集合知识点总结

第一章 集合 集合知识点总结： 一、集合

1、集合的概念

集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看出一个整体，就说这个整体是由这些对

象的全体构成的集合（或集），通常用大写英文字母,,...A B C 表示。 集合的元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员），

通常用小写写英文字母,,...a b c 表示。

2、元素与集合的属于关系：∈∉、

若a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作：a A ∈，读作“a 属于A ”

若a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：a A ∉，读作“a 不属于A ”。 3、空集∅：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。 4、集合元素的基本性质：确定性、互异性、无序性。

5、集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合。

6、常用数集的表示------------牢记，熟记

自然数集（非负整数集）N ；正整数集N +或N *

；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R ；正实数集R +，均是无限集。

二、集合的表示法

1、列举法：适用于有限集，且元素个数不多，或者是无限集，元素个数较多，但呈现一定规律，列出几个元素作为代表，其余用“⋅⋅⋅”代替。

2、描述法：

元素的特征性质：如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素都具有性质()p x ，而不属于A 的元素都不具有性质()p x ，则()p x 叫做集合A 的一个特征性质。

()p x 是集合A 的一个特征性质，

集合A 可以表示为(){}|x I p x ∈，它表示的集合A 为在集合I 中具有性质()p x 的所有元素构成的。 注意：若元素的范围为R 时，R ∈可以省略。

★经典例题：

例一、现已知一个集合为{}

21,,x x ，则实数x 满足的条件为 。【1,1,0x ≠-】 解：由于元素的互易性，因此得到关系2

2

1;1;x x x x ≠≠≠，从而解得1,1,0x ≠-。 例二、用适当的符号填空：

0 ∈ {}0；0 ∉ ∅；∅ ∈ {}∅；0 ∉ N +；{}0 ≠ ∅。

例三、给定集合A B 、，定义{}

,,A B x x m n m A n B *==-∈∈。若{}4,5,6A =，

{}1,2,3B =，则集合A B *的所有元素之和为 。

【15】 解：题意为从集合A 中任意选取一个元素，与集合B 中的任意一个元素作差，所得元素为

集合A B *的元素，这里要注意元素的互异性。 故41,42,43,51,52,53,61,62,631,2,3,4,5x =---------=

即{}1,2,3,4,5A B *=，元素之和为15。

例四、设集合{}

{}22,3,23,3,2A a a B a =+-=+若已知5A ∈，且5B ∉，求实数a 。 解：由于5A ∈，故有2

235a a +-=，解得4a =-或2。

但题目要求5B ∉，因此35a +≠，即2a ≠。因此4a =-。 例五、实数集A 满足条件：1A ∉，若a A ∈，则

1

1A a

∈-。 （1）若2A ∈，求A ；

（2）集合A 能否为单元素集合？若能，求出A ；若不能，说明理由； （3）求证：1

1A a

-

∈。 解：（1）由题意知，若a A ∈，则

11A a ∈-。因此2A ∈，则有1112

A =-∈-。 由1A -∈，则

111(1)2A =∈--。由12A ∈，则12112

A =∈-。

因此12,1,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭ （2）若让集合A 为单元素集合，必须满足11a a

=-。整理得到2

10a a -+=， 验证140∆=-<，因此没有a 满足上述方程，即集合A 不能为单元素集合。

（3）由于题意有若a A ∈，则1

1A a

∈-。

因此当11A a ∈-时，可有111

1111a A a a a

-==-∈--。

例六、以下集合各代表什么： ①{}

2,M m m k k Z ==∈——偶数

②{}

21,X x x k k Z ==+∈——奇数 这些均是数集，与代表元素的不同没有关系。 ③{}

41,Y y y k k Z ==+∈——奇数

④{}

(,)1,P x y y x x R ==+∈——点集（有序数对集合） 几何意义：满足直线1y x =+图像上所有的点；

代数意义：满足二元一次方程1y x =+的解。

例七、若集合{}

2(1)0A x x a x b =+-+=中，仅有一个元素a ，则a = 【

13

】 b = 【1

9

】

解：题意可只两个条件，其一是仅有一个元素，即方程只有一个解。其二为单元素即为a 。

因此得到两个关系式：将a 代入方程有()210a a a b +++=和()2

140a b ∆=--=， 从中求出11

,39

a b =

=。 例八、已知集合{}

2320A x ax x =-+=，其中a 为常数，且a R ∈。 （1）若A 是空集，求a 的范围；

（2）若A 中只有一个元素，求a 的范围； （3）若A 中至多只有一个元素，求a 的范围。

解：（1）因为A 是空集，则必须要求方程2

320ax x -+=无实根，即980a ∆=-<， 因此9

8

a >

。 （2）若A 中只有一个元素，此时需要讨论a 是否为0。 当0a =时，方程为320x -+=，解得2

3

x =

，符合题意； 当0a ≠时，方程为2

320ax x -+=，要求980a ∆=-=，即98

a =。 综上所述，0a =或

98

。 （3）若A 中至多只有一个元素，即有一个元素，或没有。只要综合（1）（2）的答案即

可。故a 的取值范围是0a =或98

a ≥

。 三、子集和真子集

1、子集：集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，则集合A 叫做集合B 的子集。 记作：A B ⊆或B A ⊇

读作“A 包含于B ” 或“B 包含A ”

若集合P 中存在着不是集合Q 的元素，则集合P 不是集合Q 的子集。 记作：P ⊆Q 或Q ⊇P

注意：（1）自身性：A A ⊆，任何集合是它本身的子集。 （2）规定：A ∅⊆，空集是任何子集的真子集。

（3）∈与⊆区别： ∈是从属关系，表示元素与集合之间的关系， ⊆是包含关系，表示集合与集合之间的关系。

2、真子集：若集合A 是集合B 的子集（简化：若A B ⊆，数学语言的简洁），并且集合B 中至少含有一个元素不属于集合A ，则集合A 是集合B 的真子集。