电场的能量要点

r
d
K
V0
9
, E ,V , D, C ,W e
① 解：充电后断开电源，极板上 电量不变
0
0 2.介质中场强：E r r 0
E0
3.电压：插入介质后
0
0
V Ed
E0
r
d
V0
r
4.电位移矢量:插入介质后
D 0 r E 0 r
1 W e qU 12 2 1 R2 h ln 2 2 0 r R 1
§5-5 电场的能量
1
一、带电体系的能量
带电体系的带电过程可看成是从电势0点移动电荷到 该带电体系，使带电体系带电。这个过程外界作的功， 就是带电体系的能量。(含互能、与自能）
移动 dq 作的元功
q E
q
dA Vdq
极板带电量从 0 到Q 作功
A dA 0 Vdq W
Q
Q
0
F
l
d
7
W0 A
外力作正功，电容器能量增加。
由上述的计算结果，在拉开极板时，电荷并没有增加， 但电场能量增加了。增加的原因是极板拉开时，外力 对系统作了功，使有电场的空间增大了。这部分增加 的电场能量恰等于外力对系统作了功。所以本例说明 静电能存储于电场中。
2 1 q q 2 1 ) Sd d W 0 E 2V体 0 ( 2 S 2 0 S 2 0
5
C
0 r S
d
, V Ed
三、电场的能量密度
1 2 W E V体 2
单位体积内的电场能量。 w W V体
2 1 2 1 1D w E ED 2 2 2
非均匀电场能量计算
W wdV
V
只要确定 w 就可计算电场能量 W。
6
例2：平行板电容器带电量为 q，极板面积为 S，将 极板间距从 l 拉大到 l+d ，求外力作功 A，和电场能 量的增量。
K
U0
14
例5：同轴电缆由内 径为 R1、外径为 R2 的两无限长金属圆柱 面构成，单位长度带 电量分别为 +、 -， 其间充有 r 电介质。 求：①两柱面间的场 强 E；②电势差 U； ③单位长度电容 ； ④单位长度贮存能量。

R1
r
R2

15
解： ①极板间作高为 h 半径为 r 的高斯柱面， 由介质中高斯定理：
E0
r
d
K
r
0 E 0 0 D0
由于 D = 0 ，断开电源后 0 不变，D 也不变。
V0
10
5.电容 由于电容器电容与电量无关， 与介质有关，充满介质时
C
0
0
r 0 S
d
r C0
6.能量
2 0
q W0 , 2C0
2 0
r
d
K
2 q q W 0 0 W 2C 2 r C 0 r
D d S q 0
D 2rh h

r
h
R1 R2
D 2r
场强
r
E 0 r 2 0 r r
D
16
②极间电压 R R U 12 R E d l R Edr dr R R 2 0 r r
2 2 1 1
2 1
dq
u
2
外力所做的功A转化为带电体的 能量W。
例1、求半径为R ,带电量为Q的孤立导体球的电能。 由： dA=Vdq 得： q dA dq 4 0 R 将导体球的电荷从0增加到Q,所作的功为
A
0 Q
Q
Q
R
q 4 0 R
dq
q2
8 0 R 0

Q2 8 0 R
W
r
由电场能量密度积分得：
解：拉力
F qE q 2 0
2
q
q
q
将极板拉开时外力作的功为
q Aq d d 2 0 2 0 S
电容器拉开后，其电能为 q2 q2 W 2C 2 0 S /(l d )
2 2 q q q l d (l d ) 2 0 S 2 0 S 2 0 S 2
该能量恰与电容器的能量增量相同。
q2 q2 W l d 2 0 S 2 0 S
8
四、应用举例
例1：平行板电容器真空时参数如 下 0 , E0 ,V0 , D0 , C0 ,W0 ①.充电后断开电源，插入介电常 数为 r 介质；
0
0
②.充电后保持电压不变， 插入 r 介质；
求：

r
h
R1 R2
R2 ln 2 0 r R 1
③单位长度电容
r
2 h 0 r h 长电容 C U 12 ln( R 2 / R 1 )
h
17
单位长度电容
C 2 0 r c h ln( R 2 / R 1 )

r
h
R1 R2
④单位长度贮存能量
h 长贮存能量
dq
1Q 2C
2
V
2
外力作功等于电容器能量增量，
CV 1 QV 1Q A W 2 2C 2 W 为电容器能量，单位：焦耳，J。
2
4
三、电场的能量
带电体系具有能量，这一能量也可以认为就 存在于电场之中。电场能量计算如下：
以充满介质的平行板电容器为例
1 1 0 r S 2 1 2 2 ( Ed ) 0 r E Sd 能量由： W CV 2 2 d 2 1 2 E V 体 2
V0
11
②.充电后保持电压不变，插入 r 介质； 解：电压不变即电键 K 不断开。 1.电压 2.场强
V V0
0
0
Ed E 0 d ,
V V0
E E0
3.自由电荷面密度
0 , 0 0 r r 0
r
d
K
V0
12
4.电位移矢量D
D0 0
r>R时电场的能量元为
1 Q 2 2 dw 0 ( ) 4 r dr 2 2 4 0 r
2 2
W
R

Q
8 0 r
dr
Q
2

8 0 r

R
Q
2
3
8 0 R
二、电容器存储的能量： 电容器的电压由：V q C
q E
q
A Vdq
0
Q
Q 0
q dq C
D r 0
0
0
r D0
5.电容 由于电容器电容与电量无关， 与介质有关，充满介质时
r
d
K
C rC0
U0
13
6.电容器能量We
1 W0 q0V0 2
0
r
0
1 1 W 百度文库qV0 r q0V0 2 2
rW0
由于q增多而增加的能量，大 于插入介质损失的能量，所以 W也增加。