齐次方程写成“齐次方程+特解”的形式；（2）找到一个函数v(x)，满足v(x)y’+v’(x)y=p(x)中的v’(x)/v(x)等于齐次方程的解y/h(x)；（3）将v(x)跟上述解h(x)相乘作为新的函数u(x)，得到新的一阶齐次微分方程u'(x)=h(x)；（4）对上述方程求解，得到一阶的齐次解C1，然后将其代入函数u(x)中，得到特解的形式y(x)=C1u(x)+u(x)∫p(x)u^(-2)(x)dx。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的一种重要概念，用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线的弧长、质量、质心等物理量。
本文将总结定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、换元积分法、分部积分法等。
一、基本定积分的计算基本定积分是指形如∫f(x)dx的定积分，其中f(x)为已知函数。
基本定积分的计算方法主要包括常数法、分段法和凑微分法。
1. 常数法：当被积函数为常数函数时，可以直接利用积分性质计算。
如∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为积分常数。
2. 分段法：当被积函数在不同区间上有不同的表达式时，可以将积分区间划分为不同的子区间，在每个子区间上分别计算积分，然后再求和得到整个区间上的积分值。
3. 凑微分法：当被积函数可以通过凑微分的方式转化为已知函数的微分形式时，可以利用凑微分法进行计算。
凑微分法的关键是找到合适的凑微分项，使得被积函数可以表示为一个函数的微分。
例如，对于∫x^2dx，可以将其转化为∫(x^2+1-1)dx，然后利用积分性质计算。
二、换元积分法换元积分法是一种常用的定积分计算方法，通过引入新的变量进行替换，将原来的积分转化为更容易计算的形式。
换元积分法的关键是选择合适的换元变量和适当的换元公式。
1. 一般换元法：当被积函数中存在形如f(g(x))g'(x)的部分时，可以选择g(x)作为新的变量进行替换。
然后利用链式法则计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。
2. 三角换元法：当被积函数中存在形如sin(x)或cos(x)等三角函数时，可以选择三角函数的反函数作为新的变量进行替换。
然后利用三角函数的导数和反函数的导数计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。
三、分部积分法分部积分法是一种常用的定积分计算方法，通过将积分中的乘积拆解为两个函数的乘积，利用分部积分公式进行计算。
分部积分法的关键是选择合适的分部函数和求导函数。
分部积分公式为∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
高等数学第一类换元法(凑微分法)
注: 一般情形:
x f ( x ) dx
2
x2 u
1 f ( u) du. 2
完
例 4 计算不定积分 解
x 1 x 2 dx .
1 2
x
1 x dx
2
dx (1 x ) (1 x )
1 2 2
2
1 (1 x ) d (1 x 2 ) 2
例7
求下列不定积分
(1)
1 dx ; a 2 x 2
( 2)
1 dx . 2 x 8 x 25
解 (1) 原式
1 arctan x C ; a a
(2) 原式
1 1 dx dx 12 2 ( x 4) 2 9 3 x 4 1 3
例7
求下列不定积分
1 dx ; ( 2) 2 1 dx . 2 2 x 8 x 25 a x 1 arctan x C ; 解 (1) 原式 a a 1 1 (2) 原式 dx dx 12 2 2 3 x 4 ( x 4) 9 1 3 1 1 d x 4 1 arctan x 4 C . 2 3 x 4 3 3 3 1 3 (1)
1 sin 2 x d ( 2 x ) 1 cos 2 x C ; 解法一 原式 2 2 解法二 原式 2 sin x cos x dx 2 sin x d (sin x )
(sin x )2 C;
解法三 原式 2 sin x cos x dx 2 cos x d (cos x )
f (sin x ) cos xdx f (sin x )d (sin x );
2凑微分法
2凑微分法微积分中最常用的方法之一就是微分法，可以通过微分法来求出对于复杂的函数的导数。
而对于一些比较复杂的函数，需要使用一些特殊的技巧来求导数，其中包括凑微分法。
1. 凑微分法的基本原理凑微分法的基本原理可以归结为以下三个步骤：（1）把原函数中的不可微部分分离出来。
（2）将可微部分用恰当的方法凑成微分的形式。
（3）利用微积分基本定理求出微分的导数。
对于一个复合函数而言，其可微部分即为所有的内函数对应的导数的乘积。
而不可微部分即为外函数的不可微分性质。
例如：$$y = \sin(x^2)$$对于上述函数而言，它的不可微部分即为$\sin(x^2)$，可微部分即为$(\sin(x^2))' = 2x \cdot \cos(x^2)$。
凑微分法的关键是要找到一种方法，使得所求的可微部分与其微分的形式尽量相似。
通常情况下，我们可以使用一些恰当的代换或变形来达到这个目的。
例如：对于上述函数而言，我们可以令$x = \sqrt{t}$，则有：$$\begin{aligned} y &= \cos((\sqrt{t})^2) \\ & = \cos(t) \end{aligned}$$此时，可微部分为$\cos(t)$，而其微分形式为$d\sin(t)$，进而有：$$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = - \sin(t) \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} = - \frac{\sin(x^2)}{2x}$$根据微积分基本定理，可得到函数的导数可以通过函数的微分求出，从而可以通过凑微分法求导。
即：其中，$F(u)$为可微函数，$g(x)$为实函数。
通过这种方法，我们可以将一些比较复杂的函数用凑微分法求导，从而简化求导过程，使得我们更加容易求得函数的导数。
总结凑微分法是微积分中重要的求导方法之一，其基本原理是通过将可微部分凑成微分的形式，然后利用微积分基本定理求出微分的导数。
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式不定积分凑微分法是数学中常用的一种函数方法，它是一种“从某种变量微分出别的变量”的求解方法。
不定积分凑微分法公式可以应用于各种函数计算，对研究变量进行深入的分析、控制和模型的构建有很大帮助。
一般情况下，不定积分凑微分法公式主要求解几何型的微分方程。
它把一个方程中的一个变量与另一个变量之间的关系转化成微分方程，并用不定积分凑微分法分析两个变量之间的关系，以求解原方程。
说白了，就是用不定积分凑微分法对微分方程进行求解，以得到原方程的解。
不定积分凑微分法公式的基本形式：int_{x_0}^{x} {f(x}dx=F(x)-F(x_0)其中，f(x)是原方程中某一变量的函数表达式，F(x)是原方程的积分，x_0是不定积分的起始点，x是不定积分的终止点。
除此之外，不定积分凑微分法还可以应用于各种具体的微分方程，比如：1. 一阶微分方程：frac{dy}{dx}=f(x,y)此时，不定积分凑微分法公式可以写成：int_{x_0}^{x} {f(xy(x))dx=y(x)-y(x_0)}2. 二阶微分方程：frac{d^2y}{dx^2}+p(x)frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)此时，不定积分凑微分法公式可以写成：int_{x_0}^x{(frac{1}{2}p(xy^2+q(xy+g(x))dx=F(x)-F(x_0)} 以上就是不定积分凑微分法的一般形式和具体公式，它是一种解决微分方程的有效手段。
不定积分凑微分法最大的优点是能够求解一个微分方程，而一个微分方程大多由一系列问题系统所构成，因此，使用不定积分凑微分法可以解决复杂的多变量系统问题。
总之，不定积分凑微分法公式是一种广泛应用的数学方法，它可以应用于多个变量间的关系求解，有效地帮助我们研究和模型某一变量与另一个变量之间的关系，从而有效解决实际函数问题，是一种有效的解决办法。
2021年成考专升本高等数学二重点及解析精简版
高等数学（二）重点知识及解析（占80分左右）I 、函数、极限一、 基本初等函数（又称简朴函数）：（1）常值函数：y = c （2）幕函数：y = （3）指数函数：y = / （“〉0,且d H1）（4） 对数函数：y = \og a x （u ） 0,且oHl ）（5） 三角函数：y = sin x > y = cosx> y = tanx » y = cot x（6） 反三角 函数：y = arcsin x, y = arccosx> y = arctan x» y = arc cot x二、 复合函数：要会判断一种复合函数是由哪几种简朴函数复合而成。
例如：|y = lncosx 是由y = ln“ , u = cosx 这两个个简朴函数复合而成. 例如：|y = arctan e'x 是由y = arctan u > u = e 和y = 3x 这三个简朴函数复合而成. 该某些是背而求导核心！三、 极限计算1、运用函数持续性求极限（代入法）：对于普通极限式（即非未定式），只要将凡代 入到函数表达式中，函数值即是极限值，即lim/（x ） = /（x 0）.XT 心注意：（1）常数极限等于她自身，与自变量变化趋势无关，即limC = C o（2）该办法使用前提是当x->x 0时候，而xts 时则不能用此办法。
例lim 4 = 4, lim-3 = -3, Iimlg2 = lg2, lim/r = /r, ------ A —»-XA —>-l .TfX J 〜丸•1弋2.未定式极限运算法（1）对于+未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将代入后函数值即是极限值。
x 2 +3x-l~x+i02+3>0-l _o+i- 丽^1曲空41k 空—1------- 22 X-l 2-1（非特殊角三角函数值不用讣算出来）ini西计算黒m …•…存定式’提取公因式解：原式二 lim- V ~3)( V + 3)23X -3(2)对于三未定式：分子、分母同步除以未知量最髙次幫，然后运用无穷大倒数是无穷小 Q0这一关系进行讣算。
5.3 凑微分法和分部积分法
例7. 求
解: 令 u a x b , 则 d u ad x , 故
m 1 d u 1 1 u m 1 C 原式 = u
a a m 1
注: 当
时
例8. 求
想到公式
1 a
解:
2
dx 1 ( x )2
du 1 u2
x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C a a 1 u2
小练习: 求下列不定积分
dx (1) ; 2 1 25 x
(2) e x sin( e x )dx;
1 ln x (4) dx. x
(3) x
23
1 x dx;
3
1 Key : arcsin 5 x C ; cos e x C ; 5 4 3 1 2 3 3 (1 x ) C ; (1 ln x ) 2 C . 4 3
2. (3) 3. (1)(9) 4. (2)
P136. 5. (1) (4) (6) (9)
( x 2) 3 C 3 ln x 2 ln x 1 C ln x 1
例18 dx d ( x 1) arctan( x 1) C x2 2x 2 1 ( x 1) 2 1
2x 1
1
1 ( 2 x 2) 4 dx 例19 2 dx 2 2 x 2x 2 x 2x 2
u
指: 指数函数 三: 三角函数
1 1 x
2
, vx
x 1 x
2
原式 = xarccos x
dx
2
1 2
xarccos x
4.2第二类换元积分法
t 1
6
(t 2
t
1
t
1 )dt 1
2t3 3t 2 6t 6 ln t 1 c
2 x 33 x 66 x 6 ln 6 x 1 c
例3
求
1 dx. 1 ex
解 令 t 1 e x e x t 2 1, x lnt 2 1,
ex f (ex 1)dx.
4.2 换元积分法
思考题
x2
1 2x
dx 4
3
1 (1
x)2
dx
1
1 u2
du
arctanu
c
1 3
1
1 1
x
2
dx
3
1 3
3
1
1 1
x
2
d
1
x 3
3
1 arctan 1 x c
(u 1)u10du
x u 1
(u11 u10)du
基本积分表(续)
tan xdx ln cosx C;
cot xdx ln sin x C;
secxdx ln secx tan x C;
cscxdx ln cscx cotx C;
2
a2
x asin t 作直角三角形
t arcsin x a
t
a2 x2
sin 2t 2sin t cost 2 x
a
a2 x2 a
学习任务二换元积分法
“换元”就是换积分变量, 下面将介绍 两种计算不定积分时常用的换元方法.
1. 凑微分法
对用现于积不分定公积式分 cos2xcdoxs2xsdinx
,
x
不能够直接使 C, 否则会出
2cos 2xdx 2sin 2x C(?)
这个结果是错误的.
可以这样做： 2cos 2xdx cos 2x 2dx
积分, 得
1 1
t
tdt
2
1
t
t
dt
2
1
1
1
t
dt
21dt
1 1
t
dt
21dt
1 1
t
d(1
t
)
2t ln(1 t) C t x1
2 x 1 ln(1 x 1) C.
注意1 上例中还使用了凑微分法. 今后 在计算不定积分时，多种方法可以综合 运用.
注意2 一般来说，被积函数中含有形如
n ax b
的根式(被开方式是一个关于x的一次多 项式)，可以直接令
消取根号.
n ax b t
学习任务三 分部积分法
分部积分法”是不定积分计算的最后一 种方法.
在前面的方法均无法计算出不定积分时, 如
xexdx,
可以考虑使用“分部积分法”. 采用分部积分法计算的一般做法：
(1) 将f(x)dx分成两部分，一部分是u，另 一部分是dv(这就是“分部”)，即f(x)dx = u·dv.
u2x
cos 2x d(2x) cosu du
(sin u C) u2x sin 2x C.
检验： 因为
(sin 2x C)' 2cos 2x
不定积分凑微分法
不定积分凑微分法不定积分凑微分法是一种常见的求解不定积分的方法，它的基本思想是通过对被积函数进行一定的代数变形，使得原函数的形式更加简单，从而更容易求解。
这种方法在高等数学中应用广泛，是学习微积分的重要内容之一。
不定积分凑微分法的核心是“凑微分”，也就是通过对被积函数进行一定的代数变形，使得被积函数的微分形式更加简单。
具体来说，我们可以通过以下几种方法来实现凑微分：1. 代数变形法：将被积函数进行一定的代数变形，使得其微分形式更加简单。
例如，对于被积函数f(x)=x^2+2x+1，我们可以将其变形为f(x)=(x+1)^2，从而得到f(x)的微分形式为2(x+1)dx。
2. 分部积分法：将被积函数进行分部积分，使得其微分形式更加简单。
例如，对于被积函数f(x)=xsinx，我们可以将其进行分部积分，得到f(x)=xcosx+sinx，从而得到f(x)的微分形式为cosxdx。
3. 有理函数分解法：将被积函数进行有理函数分解，使得其微分形式更加简单。
例如，对于被积函数f(x)=1/(x^2+1)，我们可以将其进行有理函数分解，得到f(x)=1/2[(x-i)/(x^2+1)+(x+i)/(x^2+1)]，从而得到f(x)的微分形式为1/2arctanxdx。
不定积分凑微分法的应用非常广泛，可以用于求解各种类型的不定积分，例如三角函数、指数函数、对数函数等。
在实际应用中，我们可以根据被积函数的特点选择不同的凑微分方法，从而更加高效地求解不定积分。
不定积分凑微分法是一种非常实用的数学工具，它可以帮助我们更加轻松地求解各种类型的不定积分，提高我们的数学能力和解题能力。
因此，在学习微积分的过程中，我们应该认真掌握不定积分凑微分法，加强对其应用的理解和掌握。
不定积分的运算技巧
不定积分的运算技巧陈飞【摘要】不定积分是微积分的重要内容,熟练掌握不定积分的运算技巧和方法是学习微积分的基础.不定积分的求解方法多样,通过对不定积分运算技巧进行探讨,结合相应例题对不同的运算技巧进行分析,并进行总结归纳,从而提高学生分析和解决问题的能力.【期刊名称】《商丘职业技术学院学报》【年(卷),期】2019(018)002【总页数】5页(P73-77)【关键词】不定积分;换元积分法;分部积分法;一题多解【作者】陈飞【作者单位】商丘职业技术学院,河南商丘476100【正文语种】中文【中图分类】O172.2引言不定积分是高职院校数学课程的核心,也是微积分的重要内容.不定积分的计算方法多种多样,其中换元积分法和分部积分法是重点和难点,学生在学习时有一定困难,且不能熟练地运用各种计算方法.合理的运用不定积分计算方法可以降低求解问题的难度.本文针对常用的解题技巧进行分析探讨,并结合具体例题进行讲解.1 求解方法概述在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作即通过定义可知，计算不定积分就是微分的逆运算，因此，求F(x)是计算不定积分的关键,掌握住不定积分的计算方法,针对不同的积分形式采用适合的计算方法可以更容易的求解出不定积分.常用的不定积分计算方法有直接积分法、换元积分法、分部积分法.其中，直接积分法是运用不定积分的定义,对积分函数进行整理后,直接求解出原函数;换元积分法是通过寻找中间变量,把积分转化为较容易求出的形式,又分为第一类换元积分法和第二类换元积分法;分部积分法是通过分部积分公式,把不容易求出的转化成更加容易求出的进行求解,可以处理被积函数为“反对幂三指”五类函数中的两类相乘的情形[2].2 例说相关技巧例1 求分析:可以通过凑微分,把积分变量凑成d(1+x2),用新变量u替换1+x2.解:设u=(1+x2),于是：技巧:第一换元积分法是将积分中φ(x)用一个新的变量u替换,化为积分从而使求解不定积分比较容易[3].例2 求分析:为了使都变成有理式,应令则x=t12,dx=12t11dt,化简积分形式.解: 设则x=t12,dx=12t11dt.技巧: 运用第二换元积分法,关键是选择合适的变量代换函数小x=φ(t).对于x=φ(t),要求单调可微,且φ′(t)≠0,其中t=φ′(x)是x=φ(x)的反函数.例3 求分析:为了去掉根号,可以引入关于未知量t的三角函数替代x,从而简化计算.解:令x=atant,则dx=asec2tdt,于是：为了把sect和tant换成x的函数,根据做三角函数转换，由代入得：例4 求不定积分分析:被积函数为幂函数和反三角函数的乘积,故把反三角函数选作u,即u=arcsinx,则dv=xdx.解:设u=arcsinx,dv=xdx,则于是：(令x=siny,则dx=cosydy)技巧: 在应用分部积分法时,恰当选择u和dv是一个关键.选择u和dv一般考虑如下2点: 1)v要容易求得；要比容易积分[4].例5 求不定积分分析:在计算不定积分时,针对题目的特点可以多次使用分部积分法.(再次使用分部积分法)=x2ex-2xex+2ex+C.例6 求不定积分分析:可以先采用换元积分法,再采用分部积分法进行求解. 解:设则于是：(采用换元积分法)(采用分部积分法)=2 tln(1+t2)-4t+4arctant+C例7 求不定积分解法一(凑微分法):=cscx-cotx+C解法二(分部积分法)：=cosxcotx-cotx+sinx+C解法三(第二换元积分法):令则x=2arctant⟹于是：技巧:以上3种解法得出的解的形式是不同的,但是，解得本质是一样的,通过变换可得：cosxcotx-cotx+sinx+C=cscx-cotx+C根据不同的求解方法,求解出来的积分结果的形式是不一样的,但是，这些结果是正确的.我们只需对所求的结果进行求导,看是否等于被积函数[5].例8 求不定积分解法一(换元积分法):解法二(凑微分法):由得：解法三(代数换元法):令则x=t2-1,dx-2tdt.解法四(分部积分法):由解法二可知注:通过变换可得：3 结语不定积分的求解方法灵活多变,我们可以针对不同的被积函数类型,采取最有效的求解方法计算出不定积分.通过学习不定积分的运算技巧,可以培养学生的数学思维,增加学生的数学素养,从而提高分析和解决问题的能力.在求解不定积分时,合理地运用计算方法,并对所求的结果进行检测,从而熟练掌握不定积分的运算技巧.【相关文献】[1] 同济大学数学系.高等数学[M].7版.北京:高等教育出版社,2015：184.[2] 魏宏涛, 康元宝.浅谈微积分教学中不定积分的计算方法与技巧[J].数学教学研究,2013(10)：49-52.[3] 张玉芳,裘璐.例说计算不定积分的灵活性和技巧性[J].教育教学论坛,2015(49)：190-191．[4] 上宏昌.关于不定积分的分部积分法运算技巧[J].廊坊师范学院学报(自然科学版),2014(4)：19-22．[5] 邢秀侠.不定积分的一题多解[J].教育教学论坛,2016(15)：245-246．。
微积分第一类换元法
定理1
u 设 f (u) 具有原函数， ( x ) 可导，
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x )dx
1 2 a
例10 解
1 求 x 2 a 2 dx.
1 1 1 原式 ( x a x a )dx 2a
1 xa ln C. 2a x a
令：u ( x) x a 可以吗？
2 2
1 a 2 x 2 dx ?
例11 求 解
tan xdx
解
1 dx 2 2 ( x 1) 2
1 dx 用 2 2 x a 1 xa ln C 2a x a
1 d ( x 1) 2 2 ( x 1) 2
1 x 1 1 ( x 1) 2 C. ln C ln 4 x3 4 ( x 1) 2
ln csc x cot x C.
类似地可推出
sec xdx ln sec x tan x C.
基 本 积 分 表
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
1 1 xa (21) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a 1 x (22) dx arcsin C. a a2 x2
化为
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d [ ( x)].
例1 求
e dx
5x
1 解 令u 5x, 则du 5dx, 从而dx du , 5
5.3凑微分法和分部积分法
x 1 1 1 2 2 2 x x 1 ( x 1) x( x 1)
dx dx dx 原式 2 x x 1 ( x 1)2 d( x 1) d( x 1) ln x 2 x 1 ( x 1)2
1 d( x 2 1) ln x arctan x 2 2 x 1
1 ln x ln( x 2 1) arctan x C . 2
2. 当真分式分母中含有因子( x a) 时,则分解后
k
有下列k 个部分分式之和：
A1 A2 2 x a ( x a) Ak . k ( x a)
解 (1) (sin x) cos xdx (sin x) d sin x
t dt ( 令 t sin x )
ln sin x C , 1 ln t C , 1 1 1 (sin x ) t C , 1 . C , 1 1 1
1 1 1 d(a x) d (a x) 2a a x ax
1 ax 1 ln C ln a x ln a x C 2a a x 2a
1. 当真分式分母中含有因子( x 2 px q)k , p 2 4q 0 时,则分解后有下列k 个部分分式之和：
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C [ f ( u)du]u ( x ) .
使用此公式的关键在于
(5 1)
第一换元积分公式（凑微分法）
说明
将
f ( x)dx 凑成 F '[ ( x)] '( x)dx.
4.2 凑微分法
解: 对照基本积分公式，上式和
1 写成 − 3 d ( − 3 x + 1)
u
相似
就可以使用公式 于是
∫e
u
dx = e
+ C
∫e
−3 x +1
1 −3 x+1 dx = − ∫ e d (−3x + 1) 3
1 − 3 x +1 = − e +C 3
1 （ 3） ∫ 1 + 4 x 2 dx
解: 对照基本积分公式，上式和
= − ln cos x + C
( 2 ) ∫ sin xdx
3
解: :
sin 3 xdx = ∫ sin 2 x ⋅ sin xdx ∫
= −∫ (1 − cos x)d cos x
2
= − ∫ d cos x + ∫ cos2 xd cos x
1 3 = − cos x + cos x + C 3
∫
∫
1 x−4 = ln +C 3 x −1
(2)∫
解: :
1 dx 2 x + 4x + 5
1 1 ∫ x2 + 4x +5dx= ∫1+ (x + 2)2 dx d ( x + 2) =∫ 1 + ( x + 2) 2
= arctan( x + 2) + C
1 （ 3）∫ 1 + e
x
dx
解: :
因为 d (1 + x ) = 2 xdx
1 2 所以 xdx = d (1 + x ) 2
则
∫1+
高中数学换元法
被积函数含有形如
1 dx ( a > 0). 例16 求 ∫ 2 2 x +a − π, π 2 解 令 x = a tan t ⇒ dx = a sec tdt t ∈ 2 2 1 1 dx = ∫ ⋅ a sec 2 tdt ∫ x2 + a2 a sec t
= ∫ sec tdt = ln | sec t + tan t | + C
例9 求 原式= ∫
∫
(
1 dx . 2x + 3 + 2x − 1
2x + 3 − 2x − 1 dx 2 x + 3 + 2 x − 1 )( 2 x + 3 − 2 x − 1 )
1 1 = ∫ 2 x + 3dx − ∫ 2 x − 1dx 4 4 1 1 = ∫ 2 x + 3d ( 2 x + 3) − ∫ 2 x − 1d ( 2 x − 1) 8 8 1 1 3 3 = ( 2 x + 3 ) − ( 2 x − 1) + C . 12 12
1 例5 求 ∫ 2 dx . 2 a +x 1 1 dx = 2 ∫ 解 ∫ 2 2 a +x a
1 dx 2 x 1+ 2 a
1 = ∫ a
1 x x 1 d = arctan + C . 2 a x a a 1+ a
1 例6 求∫ 2 dx . x − 8 x + 25 1 1 解 ∫ 2 dx = ∫ dx 2 x − 8 x + 25 ( x − 4) + 9 1 1 1 1 x − 4 dx = ∫ = 2∫ d 2 2 3 x − 4 3 x − 4 3 +1 +1 3 3 1 x−4 = arctan + C. 3 3
不定积分的凑微分
不定积分的凑微分法一、不定积分的凑微分法例1 cos x x e e dx ⎰（x x e dx de =） cos x x e de =⎰ （cos d O O ⎰）sin x e C =+ （sin C O + ）通过凑微分公式，凑出一个中间变量（被积函数中那个复合函数的中间变量“O ”），得到一个不定积分公式的左边，从而套公式解决问题———这是《凑微分法》的主要思想.二、不定积分的凑微分举例例1. 求下列积分：（1）3x e dx ⎰；（2）112dx x -⎰； (3) .解（1）3x e dx ⎰ 3133x e d x =⎰ 313x e C =+； （2）112dx x-⎰ ()1112212d x x=---⎰ 1ln 122x C =--+；（3）2=22csc =⎰C =-.例2. 求下列积分： (1)1ln dx x x ⎰；（2） 1xxe dx e +⎰；（3）tan xdx ⎰； 解 (1)1ln dx x x ⎰1ln ln d x x=⎰ ln ln x C =+（注：此类积分一般都含“ln x ”，所以“1ln dx d x x=”中“x ”不用加绝对值.）； （2）1xxe dx e +⎰ 11x x de e=+⎰ 1(1)1x x d e e=++⎰ ln(1)x e C =++；（3）tan xdx ⎰ sin cos x dx x=⎰ 1cos cos d x x=-⎰ ln cos x C =-+即tan xdx ⎰ln cos x C =-+------------------------------------可做不定积分公式； 类似可得cot xdx ⎰ln sin x C =+-------------------------------可做不定积分公式综上所述，凑微分法的关键是：利用凑微分公式凑出剩下的那个复合函数的中间变量.凑不出，就不能用凑微分法，须考虑其它的积分法-------比如说下一节的分部积分法.思考题1. 思考凑微分公式在凑微分法中的地位与作用.练习题1.用凑微分法计算下列积分：（1）cos 2xdx ⎰；（2）1x dx e ⎰； （3）（4）5sin cos x xdx ⎰；（5）； .练习题1.答案（1）cos 2xdx ⎰1cos 222xd x =⎰1sin 22x C =+；（2）1x dx e ⎰x e dx -=⎰()x e d x -=--⎰x e C -=-+；（3）()1223x dx -=-⎰()()12123233x d x -=---⎰C =；（4）5sin cos x xdx ⎰ 5sin sin xd x =⎰ 61sin 6x C =+；（5）= ()arcsin ln x C =+；。
凑微分法详细讲解
凑微分法详细讲解
嘿，朋友们！今天咱来唠唠凑微分法。
这凑微分法啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱打开好多数学难题的大门呢！
你想想看，有些数学式子就像一团乱麻，让你摸不着头脑。
可凑微分法呢，就像是一个耐心的梳理者，能把这团乱麻慢慢地理顺。
比如说，遇到那种看起来很复杂的式子，咱通过巧妙地变形、凑一凑，就能让它变得清晰明了。
这凑微分法就好像是变魔术一样！本来让人头疼的式子，经过这么一凑，嘿，就变得乖乖听话啦。
举个例子哈，就像你有一堆七零八落的积木，你得想办法把它们拼成一个完整的形状。
凑微分法就是帮你找到那些合适的积木块，然后把它们拼凑在一起。
咱在学习凑微分法的时候，可别着急，得慢慢来。
就跟学走路似的，一步一步来，走稳了才不会摔跟头。
一开始可能会觉得有点难，哎呀，这怎么凑啊？但别灰心，多试试，多练练，慢慢就找到感觉啦。
你看那一道道难题，不就是一个个小怪兽嘛！咱拿着凑微分法这把宝剑，勇敢地去挑战它们。
有时候可能一下子没凑对，没关系，调整调整再上。
就像打游戏，失败了再来一局呗。
而且啊，凑微分法还特别实用。
在好多数学问题里都能派上大用场。
你说，这是不是个宝贝？它能让咱解题的效率大大提高，就像给咱加了一双翅膀，能在数学的天空中飞得更高更远。
所以啊，朋友们，可别小瞧了这凑微分法。
好好学，好好用，让它成为咱数学学习路上的得力助手。
相信我，一旦你掌握了它，你就会发现数学的世界变得更加精彩啦！这凑微分法，真的值得咱好好去钻研，去掌握，去运用！咱可不能错过这么好的方法呀，对不对？。
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式不定积分凑微分法是求不定积分的一种常用方法。
该方法的核心思想是运用代数技巧，将被积函数化简为可直接求解的形式，从而便于求取不定积分。
在实际应用中，不定积分凑微分可以解决一些特定形式的不定积分问题，如有理函数、有理函数的积、和、复合函数、分部积分等。
下面将详细介绍不定积分凑微分法的原理、思路和具体步骤。
一、不定积分凑微分法的原理和思路不定积分凑微分法是利用代数变换，通过凑微分将原函数化简为易于求积的形式。
其原理基于微分的性质，即如果存在一个函数u(x)，满足du(x)=f(x)dx，则能够得到f(x)dx=du(x)，从而将被积函数化简。
该方法的思路可以概括为以下几个步骤：1.首先观察被积函数，尝试找到一个可以直接求积的函数作为凑微分的基本形式。
2. 推测一个可以凑微分的函数u(x)，并计算出它的微分du(x)。
3. 将原函数中的部分项乘以1，即du(x)/du(x)，并将这个1用u(x)表示。
4. 将原函数中凑出的du(x)用u(x)表示，并将原函数中的其他部分用u(x)表示。
5.对化简后的函数进行不定积分，从而得到最终的结果。
二、不定积分凑微分法具体步骤具体求解不定积分的凑微分法步骤如下：1.观察原函数，尝试找到可以求积的基本形式。
常见的基本形式包括一元多项式、指数函数、三角函数等。
2. 根据被积函数的形式，选择一个适合的凑微分函数u(x)。
通常情况下，选择凑微分函数时要考虑它的微分du(x)，以及被积函数的部分项是否能够通过凑微分函数u(x)来表示。
3. 计算凑微分函数u(x)的微分du(x)，并将被积函数中的dx用du(x)表示。
4.将原函数中对应凑微分函数u(x)的部分用u(x)表示，将原函数中的其他部分用u(x)表示。
5.对化简后的函数进行不定积分，从而得到最终的结果。
三、不定积分凑微分法的应用举例1.凑微分简化幂函数的积分考虑不定积分∫x^2/(x+1)dx。
这是一个幂函数的积分，我们可以选择凑微分函数u(x)=x+1，计算它的微分du(x)。
高等数学第二节 凑微分法
解
1
a2 x2dx
1 a2[1 (
x)2]dx
a[11(x)2]d(ax)
a
a
例5 求 a2 1x2dx(a0为常 ).数
解
a2 1 x2dx
a2[1
1 (
x)2]dx
1
x
a[1(x)2]d(a)
a
a
1 a
1
1 ( x)2
d(x) a
1arctxanC.
a
a
a
以上两个例子可作式为使公用:
a21x2dxarca xsiC n . a2 1x2dxa 1arca xta C.n
例13 求a2 1x2dx(a0).
解
a2
1
x2
dx
1
(ax)(ax)dx
21a(a (axx ))a ((axx ))dx21a(a 1xa 1x)d x
பைடு நூலகம்
2 1 a a 1 x d ( a x ) 2 1 a a 1 x d ( a x )
1ln |ax|1ln |ax| C1ln|ax|C.
1(x1si2nx)C 22
1x1sin 2xC. 24
例16 求co3sxdx.
解 co3sxdxco2x scoxd sxco2sxdsin x
(1si2n x)dsixn
d sixn si2x n d sixn
sin x1si3nxC. 3
例17 求 si3n xco 2xd sx.
解 si3n xco 2xs dx1 2(si5nxsin x)dx
令 u14x1 4
u3du
1 u4 16
C 1(14x)4C. 16
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第二讲Ⅰ 授课题目（不定积分）：§5.2 凑微分法 Ⅱ 教学目的与要求：熟练掌握基本的不定积分公式，熟悉“凑微分法”与“变量代换法” 的一般原则。
Ⅲ 教学重点与难点：重点：凑微分法，变量代换法。
难点：凑微分法, 变量代换法。
Ⅳ 讲授内容： 一、 凑微分法利用基本性质和基本积分公式，可以解决一些较为简单的函数的积分问题。
但是，很多函数是经过复合而成的，无法直接利用公式。
来看下面几个例子。
例1 求dx x ⎰2cos这个不定积分不直接在表.5.1中，因为x 2cos 不是x 2sin 的导数。
解 因为x x 2cos 2)2(sin ='而x x 2cos )2sin 21(='，所以c x xdx +=⎰2sin 212cos 。
例2 求dx x ⎰)4sin(3解)4sin(3))4cos(43()4sin())4cos(41()4sin(4])4[cos(x x x x x x =-⇔='-⇔-='按照等价命题 c x dx x +-=⎰)4cos(43)4sin(3例3 求dt t ⎰+12这样想：)(12+='t ，联想到 )(u ='，再想到u u u u u u ='⇔=='=')32(2323)()(323233如果12+=t u12))12(31(122)12(12))12(32(33+='+⇔+='+⋅+='+t t t t t t最后一个等式正是我们想要的。
利用等价命题，就可以得到c t dt t ++=+⎰3)12(3112。
在以上的例子中，基本想法是找F 使F f '=具体做法是利用链法则，按f 的具体情况凑出了F 。
这种计算不定积分的方法叫做凑微分法，或叫换元法（integration by substitution ） 例4 求dx x x ⎰+212如果我们能想到)1(22'+=x x 和),1()(,)(2x x g u u u f +===那么这个不定积分就可以看作⎰⎰'=+dx x g x g f dx x x )())((122如果F 是f 的反导数，根据链法则)())(())((x g x g f x g F dxd '=所以，将u 看作是 21x +， 由于 c u du u du u f +==⎰⎰2332)(就可以得到 c x dx x x ++=+⎰3222)1(3212还可以通过求导数来验证结果是正确的。
把上面的思路理清楚：如果F 是f 的反导数，而)(x g u =是某个可导函数，那么根据链法则或者 ⎰⎰=+=du u f c u F dx dxdu u f )()()(，例5 求⎰+dx xx 232dxdu u f dx du u F u F dx d )()()(='=解cx c u duuu xxdx xdx xx ++=+==++=+⎰⎰⎰32223221323132注意运算中的一个细节：)(22x d xdx =,知道这一点非常重要。
在凑微分的过程中，下面这些微分等式至关重要。
0),(1≠+=a b ax d a dx ；））（（221x a d xdx +=; ））（（3231x a d dx x +=； )2(1a x d dx x+=；)(ln 1x d dx x=； )(sin cos x d xdx =；)(xxe d dx e =；)(arctan 112x d dx x=+；)(arcsin 112x d dx x=-；它们就像建筑中的模块，在凑微分过程中起到重要作用。
可以总结一些常见的凑微分公式如下（表5.2）。
表5.2被积分表达式中含有 凑微分法)0(),(1≠+=a b ax d adx )0(),()(1)(≠++=+⎰⎰a b ax d b ax f adx b ax f）（221x d xdx =222)(21)(dx x f xdx x f ⎰⎰= ）（3231x d dx x =3323)(31)(dx x f dx x x f ⎰⎰=……)0)((11≠=-ααααx d dx x )0()(1)(1≠=⎰⎰-ααααααdx x f dx xx f)(ln 1x d dx x= )(ln )(ln 1)(ln x d x f dx xx f ⎰⎰=)(sin cos x d xdx = )(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f ⎰⎰=)(cos sin x d xdx -= )(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f ⎰⎰-= )(tan sec2x d xdx = )(tan )(tan sec)(tan 2x d x f xdx x f ⎰⎰= )(arctan 112x d dx x =+ x d x f dx x x f arctan )(arctan 11)(arctan 2⎰⎰=+)(arcsin 112x d dx x=- x d x f dx xx f arcsin )(arcsin 11)(arcsin 2⎰⎰=-例6 求dx x ⎰2sin 解 因为2)2cos(1sin2x xdx -=所以c x x dx x x xdx +-=-=⎰⎰)2sin(4121)2cos 1(21sin2例7 求⎰dx x x )sin(2 解 因为)()sin(21)sin()222xd x dx x x =设u=x 2，所以c x c u udu du u dx x x +-=+-===⎰⎰⎰)cos(21)cos (21sin 21)sin(21)sin(22例8 求dx e x ⎰3 解 设u=3xc ec e du e du e dx exuuu x+=+===⎰⎰⎰33313131)21(一般地 c ea dx e axax +=⎰1例9 求 ⎰dx xe x 223 解 设u=2x 2,du=4xdx,⎰⎰⎰+===c edu e du edx xexuux22224343433二、 第二类换元法如果上述凑的方法行不通，而且被积函数中含有开方运算，这时就要“无中生有”了———引入新变量，将被积函数中的根号“去掉” 例10 求dx x ⎰+)1(21从被积表达式中难以看出怎样凑出 )())((x du x u f .可以做个变换2u x =或者u x =那么 udu dx 2=)(du uu d u dx x +=+=+1)1(21)1(21 ⎰⎰⎰⎰+-=+-+=+=+du udu uu du uudx x )111(1111)1(21⎰⎰++-=++-=+-=c x n x c u u duu du 111ln 111再看下面的例子。
例11 求⎰-dx x 21同样，从被积表达式中难以直接看出怎样凑出)())((x du x u f .但是，可以想到u u cos )(sin 12=-做个变换 x u u x arcsin sin ==或者 那么 udu dx cos =udu du u u u d u dx x 222cos ))(cos (cos )(sin sin11==-=-⎰⎰=-udu dx x 22cos 1 而 ⎰⎰⎰⎰+=+=udu du du uudu 2cos 212122cos 1cos 2c u u u ud u ++=+=⎰)2sin(4121)2(2cos 4121注意到x u arcsin =和 u u u cos sin 2)2sin(=c u u u c u u udu dx x ++=++==-⎰⎰cos sin 2121)2sin(4121cos 122=c xx x +-+2121arcsin 21例12 求⎰xdx 3sin注意到)cos )(cos1())(sin (sinsin 223x d x xdx x xdx --== cx x c x x x d x xdx ++-=+--=--=⎰⎰3322cos31cos )cos31(cos )cos ()cos1(sin这里用到了⎰+=c x x d cos cos （为什么？）一般地，对于正的奇数n ,⎰xdx nsin 和⎰xdx ncos 都采用类似的方法计算。
例13 求xdx ⎰4cos解 因为)12cos 22(cos41)22cos 1()(cos cos 22224++=+==x x xx x832cos 214cos 81)12cos 224cos 1(41++=+++=x x x x 所以c x x x c dx xdx xdx xdx +++=+++=⎰⎰⎰⎰832sin 414sin 321832cos 214cos 81cos 4一般地，对于正的偶数 xdx n n ⎰sin ,和 xdx n ⎰cos 都采用类似的方法计算。
Ⅴ 小结与提问：总结一下，利用凑微分法解题的要点是：根据被积函数的特点凑出中间变量)(x u u =及其微分形式，或者说，将被积表达式表示成 )())((x du x u f ，从而将积分化为推广的积分表的形式，即),()]([11),()](sin[),()]([2x du x u x du x u x du x u ⎰⎰⎰+α的形式。
应用这种方法 ，必须熟悉怎样将某些函数移进微分号内，这是微分运算的相反过程Ⅵ 课外作业：1. 填空，凑成微分形式：（1）)()(;)13(131)13(122d dx dx x =+=+（2）)()(ddedx xe xx==--22（3）)()(d d xdx xx =-=-22111 （4）)()(d d tgxdx xtgx ==1cos122. 回答下列问题：（1）⎰=+'dx x f )53( (2)=+'⎰dx x f x f 2)]([1)(3. 计算下列不定积分：（224P 3.（1）--（28））。