2凑微分法

第二讲

Ⅰ 授课题目（不定积分）：

§5.2 凑微分法 Ⅱ 教学目的与要求：

熟练掌握基本的不定积分公式，熟悉“凑微分法”与“变量代换法” 的一般原则。

Ⅲ 教学重点与难点：

重点：凑微分法，变量代换法。 难点：凑微分法, 变量代换法。 Ⅳ 讲授内容： 一、 凑微分法

利用基本性质和基本积分公式，可以解决一些较为简单的函数的积分问题。但是，很多函数是经过复合而成的，无法直接利用公式。来看下面几个例子。 例1 求dx x ⎰2cos

这个不定积分不直接在表.5.1中，因为x 2cos 不是x 2sin 的导数。 解 因为x x 2cos 2)2(sin ='

而x x 2cos )2sin 21

(='，

所以c x xdx +=⎰2sin 2

12cos 。

例2 求dx x ⎰)4sin(3

解

)

4sin(3))4cos(4

3()

4sin())4cos(4

1()4sin(4])4[cos(x x x x x x =-

⇔='-⇔-='

按照等价命题 c x dx x +-=⎰)4cos(4

3)4sin(3

例3 求dt t ⎰+12

这样想：)

(12+='

t ，联想到 )(u =

'

，再想到

u u u u u u =

'⇔=

=

'=')3

2(

2

32

3)()(3

23

23

3

如果12+=t u

1

2))12(3

1(

1

22)12(12))12(3

2(

3

3

+=

'+⇔+='+⋅+='+t t t t t t

最后一个等式正是我们想要的。利用等价命题，就可以得到

c t dt t ++=

+⎰

3

)12(3

112。

在以上的例子中，基本想法是找F 使F f '=具体做法是利用链法则，按f 的具体情况凑出了F 。这种计算不定积分的方法叫做凑微分法，或叫换元法（integration by substitution ） 例4 求dx x x ⎰+212

如果我们能想到)1(22'+=x x 和),1()(,)(2

x x g u u u f +===

那么这个不定积分就可以看作⎰

⎰'=+dx x g x g f dx x x )())((122

如果F 是f 的反导数，根据链法则

)())(())((x g x g f x g F dx

d '=

所以，将u 看作是 2

1x +， 由于 c u du u du u f +=

=⎰⎰

23

3

2)(

就可以得到 c x dx x x ++=

+⎰32

2

2

)1(3

212

还可以通过求导数来验证结果是正确的。

把上面的思路理清楚：如果F 是f 的反导数，而)(x g u =是某个可导函数，那么根据链法则

或者 ⎰⎰

=

+=du u f c u F dx dx

du u f )()()(，

例5 求⎰

+dx x

x 2

32

dx

du u f dx du u F u F dx d )()()(='=

解

c

x c u du

u

u x

xdx x

dx x

x ++=+==++=

+⎰⎰

⎰

3

2

2

2

3221323132

注意运算中的一个细节：)(22x d xdx =,知道这一点非常重要。在凑微分的过程中，下面这些微分等式至关重要。

0),(1

≠+=

a b ax d a dx ；））（（221x a d xdx +=; ））（（3

23

1x a d dx x +=； )2(1a x d dx x

+=；

)(ln 1x d dx x

=； )(sin cos x d xdx =；

)(x

x

e d dx e =；

)(arctan 112

x d dx x

=+；

)(arcsin 112

x d dx x

=-；

它们就像建筑中的模块，在凑微分过程中起到重要作用。可以总结一些常见的凑

微分公式如下（表5.2）。

表5.2

被积分表达式中含有 凑微分法

)0(),(1≠+=

a b ax d a

dx )0(),()(1

)(≠++=+⎰⎰a b ax d b ax f a

dx b ax f

）（22

1x d xdx =

2

22

)(21

)(dx x f xdx x f ⎰⎰= ）（3

2

3

1x d dx x =

3

3

2

3

)(3

1

)(dx x f dx x x f ⎰⎰=

……

)0)((1

1

≠=

-αα

ααx d dx x )0()(1

)(1

≠=

⎰⎰-αα

α

αααdx x f dx x

x f

)(ln 1x d dx x

= )(ln )(ln 1)

(ln x d x f dx x

x f ⎰

⎰=

)(sin cos x d xdx = )(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f ⎰

⎰=

)(cos sin x d xdx -= )(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f ⎰⎰-= )(tan sec

2

x d xdx = )(tan )(tan sec

)(tan 2

x d x f xdx x f ⎰

⎰= )(arctan 112

x d dx x =+ x d x f dx x x f arctan )(arctan 11)

(arctan 2

⎰

⎰=

+

)(arcsin 11

2

x d dx x

=- x d x f dx x

x f arcsin )(arcsin 11

)

(arcsin 2

⎰

⎰=

-

例6 求dx x ⎰2

sin 解 因为2

)

2cos(1sin

2

x xdx -=